Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 5
38 câu hỏi
Biểu thức nào dưới đây là tam thức bậc hai?
\(f\left( x \right) = {x^2} - {x^3} + 1\);
\(f\left( x \right) = 2x - 2\);
\(f\left( x \right) = {3^2}\);
\(f\left( x \right) = 2023{x^2} - 2022x + 55\).
Đáp án đúng là: D
Biểu thức \(f\left( x \right) = 2023{x^2} - 2022x + 55\) là tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có \(\Delta = {b^2} - 4ac\). Điều kiện để \(f\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) là
\(a < 0,\,\Delta \le 0\);
\(a < 0,\,\Delta \ge 0\);
\(a < 0,\,\Delta < 0\);
\(a > 0,\,\Delta < 0\).
Đáp án đúng là: C
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có \(\Delta = {b^2} - 4ac\).
Điều kiện để \(f\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) là \(a < 0,\,\Delta < 0\).
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu như sau:
\(x\) | \( - \infty \) – 1 3 \( + \infty \) |
\(f\left( x \right)\) | – 0 + 0 – |
Hỏi \(f\left( x \right)\) là tam thức nào dưới đây?
\(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 3\);
\(f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3\);
\(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x - 3\);
\(f\left( x \right) = - {x^2} - 2x + 3\).
Đáp án đúng là: A
Quan sát bảng xét dấu ta thấy \(f\left( { - 1} \right) = 0\) và \(f\left( 3 \right) = 0\) nên \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm \(x = - 1\) và \(x = 3\), do đó loại đáp án C và D.
Lại có \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( { - 1;\,\,3} \right)\) và \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;\,\, - 1} \right) \cup \left( {3;\,\, + \infty } \right)\).
Vậy ta chọn đáp án A: \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 3\) do có hệ số \(a = - 1 < 0\) (trong trái ngoài cùng).
Số giá trị nguyên của \(x\) để tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9\) nhận giá trị âm là
3;
4;
5;
6.
Đáp án đúng là: C
Xét tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9\) có \(\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.2.\left( { - 9} \right) = 121 > 0\) nên tam thức này có hai nghiệm \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = \frac{9}{2}\).
Mặt khác có hệ số \(a = 2 > 0\) nên ta có bảng xét dấu sau:
\(x\) | \( - \infty \) – 1 \(\frac{9}{2}\) \( + \infty \) |
\(f\left( x \right)\) | + 0 – 0 + |
Từ bảng xét dấu ta thấy \(f\left( x \right)\) nhận giá trị âm khi \(x \in \left( { - 1;\,\,\frac{9}{2}} \right)\).
Các giá trị nguyên trong khoảng \(\left( { - 1;\,\,\frac{9}{2}} \right)\) là 0; 1; 2; 3; 4 (có 5 giá trị).
Các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( x \right) = {x^2} - mx + 4m\) luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\) là
\(0 < m < 16\);
\( - 4 < m < 4\);
\(0 < m < 4\);
\(0 \le m \le 16\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(f\left( x \right) = {x^2} - mx + 4m\) có \(a = 1 > 0\) nên để \(f\left( x \right)\) luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì\(\Delta < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 16m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 16\).
Bất phương trình nào dưới đây là bất phương trình bậc hai một ẩn?
\(5{x^2} + {x^3} - 3 > 0\);
\({2^2}{x^2} - 4{x^2} + 12 < 0\);
\({3^3}x + 2{x^2} - 5 \le 0\);
\(3{x^2} - x - 3 \ge 3{x^2} - 3x\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \({3^3}x + 2{x^2} - 5 \le 0 \Leftrightarrow 27x + 2{x^2} - 5 \le 0 \Leftrightarrow 2{x^2} + 27x - 5 \le 0\), đây là bất phương trình bậc hai một ẩn.
\(x = 0\) không phải là một nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
\(3{x^2} - x - 1 < 0\);
\({x^2} + x + 5 > 0\);
\({x^2} + 2x + 4 > 0\);
\(4{x^2} - x + 1 < 0\).
