Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 9
24 câu hỏi
Biểu thức nào dưới đây là tam thức bậc hai?
\(f\left( x \right) = 3 - 4x - {x^2}\);
\(f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + \frac{1}{x} + 6\);
\(f\left( x \right) = {\left( {{x^2}} \right)^2} - 2{x^2} + 2\);
\(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + x + 1\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(f\left( x \right) = 3 - 4x - {x^2}\) là một tam thức bậc hai.
\(f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + \frac{1}{x} + 6\) không là tam thức bậc hai vì chứa ẩn ở mẫu.
\(f\left( x \right) = {\left( {{x^2}} \right)^2} - 2{x^2} + 2\) không là tam thức bậc hai vì có bậc là 4.
\(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + x + 1\) không là tam thức bậc hai vì có bậc là 3.
Khẳng định nào sau đây là đúng với tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 1\)?
\(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
\(f\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
\(f\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
\(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: D
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 1\) có \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 3.1 = - 2 < 0\) và \(a = 3 > 0\).
Do đó \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 2x + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Các giá trị của tham số \(m\) để tam thức \(f\left( x \right) = 2m{x^2} - 2mx - 1\) nhận giá trị âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) là
\(m \le - 2\) hoặc \(m > 0\);
\(m < - 2\) hoặc \(m \ge 0\);
\( - 2 < m \le 0\);
\( - 2 < m < 0\).
Đáp án đúng là: C
+ Nếu \(m = 0\), tam thức đã cho trở thành \(f\left( x \right) = - 1 < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Vậy giá trị \(m = 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Nếu \(m \ne 0\), tam thức đa cho là tam thức bậc hai. Do đó \(f\left( x \right)\) nhận giá trị âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{m^2} + 2m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\ - 2 < m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 < m < 0\).
Vậy tam thức \(f\left( x \right) = 2m{x^2} - 2mx - 1\) nhận giá trị âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \( - 2 < m \le 0\).
\(x = 0\) không phải là một nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
\(3{x^2} - x - 1 < 0\);
\({x^2} + x + 5 > 0\);
\({x^2} + 2x + 4 > 0\);
\(4{x^2} - x + 1 < 0\).
Đáp án đúng là: D
Thay \(x = 0\) vào các bất phương trình đã cho ta thấy bất phương trình ở đáp án D không thỏa mãn do \({4.0^2} - 0 + 1 = 1 > 0\) nên \(x = 0\) không là một nghiệm của bất phương trình \(4{x^2} - x + 1 < 0\).
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(2{x^2} - 3x - 15 \le 0\) là
5;
6;
7;
8.
Đáp án đúng là: B
Xét tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 15\) có hai nghiệm là \({x_1} = \frac{{3 - \sqrt {129} }}{4}\), \({x_2} = \frac{{3 + \sqrt {129} }}{4}\).
Mặt khác có hệ số \(a = 2 > 0\), do đó ta có bảng xét dấu sau:
\(x\) | \( - \infty \) \(\frac{{3 - \sqrt {129} }}{4}\) \(\frac{{3 + \sqrt {129} }}{4}\) \( + \infty \) |
\(f\left( x \right)\) | + 0 – 0 + |
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 15 \le 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left[ {\frac{{3 - \sqrt {129} }}{4};\,\,\frac{{3 + \sqrt {129} }}{4}} \right]\).
Do đó, bất phương trình đã cho có 6 nghiệm nguyên là – 2; – 1; 0; 1; 2; 3.
Khẳng định nào sau đây là đúng với phương trình \(\sqrt {11{x^2} - 64x + 97} = 3x - 11\)?
Phương trình vô nghiệm;
Phương trình có một nghiệm;
Tổng các nghiệm của phương trình là – 1;
Phương trình có hai nghiệm.
Đáp án đúng là: A
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {11{x^2} - 64x + 97} = 3x - 11\) ta được:
\(11{x^2} - 64x + 97 = 9{x^2} - 66x + 121\).
Thu gọn phương trình trên ta được: \({x^2} + x - 12 = 0\). Từ đó suy ra \(x = - 4\) hoặc \(x = 3\).
Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai đều không thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Giá trị nào là nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 12x - 14} = \sqrt {5{x^2} - 26x - 6} \)?
\(x = \frac{2}{3}\);
\(x = 4\);
Cả A và B đều đúng;
Cả A và B đều sai.
Đáp án đúng là: D
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 12x - 14} = \sqrt {5{x^2} - 26x - 6} \) ta được:
\(2{x^2} - 12x - 14 = 5{x^2} - 26x - 6\).
