Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5
21 câu hỏi
Cho tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right),\Delta < 0\). Tìm tất cả các giá trị của \(a\) để \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(a \le 0\).
\(a < 0\).
\(a > 0\).
\(a \ge 0\).
Đáp án đúng là: C
Để \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).
Cho bất phương trình \({x^2} - 25 \le 0\). Trong các giá trị sau giá trị nào là nghiệm của bất phương trình trên.
\(x = 5\).
\(x = 6\).
\(x = - 6\).
\(x = 7\).
Đáp án đúng là: A
Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào bất phương trình ta thấy \(x = 5\) là nghiệm của bất phương trình.
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {2x - 1} = \sqrt {3 - x} \) là
\(x = \frac{3}{4}\).
\(x = \frac{2}{3}\).
\(x = \frac{4}{3}\).
\(x = \frac{3}{2}\).
Đáp án đúng là: C
Thay các nghiệm \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = \frac{4}{3}\) là nghiệm.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a = 3\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \) là
\(\overrightarrow a = \left( {3;5} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( {3; - 5} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( { - 3;5} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( { - 5;3} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow a = \left( {3; - 5} \right)\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;3} \right),B\left( {2;7} \right)\). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là:
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 4;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( { - 3;2} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;4} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;4} \right)\).
Do đó một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\) là \(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;4} \right)\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến \(\Delta \) được tính bằng công thức:
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Đáp án đúng là: B
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), bán kính của đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 10x - 11 = 0\) là
\(R = 36\).
\(R = 6\).
\(R = 14\).
\(R = \sqrt {14} \).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({x^2} + {y^2} - 10x - 11 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 5} \right)^2} + {y^2} = 36\).
Suy ra bán kính của đường tròn là \(R = 6\).
Cho elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\). Gọi \(2c\) là tiêu cự của \(\left( E \right)\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\({c^2} = 12\).
\({c^2} = 16\).
\({c^2} = 20\).
\({c^2} = 4\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({a^2} = 16;{b^2} = 4\). Khi đó \(2c = 2\sqrt {16 - 4} = 4\sqrt 3 \Rightarrow c = 2\sqrt 3 \Rightarrow {c^2} = 12\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x + 2 < 0\) là
\(\left( {1;2} \right)\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({x^2} - 3x + 2 < 0\)\( \Leftrightarrow 1 < x < 2\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {1;2} \right)\).
Tính tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 4x - 1} = \sqrt {2{x^2} - 4x + 3} \).
\(2\).
\(1\).
\(0\).
\(3\).
Đáp án đúng là: C
Bình phương hai vế của phương trình ta được \(3{x^2} - 4x - 1 = 2{x^2} - 4x + 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 4\)\( \Leftrightarrow x = \pm 2\).
Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = \pm 2\) là nghiệm của phương trình.
Tổng các nghiệm của phương trình là 0.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( { - 1;0} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a + 2\overrightarrow b \) bằng
\(\left( {0;1} \right)\).
\(\left( {0; - 1} \right)\).
\(\left( {3; - 2} \right)\).
\(\left( {4; - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(2\overrightarrow b = \left( { - 2;0} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow a + 2\overrightarrow b = \left( {2 + \left( { - 2} \right); - 1 + 0} \right) = \left( {0; - 1} \right)\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:2x + 3y - 19 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.\) là
\(\left( {5;2} \right)\).
\(\left( { - 1;7} \right)\).
\(\left( {2;5} \right)\).
\(\left( {10;25} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\\2x + 3y - 19 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\\2\left( {22 + 2t} \right) + 3\left( {55 + 5t} \right) - 19 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\\t = - 10\end{array} \right.\).
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1};{d_2}\) là \(\left( {2;5} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau
a)\(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
b)\(f\left( x \right) < 0\) khi \(x \in \left( { - 2;\frac{1}{2}} \right)\).
c)\(f\left( {\frac{1}{3}} \right) > 0\).
d) \(f\left( { - 3} \right) < 0\).
