Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 8
24 câu hỏi
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5\) có tổng các hệ số là
– 2;
8;
– 3 ;
7.
Đáp án đúng là: A
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5\) có các hệ số \(a = 1,\,\,b = 2,\,c = - 5\).
Ta có: \(a + b + c = 1 + 2 + \left( { - 5} \right) = - 2\).
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), \(\left( {a \ne 0} \right)\) và \(\Delta = {b^2} - 4ac\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Nếu \(\Delta > 0\) thì \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f\left( x \right)\) luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(b\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
Nếu \(\Delta = 0\) thì \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{b}{{2a}}} \right\}\).
Đáp án đúng là: D
Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai với tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), \(\left( {a \ne 0} \right)\), nếu \(\Delta = {b^2} - 4ac = 0\) thì \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{b}{{2a}}} \right\}\).
Tổng các giá trị nguyên của \(x\) để tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9\) nhận giá trị âm là
8;
9;
10;
11.
Đáp án đúng là: C
Xét tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9\) có \(\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.2.\left( { - 9} \right) = 121 > 0\) nên tam thức này có hai nghiệm \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = \frac{9}{2}\).
Mặt khác có hệ số \(a = 2 > 0\) nên ta có bảng xét dấu sau:
\(x\) | \( - \infty \) – 1 \(\frac{9}{2}\) \( + \infty \) |
\(f\left( x \right)\) | + 0 – 0 + |
Từ bảng xét dấu ta thấy \(f\left( x \right)\) nhận giá trị âm khi \(x \in \left( { - 1;\,\,\frac{9}{2}} \right)\).
Các giá trị nguyên trong khoảng \(\left( { - 1;\,\,\frac{9}{2}} \right)\) là 0; 1; 2; 3; 4.
Ta có: \(0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10\).
Bất phương trình nào dưới đây không phải là bất phương trình bậc hai một ẩn?
\({x^2} + 2x - 2 > 0\);
\({3^3}{x^2} - 4x + 2 < 0\);
\({2^2}{x^3} + 2{x^2} - 5 \le 0\);
\(3{x^2} - 1 \ge 0\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \({2^2}{x^3} + 2{x^2} - 5 \le 0 \Leftrightarrow 4{x^3} + 2{x^2} - 5 \le 0\), đây không phải là bất phương trình bậc hai một ẩn do ẩn \(x\) có bậc là ba.
Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - x - 6 \le 0\) là
\[S = \left( { - \infty ;\,\, - 3} \right) \cup \left( {2;\,\, + \infty } \right)\];
\(S = \left[ { - 2;\,\,3} \right]\);
\(S = \left[ { - 3;\,\,2} \right]\);
\(S = \left( { - 2;\,\,3} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 6\) có hai nghiệm là \({x_1} = - 2\), \({x_2} = 3\).
Mặt khác có hệ số \(a = 1 > 0\), do đó ta có bảng xét dấu sau:
\(x\) | \( - \infty \) – 2 3 \( + \infty \) |
\(f\left( x \right)\) | + 0 – 0 + |
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(f\left( x \right) = {x^2} - x - 6 \le 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left[ { - 2;\,\,3} \right]\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left[ { - 2;\,\,3} \right]\).
Phương trình \(\sqrt {57x + 31{x^2} + 2} = 5x + 4\) có số nghiệm nguyên là
0;
1;
2;
4.
Đáp án đúng là: A
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {57x + 31{x^2} + 2} = 5x + 4\) ta được:
\(57x + 31{x^2} + 2 = 25{x^2} + 40x + 16\).
Thu gọn phương trình trên ta được: \(6{x^2} + 17x - 14 = 0\).
Từ đó suy ra \(x = - \frac{7}{2}\) hoặc \(x = \frac{2}{3}\).
Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có \(x = \frac{2}{3}\) thỏa mãn.
Do đó, tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{2}{3}} \right\}\). Mà \(\frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}\). Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Phương trình \(\sqrt {5{x^2} - 28x - 29} = \sqrt {{x^2} - 5x + 6} \) có tập nghiệm là
\(S = \left\{ { - \frac{5}{4}} \right\}\);
\(S = \left\{ { - \frac{5}{4};\,\,7} \right\}\);
\(S = \left\{ {\,7} \right\}\);
\(S = \left\{ {\frac{5}{4};\,\, - 7} \right\}\).