Đáp án đúng là: D
Thay \(x = 0\) vào các bất phương trình đã cho ta thấy bất phương trình ở đáp án D không thỏa mãn do \({4.0^2} - 0 + 1 = 1 > 0\) nên \(x = 0\) không là một nghiệm của bất phương trình \(4{x^2} - x + 1 < 0\).
Phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
\(m > 1\);
\(m < - 3\) hoặc \(m > 1\);
\( - 3 < m < 1\);
\( - 3 \le m \le 1\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \({\Delta _m} > 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 4 > 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 > 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1;\, + \infty } \right)\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x - 4 \le 0\) là
\(S = \left[ { - 1;4} \right]\);
\(S = \left( { - \infty ; - 1} \right)\);
\(S = \left( {4; + \infty } \right)\);
\(S = \left( { - 1;4} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x - 4\) có \(a = 1 > 0\)
\(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 4} \right) = 25 > 0\)
Do đó, \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt {25} }}{{2.1}} = 4\); \({x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt {25} }}{{2.1}} = - 1\).
Như vậy, \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1;4} \right]\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 3x - 4 \le 0\) là \(S = \left[ { - 1;4} \right]\).
Gọi \(S\) là tập nghiệm của bất phương trình \( - {x^2} + 6x + 7 \ge 0\). Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của \(S\)?
\(\left[ { - 1;\,\,7} \right]\);
\(\left[ { - 7;\,\,\,1} \right]\);
\(\left( {0;\,\,6} \right)\);
\(\left( { - 1;\,\,7} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \( - {x^2} + 6x + 7 \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 7\).
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ { - 1;\,\,7} \right]\).
Ta thấy \(\left[ { - 7;\,\,1} \right] \not\subset S\).
Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là đúng?
Tập nghiệm của phương trình \[\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \] là tập nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f\];
Tập nghiệm của phương trình \[\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \] là tập nghiệm của phương trình \[{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^2} = {\left( {d{x^2} + ex + f} \right)^2}\];
Mọi nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f\] đều là nghiệm của phương trình \[\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \];
Tập nghiệm của phương trình \[\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \] là tập hợp các nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f\] thỏa mãn bất phương trình \(a{x^2} + bx + c \ge 0\) (hoặc \(d{x^2} + ex + f \ge 0\)).
Đáp án đúng là: D
Tập nghiệm của phương trình \[\sqrt {a{x^2} + bx + c} = \sqrt {d{x^2} + ex + f} \] là tập hợp các nghiệm của phương trình \[a{x^2} + bx + c = d{x^2} + ex + f\] thỏa mãn bất phương trình \(a{x^2} + bx + c \ge 0\) (hoặc \(d{x^2} + ex + f \ge 0\)).
Phương trình \[\sqrt { - {x^2} + 4x} = 2x - 2\] có số nghiệm là
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: B
Bình phương hai vế của phương trình \[\sqrt { - {x^2} + 4x} = 2x - 2\] ta được
\( - {x^2} + 4x = 4{x^2} - 8x + 4\).
Sau khi thu gọn ta được \(5{x^2} - 12x + 4 = 0\). Từ đó tìm được \(x = 2\) hoặc \(x = \frac{2}{5}\).
Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có \(x = 2\) thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là \(x = 2\).
Cho phương trình \(\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} = \sqrt {2m + 3x - {x^2}} \) (1). Để phương trình (1) có nghiệm thì \(m \in \left[ {a;\,\,b} \right]\). Giá trị \({a^2} + {b^2}\) bằng
2;
4;
1;
3.
Ta có:
\(\sqrt { - {x^2} + 4x - 3} = \sqrt {2m + 3x - {x^2}} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + 4x - 3 \ge 0\\ - {x^2} + 4x - 3 = 2m + 3x - {x^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 3\\x = 2m + 3\end{array} \right.\)
Để phương trình (1) có nghiệm thì \(1 \le 2m + 3 \le 3 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 0 \Rightarrow m \in \left[ { - 1;\,\,0} \right]\).
