Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 4
38 câu hỏi
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số tự nhiên cho trước;
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số tự nhiên cho trước (với \(a \ne 0\));
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số thực cho trước (với \(a \ne 0\));
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số nguyên cho trước (với \(a \ne 0\)).
Đáp án đúng là: C
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số thực cho trước (với \(a \ne 0\)).
Cho tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\](với \(a \ne 0\)), khi nào thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi số thực \(x\) ?
Khi \(\Delta > 0\);
Khi \(\Delta < 0\);
Khi \(a > 0\);
Khi \(a < 0\).
Đáp án đúng là: B
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\] (với \(a \ne 0\)), khi \(\Delta < 0\) thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi số thực \(x\).
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\] có các hệ số \(a\), \(b\), \(c\) lần lượt là
\(a = 2\), \(b = 0\), \(c = 1\);
\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 2\);
\(a = - 1\), \(b = 1\), \(c = - 2\);
\(a = 1\), \(b = - 1\), \(c = 2\).
Đáp án đúng là: D
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\] có các hệ số \(a\), \(b\), \(c\) lần lượt là:
\(a = 1\), \(b = - 1\), \(c = 2\).
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\] mang dấu âm trên khoảng nào sau đây ?
\(\mathbb{R}\);
\(\left( { - \infty ;0} \right)\);
\(\left( {0; + \infty } \right)\);
Các đáp án trên đều sai.
Đáp án đúng là: D
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\] có \(a = 1 > 0\)
\(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.2 = - 7 < 0\)
Do đó, \(f\left( x \right) > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)
Vậy tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\] không thể mang dấu âm trên tập số thực.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} - 4x + 5\). Khi đó\(f\left( x \right) > 0\) khi
\(x \in \left( { - \infty ;\, - 1} \right] \cup \left[ {5;\, + \infty } \right)\);
\(x \in \left[ { - 1;\,5} \right]\);
\(x \in \left[ { - 5;\,1} \right]\);
\(x \in \left( { - 5;\,1} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Dễ thấy \(f\left( x \right) = - {x^2} - 4x + 5\) có \(\Delta = 36 > 0,\,a = - 1 < 0\)và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1;\,{x_2} = - 5\). Do đó ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\):
Suy ra \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( { - 5;1} \right)\) và \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
Vậy đáp án đúng là D.
Bất phương trình nào dưới đây là bất phương trình bậc hai một ẩn?
\({x^2} - 5{x^3} + 4 > 0\);
\({2^2}{x^2} + {3^2}{x^4} - 2 > 0\);
\({2^4}x + {x^2} - 1 > 0\);
\({x^2} + 2x - 1 \ge {x^2} - 2x\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \({2^4}x + {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow 16x + {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow {x^2} + 16x - 1 > 0\), đây là bất phương trình bậc hai một ẩn.
\(x = 0\) là một nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
\(2{x^2} - 5x - 1 > 0\);
\({x^2} + 3x - 5 > 0\);
\(2{x^2} + 3x + 4 < 0\);
\(3{x^2} - 3x - 1 < 0\).
Đáp án đúng là: D
Thay \(x = 0\) vào các bất phương trình đã cho ta thấy bất phương trình ở đáp án D thỏa mãn \({3.0^2} - 3.0 - 1 = - 1 < 0\) nên \(x = 0\) là một nghiệm của bất phương trình \(3{x^2} - 3x - 1 < 0\).
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(2{x^2} - 3x + 1 < 0\) là
0;
1;
2;
Vô số.
Đáp án đúng là: A
Xét tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 1\) có \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.2.1 = 1 > 0\) nên tam thức này có hai nghiệm \({x_1} = \frac{1}{2},\,\,{x_2} = 1\).
Lại có hệ số \(a = 2 > 0\) nên \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 1\).
Không có số nguyên nào giữa hai số \(\frac{1}{2}\) và 1 nên bất phương trình \(2{x^2} - 3x + 1 < 0\) không có nghiệm nguyên.
Phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi
\(m > 1\);
\( - 3 < m < 1\);
\(m \le - 3\) hoặc \(m \ge 1\);
\( - 3 \le m \le 1\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta _m} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 4 \ge 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 \ge 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {1;\, + \infty } \right)\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x - 4 \le 0\) là
\(S = \left[ { - 1;4} \right]\);
\(S = \left( { - \infty ; - 1} \right)\);
\(S = \left( {4; + \infty } \right)\);
\(S = \left( { - 1;4} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x - 4\) có \(a = 1 > 0\)
\(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 4} \right) = 25 > 0\)
Do đó, \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt {25} }}{{2.1}} = 4\)
\({x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt {25} }}{{2.1}} = - 1\)
Như vậy, \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1;4} \right]\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x - 4 \le 0\) là \(S = \left[ { - 1;4} \right]\).
Cho phương trình \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = 2x - 5\), giá trị nào sau đây không thể là một nghiệm của phương trình trên?
\(x = 1\);
\(x = 6\);
\(x = 3\);
\(x = 4\).
Đáp án đúng là: A
Thay \(x = 1\) vào vế phải của phương trình ta có: \(2.1 - 5 = - 3 < 0\)
Mà vế trái \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} \ge 0\) với mọi số thực \(x\)
Do đó, \(x = 1\) không thể là một nghiệm của phương trình đã cho.
Một nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + x + 3} = x - 5\) là
\(x = 1\);
\(x = 2\);
\(x = 3\);
Tất cả các đáp án trên đều sai.
Đáp án đúng là: D
Thay \(x = 1\) vào hai vế của phương trình ta có: \(\sqrt {{1^2} + 1 + 3} = \sqrt 5 \ne 1 - 5 = - 4\)
Thay \(x = 2\) vào hai vế của phương trình ta có: \(\sqrt {{2^2} + 2 + 3} = 3 \ne 2 - 5 = - 3\)
Thay \(x = 3\) vào hai vế của phương trình ta có: \(\sqrt {{3^2} + 3 + 3} = \sqrt {15} \ne 3 - 5 = - 2\)
Do đó, tất cả các đáp án trên đều sai.
Cô giáo yêu cầu bốn bạn Lan, Hoa, Hiếu, Hùng dự đoán số nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \). Lan dự đoán phương trình có 1 nghiệm, Hoa dự đoán phương trình vô nghiệm, Hiếu dự đoán phương trình có 2 nghiệm, Hùng dự đoán phương trình có 3 nghiệm. Bạn nào dự đoán đúng ?
Lan;
Hoa;
Hiếu;
Hùng.
Đáp án đúng là: C
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) ta có:
\(2{x^2} - 4x + 1 = {x^2} + 2x + 6\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 5 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt {14} \\x = 3 - \sqrt {14} \end{array} \right.\)
Thay \(x = 3 + \sqrt {14} \) vào hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) ta có: \(\sqrt {2.{{\left( {3 + \sqrt {14} } \right)}^2} - 4.\left( {3 + \sqrt {14} } \right) + 1} = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt {14} } \right)}^2} + 2\left( {3 + \sqrt {14} } \right) + 6} \) (thỏa mãn)
Thay \(x = 3 - \sqrt {14} \) vào hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) ta có: \(\sqrt {2.{{\left( {3 - \sqrt {14} } \right)}^2} - 4.\left( {3 - \sqrt {14} } \right) + 1} = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {14} } \right)}^2} + 2\left( {3 - \sqrt {14} } \right) + 6} \) (thỏa mãn)
Vậy phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) có hai nghiệm, do đó, bạn Hiếu dự đoán đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho vectơ \(\overrightarrow u = \,2\overrightarrow i + 13\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là
\(\overrightarrow u = \left( {2;\,13} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {2;\, - 13} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - \,2;\, - 13} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - \,2;\,13} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow u = \,2\overrightarrow i + 13\overrightarrow j \), khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\,13} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(M\left( { - 1;\,\,2} \right)\) và \(N\left( {3;\, - 1} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {NM} \) là
\(\overrightarrow {NM} = \left( {4;\,\, - 3} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( {2;\,\,1} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( { - 4;\,3} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( {2;\,\, - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\overrightarrow {NM} = \left( { - 1 - 3;\,2 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 4;\,\,3} \right)\].
