Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 1
20 câu hỏi
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(\left[ { - 3;3} \right]\) và đồ thị của nó được biểu diễn như hình dưới đây
![Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(\left[ { - 3;3} \right]\) và đồ thị của nó được biểu diễn như hình dưới đây (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/01/blobid0-1737614150.png)
Hàm số đồng biến trên \(\left( {1;3} \right)\).
Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 3;1} \right)\).
Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\).
Hàm số đồng biến trên \(\left( {1;4} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số đồng biến trên \(\left( {1;3} \right)\).
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c,\left( {a \ne 0} \right)\) và \(\Delta = {b^2} - 4ac\). Cho biết dấu của \(\Delta \) khi \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
\(\Delta > 0\).
\(\Delta < 0\).
\(\Delta \ge 0\).
\(\Delta = 0\).
Đáp án đúng là: B
\(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi \(\Delta < 0\).
Cho phương trình \(\sqrt {2x - 3} = x - 3\). Chọn câu đúng.
\(x = 6\) là nghiệm của phương trình.
\(x = 2\) là nghiệm của phương trình.
\(x = 1\) là nghiệm của phương trình.
\(x = 3\)là nghiệm của phương trình.
Đáp án đúng là: A
Thay lần lượt \(x = 1;x = 2;x = 3;x = 6\) vào phương trình ta thấy \(x = 6\) là nghiệm của phương trình.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d: - x + 2y + 7 = 0\). Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là
\(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( { - 1;2} \right)\).
Đáp án đúng là: D\(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1; - 2} \right)\)
Đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 1;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(d:x - 2y - 1 = 0\) song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?
\(x + 2y + 1 = 0\).
\( - x + 2y + 1 = 0\).
\(2x - y = 0\).
\( - 2x + 4y - 1 = 0\).
Đáp án đúng là: D
Ta có là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d:x - 2y - 1 = 0\).
Ta có \(\overrightarrow n = \left( { - 2;4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \( - 2x + 4y - 1 = 0\).
Ta có \(\overrightarrow n = - 2\overrightarrow {{n_d}} \).
Lại có điểm \(\left( { - 1; - 1} \right)\) thuộc \(d\) nhưng không thuộc đường thẳng \( - 2x + 4y - 1 = 0\) nên đường thẳng \(d:x - 2y - 1 = 0\) song song với đường thẳng có phương trình \( - 2x + 4y - 1 = 0\).
Phương trình đường tròn có tâm\(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính \(R\) là
\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = R\).
\({\left( {x + a} \right)^2} + {\left( {y + b} \right)^2} = {R^2}\).
\({\left( {x + a} \right)^2} + {\left( {y + b} \right)^2} = R\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình đường tròn có tâm\(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính \(R\) là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của một elip?
\(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 0\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) là phương trình chính tắc của một elip.
Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt { - {x^2} + 2x + 3} \) là
\(\left[ { - 1;3} \right]\).
\(\left( {1;3} \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: A
Điều kiện \( - {x^2} + 2x + 3 \ge 0\)\( \Leftrightarrow - 1 \le x \le 3\).
Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {2x + 7} = x - 4\) là
\(S = \left\{ {1;9} \right\}\).
\(S = \left\{ 1 \right\}\).
\(S = \left\{ 9 \right\}\).
\(S = \left\{ { - 1; - 9} \right\}\).
Đáp án đúng là: C
Bình phương 2 vế của phương trình ta được \(2x + 7 = {x^2} - 8x + 16\).
Thu gọn ta được \({x^2} - 10x + 9 = 0\). Từ đó tìm được \(x = 1\) hoặc \(x = 9\).
Thay lần lượt hai giá trị này của \(x\) vào phương trình đã cho ta chỉ thấy \(x = 9\) thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 9 \right\}\).
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(M\left( { - 1;0} \right),N\left( {3;1} \right)\) là
\(4x + y + 4 = 0\).
\(x - 4y - 1 = 0\).
\(4x + y - 4 = 0\).
\(x - 4y + 1 = 0\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {4;1} \right)\).
Đường thẳng \(MN\) nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( {4;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(\left( {x + 1} \right) - 4y = 0 \Leftrightarrow x - 4y + 1 = 0\).
Cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 13\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( { - 2;5} \right)\) là:
\( - 2x + 5y + 16 = 0\).
\( - 2x + 5y - 16 = 0\).
\( - 3x + 2y - 16 = 0\).
\(3x - 2y - 16 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;3} \right)\).
Ta thấy điểm \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\).
Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( { - 2;5} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( { - 3;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là \( - 3\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y - 5} \right) = 0\) hay \( - 3x + 2y - 16 = 0\).
Viết phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\).
\({y^2} = 8x\).
\(y = 4{x^2}\).
\({y^2} = 16x\).
\({y^2} = 32x\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình chính tắc của parabol có phương trình là \({y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\).
Vì parabol đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\) nên \({4^2} = 2p.1 \Leftrightarrow p = 8\).
Vậy \({y^2} = 16x\).
Cho hàm số bậc hai có đồ thị hàm số như hình vẽ
a) Tại \(x = - 1\) thì \(y = 0\).
b) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\).
c) Cho \(I\left( {a;b} \right)\) là đỉnh của đồ thị hàm số trên. Khi đó \(a - 2b = 1\).
d) Đồ thị biểu diễn trên là của hàm số \(y = - {x^2} + 2x - 1\).
a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ
a) Dựa vào đồ thị ta có \(x = 1\) thì \(y = 0\).
b) Dựa vào đồ thị ta có hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\).
c) Đồ thị hàm số có tọa độ đỉnh là \(\left( {1;0} \right)\). Suy ra \(a - 2b = 1\).
d) Ta có \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\left( {a < 0} \right)\).
Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left( {0; - 1} \right),\left( {2; - 1} \right),\left( {1;0} \right)\) nên ta có hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}c = - 1\\4a + 2b + c = - 1\\a + b + c = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\\c = - 1\end{array} \right.\). Vậy \(\left( P \right):y = - {x^2} + 2x - 1\).
Cho hai điểm \(A\left( {3; - 3} \right),B\left( { - 1; - 5} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):4x - 3y - 2 = 0\).
a) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {4; - 3} \right)\).
b) Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với \(\left( d \right)\) có phương trình \(4x + 3y = 3\).
c) Khoảng cách từ \(A\) tới \(\left( d \right)\) nhỏ hơn khoảng cách từ \(B\) tới \(\left( d \right)\).
d) Cosin của góc tạo bởi \(\left( d \right)\) và đường thẳng \(AB\) bằng \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Ta có \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {4; - 3} \right)\).
b) Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3;4} \right)\).
Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với \(\left( d \right)\) nhận \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3;4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x - 3} \right) + 4\left( {y + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 4y + 3 = 0\).
c) Ta có \(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {4.3 - 3.\left( { - 3} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{19}}{5}\).
Ta có \(d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + 4.\left( { - 5} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{20}}{5}\).
Vì \(\frac{{19}}{5} < \frac{{20}}{5}\) nên \(d\left( {A,d} \right) < d\left( {B,d} \right)\).
d) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2} \right) = - 2\left( {2;1} \right)\).
Đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng.
Ta có \[\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_d}} ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {4.\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{10}}{{5\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\].
Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn \(2{x^2} + 2{y^2} - 8x + 4y - 1 = 0\) có bán kính bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Trả lời: 2,35
\(2{x^2} + 2{y^2} - 8x + 4y - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 2y - \frac{1}{2} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = \frac{{11}}{2}\).
Vậy bán kính của đường tròn là \(\sqrt {\frac{{11}}{2}} \approx 2,35\).
Tập nghiệm của bất phương trình \( - {x^2} + 5x - 6 \ge 0\) có bao nhiêu giá trị nguyên?
Trả lời: 2
Ta có \( - {x^2} + 5x - 6 \ge 0\)\( \Leftrightarrow 2 \le x \le 3\).
Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {2;3} \right\}\).
Do đó tập nghiệm của bất phương trình có 2 giá trị nguyên.
Bảng giá cước gọi quốc tế của công ty viễn thông \(A\) được cho bởi bảng sau
Ông An thực hiện 1 cuộc gọi quốc tế 31 phút, sau đó ông gặp sự cố bị ngắt kết nối nên ông phải thực hiện lại thêm 1 cuộc gọi quốc tế 12 phút nữa. Tổng số tiền cước ông An phải trả là bao nhiêu nghìn đồng?