Thu gọn phương trình trên ta được: \(3{x^2} - 14x + 8 = 0\). Từ đó suy ra \(x = \frac{2}{3}\) hoặc \(x = 4\).
Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều không thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho vectơ \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow i - \frac{3}{2}\overrightarrow j \). Tọa độ vectơ \(\overrightarrow u \) là
\(\left( {2;\,\,\frac{3}{2}} \right)\);
\[\left( {2;\,\, - \frac{2}{3}} \right)\];
\(\left( {2;\,\, - \frac{3}{2}} \right)\);
\(\left( { - 2;\,\,\frac{3}{2}} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow i - \frac{3}{2}\overrightarrow j \).
Khi đó, tọa độ vectơ \(\overrightarrow u \) là \(\left( {2;\,\, - \frac{3}{2}} \right)\).
Vectơ nào sau đây cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 3;\,\,7} \right)\)?
\(\overrightarrow v = \left( {1;\,\, - 2} \right)\);
\(\overrightarrow a = \left( {1;\, - \frac{7}{3}} \right)\);
\(\overrightarrow b = \left( {3;\,\,7} \right)\);
\(\overrightarrow c = \left( { - 3;\,\, - 7} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \( - 3\overrightarrow a = - 3\left( {1;\,\, - \frac{7}{3}} \right) = \left( { - 3;\,7} \right) = \overrightarrow u \).
Do đó, vectơ \(\overrightarrow a \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho hai vectơ \(\overrightarrow m = \left( {2;\,\, - 4} \right),\,\,\overrightarrow n = \left( { - 5;\,\,3} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow m - \overrightarrow n \) là
\(\left( {7;\,\, - 7} \right)\);
\(\left( {9;\,\, - 11} \right)\);
\(\left( {9;\, - 5} \right)\);
\(\left( { - 1;\,\,5} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow m - \overrightarrow n = 2\left( {2;\,\, - 4} \right) - \left( { - 5;\,\,3} \right) = \left( {9;\,\, - 11} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A\left( {2; - 3} \right)\), \(B\left( {4;5} \right)\) và \(G\left( {0; - \frac{{13}}{3}} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ADC\). Tọa độ đỉnh \(D\) là
\(D\left( {2;\,\,1} \right)\);
\(D\left( { - 1;\,\,2} \right)\);
\(D\left( { - 2;\, - 9} \right)\);
\(D\left( {2;\,\,9} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Cách 1: Gọi \(D\left( {a;\;b} \right)\). Vì \(G\left( {0; - \frac{{13}}{3}} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ADC\) nên
\(\overrightarrow {BD} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BG} \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}a - 4 = \frac{3}{2} \cdot \left( {0 - 4} \right)\\b - 5 = \frac{3}{2} \cdot \left( {\frac{{ - 13}}{3} - 5} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 9\end{array} \right.\)\( \Rightarrow D\left( { - 2;\; - 9} \right)\).
Cách 2: Gọi \(I\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) suy ra \(I\) là trung điểm \(BG\)\( \Rightarrow I\left( {2;\;\frac{1}{3}} \right)\).
Lại có \(G\left( {0; - \frac{{13}}{3}} \right)\) là trung điểm \(DI\) nên suy ra \(D\left( { - 2;\; - 9} \right)\).
Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {4;\,\, - 6} \right)\). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) có tọa độ là
\[\left( {6;\,\, - 4} \right)\];
\(\left( {4;\,\,6} \right)\);
\(\left( { - 6;\,\,4} \right)\);
\(\left( {3;\,2} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {4;\,\, - 6} \right)\).
Do đó, nó nhận \(\overrightarrow u = \left( {6;\,\,4} \right)\) hoặc \(\overrightarrow {u'} = \frac{1}{3}\overrightarrow u = \frac{1}{2}\left( {6;\,\,4} \right) = \left( {3;\,\,2} \right)\) là vectơ chỉ phương.
Phương trình nào sau đây không phải phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {3;\, - 7} \right)\) và \(B\left( {1;\, - 4} \right)\)?
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = - 7 + 3t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 3t\\y = 3 - 7t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 7 - 3t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = - 4 + 3t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,\,3} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\).
Phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = - 7 + 3t\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = - 4 + 3t\end{array} \right.\).
Ngoài ra đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow u = - \overrightarrow {AB} = \left( {2;\,\, - 3} \right)\) là một vectơ chỉ phương nên ta có phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 7 - 3t\end{array} \right.\).