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho 3 điểm \(A\left( { - 2; - 3} \right),B\left( {1;4} \right),C\left( {3;1} \right)\). Đặt \(\overrightarrow v = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \). Hỏi tọa độ \(\overrightarrow v \) là cặp số nào?
\(\left( {6;0} \right)\);
\(\left( {0; - 1} \right)\);
\(\left( { - 8;\,\,11} \right)\);
\(\left( {8;\,\,11} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;7} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {5;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow v = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \left( {3 + 5;\,7 + 4} \right) = \left( {8;11} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(E\left( {3;\, - 4} \right)\) và \(F\left( {1;\,\,2} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(FE\) bằng
\(\sqrt {10} \);
\(2\sqrt {10} \);
\(2\sqrt 5 \);
\(5\sqrt 2 \).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(FE = \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - \left( { - 4} \right)} \right)}^2}} = 2\sqrt {10} \).
Cho điểm \(A\left( { - 1;\,\,2} \right)\). Tìm tọa độ của điểm \(M\) sao cho vectơ \(\overrightarrow {AM} = \left( {5;\,\, - 10} \right)\).
\(\left( { - 4;\,8} \right)\);
\(\left( {4;\,\, - 8} \right)\);
\(\left( {6;\,\, - 8} \right)\);
\(\left( { - 6;\,\, - 8} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Gọi \(M\left( {x;\,\,y} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( {x + 1;\,y - 2} \right)\). Vì \(\overrightarrow {AM} = \left( {5;\,\, - 10} \right)\).
Do đó, \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 5\\y - 2 = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 8\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( {4;\,\, - 8} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;\,\, - 1} \right),\,B\left( {5;\, - 3} \right)\) và \(C\) thuộc trục \(Oy\), trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) nằm trên trục \(Ox\). Tọa độ của điểm \(C\) là
\(\left( {0;\,\,4} \right)\);
\(\left( {0;\,\,2} \right)\);
\(\left( {2;\,\,0} \right)\);
\(\left( {4;\,\,0} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(C \in Oy \Rightarrow C\left( {0;\,\,c} \right)\), \(G \in Ox \Rightarrow G\left( {g;\,\,0} \right)\).
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}g = \frac{{1 + 5 + 0}}{3}\\0 = \frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right) + c}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g = 2\\c = 4\end{array} \right.\).
Vậy \(C\left( {0;\,\,4} \right)\).
Đường thẳng \(AB\) với \(A\left( {2;3} \right)\) và \(B\left( {3;5} \right)\) có một vectơ chỉ phương là
\(\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {5;8} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {0;2} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - 1;2} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(AB\) với \(A\left( {2;3} \right)\) và \(B\left( {3;5} \right)\) có một vectơ chỉ phương là:
\(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( {3 - 2;5 - 3} \right) = \left( {1;2} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(C\left( { - 1;2} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {0; - 1} \right)\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1t\\y = - 1 + 2t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2 + t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(C\left( { - 1;2} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {0; - 1} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2 - t\end{array} \right.\).
Cho điểm \(C\left( {2;4} \right)\) và điểm \(D\left( { - 5;3} \right)\), phương trình tổng quát của đường thẳng \(CD\) là
\(7x + y + 18 = 0\);
\(x - 7y + 26 = 0\);
\(x - 7y - 18 = 0\);
\(7x + y = 0\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(CD\) đi qua hai điểm \(C\left( {2;4} \right)\) và \(D\left( { - 5;3} \right)\) nên nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 5 - 2;3 - 4} \right) = \left( { - 7; - 1} \right)\).
Do đó, \(CD\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;\,\, - 7} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(CD\) là:
\(1.\left( {x - 2} \right) - 7\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 7y + 26 = 0\).