Suy ra \(a = - 1,\,\,b = 0\), do đó \({a^2} + {b^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {0^2} = 1\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho vectơ \(\overrightarrow b = 3\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow b \) là
\(\left( {3;5} \right)\);
\(\left( {3; - 5} \right)\);
\(\left( { - 3; - 5} \right)\);
\(\left( { - 3;5} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta có vectơ \(\overrightarrow b = 3\overrightarrow i - 5\overrightarrow j = 3\overrightarrow i + \left( { - 5} \right)\overrightarrow j \). Vậy \(\overrightarrow b = \left( {3; - 5} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \[A\left( {3;\,4} \right)\]và \[B\left( {3;\,7} \right)\]. Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là
\(\left( {0;\,\,3} \right)\);
\(\left( {6;\,\,11} \right)\);
\(\left( {4;\,\,3} \right)\);
\(\left( {6;\,\,3} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \[A\left( {3;\,\,4} \right)\]và \[B\left( {3;\,\,7} \right)\].
Khi đó, tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 3;7 - 4} \right) = \left( {0;\,\,3} \right)\).
Cho các vectơ \(\overrightarrow u = \left( {3;6} \right)\), \(\overrightarrow v = \left( {1;2} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương cùng hướng;
\(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương ngược hướng;
\(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) bằng nhau;
\(\overrightarrow u = 2\overrightarrow v \).
Đáp án đúng là: A
Cho các vectơ \(\overrightarrow u = \left( {3;6} \right)\); \(\overrightarrow v = \left( {1;2} \right)\) nên ta có: \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow v \).
Vậy \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương cùng hướng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(E\left( {1;\, - 2} \right)\) và \(F\left( {2;\,\, - 9} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(FE\) bằng
\(\sqrt {10} \);
\(2\sqrt {10} \);
\(2\sqrt 5 \);
\(5\sqrt 2 \).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(FE = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 9 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}} = 5\sqrt 2 \).
Cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {3;4} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {0;2} \right)\). Tích vô hướng \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \) bằng
9;
– 8;
8;
0.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 2 = 8\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( { - 1;\,\,1} \right),\,B\left( { - 5;\, - 3} \right)\) và \(C\) thuộc trục \(Oy\), trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) nằm trên trục \(Ox\). Tọa độ của điểm \(C\) là
\(\left( {0;\,\,4} \right)\);
\(\left( {0;\,\,2} \right)\);
\(\left( {2;\,\,0} \right)\);
\(\left( {4;\,\,0} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(C \in Oy \Rightarrow C\left( {0;\,\,c} \right)\), \(G \in Ox \Rightarrow G\left( {g;\,\,0} \right)\).
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}g = \frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 5} \right) + 0}}{3}\\0 = \frac{{1 + \left( { - 3} \right) + c}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g = - 2\\c = 2\end{array} \right.\).
Vậy \(C\left( {0;\,\,2} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 3t\\y = 6 - 2t\end{array} \right.\). Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là
\(\overrightarrow n = \left( {3;\,\, - 2} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {2;\,\,3} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {2;\,\, - 3} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {6;\,\, - 4} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 3t\\y = 6 - 2t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3;\,\, - 2} \right)\), do đó nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;\,\,3} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {3;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( { - 6;\,\,2} \right)\). Phương trình nào sau đây không phải là phương trình tham số của đường thẳng \(AB\)?
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3t\\y = t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 6 - 3t\\y = 2 + t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Cách 1. Thay tọa độ các điểm \(A,\,\,B\) lần lượt vào các phương trình trong các đáp án thì thấy đáp án B không thỏa mãn.
Cách 2. Nhận thấy rằng các phương trình ở các đáp án A, C, D thì vectơ chỉ phương của các đường thẳng đó cùng phương, riêng chỉ có đáp án B thì không. Do đó chọn đáp án B.
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 4t\\y = 2 - 6t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t'\\y = 4 + 3t'\end{array} \right.\). Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng đã cho.
Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\)song song với nhau;
Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\)trùng nhau;
Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\)vuông góc;
Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\)cắt nhau nhưng không vuông góc.
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 4t\\y = 2 - 6t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {4;\,\, - 6} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t'\\y = 4 + 3t'\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;\,\,3} \right)\).
Nhận thấy \(\overrightarrow {{u_1}} = - 2\overrightarrow {{u_2}} \). Do đó hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song hoặc trùng nhau.
