Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 4
38 câu hỏi
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số tự nhiên cho trước;
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số tự nhiên cho trước (với \(a \ne 0\));
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số thực cho trước (với \(a \ne 0\));
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số nguyên cho trước (với \(a \ne 0\)).
Đáp án đúng là: C
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức có dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a,\,\,b,\,\,c\) là những số thực cho trước (với \(a \ne 0\)).
Cho tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\](với \(a \ne 0\)), khi nào thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi số thực \(x\) ?
Khi \(\Delta > 0\);
Khi \(\Delta < 0\);
Khi \(a > 0\);
Khi \(a < 0\).
Đáp án đúng là: B
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\] (với \(a \ne 0\)), khi \(\Delta < 0\) thì \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi số thực \(x\).
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\] có các hệ số \(a\), \(b\), \(c\) lần lượt là
\(a = 2\), \(b = 0\), \(c = 1\);
\(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 2\);
\(a = - 1\), \(b = 1\), \(c = - 2\);
\(a = 1\), \(b = - 1\), \(c = 2\).
Đáp án đúng là: D
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\] có các hệ số \(a\), \(b\), \(c\) lần lượt là:
\(a = 1\), \(b = - 1\), \(c = 2\).
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\] mang dấu âm trên khoảng nào sau đây ?
\(\mathbb{R}\);
\(\left( { - \infty ;0} \right)\);
\(\left( {0; + \infty } \right)\);
Các đáp án trên đều sai.
Đáp án đúng là: D
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\] có \(a = 1 > 0\)
\(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.2 = - 7 < 0\)
Do đó, \(f\left( x \right) > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)
Vậy tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\] không thể mang dấu âm trên tập số thực.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} - 4x + 5\). Khi đó\(f\left( x \right) > 0\) khi
\(x \in \left( { - \infty ;\, - 1} \right] \cup \left[ {5;\, + \infty } \right)\);
\(x \in \left[ { - 1;\,5} \right]\);
\(x \in \left[ { - 5;\,1} \right]\);
\(x \in \left( { - 5;\,1} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Dễ thấy \(f\left( x \right) = - {x^2} - 4x + 5\) có \(\Delta = 36 > 0,\,a = - 1 < 0\)và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1;\,{x_2} = - 5\). Do đó ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\):
Suy ra \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( { - 5;1} \right)\) và \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
Vậy đáp án đúng là D.
Bất phương trình nào dưới đây là bất phương trình bậc hai một ẩn?
\({x^2} - 5{x^3} + 4 > 0\);
\({2^2}{x^2} + {3^2}{x^4} - 2 > 0\);
\({2^4}x + {x^2} - 1 > 0\);
\({x^2} + 2x - 1 \ge {x^2} - 2x\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \({2^4}x + {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow 16x + {x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow {x^2} + 16x - 1 > 0\), đây là bất phương trình bậc hai một ẩn.
\(x = 0\) là một nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
\(2{x^2} - 5x - 1 > 0\);
\({x^2} + 3x - 5 > 0\);
\(2{x^2} + 3x + 4 < 0\);
\(3{x^2} - 3x - 1 < 0\).
Đáp án đúng là: D
Thay \(x = 0\) vào các bất phương trình đã cho ta thấy bất phương trình ở đáp án D thỏa mãn \({3.0^2} - 3.0 - 1 = - 1 < 0\) nên \(x = 0\) là một nghiệm của bất phương trình \(3{x^2} - 3x - 1 < 0\).
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(2{x^2} - 3x + 1 < 0\) là
0;
1;
2;
Vô số.
Đáp án đúng là: A
Xét tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 1\) có \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.2.1 = 1 > 0\) nên tam thức này có hai nghiệm \({x_1} = \frac{1}{2},\,\,{x_2} = 1\).
Lại có hệ số \(a = 2 > 0\) nên \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 1\).
Không có số nguyên nào giữa hai số \(\frac{1}{2}\) và 1 nên bất phương trình \(2{x^2} - 3x + 1 < 0\) không có nghiệm nguyên.
Phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi
\(m > 1\);
\( - 3 < m < 1\);
\(m \le - 3\) hoặc \(m \ge 1\);
\( - 3 \le m \le 1\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta _m} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 4 \ge 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 \ge 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {1;\, + \infty } \right)\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x - 4 \le 0\) là
\(S = \left[ { - 1;4} \right]\);
\(S = \left( { - \infty ; - 1} \right)\);
\(S = \left( {4; + \infty } \right)\);
\(S = \left( { - 1;4} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x - 4\) có \(a = 1 > 0\)
\(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 4} \right) = 25 > 0\)
Do đó, \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt {25} }}{{2.1}} = 4\)
\({x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt {25} }}{{2.1}} = - 1\)
Như vậy, \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1;4} \right]\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x - 4 \le 0\) là \(S = \left[ { - 1;4} \right]\).
Cho phương trình \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} = 2x - 5\), giá trị nào sau đây không thể là một nghiệm của phương trình trên?
\(x = 1\);
\(x = 6\);
\(x = 3\);
\(x = 4\).
Đáp án đúng là: A
Thay \(x = 1\) vào vế phải của phương trình ta có: \(2.1 - 5 = - 3 < 0\)
Mà vế trái \(\sqrt {a{x^2} + bx + c} \ge 0\) với mọi số thực \(x\)
Do đó, \(x = 1\) không thể là một nghiệm của phương trình đã cho.
Một nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + x + 3} = x - 5\) là
\(x = 1\);
\(x = 2\);
\(x = 3\);
Tất cả các đáp án trên đều sai.
Đáp án đúng là: D
Thay \(x = 1\) vào hai vế của phương trình ta có: \(\sqrt {{1^2} + 1 + 3} = \sqrt 5 \ne 1 - 5 = - 4\)
Thay \(x = 2\) vào hai vế của phương trình ta có: \(\sqrt {{2^2} + 2 + 3} = 3 \ne 2 - 5 = - 3\)
Thay \(x = 3\) vào hai vế của phương trình ta có: \(\sqrt {{3^2} + 3 + 3} = \sqrt {15} \ne 3 - 5 = - 2\)
Do đó, tất cả các đáp án trên đều sai.
Cô giáo yêu cầu bốn bạn Lan, Hoa, Hiếu, Hùng dự đoán số nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \). Lan dự đoán phương trình có 1 nghiệm, Hoa dự đoán phương trình vô nghiệm, Hiếu dự đoán phương trình có 2 nghiệm, Hùng dự đoán phương trình có 3 nghiệm. Bạn nào dự đoán đúng ?
Lan;
Hoa;
Hiếu;
Hùng.
Đáp án đúng là: C
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) ta có:
\(2{x^2} - 4x + 1 = {x^2} + 2x + 6\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 5 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + \sqrt {14} \\x = 3 - \sqrt {14} \end{array} \right.\)
Thay \(x = 3 + \sqrt {14} \) vào hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) ta có: \(\sqrt {2.{{\left( {3 + \sqrt {14} } \right)}^2} - 4.\left( {3 + \sqrt {14} } \right) + 1} = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt {14} } \right)}^2} + 2\left( {3 + \sqrt {14} } \right) + 6} \) (thỏa mãn)
Thay \(x = 3 - \sqrt {14} \) vào hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) ta có: \(\sqrt {2.{{\left( {3 - \sqrt {14} } \right)}^2} - 4.\left( {3 - \sqrt {14} } \right) + 1} = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt {14} } \right)}^2} + 2\left( {3 - \sqrt {14} } \right) + 6} \) (thỏa mãn)
Vậy phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 6} \) có hai nghiệm, do đó, bạn Hiếu dự đoán đúng.
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho vectơ \(\overrightarrow u = \,2\overrightarrow i + 13\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là
\(\overrightarrow u = \left( {2;\,13} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {2;\, - 13} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - \,2;\, - 13} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - \,2;\,13} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow u = \,2\overrightarrow i + 13\overrightarrow j \), khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\,13} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(M\left( { - 1;\,\,2} \right)\) và \(N\left( {3;\, - 1} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {NM} \) là
\(\overrightarrow {NM} = \left( {4;\,\, - 3} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( {2;\,\,1} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( { - 4;\,3} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( {2;\,\, - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\overrightarrow {NM} = \left( { - 1 - 3;\,2 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 4;\,\,3} \right)\].
