Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 10
24 câu hỏi
Biểu thức nào dưới đây không là tam thức bậc hai?
\(f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 4 - 3{x^2}\);
\(f\left( x \right) = {x^2} + x + 6\);
\(f\left( x \right) = {x^2} - 2{x^2} + 2\);
\(f\left( x \right) = {3^2}{x^2} + 3x + 1\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 4 - 3{x^2} = \left( {3{x^2} - 3{x^2}} \right) - 4x + 4 = - 4x + 4\) không là một tam thức bậc hai.
Khẳng định nào sau đây là đúng với tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\)?
\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1\);
\(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;\,1} \right)\);
\(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {0;\,\,1} \right)\);
\(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;\, + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(f\left( x \right) = {x^2} + 1 \ge 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Vậy \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;\, + \infty } \right)\).
Tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3\) nhận giá trị dương khi và chỉ khi
\(x < - 3\) hoặc \(x > - 1\);
\(x < - 1\) hoặc \(x > 3\);
\(x < - 2\) hoặc \(x > 6\);
\( - 1 < x < 3\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 3\end{array} \right.\).
Bất phương trình nào dưới đây là bất phương trình bậc hai một ẩn?
\( - 3{x^2} + {x^3} - 1 > 0\);
\({\left( {{x^2}} \right)^2} - 1 < 0\);
\({2^3}{x^2} + x - 1 < 0\);
\({2^2}{x^5} - 1 > 0\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({2^3}{x^2} + x - 1 < 0 \Leftrightarrow 8{x^2} + x - 1 < 0\), đây là bất phương trình bậc hai một ẩn.
Số nghiệm nguyên dương của bất phương trình \( - 2{x^2} - 3x + 2 > 0\) là
2;
0;
1;
3.
Đáp án đúng là: B
Xét tam thức \(f\left( x \right) = - 2{x^2} - 3x + 2\) có hai nghiệm là \({x_1} = - 2\), \({x_2} = \frac{1}{2}\).
Mặt khác có hệ số \(a = - 2 < 0\), do đó ta có bảng xét dấu sau:
\(x\) | \( - \infty \) \( - 2\) \(\frac{1}{2}\) \( + \infty \) |
\(f\left( x \right)\) | – 0 + 0 – |
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(f\left( x \right) = - 2{x^2} - 3x + 2 > 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { - 2;\,\,\frac{1}{2}} \right)\).
Do \(\frac{1}{2} < 1\) nên bất phương trình đã cho có không có nghiệm nguyên dương nào.
Khẳng định nào sau đây là đúng với phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 9x + 7} = x - 2\)?
Phương trình vô nghiệm;
Phương trình có một nghiệm;
Tổng các nghiệm của phương trình là \(\frac{5}{2}\);
Phương trình có hai nghiệm.
Đáp án đúng là: A
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 9x + 7} = x - 2\) ta được:
\(3{x^2} - 9x + 7 = {x^2} - 4x + 4\).
Thu gọn phương trình trên ta được: \(2{x^2} - 5x + 3 = 0\). Từ đó suy ra \(x = 1\) hoặc \(x = \frac{3}{2}\).
Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai đều không thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Tổng các bình phương các nghiệm của phương trình \[\sqrt { - {x^2} + 2x + 3} = \sqrt {{x^2} - 4x + 3} \] bằng
0;
4;
Không tồn tại;
9.
Đáp án đúng là: D
Bình phương hai vế của phương trình \[\sqrt { - {x^2} + 2x + 3} = \sqrt {{x^2} - 4x + 3} \] ta được:
\( - {x^2} + 2x + 3 = {x^2} - 4x + 3\).
Thu gọn phương trình trên ta được: \(2{x^2} - 6x = 0\). Từ đó suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 3\).
Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là \(S = \{0;\,1,3\}\). Khi đó ta có: \({0^2} + {3^2} = 9\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho vectơ \(\overrightarrow u = - 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow i \), tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là
\(\left( { - 3;2} \right)\);
\(\left( { - 3; - 2} \right)\);
\(\left( {3;2} \right)\);
\(\left( {3; - 2} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho vectơ \(\overrightarrow u = - 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow i = \left( { - 3} \right)\overrightarrow i + \left( { - 2} \right)\overrightarrow j \).
Vậy tọa độ của \(\overrightarrow u = \left( { - 3; - 2} \right)\).
Cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( { - 1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow c = \left( { - 1;2} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(\overrightarrow a = \overrightarrow c \);
\(\overrightarrow a = \overrightarrow b \);
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow c \) ngược hướng;
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow c \) cùng hướng.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow c = \left( { - 1;2} \right)\).
Do đó, \(\overrightarrow a = - \overrightarrow c \).
Vậy \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow c \) ngược hướng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho bốn điểm \(A\left( {3;\,\,1} \right),\,B\left( {2;\,2} \right)\), \(C\left( {1;\,\,16} \right)\), \(D\left( {1;\,\, - 6} \right)\). Điểm \(G\left( {2;\,\, - 1} \right)\) là trọng tâm của tam giác nào sau đây?