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Dựa vào đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
b) \(f\left( x \right) < 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { - 2;\frac{1}{2}} \right)\).
c) Vì \(\frac{1}{3} \in \left( { - 2;\frac{1}{2}} \right)\) nên \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) < 0\).
d) Vì \( - 3 \notin \left( { - 2;\frac{1}{2}} \right)\) nên \(f\left( { - 3} \right) > 0\).
Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :x - 2y + 7 = 0\). Khi đó
a) \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{3}{{\sqrt 5 }}\).
b) Đường kính của đường tròn có độ dài bằng \(\frac{4}{{\sqrt 5 }}\).
c) Phương trình đường tròn là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{4}{5}\).
d) Đường tròn \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \) tại điểm có hoành độ lớn hơn 0.
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Ta có \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2.2 + 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
b) Đường kính của đường tròn bằng \(2d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\).
c) Phương trình của đường tròn là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{4}{5}\).
d) Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{4}{5}\\x - 2y + 7 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{4}{5}\\x = 2y - 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2y - 6} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{4}{5}\\x = 2y - 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{y^2} - 28y + \frac{{196}}{5} = 0\\x = 2y - 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{14}}{5}\\x = - \frac{7}{5}\end{array} \right.\).
Vậy đường tròn \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \) tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 0.
Tính tổng các nghiệm của phương trình \(\left( {\sqrt {x - 4} - 1} \right)\left( {{x^2} - 7x + 6} \right) = 0\).
Trả lời: 11
Điều kiện \(x \ge 4\).
Ta có \(\left( {\sqrt {x - 4} - 1} \right)\left( {{x^2} - 7x + 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 4} = 1\;\left( 1 \right)\\{x^2} - 7x + 6 = 0\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\).
+) Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được \(x - 4 = 1\)\( \Leftrightarrow x = 5\).
Thay \(x = 5\) vào phương trình (1) ta thấy thỏa mãn.
+) Giải (2).
Ta có \({x^2} - 7x + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 6\) hoặc \(x = 1\).
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {5;6} \right\}\).
Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là 11.
Cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\). Biết \(\left( P \right)\) có đường chuẩn \(\Delta \) song song và cách đường thẳng \(d:x = 2\) một khoảng bằng 5. Khi đó giá trị của p bằng bao nhiêu?
Trả lời: 6
Phương trình đường chuẩn có dạng \(x = - \frac{p}{2}\left( {p \ne - 4} \right)\).
Vì khoảng cách giữa đường chuẩn \(\Delta \) và đường thẳng \(d:x = 2\) bằng 5 nên \(d\left( {M,d} \right) = 5\) với \(M\left( { - \frac{p}{2};0} \right) \in \Delta \).
Ta có \(\frac{{\left| { - \frac{p}{2} - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 5\)\( \Leftrightarrow \left| { - \frac{p}{2} - 2} \right| = 5\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{p}{2} - 2 = 5\\ - \frac{p}{2} - 2 = - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}p = - 14\\p = 6\end{array} \right.\).
Vì \(p > 0\) nên \(p = 6\).
Lợi nhuận một tháng \(p\left( x \right)\) của một quán ăn phụ thuộc vào giá trị trung bình \(x\) của các món ăn theo công thức \(p\left( x \right) = - 30{x^2} + 2100x - 15000\), với đơn vị tính bằng nghìn đồng. Nếu muốn lợi nhuận không dưới 15 triệu đồng một tháng thì giá bán thấp nhất là bao nhiêu nghìn đồng.
Trả lời: 20
Theo đề ta có \(p\left( x \right) = - 30{x^2} + 2100x - 15000 \ge 15000\)\( \Leftrightarrow - 30{x^2} + 2100x - 30000 \ge 0\)\( \Leftrightarrow 20 \le x \le 50\).
Vậy để thu được lợi nhuận không dưới 15 triệu đồng thì giá bán thấp nhất là 20 nghìn đồng.