Lại có \(A\left( {1;\,\,4} \right)\) thuộc \({\Delta _2}\) nhưng không thuộc \({\Delta _1}\). Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.
Góc giữa hai đường thẳng \(a:2x - y - 10 = 0\) và \(b:x - 3y - 9 = 0\) bằng
30°;
45°;
60°;
90°.
Đáp án đúng là: B
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\).
Đường thẳng \(a:2x - y - 10 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,\, - 1} \right)\);
Đường thẳng \(b:x - 3y - 9 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\, - 3} \right)\).
Ta có: \(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Do đó, \(\varphi = 45^\circ \).
Khoảng cách từ điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1\) là
\(\frac{{24}}{5}\);
\(\frac{{24}}{{25}}\);
\(\frac{1}{{10}}\);
\(\frac{{12}}{{25}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\Delta :\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1\)\( \Leftrightarrow 24\left( {\frac{x}{6} + \frac{y}{8}} \right) = 24 \Leftrightarrow 4x + 3y - 24 = 0\).
Khoảng cách từ điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) đến \(\Delta \) là \(d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 24} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{{24}}{5}\).
Đường thẳng đi qua \(A\left( {2;\,\,1} \right)\) và song song với đường thẳng \(\Delta :2x + 3y - 2 = 0\) là
\(x - y + 3 = 0\);
\(3x - 2x - 4 = 0\);
\(2x + 3y - 7 = 0\);
\(4x + 6y - 11 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {2;\,\,1} \right)\) và song song với đường thẳng \(\Delta :2x + 3y - 2 = 0\).
Khi đó, \(\overrightarrow {{n_d}} = \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {2;\,\,3} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(d\) là: \(2\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,2x + 3y - 7 = 0\).
Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?
\({x^2} + 2{y^2} - 7x + 8y - 9 = 0\);
\(2{x^2} + 2{y^2} + 12x - 20y - 4 = 0\);
\(2{x^2} + 3{y^2} - 6x - 1 = 0\);
\({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 10 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Loại ngay đáp án A và C vì hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) không bằng nhau.
Xét đáp án B: \(2{x^2} + 2{y^2} + 12x - 20y - 4 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 6x - 10y - 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2.\left( { - 3} \right)x - 2.5y - 2 = 0\).
Ta có: \(\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {5^2} - \left( { - 2} \right)} = \sqrt {36} = 6 > 0\).
Do đó, \(2{x^2} + 2{y^2} + 12x - 20y - 4 = 0\) là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( { - 3;\,\,5} \right)\) và bán kính \(R = 6\).
Xét đáp án D: \({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 10 = 0\), đây không phải phương trình đường tròn do \({\left( { - 1} \right)^2} + {1^2} - 10 = - 8 < 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 25\). Tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\) là
\(I(-3;\,4),\, R = 25\);
\(I(-3;\,4),\, R = 5\);
\(I(3,\,-4),\, R = 5\);
\(I(3;\,-4),\, R = 25\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - \left( { - 4} \right)} \right)^2} = {5^2}\).
Do đó, đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I(3,\,-4)\) và bán kính \(R = 5\).
Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm \(I\left( {1;\,\,2} \right)\), bán kính bằng 5?
\({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\);
\({x^2} + {y^2} + 2x + 4y + 20 = 0\);
\({x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 20 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 20 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình của đường tròn tâm \(I\left( {1;\,\,2} \right)\), bán kính bằng 5 là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {5^2}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường tròn có tâm \(M\left( {0;\,\,3} \right)\) và đi qua điểm \(N\left( {4;\,\,0} \right)\) có phương trình là
\({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 5\);
\({\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 25\);
\({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\);
\({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\).
Đáp án đúng là: D
Đường tròn cần lập có tâm \(M\left( {0;\,\,3} \right)\) và đi qua điểm \(N\left( {4;\,\,0} \right)\) nên có bán kính là
\(R = MN = \sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {0 - 3} \right)}^2}} = 5\).