\(\Delta ABD\);
\(\Delta ABC\);
\(\Delta ACD\);
\(\Delta BCD\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_D}}}{3} = \frac{{3 + 2 + 1}}{3} = 2 = {x_G}\\\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_D}}}{3} = \frac{{1 + 2 + \left( { - 6} \right)}}{3} = - 1 = {y_G}\end{array} \right.\).
Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABD\).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2m - 1;\,\,4} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {3;\,7} \right)\). Giá trị của \(m\) để \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \) là
\(\frac{{25}}{6}\);
\(\frac{{ - 25}}{6}\);
0;
2.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = \left( {2m - 1} \right) \cdot 3 + 4 \cdot 7 = 6m - 3 + 28 = 6m + 25\)
Để \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \) thì \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 6m + 25 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 25}}{6}\).
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( { - 2;\, - 6} \right)\) và \(B\left( { - 9;\,2} \right)\) là
\(8x - 7y + 58 = 0\) ;
\(8x + 7y + 58 = 0\);
\( - 7x + 8y + 34 = 0\);
\( - 7x + 8y = 0\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 7;\,\,8} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\), do đó \(AB\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {8;\,\,7} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(8\left( {x + 2} \right) + 7\left( {y + 6} \right) = 0\) hay \(8x + 7y + 58 = 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:5x + 2y - 4 = 0\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = 2 - 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 3 - 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 - 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 4 + 5t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(d:5x + 2y - 4 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {5;\,\,2} \right)\), nên nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 5} \right)\). Các vectơ chỉ phương của đường thẳng này đều có dạng \(k\overrightarrow u \), nên ta loại đáp án A và D.
Lại có \(A\left( {2;\,\,3} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 - 5t\end{array} \right.\) nhưng không thuộc đường thẳng \(d\) nên loại đáp án C.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;\,\, - 5} \right)\) đến đường thẳng \(d:x - 2y + 9 = 0\) là
4;
\(4\sqrt 5 \);
0;
\(\frac{{10\sqrt {26} }}{{13}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(d\left( {A,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {1 - 2.\left( { - 5} \right) + 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt 5 }} = 4\sqrt 5 \).
Gọi \(\varphi \) là góc tạo bởi hai đường thẳng \({d_1}:2x + y - 1 = 0\) và \({d_2}:x - 2 = 1 - y\). Giá trị của biểu thức \(A = \sin \varphi + \cos \varphi \) là
\(\frac{1}{{\sqrt {10} }}\);
\(\frac{2}{{\sqrt {10} }}\);
\(\frac{3}{{\sqrt {10} }}\);
\(\frac{4}{{\sqrt {10} }}\).
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \({d_1}:2x + y - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,\,1} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}:x - 2 = 1 - y \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\,\,1} \right)\).
Ta có: \(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).
Lại có \({\sin ^2}\varphi + {\cos ^2}\varphi = 1 \Rightarrow \sin \varphi = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\varphi } = \sqrt {1 - \frac{9}{{10}}} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\,\,\,\)(do \(\varphi \) là góc nhọn).
Vậy \(A = \sin \varphi + \cos \varphi = \frac{3}{{\sqrt {10} }} + \frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x - 6y - 3 = 0\). Khi đó tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn là
\(I\left( {4;\, - 6} \right),\,\,R = 4\);
\(I\left( { - 2;\,3} \right),\,\,R = 16\);
\(I\left( { - 4;\,6} \right),\,\,R = 4\);
\(I\left( { - 2;\,3} \right),\,\,R = 4\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x - 6y - 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2.\left( { - 2} \right)x - 2.3y - 3 = 0\).
Đường tròn đã cho có tâm \(I\left( { - 2;\,\,3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2} - \left( { - 3} \right)} = \sqrt {16} = 4\).
Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {3;\,\, - 5} \right)\) và bán kính \(R = 4\) là
\({x^2} + {y^2} + 6x + 10y + 18 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 6x + 10y + 18 = 0\);
\({x^2} + {y^2} + 6x + 10y - 18 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 6x - 10y + 18 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {8;\,\, - 2} \right)\) và bán kính \(R = 7\) là
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = {4^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 6x + 10y + 18 = 0\).
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) của đường tròn \(\left( C \right):2{x^2} + 2{y^2} - 3x + 7y + 1 = 0\) là
\(x + 7y - 1 = 0\);
\(x - 7y - 1 = 0\);
\(\frac{1}{4}x - \frac{7}{4}y - 1 = 0\);
\(x - 7y = 0\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\left( C \right):2{x^2} + 2{y^2} - 3x + 7y + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2.\frac{3}{4}x - 2.\left( { - \frac{7}{4}} \right) + \frac{1}{2} = 0\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \[I\left( {\frac{3}{4};\,\, - \frac{7}{4}} \right)\].
Lại có: \({2.1^2} + {2.0^2} - 3.1 + 7.0 + 1 = 0\)\( \Rightarrow M\left( {1;\,0} \right) \in \left( C \right)\).