Trả lời: 255
Gọi \(T\) là số tiền ông An phải trả khi gọi quốc tế \(t\) phút
Ta có \(T = \left\{ \begin{array}{l}6500t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;t \le 8\\8.6500 + \left( {t - 8} \right).6000\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;8 < t \le 15\\8.6500 + \left( {15 - 8} \right).6000 + \left( {t - 15} \right).5500\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;15 < t \le 25\\8.6500 + \left( {15 - 8} \right).6000 + \left( {25 - 15} \right).5500 + \left( {t - 25} \right).5000\;\;\;{\rm{khi}}\;t > 25\end{array} \right.\)
Hay \(T = \left\{ \begin{array}{l}6500t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;t \le 8\\6000t + 4000\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;8 < t \le 15\\5500t + 11500\;\;\;{\rm{khi}}\;15 < t \le 25\\5000t + 24000\;\;\;{\rm{khi}}\;t > 25\end{array} \right.\).
Số tiền ông An phải trả trong cuộc gọi đầu tiên là \(5000.31 + 24000 = 179000\)đồng.
Số tiền ông An phải trả trong cuộc gọi thứ hai là: \(6000.12 + 4000 = 76000\)đồng.
Tổng số tiền ông An phải trả là: \(179000 + 76000 = 255000\) đồng = 255 nghìn đồng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right)\), cho điểm \(M\left( {1; - 2} \right)\) và đường thẳng \(d:2x - 4y + 3 = 0\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và song song \(d\) có phương trình \(ax + by - 5 = 0\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Tính giá trị biểu thức \({a^2} + {b^2}\).
Trả lời: 5
Vì đường thẳng \(\Delta //d\) nên \(\Delta :2x - 4y + c = 0\left( {c \ne 3} \right)\).
Vì \(\Delta \) đi qua \(M\left( {1; - 2} \right)\) nên ta có \(2.1 - 4.\left( { - 2} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c = - 10\).
Do đó \(\Delta :2x - 4y - 10 = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 5 = 0\).
Suy ra \(a = 1;b = - 2\). Do đó \({a^2} + {b^2} = 5\).
Tìm tọa độ đỉnh của parabol \(y = {x^2} - 4x + 5\).
Hoành độ đỉnh của parabol là \(x = - \frac{{ - 4}}{{2.1}} = 2\).
Tung độ đỉnh của parabol là \(y = {2^2} - 4.2 + 5 = 1\).
Vậy tọa độ đỉnh của parabol là \(I\left( {2;1} \right)\).
Một đài quan sát \(O\) cách ba vị trí \(A,B,C\) như hình vẽ dưới đây thỏa mãn \(OB = x\;{\rm{km}}\), \(OC = x + 1\;{\rm{km}}\) và \(OA = 2\;{\rm{km}}\). Tìm \(x\) biết khoảng cách từ vị trí \(A\) đến vị trí \(C\) gấp đôi khoảng cách từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\) và khoảng cách từ \(O\) đến \(B\) ngắn hơn khoảng cách từ \(O\) đến \(A\).
Xét \(\Delta AOC\) có \(A{C^2} = O{A^2} + O{C^2} - 2.OA.OC.\cos 120^\circ = 4 + {\left( {x + 1} \right)^2} + 2.\left( {x + 1} \right) = {x^2} + 4x + 7\).
Suy ra \(AC = \sqrt {{x^2} + 4x + 7} \).
Xét \(\Delta ABO\) có \(AB = \sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = \sqrt {4 - {x^2}} \).
Vì \(AC = 2AB\) nên \(\sqrt {{x^2} + 4x + 7} = 2\sqrt {4 - {x^2}} \)
Bình phương 2 vế của phương trình trên ta được:
\({x^2} + 4x + 7 = 4\left( {4 - {x^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 5{x^2} + 4x - 9 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - \frac{9}{5}\).
Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = 1\) và \(x = - \frac{9}{5}\) đều là nghiệm của phương trình.
Vì \(x > 0\) nên \(x = 1\) thỏa mãn \(OB < OA\).