Đáp án đúng là: B
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {5{x^2} - 28x - 29} = \sqrt {{x^2} - 5x + 6} \) ta được:
\(5{x^2} - 28x - 29 = {x^2} - 5x + 6\).
Thu gọn phương trình trên ta được: \(4{x^2} - 23x - 35 = 0\).
Từ đó suy ra \(x = - \frac{5}{4}\) hoặc \(x = 7\).
Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - \frac{5}{4};\,\,7} \right\}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {3;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( { - 2;\,5} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng
\(\sqrt {61} \);
\[\sqrt {17} \];
\(\sqrt {41} \);
\(2\sqrt 5 \).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(AB = \sqrt {{{\left( { - 2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {5 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {61} \).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho vectơ \(\overrightarrow a = - 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là
\(\left( { - 1;\,\,2} \right)\);
\(\left( { - 2;4} \right)\);
\(\left( {2;\,4} \right)\);
\(\left( { - 2; - 4} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta có vectơ \(\overrightarrow a = - 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \). Vậy \(\overrightarrow a = \left( { - 2;\,\,4} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho các vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;\,\, - 3} \right),\,\,\overrightarrow v = \left( { - 2;\,\,5} \right)\). Gọi \(\overrightarrow m = \left( {a;\,\,b} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow m = 3\overrightarrow u - 2\overrightarrow v \). Khi đó \(S = {a^2} + {b^2}\) bằng
2;
140;
410;
144.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow m = 3\overrightarrow u - 2\overrightarrow v = 3\left( {1;\,\, - 3} \right) - 2\left( { - 2;\,\,5} \right) = \left( {7;\,\, - 19} \right)\).
Suy ra \(a = 7,\,\,b = - 19\). Khi đó \(S = {a^2} + {b^2} = {7^2} + {\left( { - 19} \right)^2} = 410\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho các điểm \(M\left( {5;\,\,3} \right),N\left( {x;\,\,y} \right),P\left( {x - 4;y + 1} \right).\) Xác định \(x,\,y\) để \(P\) là trung điểm của \(MN\).
\(x = 1;\,\,y = 13\);
\(x = 13;\,y = 1\);
\(x = - 13;\,y = 1\);
\(x = - 1;\,y = 13\).
Đáp án đúng là: B
\(P\) là trung điểm của \(MN\) khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{5 + x}}{2} = x - 4\\\frac{{3 + y}}{2} = y + 1\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 + x = 2x - 8\\3 + y = 2y + 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 13\\y = 1\end{array} \right.\).
Vậy \(x = 13;\,\,y = 1\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x + 2y - 6 = 0\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\) ;
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(d:x + 2y - 6 = 0\) nên đường thẳng này có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;\,\,2} \right)\). Do đó đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 1} \right)\).
Lại có điểm \(A\left( {0;\,\,3} \right) \in d\). Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\).
Cho hai đường thẳng \({d_1}:2x + 3y - 19 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\[{d_1}\] và \({d_2}\) song song với nhau;
\[{d_1}\] và \({d_2}\) trùng nhau;
\[{d_1}\] và \({d_2}\) cắt nhau và không vuông góc với nhau;
\[{d_1}\] và \({d_2}\) vuông góc với nhau.
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \({d_1}:2x + 3y - 19 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,\,3} \right)\) và đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;\,\,5} \right)\) nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5;\, - 2} \right)\).
Ta thấy \(\frac{2}{5} \ne \frac{3}{{ - 2}}\) và \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 2.5 + 3.\left( { - 2} \right) = 4 \ne 0\).
Vậy \[{d_1}\] và \({d_2}\) cắt nhau và không vuông góc với nhau.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), khoảng cách từ điểm \(M\left( {5;\,\,1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :x - 8y + 8 = 0\) bằng
\(\frac{1}{{13}}\);
\(\frac{5}{{\sqrt {65} }}\);
\(\frac{5}{{\sqrt {26} }}\);
\(\frac{1}{5}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 - 8.1 + 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {65} }}\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;\,\, - 1} \right),\,\,B\left( {4;\,5} \right),\,\,C\left( { - 3;\,\,2} \right)\). Phương trình tổng quát đường cao \(BH\) của tam giác \(ABC\) là
\(5x - 3y - 5 = 0\);
\(3x + 5y - 37 = 0\);
\(3x - 5y - 13 = 0\);
\(3x + 5y - 20 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Do \(BH \bot AC\) nên đường cao \(BH\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \overrightarrow {CA} = \left( {5;\,\, - 3} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường cao \(BH\) là: \(5\left( {x - 4} \right) - 3\left( {y - 5} \right) = 0\) hay \(5x - 3y - 5 = 0\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\). Trong các mệnh đề sau đây, phát biểu nào sai?