Do đó, tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( {\frac{1}{4};\,\,\frac{7}{4}} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên nó có phương trình là \(\frac{1}{4}\left( {x - 1} \right) - \frac{7}{4}\left( {y - 0} \right) = 0\) hay \(x - 7y - 1 = 0\).
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol?
\({y^2} = - 2x\);
\({y^2} = \frac{1}{{ - \sqrt 2 }}x\);
\({y^2} = \left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)x\);
\({y^2} = 5x\).
Đáp án đúng là: D
Parabol \(\left( P \right)\) có phương trình chính tắc là \({y^2} = 2px\,\,\,\left( {p > 0} \right)\).
Với điều kiện \(p > 0\) thì đáp án A; B; C sai và đáp án D: \({y^2} = 5x\) có \(p = \frac{5}{2} > 0\).
Do đó \({y^2} = 5x\) là phương trình chính tắc của parabol.
Cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\) và điểm \(M \in \left( E \right)\). Tính \(M{F_1} + M{F_2}\) được kết quả là
16;
8;
24;
32.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1 \Rightarrow a = 4\).
Vậy \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 4 = 8\).
Điểm nào sau đây thuộc hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)?
\(A\left( {0;\,3} \right)\);
\(B\left( {2;\,1} \right)\);
\(C\left( {5;\,\,0} \right)\);
\(D\left( {8;\,\,4} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Thay lần lượt toạ độ các điểm \(A,\,B,\,\,C,D\) vào phương trình hypebol ta thấy:
Điểm \(C\) thuộc hypebol vì \(\frac{{{5^2}}}{{25}} - \frac{{{0^2}}}{9} = 1\).
Cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\). Qua một tiêu điểm của \(\left( E \right)\) dựng đường thẳng song song với trục \(Oy\) và cắt \(\left( E \right)\) tại hai điểm \(M\) và \(N\). Tính độ dài \(MN\).
Xét \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 100\\{b^2} = 36\end{array} \right. \Leftrightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 100 - 36 = 64 \Rightarrow c = 8.\)
Khi đó, elip có tiêu điểm là \[{F_1}\left( { - \,8;0} \right)\]\[ \Rightarrow \] đường thẳng \[d\,\,{\rm{//}}\,\,Oy\] và đi qua \[{F_1}\] có phương trình là \[x = - \,8.\]
Giao điểm của \[d\] và \[\left( E \right)\] là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x = - \,8\\\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \,8\\y = \pm \,\frac{{18}}{5}\end{array} \right..\]
Vậy tọa độ hai điểm \[M\left( { - \,8;\frac{{18}}{5}} \right),\,\,N\left( { - \,8; - \,\frac{{18}}{5}} \right) \Rightarrow MN = \frac{{36}}{5}\].
Cho \(a\) và \(b\) là các số thực thỏa mãn \(9{a^2} + 8ab + 7{b^2} \le 6\). Chứng minh rằng \(7a + 5b + 12ab \le 9\).
Xét tam thức bậc hai \(f\left( a \right) = 9{a^2} - \left( {4b + 7} \right)a + 7{b^2} - 5b + 3\) với \(b\) là tham số
Ta có \({\Delta _f} = {\left( {4b + 7} \right)^2} - 36\left( {7{b^2} - 5b + 3} \right) = - 59{\left( {2b - 1} \right)^2} \le 0\) với mọi \(b\).
Suy ra \(f\left( a \right) \ge 0 \Leftrightarrow 9{a^2} - \left( {4b + 7} \right)a + 7{b^2} - 5b + 3 \ge 0\)
\( \Leftrightarrow 7a + 5b + 12ab - 9 \le 9{a^2} + 8ab + 7{b^2} - 6\)
Theo giả thiết ta có \(9{a^2} + 8ab + 7{b^2} \le 6\) nên \(7a + 5b + 12ab \le 9\) (đpcm).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = \frac{4}{5}\) và hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - y = 0,{\Delta _2}:x - 7y = 0\). Xác định tọa độ tâm \(K\) đường tròn \(\left( {C'} \right)\) tiếp xúc với các đường thẳng \({\Delta _1},\,{\Delta _2}\) và tâm \(K\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\).
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x - 7y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.\).
Do đó, \({\Delta _1} \cap {\Delta _2} = O\left( {0;0} \right)\). Gọi \(A,\,\,B\) lần lượt là hai tiếp điểm của \(\left( {C'} \right)\) với \({\Delta _1},{\Delta _2}.\)
Ta có tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) và \(K\) thuộc đường phân giác của \(\widehat {AOB}\).
Mặt khác, ta chứng minh được phương trình đường phân giác của \(\widehat {AOB}\) là:
\(\frac{{x - y}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \pm \frac{{x - 7y}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + y = 0\\x - 2y = 0\end{array} \right.\) .
Vì \(K \in \left( C \right)\) nên tọa độ điểm \(K\) là nghiệm của các hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = \frac{4}{5}\end{array} \right.\,\,\) (Vô nghiệm) và \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = \frac{4}{5}\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.\).
Vậy \(K\left( {\frac{8}{5};\,\frac{4}{5}} \right).\)