Cho hai đường thẳng \({d_1}:2x + 3y - 19 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.\). Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho là
\(\left( {10;\,2\,5} \right)\);
\(\left( { - 1;\,\,7} \right)\);
\(\left( {2;\,\,5} \right)\);
\(\left( {5;\,\,2} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Thay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.\) vào phương trình đường thẳng \({d_1}\) ta được:
\(2\left( {22 + 2t} \right) + 3\left( {55 + 5t} \right) - 19 = 0\)
\( \Leftrightarrow 19t = - 190 \Leftrightarrow t = - 10\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t = 22 + 2.\left( { - 10} \right) = 2\\y = 55 + 5t = 55 + 5.\left( { - 10} \right) = 5\end{array} \right.\).
Vậy tọa độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\) là \(\left( {2;\,\,5} \right)\).
Với giá trị nào của \(m\) thì hai đường thẳng \({d_1}:2x - 3y + 19 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 4 - 4mt\end{array} \right.\) vuông góc với nhau?
\(m = - \frac{9}{8}\);
\(m = \frac{9}{8}\);
\(m = \frac{1}{2}\);
\(m = - \frac{5}{4}\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \({d_1}:2x - 3y + 19 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\, - 3} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 4 - 4mt\end{array} \right.\) chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 3;\,\, - 4m} \right)\), nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4m;\,\, - 3} \right)\).
Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\)
\( \Leftrightarrow 2.4m + \left( { - 3} \right).\left( { - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 8m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{9}{8}\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 4 = 0\). Bán kính của đường tròn là
\(R = 9\);
\(R = 2\);
\(R = 4\);
\(R = 3\).
Đáp án đúng là : D
Ta có: \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) = 9\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {3^2}\).
Đường tròn đã cho có tâm \(I\left( { - 1;\,\,2} \right)\) và bán kính \(R = 3\).
Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {8;\,\, - 2} \right)\) và bán kính \(R = 7\) là
\({\left( {x + 8} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 49\);
\({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 49\);
\({\left( {x + 8} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 7\);
\({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 7\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {8;\,\, - 2} \right)\) và bán kính \(R = 7\) là
\({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - \left( { - 2} \right)} \right)^2} = {7^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 49\).
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {0;\,\, - 3} \right)\) của đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 9 = 0\) là
\(x + 3 = 0\);
\(y + 3 = 0\);
\(x - 3 = 0\);
\(y - 3 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 9 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {3^2}\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\).
Lại có: \({0^2} + {\left( { - 3} \right)^2} - 9 = 0\)\( \Rightarrow M\left( {0;\, - 3} \right) \in \left( C \right)\).
Do đó, tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {0;\,\, - 3} \right)\) nhận \(\overrightarrow {OM} = \left( {0;\,\, - 3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên nó có phương trình là \(0\left( {x - 0} \right) - 3\left( {y + 3} \right) = 0\) hay \(y + 3 = 0\).
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của hypebol?
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\);
\({y^2} = 5x\);
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = - 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
Đáp án đúng là: D
Phương trình \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) là phương trình chính tắc của hypebol do nó có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\left( {a,\,\,b > 0} \right)\) với \(a = 3,\,\,b = 4\).
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của elip?
\(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{4} = - 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\);
\[\frac{{{x^2}}}{1} + \frac{{{y^2}}}{6} = 1\].
Đáp án đúng là: C
Phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) là phương trình chính tắc của elip do nó có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\left( {a > \,\,b > 0} \right)\) với \(a = 4,\,\,b = 2\).
Phương trình đường chuẩn của parabol \({y^2} = 6x\) là
\(x = \frac{{ - 3}}{2}\);
\(x = \frac{3}{2}\);
\(x = 3\);
\(x = - 3\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({y^2} = 6x \Rightarrow p = 3\).
Vậy parabol đã cho có phương trình đường chuẩn là \(x = - \frac{p}{2} = - \frac{3}{2}\).
Viết phương trình đường thẳng đi qua \[M\left( { - 2; - 4} \right)\] và cắt trục \[Ox,\,\,Oy\] lần lượt tại \[A,\,\,B\] sao cho \[\Delta OAB\] là tam giác vuông cân.