\(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;\,\,3} \right)\);
\(\left( C \right)\) có bán kính \(R = 5\);
\(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;\,\, - 2} \right)\);
\(\left( C \right)\) không đi qua điểm \(B\left( {4;\,\,3} \right)\).
Đáp án đúng là : D
Ta có: \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - \left( { - 1} \right)} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {5^2}\).
Đường tròn đã cho có tâm \(I\left( { - 1;\,\,3} \right)\) và bán kính \(R = 5\), do đó đáp án A và B đúng.
Ta có: \({\left( { - 1 + 1} \right)^2} + {\left( { - 2 - 3} \right)^2} = {\left( { - 5} \right)^2} = 25 \Rightarrow A\left( { - 1; - 2} \right) \in \left( C \right)\), do đó đáp án C đúng.
\({\left( {4 + 1} \right)^2} + {\left( {3 - 3} \right)^2} = {5^2} = 25 \Rightarrow B\left( {4;3} \right) \in \left( C \right)\), do đó đáp án D sai.
Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?
\({\left( {x + 5} \right)^2} - {\left( {y - 7} \right)^2} = 144\);
\({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} = 144\);
\(2{\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} = 144\);
\({\left( {x + 5} \right)^2} + 2{\left( {y - 7} \right)^2} = 144\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình đường tròn là: \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y - 7} \right)^2} = 144\).
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {3;\, - 4} \right)\) của đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 3 = 0\) là
\(x - y + 7 = 0\);
\(x - y - 7 = 0\);
\(3x + 4y - 14 = 0\);
\(3x + 4y + 14 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2.1x - 2.\left( { - 2} \right)y - 3 = 0\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;\,\, - 2} \right)\).
Lại có: \({3^2} + {\left( { - 4} \right)^2} - 2.3 + 4.\left( { - 4} \right) - 3 = 0\)\( \Rightarrow M\left( {3;\, - 4} \right) \in \left( C \right)\).
Do đó, tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {3;\, - 4} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( {2;\,\, - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên nó có phương trình là \(2\left( {x - 3} \right) - 2\left( {y + 4} \right) = 0\) hay \(x - y - 7 = 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol?
\({y^2} = 10x\);
\({y^2} = - 10x\);
\({x^2} = 10y\);
\({x^2} = - 10y\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình \({y^2} = 10x\) là phương trình chính tắc của parabol do nó có dạng \({y^2} = 2px\) với \(p = 5 > 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], tiêu cự của elip \[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{30}} + \frac{{{y^2}}}{{14}} = 1\] bằng
6;
8;
4;
2.
Đáp án đúng là: B
Ta có \[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{30}} + \frac{{{y^2}}}{{14}} = 1\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 30\\{b^2} = 14\end{array} \right. \Rightarrow {c^2} = 30 - 14 = 16 \Rightarrow c = 4\].
Vậy tiêu cự của elip đã cho là \[2c = 8\].
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], một tiêu điểm của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) có tọa độ là
\(\left( { - 5;\,\,0} \right)\);
\(\left( {0;\,\sqrt 7 } \right)\);
\(\left( {\sqrt 7 ;\,\,0} \right)\);
\(\left( {0;\,\,5} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 9\end{array} \right. \Rightarrow {c^2} = {a^2} + {b^2} = 16 + 9 = 25 \Rightarrow c = 5\).
Do đó, hypebol đã cho có các tiêu điểm \({F_1}\left( { - 5;\,0} \right),\,{F_2}\left( {5;\,\,0} \right)\).
Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là 12 m, khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m. Người kĩ sư này muốn đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Biết rằng những loại xe tải có chiều cao 2,8 m thì có chiều rộng không quá 3 m. Hỏi chiếc xe tải có chiều cao 2,8 m có thể đi qua hầm được không?
Giả sử phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (trong đó \(a > b > 0\)).
Vì chiều rộng của hầm là 12 m nên \(OA = 12:2 = 6\) (m) nên điểm \(A\) có tọa độ \(\left( {6;\,\,0} \right)\).
Khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m nên \(OB = 3\) m, do đó điểm \(B\) có tọa độ \(\left( {0;\,\,3} \right)\).