Phương trình đường tròn cần lập là \({\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {5^2}\,\,\,{\rm{hay}}\,\,{x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\) và điểm \(A\left( {0;\,\,1} \right)\). Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\) có phương trình là
\(x - 2y + 2 = 0\);
\( - x + 4y - 4 = 0\);
\(y + 2 = 0\);
\(y - 4 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({\left( {0 + 1} \right)^2} + {\left( {1 - 3} \right)^2} = 5\), do đó \(A\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\).
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\) có tâm là \(I\left( { - 1;\,\,3} \right)\). Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A\left( {0;\,\,1} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IA} = \left( {1;\, - 2} \right)\), nên có phương trình
\(1\left( {x - 0} \right) - 2\left( {y - 1} \right) = 0\) hay \(x - 2y + 2 = 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của một hypebol?
\({x^2} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\);
\({x^2} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{{{2^2}}} - \frac{{{y^2}}}{2} = - 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình \({x^2} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) là phương trình chính tắc của một hypebol do nó có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) thỏa mãn \(a = 1 > 0,\,\,b = 2\, > 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol?
\({y^2} = \frac{1}{2}x\);
\({y^2} = - 2x\);
\({x^2} = - 4y\);
\({x^2} = \frac{1}{2}y\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình \({y^2} = \frac{1}{2}x\) là phương trình chính tắc của parabol do nó có dạng \({y^2} = 2px\) với \(p = \frac{1}{4} > 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], tiêu cự của elip \[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\] bằng
3;
6;
4;
5.
Đáp án đúng là: B
Ta có \[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 16\end{array} \right. \Rightarrow {c^2} = 25 - 16 = 9 \Rightarrow c = 3\].
Vậy tiêu cự \[2c = 6\].
Phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\) biết khoảng cách từ tiêu điểm \(F\) của parabol \(\left( P \right)\) đến đường thẳng \(d:x + y - 12 = 0\) bằng \(2\sqrt 2 \) là
\({y^2} = 32x\) và \({y^2} = 16x\);
\({y^2} = 8x\);
\({y^2} = 16x\);
\({y^2} = 32x\) và \({y^2} = 64x\).
Đáp án đúng là: D
Gọi phương trình chính tắc của \(\left( P \right):{y^2} = 2px\,\,\left( {p > 0} \right)\).
Toạ độ tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\).
Ta có khoảng cách từ \(F\) đến đường thẳng \(d\) bằng \(2\sqrt 2 \) nên
\(d\left( {F,\,d} \right) = \frac{{\left| {\frac{p}{2} - 12} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {\frac{p}{2} - 12} \right| = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{p}{2} - 12 = 4\\\frac{p}{2} - 12 = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}p = 32\\p = 16\end{array} \right.\)
Vậy phương trình chính tắc của \(\left( P \right):{y^2} = 32x\) hoặc \({y^2} = 64x\).
Cho elip có phương trình \[\left( E \right):9{x^2} + 25{y^2} = 225\]. Tính diện tích hình chữ nhật cơ sở ngoại tiếp \[\left( E \right)\] (như hình vẽ).
15;
30;
40;
60.
Đáp án đúng là: D
Phương trình chính tắc của \[\left( E \right)\]: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\end{array} \right.\]
Độ dài trục lớn \(2a = 10\); độ dài trục bé \(2b = 6\).
Diện tích hình chữ nhật cơ sở ngoại tiếp \[\left( E \right)\] là \[S = 2a.2b = 10.6 = 60\] (đvdt).
Một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 12 m, độ dài trục bé bằng 8 m. Người ta dự định trồng hoa trong một hình chữ nhật nội tiếp của elip như hình vẽ.
Hỏi diện tích trồng hoa lớn nhất có thể là bao nhiêu?
Đặt phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) \(\left( {a > b > 0} \right)\).
Theo bài ra ta có: \(2a = 12 \Rightarrow a = 6\), \(2b = 8 \Rightarrow b = 4\).
Suy ra \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
Chọn \(C\left( {{x_C};\,{y_C}} \right)\) là một đỉnh hình chữ nhật với \({x_C} > 0,{y_C} > 0\).
Do \(C \in \left( E \right)\)\( \Rightarrow \frac{{x_C^2}}{{36}} + \frac{{y_C^2}}{{16}} = 1\).