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho 3 điểm \(A\left( { - 2; - 3} \right),B\left( {1;4} \right),C\left( {3;1} \right)\). Đặt \(\overrightarrow v = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \). Hỏi tọa độ \(\overrightarrow v \) là cặp số nào?
\(\left( {6;0} \right)\);
\(\left( {0; - 1} \right)\);
\(\left( { - 8;\,\,11} \right)\);
\(\left( {8;\,\,11} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;7} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {5;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow v = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \left( {3 + 5;\,7 + 4} \right) = \left( {8;11} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(E\left( {3;\, - 4} \right)\) và \(F\left( {1;\,\,2} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(FE\) bằng
\(\sqrt {10} \);
\(2\sqrt {10} \);
\(2\sqrt 5 \);
\(5\sqrt 2 \).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(FE = \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - \left( { - 4} \right)} \right)}^2}} = 2\sqrt {10} \).
Cho điểm \(A\left( { - 1;\,\,2} \right)\). Tìm tọa độ của điểm \(M\) sao cho vectơ \(\overrightarrow {AM} = \left( {5;\,\, - 10} \right)\).
\(\left( { - 4;\,8} \right)\);
\(\left( {4;\,\, - 8} \right)\);
\(\left( {6;\,\, - 8} \right)\);
\(\left( { - 6;\,\, - 8} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Gọi \(M\left( {x;\,\,y} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( {x + 1;\,y - 2} \right)\). Vì \(\overrightarrow {AM} = \left( {5;\,\, - 10} \right)\).
Do đó, \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 5\\y - 2 = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 8\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( {4;\,\, - 8} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;\,\, - 1} \right),\,B\left( {5;\, - 3} \right)\) và \(C\) thuộc trục \(Oy\), trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) nằm trên trục \(Ox\). Tọa độ của điểm \(C\) là
\(\left( {0;\,\,4} \right)\);
\(\left( {0;\,\,2} \right)\);
\(\left( {2;\,\,0} \right)\);
\(\left( {4;\,\,0} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(C \in Oy \Rightarrow C\left( {0;\,\,c} \right)\), \(G \in Ox \Rightarrow G\left( {g;\,\,0} \right)\).
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}g = \frac{{1 + 5 + 0}}{3}\\0 = \frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right) + c}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g = 2\\c = 4\end{array} \right.\).
Vậy \(C\left( {0;\,\,4} \right)\).
Đường thẳng \(AB\) với \(A\left( {2;3} \right)\) và \(B\left( {3;5} \right)\) có một vectơ chỉ phương là
\(\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {5;8} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {0;2} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - 1;2} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(AB\) với \(A\left( {2;3} \right)\) và \(B\left( {3;5} \right)\) có một vectơ chỉ phương là:
\(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( {3 - 2;5 - 3} \right) = \left( {1;2} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(C\left( { - 1;2} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {0; - 1} \right)\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1t\\y = - 1 + 2t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2 + t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(C\left( { - 1;2} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {0; - 1} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2 - t\end{array} \right.\).
Cho điểm \(C\left( {2;4} \right)\) và điểm \(D\left( { - 5;3} \right)\), phương trình tổng quát của đường thẳng \(CD\) là
\(7x + y + 18 = 0\);
\(x - 7y + 26 = 0\);
\(x - 7y - 18 = 0\);
\(7x + y = 0\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(CD\) đi qua hai điểm \(C\left( {2;4} \right)\) và \(D\left( { - 5;3} \right)\) nên nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 5 - 2;3 - 4} \right) = \left( { - 7; - 1} \right)\).
Do đó, \(CD\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;\,\, - 7} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(CD\) là:
\(1.\left( {x - 2} \right) - 7\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 7y + 26 = 0\).