Do các điểm \(B\left( {0;\,\,3} \right)\) và \(A\left( {6;\,\,0} \right)\) thuộc elip nên thay vào phương trình của elip ta được:
\(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = {3^2} = 9\)
\(\frac{{{6^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {a^2} = {6^2} = 36\)
Suy ra phương trình của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Với những xe tải có chiều cao 2,8 m, chiều rộng của xe tải là 3 m, nếu xe chạy chính giữa hầm thì khoảng cách từ tâm xe tới mỗi bên xe không quá \(3:2 = 1,5\) m, tương ứng với \(x = 1,5\). Thay vào phương trình của elip để ta tìm ra độ cao \(y\) của điểm \(M\) (có hoành độ bằng 1,5 thuộc elip) so với trục \(Ox\). Ta có: \(\frac{{{x_M}^2}}{{36}} + \frac{{{y_M}^2}}{9} = 1\).
Suy ra: \({y_M} = 3.\sqrt {1 - \frac{{x_M^2}}{{36}}} = 3.\sqrt {1 - \frac{{{{1,5}^2}}}{{36}}} \approx 2,905 > 2,8\).
Kết luận: Ô tô tải có thể đi được qua hầm, tuy nhiên cần khuyến cáo ô tô phải đi vào chính giữa hầm.
Cho đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình: \(x + 3y - 3 = 0\). Viết phương trình đường thẳng qua \(A\left( { - 2;\,0} \right)\) và tạo với \(\left( d \right)\) một góc \(45^\circ \).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm; \(\overrightarrow n = \left( {A;\,\,B} \right)\) là VTPT của \(\Delta \) \(\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)\).
Đường thẳng \(\left( d \right)\): \(x + 3y - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;\,\,3} \right)\).
Để \(\Delta \) tạo với \(\left( d \right)\) một góc \(45^\circ \) thì:
\(\cos 45^\circ = \frac{{\left| {A + 3B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow 2{\left( {A + 3B} \right)^2} = 10\left( {{A^2} + {B^2}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 2B\\B = - 2A\end{array} \right.\) .
+ Với \(A = 2B\), chọn \(B = 1 \Rightarrow A = 2\) ta được phương trình \(\Delta :\,2x + y + 4 = 0\).
+ Với \(B = - 2A\), chọn \(A = 1 \Rightarrow B = - 2\) ta được phương trình \(\Delta :\,x - 2y + 2 = 0\).
Cho các số thực \(x,y,z\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 5\) và \[x - y + z = 3\] . Tìm giá trị lớn nhất của \(P = \frac{{x + y - 2}}{{z + 2}}\).
Từ điều kiện ta có
\({x^2} + {y^2} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + {{\left( {x - y} \right)}^2}}}{2} = 5 - {z^2} \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 10 - 2{z^2} - {\left( {3 - z} \right)^2}\).
Do đó \({\left( {x + y} \right)^2} = 1 + 6z - 3{z^2}\).
Dễ thấy \(z \ne - 2\). Ta có \(P.\left( {z + 2} \right) + 2 = x + y\).
Do đó \({\left[ {P.\left( {z + 2} \right) + 2} \right]^2} = 1 + 6z - 3{z^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {z + 2} \right)^2}{P^2} + 4\left( {z + 2} \right)P + 4 = 1 + 6z - 3{z^2}\)
\( \Leftrightarrow \left( {{P^2} + 3} \right){z^2} + \left( {4{P^2} + 4P - 6} \right)z + 4{P^2} + 8P + 3 = 0\)
Phương trình ẩn \(z\) có nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta '_z} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {2{P^2} + 2P - 3} \right)^2} - \left( {{P^2} + 3} \right)\left( {4{P^2} + 8P + 3} \right) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow 4{P^4} + 4{P^2} + 9 + 8{P^3} - 12{P^2} - 12P - \left( {4{P^4} + 8{P^3} + 3{P^2} + 12{P^2} + 24P + 9} \right) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow 23{P^2} + 36P \le 0\)
\( \Leftrightarrow - \frac{{36}}{{23}} \le P \le 0\) (áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai).
Ta có \(P = 0\) khi \[x = 2,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}z = 1\] và \(P = - \frac{{36}}{{23}}\) khi \(x = \frac{{20}}{{31}},\,\,y = - \frac{{66}}{{31}},\,\,z = \frac{7}{{31}}\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là 0 tại \[x = 2,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}z = 1\].