Diện tích hình chữ nhật là \(S = 4{x_C}{y_C} = 48.2.\frac{{{x_C}}}{6}.\frac{{{y_C}}}{4} \le 48\left( {\frac{{x_C^2}}{{36}} + \frac{{y_C^2}}{{16}}} \right) = 48\).
Vậy diện tích trồng hoa lớn nhất có thể là \(48\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Cho các số thực \(x,\,y\) thỏa mãn bất phương trình
\(5{x^2} + 5{y^2} - 5x - 15y + 8 \le 0\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = x + 3y\).
Do \[S = x + 3y \Rightarrow x = S - 3y\], thay vào giả thiết \(5{x^2} + 5{y^2} - 5x - 15y + 8 \le 0\) và viết theo hệ số của biến \(y\) ta thu được
\(50{y^2} - 30Sy + 5{S^2} - 5S + 8 \le 0\,\,\,\,\left( * \right)\).
Vì bất đẳng thức trên đúng với mọi \(y\) nên ta có \(\Delta \ge 0\), tức là
\(900{S^2} - 4.50.(5{S^2} - 5S + 8) \ge 0\).
Biến đổi tương đương ta thu được \( - 100{S^2} + 1000S - 1600 \ge 0\)
hay \(100{S^2} - 1000S + 1600 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le S \le 8\).
Khi \[S = 2\] thay vào (*) được \(50{y^2} - 60y + 18 \le 0 \Leftrightarrow y = \frac{3}{5}\) nên \(x = S - 3y = 2 - \frac{9}{5} = \frac{1}{5}\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = x + 3y\) là 2 tại \(x = \frac{1}{5},\,\,y = \frac{3}{5}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( { - 1;\,1} \right),\,B\left( {0;\,\,2} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) sao cho khoảng cách từ điểm \(A\) tới \(d\) bằng \(\sqrt 8 \), khoảng cách từ điểm \(B\) tới \(d\) bằng \(\sqrt 2 \).
Giả sử đường thẳng \(d\) có dạng: \(y = ax + b\,\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,d:ax - y + b = 0\).
Ta có: \(d\left( {A,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a.\left( { - 1} \right) - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 8 \). Suy ra \(\frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \sqrt {{a^2} + 1} \).
Lại có: \(d\left( {B,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a.0 - 2 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 2 \). Suy ra \(\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{a^2} + 1} \) (*).
Do đó, \(\frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }}\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| { - a + b - 1} \right| = \sqrt 8 \left| {b - 2} \right|\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| { - a + b - 1} \right| = 2\sqrt 2 \left| {b - 2} \right|\)
\( \Leftrightarrow \left| { - a + b - 1} \right| = 2\left| {b - 2} \right|\)
Trường hợp 1: \( - a + b - 1 = 2\left( {b - 2} \right) \Leftrightarrow a + b - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow a = 3 - b\).
Thay \(a = 3 - b\) vào (*) ta được: \(\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{{\left( {3 - b} \right)}^2} + 1} \Leftrightarrow \left| {b - 2} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {{b^2} - 6b + 10} \)
\( \Rightarrow {b^2} - 4b + 4 = 2\left( {{b^2} - 6b + 10} \right)\)\( \Leftrightarrow {b^2} - 8b + 16 = 0 \Leftrightarrow b = 4\).
Suy ra \(a = 3 - 4 = - 1\).
Vậy \(d: - x - y + 4 = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,d:x + y - 4 = 0\).
Trường hợp 2: \( - a + b - 1 = - 2\left( {b - 2} \right) \Leftrightarrow a - 3b + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow a = 3b - 5\).
Thay \(a = 3b - 5\) vào (*) ta được: \(\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{{\left( {3b - 5} \right)}^2} + 1} \Leftrightarrow \left| {b - 2} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {9{b^2} - 30b + 26} \)
\( \Rightarrow {b^2} - 4b + 4 = 2\left( {9{b^2} - 30b + 26} \right)\)\( \Leftrightarrow 17{b^2} - 56b + 48 = 0\) (vô nghiệm).
Vậy phương trình đường thẳng \(d\) cần lập có dạng: \(x + y - 4 = 0\).