Đường thẳng \(\Delta :4x - 7y + 3 = 0\) có phương trình tham số là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 7t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 7t\\y = 1 - 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 7t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = 1 + 7t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
Xét điểm \(M\left( {1;1} \right)\) ta thấy \(M\left( {1;1} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta :4x - 7y + 3 = 0\).
Đường thẳng \(\Delta :4x - 7y + 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {4; - 7} \right)\) nên nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {7;4} \right)\).
Phương trình tham số của \(\Delta :4x - 7y + 3 = 0\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 7t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\).
Cho đường thẳng \(\Delta :3x + 2y + 1 = 0\) và điểm \(M\left( {1;\,\,1} \right)\), khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) là
\(\frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}\);
\( - \frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}\);
\(\frac{{\sqrt {13} }}{{13}}\);
\( - \frac{{\sqrt {13} }}{{13}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 + 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}\)
Giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:5x - y + 4 = 0\) và \({d_2}:x - y + 3 = 0\) là
\(M\left( {\frac{1}{4};\frac{{11}}{4}} \right)\);
\(M\left( { - \frac{1}{4};\frac{{11}}{4}} \right)\);
\(M\left( { - \frac{1}{4}; - \frac{{11}}{4}} \right)\);
\(M\left( {\frac{{10}}{4};\frac{{11}}{4}} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:5x - y + 4 = 0\) và \({d_2}:x - y + 3 = 0\) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}5x - y + 4 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x - y = - 4\\x - y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{4}\\y = \frac{{11}}{4}\end{array} \right.\).
Vậy giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:5x - y + 4 = 0\) và \({d_2}:x - y + 3 = 0\) là: \(M\left( { - \frac{1}{4};\frac{{11}}{4}} \right)\).
Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn ?
\({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 7 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 14 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 16 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 4x + 6y + 13 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình đường tròn có dạng: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \({a^2} + {b^2} - c > 0\).
Xét phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 7 = 0\) có:
\(a = 2\); \(b = - 3\); \(c = - 7\) và \({2^2} + {\left( { - 3} \right)^2} - \left( { - 7} \right) = 20 > 0\)
Do đó, phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 7 = 0\) là phương trình đường tròn.
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\) và bán kính \(R\) là
\(I\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(R = 9\);
\(I\left( {3; - 1} \right)\) và \(R = 9\);
\(I\left( { - 3; - 1} \right)\) và \(R = 3\);
\(I\left( {3; - 1} \right)\) và \(R = 3\).
Đáp án đúng là: D
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\) có tâm và bán kính là:
\(I\left( {3; - 1} \right)\) và \(R = \sqrt 9 = 3\).
Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(M\left( {3;4} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 5\);
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 25\);
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\);
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25\).
Đáp án đúng là: D
Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(M\left( {3;4} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là:
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {5^2}\) hay \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25\).
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {1;5} \right)\), tiếp xúc với đường thẳng \(d:3x - 2y + 5 = 0\) là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = \frac{4}{{13}}\);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\);
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = \frac{4}{{13}}\);
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\).
Đáp án đúng là: A
Đường tròn tâm \(I\left( {1;5} \right)\), tiếp xúc với đường thẳng \(d:3x - 2y + 5 = 0\) nên có bán kính là: \(R = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 2.5 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\).
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {1;5} \right)\), tiếp xúc với đường thẳng \(d:3x - 2y + 5 = 0\) là:
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = {\left( {\frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = \frac{4}{{13}}\).
Phương trình đường tròn tâm \(A\left( { - 2;3} \right)\), đi qua điểm \(B\left( {4;7} \right)\) là
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 13\);
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 13\);
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 52\);
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 52\).
Đáp án đúng là: D
Đường tròn tâm \(A\left( { - 2;3} \right)\), đi qua điểm \(B\left( {4;7} \right)\) có bán kính là:
\(R = AB = \sqrt {{{\left( {4 - ( - 2)} \right)}^2} + {{\left( {7 - 3} \right)}^2}} = 2\sqrt {13} \)
Phương trình đường tròn tâm \(A\left( { - 2;3} \right)\), đi qua điểm \(B\left( {4;7} \right)\) là:
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {\left( {2\sqrt {13} } \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 52\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của một elip?