Giả sử \[A\left( {a;0} \right),\,\,B\left( {0;b} \right)\]
Vì \[OA = OB\] nên \[\left| a \right| = \left| b \right| \Leftrightarrow a = \pm b\]
Phương trình \[AB:\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\]
Vì \[M\left( { - 2; - 4} \right) \in AB\] nên \[ - \frac{2}{a} - \frac{4}{b} = 1 & \left( * \right)\]
Nếu \[a = b\] thì \[\left( * \right) \Leftrightarrow - \frac{6}{a} = 1 \Rightarrow a = b = - 6\]
Vậy phương trình \[AB:\frac{x}{{ - 6}} + \frac{y}{{ - 6}} = 1 \Leftrightarrow x + y + 6 = 0\]
Nếu \[a = - b\] thì \[\left( * \right) \Leftrightarrow - \frac{2}{a} + \frac{4}{a} = 1 \Rightarrow \frac{2}{a} = 1 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow b = - 2\]
Vậy phương trình \[AB:\frac{x}{2} - \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x - y - 2 = 0\].
Vị trí của một chất điểm \(M\) tại thời điểm \(t\) (\(t\) trong khoảng thời gian từ 0 phút đến 180 phút) có toạ độ là \(\left( {3 + 5\sin t^\circ ;\,4 + 5\cos t^\circ } \right)\). Tìm toạ độ của chất điểm \(M\) khi \(M\) ở cách xa gốc toạ độ nhất.
Từ cách xác định toạ độ của chất điểm \(M\) ta có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} = 3 + 5\sin t^\circ }\\{{y_M} = 4 + 5\cos t^\circ }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} - 3 = 5\sin t^\circ }\\{{y_M} - 4 = 5\cos t^\circ }\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 4} \right)^2} = {\left( {5\sin t^\circ } \right)^2} + {\left( {5\cos t^\circ } \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 4} \right)^2} = 25{\left( {\sin t^\circ } \right)^2} + 25{\left( {\cos t^\circ } \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 4} \right)^2} = 25\left( {{{\sin }^2}t^\circ + {{\cos }^2}t^\circ } \right)\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 4} \right)^2} = 25.1\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 4} \right)^2} = {5^2}\)
Vậy chất điểm \(M\) luôn thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3;\,\,4} \right)\) và có bán kính \(R = 5\). Mặt khác gốc toạ độ \(O\left( {0;\,0} \right)\) cũng thuộc đường tròn \(\left( C \right)\).
Do đó ta có: \(OM \le 2R = 10\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(OM\) là đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\), nghĩa là \(I\) là trung điểm của \(OM\), điều đó tương đương với
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} = 2{x_I} - {x_O} = 6}\\{{y_M} = 2{y_I} - {y_O} = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 + 5\sin t^\circ = 6}\\{4 + 5\cos t^\circ = 8}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin t^\circ = \frac{3}{5}}\\{\cos t^\circ = \frac{4}{5}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t \approx 37\) (thỏa mãn \(t \in \left( {0;\,\,180} \right)\)).
Vậy \(M\left( {6;\,\,8} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Cho \[a,\,\,b,\,\,c\] là độ dài ba cạnh của một tam giác và \[x,y,z\] thỏa mãn: \({a^2}x + {b^2}y + {c^2}z = 0\).Chứng minh rằng: \(xy + yz + zx \le 0\).
* Nếu trong ba số \[x,y,z\] có một số bằng 0, chẳng hạn \(x = 0\)\( \Rightarrow {b^2}y = - {c^2}z\).
\( \Rightarrow xy + yz + zx = yz = - \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}}{z^2} \le 0\).
* Nếu \(x,y,z \ne 0\). Do \({a^2}x + {b^2}y + {c^2}z = 0\)\( \Rightarrow x = - \frac{{{b^2}y + {c^2}z}}{{{a^2}}}\)
\( \Rightarrow xy + yz + zx \le 0\) \( \Leftrightarrow - \left( {y + z} \right)\frac{{{b^2}y + {c^2}z}}{{{a^2}}} + yz \le 0\)
\( \Leftrightarrow {b^2}{y^2} + \left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)yz + {c^2}{z^2} \ge 0\).
Xét tam thức bậc hai \(f\left( y \right) = {b^2}{y^2} + \left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)yz + {c^2}{z^2}\) (do \(b\) là độ dài cạnh tam giác nên \(b \ne 0\)) có \({\Delta _y} = \left[ {{{\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}^2} - 4{b^2}{c^2}} \right]{z^2}\).
Theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {b - c} \right| < a\\b + c > a\end{array} \right. \Rightarrow - 2bc < {b^2} + {c^2} - {a^2} < 2bc\).
Do đó, \({\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)^2} < 4{c^2}{b^2}\)\( \Rightarrow {\Delta _y} \le 0,{\rm{ }}\forall z \Rightarrow f\left( y \right) \ge 0{\rm{ }}\forall y,z\).