Chuyển động của vật thể\(M\) được thể hiện trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Vật thể \(M\) khởi hành từ điểm \(A\left( {5;3} \right)\) và chuyển động thẳng đều với vận tốc là \(\overrightarrow v \left( {1;2} \right)\). Hỏi khi vật thể \(M\)chuyển động được 5 giây thì vật thể \(M\) chuyển động được quãng đường dài bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Trả lời: 11,2
Vật thể \(M\) chuyển động trên một đường thẳng. Đường thẳng đó đi qua \(A\left( {5;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow v \left( {1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\).
Khi vật thể \(M\) chuyển động được 5 giây thì vật ở vị trí \(B\) có tọa độ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 5 = 10\\y = 3 + 2.5 = 13\end{array} \right.\).
Quãng đường vật thể \(M\) đi được là \(AB = \sqrt {{{\left( {10 - 5} \right)}^2} + {{\left( {13 - 3} \right)}^2}} = 5\sqrt 5 \approx 11,2\).
Tìm một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {1;1} \right)\) và \(B\left( {2;2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1} \right)\).
Đường thẳng \(AB\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Người ta muốn thiết kế một vườn hoa hình chữ nhật nội tiếp trong một mảnh đất hình tròn có đường kính bằng 50 m như hình bên dưới. Xác định chiều dài của vườn hoa hình chữ nhật để tổng quãng đường đi xung quanh vườn hoa đó là 140 m (đơn vị tính là m).
Đường chéo của hình chữ nhật chính là đường kính của hình tròn.
Gọi chiều dài của vườn hoa là \(x\left( {x > 0} \right)\).
Suy chiều rộng của vườn hoa là: \(\sqrt {{{50}^2} - {x^2}} \).
Theo đề ta có \(2\left( {x + \sqrt {{{50}^2} - {x^2}} } \right) = 140\)\( \Leftrightarrow x + \sqrt {2500 - {x^2}} = 70\)\( \Leftrightarrow \sqrt {2500 - {x^2}} = 70 - x\) (1).
Bình phương hai vế phương trình (1) ta được:
\(2500 - {x^2} = 4900 - 140x + {x^2}\)\( \Leftrightarrow 2400 - 140x + 2{x^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 40\\x = 30\end{array} \right.\).
Thử lại ta thấy hai giá trị này đều là nghiệm của phương trình.
Vì \(x\) là chiều dài của vườn hoa nên \(x = 40\).
Vậy chiều dài của vườn hoa là 40 m.
Một bánh xe đạp hình tròn khi gắn trên hệ trục tọa độ \(Oxy\) có phương trình \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 16\). Người ta thấy một hòn sỏi \(M\) bị kẹt trên bánh xe và một điểm \(A\) nằm trên đũa xe cùng với tâm của đường tròn tạo thành một tam giác cân tại \(A\) có diện tích bằng 4. Khi bánh xe quay tròn thì điểm \(A\) sẽ di chuyển trên một đường tròn có phương trình là gì?
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1; - 2} \right)\) và \(R = 4\).
Vì \(M\) nằm trên đường tròn nên \(IM = 4\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(IM\) \( \Rightarrow IH = \frac{1}{2}IM = 2\).
Tam giác \(AIM\) cân tại \(A\) nên \(AH \bot IM\). Suy ra \({S_{IAM}} = \frac{1}{2}AH.IM \Rightarrow IH = \frac{{4.2}}{4} = 2\).
Do đó ta có \(I{A^2} = I{H^2} + A{H^2} = {2^2} + {2^2} = 8 \Rightarrow IA = 2\sqrt 2 \).
Ta thấy điểm \(A\) cách điểm \(I\) một khoảng không đổi nên quỹ tích điểm \(A\) là đường tròn tâm \(I\) bán kính \(2\sqrt 2 \).
Do đó điểm \(A\) di chuyển trên đường tròn có phương trình là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8\).