\({x^2} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\);
\({x^2} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{{{2^2}}} + \frac{{{y^2}}}{2} = - 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\).
Đáp án đúng là: D
Phương trình \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\) là phương trình chính tắc của một elip do có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) và \(a = \sqrt 9 = 3,\,\,b = \sqrt 5 \,\,\left( {3 > \sqrt 5 > 0} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol ?
\({y^2} = \frac{1}{2}x\);
\({y^2} = - 2x\);
\({x^2} = - 4y\);
\({x^2} = \frac{1}{2}y\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình \({y^2} = \frac{1}{2}x\) là phương trình chính tắc của parabol do nó có dạng \({y^2} = 2px\) với \(p = \frac{1}{4} > 0\).
Cho phương trình \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\). Điều kiện của \(a\) để \(\left( E \right)\) là elip là
\(a > 4\);
\(0 < a < 4\);
\(a > 2\);
\(0 < a < 2\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{2^2}}} = 1\).
Điều kiện để \(\left( E \right)\) là elip khi \(a > 2\).
Cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 4x\). Tiêu điểm của \(\left( P \right)\) là
\(F\left( {1;\,\,0} \right)\);
\(F\left( { - 1;\,0} \right)\);
\(F\left( {2;\,0} \right)\);
\(F\left( { - 2;\,0} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có phương trình parabol \(\left( P \right):{y^2} = 4x\)
Do đó, \(2p = 4 \Rightarrow p = 2\).
Parabol \(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {1;\,\,0} \right)\).
Cho điểm \(M\) nằm trên hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Nếu hoành độ điểm \(M\) bằng 8 thì khoảng cách từ \(M\) đến hai tiêu cự của \(\left( H \right)\) bằng
\(8 + 4\sqrt 5 \) và \(8 - 4\sqrt 5 \);
5 và 13;
\(8 + \sqrt 5 \) và \(8 - \sqrt 5 \);
6 và 14.
Đáp án đúng là: D
Với \(x = 8\) ta có \(\frac{{{8^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - 3\sqrt 3 \\y = 3\sqrt 3 \end{array} \right.\).
Suy ra có hai điểm \(M\) thoả mãn là \({M_1}\left( {8;\,\,3\sqrt 3 } \right)\) và \[{M_2}\left( {8;\,\, - 3\sqrt 3 } \right)\].
Ta có \(a = 4;\,b = 3 \Rightarrow c = 5\). Tiêu điểm của \(\left( H \right)\) là \({F_1}\left( { - 5;\,0} \right)\) và \({F_2}\left( {5;\,0} \right)\).
Khi đó:
\(\overrightarrow {{M_1}{F_1}} = \left( { - 13;\, - 3\sqrt 3 } \right) & \)và \(\overrightarrow {{M_2}{F_1}} = \left( { - 13;\,3\sqrt 3 } \right)\);
\(\overrightarrow {{M_1}{F_2}} = \left( { - 3;\, - 3\sqrt 3 } \right)\) và \(\overrightarrow {{M_2}{F_2}} = \left( { - 3;\,3\sqrt 3 } \right)\).
Ta có \({M_1}{F_1} = {M_2}{F_1} = 14\) và \({M_1}{F_2} = {M_2}{F_2} = 6\) .
Vậy khoảng cách từ \(M\) đến hai tiêu cự bằng 6 và 14.
Bác Trung có một tấm lưới dài 30 m. Bác muốn dùng tấm lưới này rào chắn 3 mặt áp lên bờ tường của khu vườn nhà mình thành một mảnh đất hình chữ nhật để nuôi gà. Hỏi hai cột góc hàng rào cần phải cắm cách bờ tường bao xa để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn \(50\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Gọi độ dài chiều rộng của mảnh đất nuôi gà hay khoảng cách cần phải cắm cọc tới bờ tường là \(x\) (m) (minh họa như hình vẽ). \(\left( {0 < x < 15} \right)\)
Độ dài của chiều dài mảnh đất nuôi gà là: \(30 - 2x\) (m)
Diện tích mảnh đất nuôi gà là: \(S\left( x \right) = x\left( {30 - 2x} \right) = - 2{x^2} + 30x\) (m2).