Đường thẳng \(\Delta :4x - 7y + 3 = 0\) có phương trình tham số là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 7t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 7t\\y = 1 - 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 7t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = 1 + 7t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
Xét điểm \(M\left( {1;1} \right)\) ta thấy \(M\left( {1;1} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta :4x - 7y + 3 = 0\).
Đường thẳng \(\Delta :4x - 7y + 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {4; - 7} \right)\) nên nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {7;4} \right)\).
Phương trình tham số của \(\Delta :4x - 7y + 3 = 0\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 7t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\).
Cho đường thẳng \(\Delta :3x + 2y + 1 = 0\) và điểm \(M\left( {1;\,\,1} \right)\), khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) là
\(\frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}\);
\( - \frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}\);
\(\frac{{\sqrt {13} }}{{13}}\);
\( - \frac{{\sqrt {13} }}{{13}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 + 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}\)
Giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:5x - y + 4 = 0\) và \({d_2}:x - y + 3 = 0\) là
\(M\left( {\frac{1}{4};\frac{{11}}{4}} \right)\);
\(M\left( { - \frac{1}{4};\frac{{11}}{4}} \right)\);
\(M\left( { - \frac{1}{4}; - \frac{{11}}{4}} \right)\);
\(M\left( {\frac{{10}}{4};\frac{{11}}{4}} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:5x - y + 4 = 0\) và \({d_2}:x - y + 3 = 0\) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}5x - y + 4 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x - y = - 4\\x - y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{4}\\y = \frac{{11}}{4}\end{array} \right.\).
Vậy giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:5x - y + 4 = 0\) và \({d_2}:x - y + 3 = 0\) là: \(M\left( { - \frac{1}{4};\frac{{11}}{4}} \right)\).
Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn ?
\({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 7 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 14 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 16 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 13 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình đường tròn có dạng: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \({a^2} + {b^2} - c > 0\).
Xét phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 7 = 0\) có:
\(a = 2\); \(b = - 3\); \(c = - 7\) và \({2^2} + {\left( { - 3} \right)^2} - \left( { - 7} \right) = 20 > 0\)
Do đó, phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 7 = 0\) là phương trình đường tròn.
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\) và bán kính \(R\) là
\(I\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(R = 9\);
\(I\left( {3; - 1} \right)\) và \(R = 9\);
\(I\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(R = 3\);
\(I\left( {3; - 1} \right)\) và \(R = 3\).
Đáp án đúng là: D
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\) có tâm và bán kính là:
\(I\left( {3; - 1} \right)\) và \(R = \sqrt 9 = 3\).
Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(M\left( {3;4} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 5\);
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 25\);
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\);
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25\).
Đáp án đúng là: D
Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(M\left( {3;4} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là:
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {5^2}\) hay \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25\).
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {1;5} \right)\), tiếp xúc với đường thẳng \(d:3x - 2y + 5 = 0\) là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = \frac{4}{{13}}\);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\);
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = \frac{4}{{13}}\);
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\).
Đáp án đúng là: A
Đường tròn tâm \(I\left( {1;5} \right)\), tiếp xúc với đường thẳng \(d:3x - 2y + 5 = 0\) nên có bán kính là: \(R = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 2.5 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\).
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {1;5} \right)\), tiếp xúc với đường thẳng \(d:3x - 2y + 5 = 0\) là:
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = \frac{4}{{13}}\).
Phương trình đường tròn tâm \(A\left( { - 2;3} \right)\), đi qua điểm \(B\left( {4;7} \right)\) là
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 13\);
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 13\);
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 52\);
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 52\).
Đáp án đúng là: D
Đường tròn tâm \(A\left( { - 2;3} \right)\), đi qua điểm \(B\left( {4;7} \right)\) có bán kính là:
\(R = AB = \sqrt {{{\left( {4 - ( - 2)} \right)}^2} + {{\left( {7 - 3} \right)}^2}} = 2\sqrt {13} \)
Phương trình đường tròn tâm \(A\left( { - 2;3} \right)\), đi qua điểm \(B\left( {4;7} \right)\) là:
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {\left( {2\sqrt {13} } \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 52\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của một elip?
\({x^2} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\);
\({x^2} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{{{2^2}}} + \frac{{{y^2}}}{2} = - 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\).
Đáp án đúng là: D
Phương trình \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\) là phương trình chính tắc của một elip do có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) và \(a = \sqrt 9 = 3,\,\,b = \sqrt 5 \,\,\left( {3 > \sqrt 5 > 0} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol ?
\({y^2} = \frac{1}{2}x\);
\({y^2} = - 2x\);
\({x^2} = - 4y\);
\({x^2} = \frac{1}{2}y\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình \({y^2} = \frac{1}{2}x\) là phương trình chính tắc của parabol do nó có dạng \({y^2} = 2px\) với \(p = \frac{1}{4} > 0\).
Cho phương trình \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\). Điều kiện của \(a\) để \(\left( E \right)\) là elip là
\(a > 4\);
\(0 < a < 4\);
\(a > 2\);
\(0 < a < 2\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{2^2}}} = 1\).
Điều kiện để \(\left( E \right)\) là elip khi \(a > 2\).
Cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 4x\). Tiêu điểm của \(\left( P \right)\) là
\(F\left( {1;\,\,0} \right)\);
\(F\left( { - 1;\,0} \right)\);
\(F\left( {2;\,0} \right)\);
\(F\left( { - 2;\,0} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có phương trình parabol \(\left( P \right):{y^2} = 4x\)
Do đó, \(2p = 4 \Rightarrow p = 2\).
Parabol \(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {1;\,\,0} \right)\).
Cho điểm \(M\) nằm trên hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Nếu hoành độ điểm \(M\) bằng 8 thì khoảng cách từ \(M\) đến hai tiêu cự của \(\left( H \right)\) bằng
\(8 + 4\sqrt 5 \) và \(8 - 4\sqrt 5 \);
5 và 13;
\(8 + \sqrt 5 \) và \(8 - \sqrt 5 \);
6 và 14.
Đáp án đúng là: D
Với \(x = 8\) ta có \(\frac{{{8^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - 3\sqrt 3 \\y = 3\sqrt 3 \end{array} \right.\).
Suy ra có hai điểm \(M\) thoả mãn là \({M_1}\left( {8;\,\,3\sqrt 3 } \right)\) và \[{M_2}\left( {8;\,\, - 3\sqrt 3 } \right)\].
Ta có \(a = 4;\,b = 3 \Rightarrow c = 5\). Tiêu điểm của \(\left( H \right)\) là \({F_1}\left( { - 5;\,0} \right)\) và \({F_2}\left( {5;\,0} \right)\).
Khi đó:
\(\overrightarrow {{M_1}{F_1}} = \left( { - 13;\, - 3\sqrt 3 } \right) & \)và \(\overrightarrow {{M_2}{F_1}} = \left( { - 13;\,3\sqrt 3 } \right)\);
\(\overrightarrow {{M_1}{F_2}} = \left( { - 3;\, - 3\sqrt 3 } \right)\) và \(\overrightarrow {{M_2}{F_2}} = \left( { - 3;\,3\sqrt 3 } \right)\).
Ta có \({M_1}{F_1} = {M_2}{F_1} = 14\) và \({M_1}{F_2} = {M_2}{F_2} = 6\) .
Vậy khoảng cách từ \(M\) đến hai tiêu cự bằng 6 và 14.
Gọi độ dài chiều rộng của mảnh đất nuôi gà hay khoảng cách cần phải cắm cọc tới bờ tường là \(x\) (m) (minh họa như hình vẽ). \(\left( {0 < x < 15} \right)\)
Độ dài của chiều dài mảnh đất nuôi gà là: \(30 - 2x\) (m)
Diện tích mảnh đất nuôi gà là: \(S\left( x \right) = x\left( {30 - 2x} \right) = - 2{x^2} + 30x\) (m2).