Để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn \(50\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) thì:
\(S\left( x \right) = - 2{x^2} + 30x \ge 50 \Leftrightarrow - 2{x^2} + 30x - 50 \ge 0\) (*)
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + 30x - 50\) có \(a = - 2 < 0\)
\(\Delta ' = {15^2} - \left( { - 2} \right).\left( { - 50} \right) = 125\).
Do đó, \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - 15 + \sqrt {125} }}{{\left( { - 2} \right)}} = \frac{{15 - 5\sqrt 5 }}{2} \approx 1,91\)
\({x_2} = \frac{{ - 15 + \sqrt {125} }}{{\left( { - 2} \right)}} = \frac{{15 + 5\sqrt 5 }}{2} \approx 13,09\)
Như vậy, bất phương trình (*) có tập nghiệm là đoạn \(\left[ {1,91;\,\,\,13,09} \right]\).
Vậy khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường phải lớn hơn hoặc bằng 1,91 m và nhỏ hơn hoặc bằng 13,09 m thì mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn\(50\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Cho tam giác \(ABC\) với tọa độ đỉnh \(C\left( {4; - 1} \right)\), đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) là \(\left( {{d_1}} \right):2x - 3y + 12 = 0\) và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh \(A\) là \(\left( {{d_2}} \right):2x + 3y = 0\). Lập phương trình tổng quát các đường thẳng \(AB\), \(AC\), \(BC\).
Vì \(BC\) vuông góc với \(\left( {{d_1}} \right)\) nên đường thẳng \(BC\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {3;2} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(3\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 10 = 0\).
Điểm \(A\) là giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) nên ta có tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + 12 = 0\\2x + 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;2} \right)\).
Đường thẳng \(AC\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AC} = \left( {4 + 3; - 1 - 2} \right) = \left( {7; - 3} \right)\) là một vectơ chỉ phương, do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{AC}}} = \left( {3;7} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(AC\) là:
\(3\left( {x + 3} \right) + 7\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 7y - 5 = 0\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), khi đó điểm \(M\) là giao điểm của \({d_2}\) và \(BC\)
Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y - 10 = 0\\2x + 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 4\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {6; - 4} \right)\).
Do \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2.6 - 4 = 8\\{y_B} = 2.( - 4) - ( - 1) = - 7\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {8; - 7} \right)\).
Đường thẳng \(AB\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {11; - 9} \right)\) là vectơ chỉ phương và nhận vectơ \(\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {9;11} \right)\) là vectơ pháp tuyến.
Do đó, phương trình của đường thẳng \(AB\) là:
\(9\left( {x - 8} \right) + 11\left( {y + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow 9x + 11y + 5 = 0\).
Cho tam giác \(ABC\) biết \(H\left( {3;2} \right)\), \(G\left( {\frac{5}{3};\frac{8}{3}} \right)\) lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác, đường thẳng \(BC\) có phương trình \(x + 2y - 2 = 0\). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)?
Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {HI} = \frac{3}{2}\overrightarrow {HG} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} - 3 = \frac{3}{2}\left( {\frac{5}{3} - 3} \right)\\{y_I} - 2 = \frac{3}{2}\left( {\frac{8}{3} - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = 1\\{y_I} = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;3} \right)\).
Gọi \(M\)là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow IM \bot BC\) \( \Rightarrow IM:2x - y + c = 0\).
Vì \(I \in IM \Rightarrow 2.1 - 3 + c = 0 \Rightarrow c = 1\)
\( \Rightarrow IM:2x - y + 1 = 0\).
\(M = IM \cap BC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 1\\x + 2y = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0;1} \right)\).
Lại có: \(\overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MG} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 3.\frac{5}{3}\\{y_A} - 1 = 3.\left( {\frac{8}{3} - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 5\\{y_A} = 6\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5;6} \right)\) .
Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là đường tròn tâm \(I\left( {1;3} \right)\) có bán kính \(R = IA = 5\).
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\).