Để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn \(50\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) thì:
\(S\left( x \right) = - 2{x^2} + 30x \ge 50 \Leftrightarrow - 2{x^2} + 30x - 50 \ge 0\) (*)
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + 30x - 50\) có \(a = - 2 < 0\)
\(\Delta ' = {15^2} - \left( { - 2} \right).\left( { - 50} \right) = 125\).
Do đó, \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - 15 + \sqrt {125} }}{{\left( { - 2} \right)}} = \frac{{15 - 5\sqrt 5 }}{2} \approx 1,91\)
\({x_2} = \frac{{ - 15 + \sqrt {125} }}{{\left( { - 2} \right)}} = \frac{{15 + 5\sqrt 5 }}{2} \approx 13,09\)
Như vậy, bất phương trình (*) có tập nghiệm là đoạn \(\left[ {1,91;\,\,\,13,09} \right]\).
Vậy khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường phải lớn hơn hoặc bằng 1,91 m và nhỏ hơn hoặc bằng 13,09 m thì mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn\(50\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Cho tam giác \(ABC\) với tọa độ đỉnh \(C\left( {4; - 1} \right)\), đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) là \(\left( {{d_1}} \right):2x - 3y + 12 = 0\) và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh \(A\) là \(\left( {{d_2}} \right):2x + 3y = 0\). Lập phương trình tổng quát các đường thẳng \(AB\), \(AC\), \(BC\).
Vì \(BC\) vuông góc với \(\left( {{d_1}} \right)\) nên đường thẳng \(BC\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {3;2} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(3\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 10 = 0\).
Điểm \(A\) là giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) nên ta có tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + 12 = 0\\2x + 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;2} \right)\).
Đường thẳng \(AC\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AC} = \left( {4 + 3; - 1 - 2} \right) = \left( {7; - 3} \right)\) là một vectơ chỉ phương, do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{AC}}} = \left( {3;7} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(AC\) là:
\(3\left( {x + 3} \right) + 7\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 7y - 5 = 0\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), khi đó điểm \(M\) là giao điểm của \({d_2}\) và \(BC\)
Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y - 10 = 0\\2x + 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 4\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {6; - 4} \right)\).
Do \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2.6 - 4 = 8\\{y_B} = 2.( - 4) - ( - 1) = - 7\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {8; - 7} \right)\).
Đường thẳng \(AB\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {11; - 9} \right)\) là vectơ chỉ phương và nhận vectơ \(\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {9;11} \right)\) là vectơ pháp tuyến.
Do đó, phương trình của đường thẳng \(AB\) là:
\(9\left( {x - 8} \right) + 11\left( {y + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow 9x + 11y + 5 = 0\).
Cho tam giác \(ABC\) biết \(H\left( {3;2} \right)\), \(G\left( {\frac{5}{3};\frac{8}{3}} \right)\) lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác, đường thẳng \(BC\) có phương trình \(x + 2y - 2 = 0\). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)?
Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {HI} = \frac{3}{2}\overrightarrow {HG} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} - 3 = \frac{3}{2}\left( {\frac{5}{3} - 3} \right)\\{y_I} - 2 = \frac{3}{2}\left( {\frac{8}{3} - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = 1\\{y_I} = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;3} \right)\).
Gọi \(M\)là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow IM \bot BC\) \( \Rightarrow IM:2x - y + c = 0\).
Vì \(I \in IM \Rightarrow 2.1 - 3 + c = 0 \Rightarrow c = 1\)
\( \Rightarrow IM:2x - y + 1 = 0\).
\(M = IM \cap BC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 1\\x + 2y = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0;1} \right)\).
Lại có: \(\overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MG} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 3.\frac{5}{3}\\{y_A} - 1 = 3.\left( {\frac{8}{3} - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 5\\{y_A} = 6\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5;6} \right)\) .
Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là đường tròn tâm \(I\left( {1;3} \right)\) có bán kính \(R = IA = 5\).
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\).
