Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 2
38 câu hỏi
Biểu thức nào dưới đây là tam thức bậc hai ?
\(f\left( x \right) = x + 4\);
\(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 1\);
\(f\left( x \right) = 43\);
\(f\left( x \right) = {x^2} + 4x + 2{x^3}\).
Đáp án đúng là: B
Tam thức bậc hai (đối với \(x\)) là biểu thức dạng \[a{x^2} + bx + c\], trong đó \(a\), \(b\), \(c\) là những số cho trước với \(a \ne 0\).
Như vậy \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 1\) là tam thức bậc hai.
Cho tam thức \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\], điều kiện để \(f\left( x \right) > 0\) với mọi số thực \(x\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta > 0\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: C
Tam thức \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\] là tam thức bậc hai, do đó điều kiện để \(f\left( x \right) > 0\) với mọi số thực \(x\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).
Cho tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = 4{x^2} - 5\,\], các hệ số của tam thức này là
\(a = 4;b = 0;c = 5\);
\(a = 4;b = 1;c = 5;\)
\(a = 4;b = 0;c = - 5\);
\(a = 4;b = 1;c = - 5\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[f\left( x \right) = 4{x^2} - 5\, = 4{x^2} + 0x - 5\].
Do đó, các hệ số của tam thức này là: \(a = 4;b = 0;c = - 5\).
Tam thức \[f\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - 5\,\] không dương trên khoảng, nửa khoảng, đoạn nào sau đây ?
\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\);
\(\left( { - \infty ;\frac{{ - 3 + 2\sqrt 6 }}{3}} \right]\);
\(\left[ {\frac{{ - 3 - 2\sqrt 6 }}{3}; + \infty } \right)\);
\(\left[ {\frac{{ - 3 - 2\sqrt 6 }}{3};\frac{{ - 3 + 2\sqrt 6 }}{3}} \right]\).
Đáp án đúng là: D
Xét tam thức \[f\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - 5\,\] có:
\(a = 3 > 0\);
\(\Delta ' = {3^2} - 3.\left( { - 5} \right) = 24 > 0 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 2\sqrt 6 \).
Như vậy, \[f\left( x \right) = 3{x^2} + 6x - 5\, = 0\] có 2 nghiệm là: \({x_1} = \frac{{ - 3 - 2\sqrt 6 }}{3}\); \({x_2} = \frac{{ - 3 + 2\sqrt 6 }}{3}\).
Do đó, \(f\left( x \right) \le 0\) (không dương) trên đoạn \(\left[ {\frac{{ - 3 - 2\sqrt 6 }}{3};\frac{{ - 3 + 2\sqrt 6 }}{3}} \right]\).
Tam thức nào sau đây luôn dương với mọi giá trị của \(x\)?
\({x^2} - 10x + 2\);
\({x^2} - 2x - 10\);
\({x^2} - 2x + 10\);
\( - {x^2} + 2x + 10\).
Đáp án đúng là: C
Xét từng đáp án:
+) Tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 10x + 2\) có \(a = 1 > 0\) và \(\Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 1.2 = 23 > 0\) nên tam thức này có hai nghiệm \({x_1} = 5 - \sqrt {23} ,\,\,{x_2} = 5 + \sqrt {23} \). Do đó, \(f\left( x \right) > 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( { - \infty ;5 - \sqrt {23} } \right) \cup \left( {5 + \sqrt {23} ; + \infty } \right)\), loại đáp án A.
+) Tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 10\) có \(a = 1 > 0\) và \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.\left( { - 10} \right) = 11 > 0\) nên tam thức này có hai nghiệm \({x_1} = 1 - \sqrt {11} ,\,\,{x_2} = 1 + \sqrt {11} \). Do đó, \(f\left( x \right) > 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( { - \infty ;1 - \sqrt {11} } \right) \cup \left( {1 + \sqrt {11} ; + \infty } \right)\), loại đáp án B.
+) Tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 10\) có \(a = 1 > 0\) và \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.10 = - 9 < 0\) . Do đó, \(f\left( x \right) > 0\) (cùng dấu \(a\)) với mọi số thực \(x\), chọn đáp án C.
Bất phương trình nào dưới đây không là bất phương trình bậc hai một ẩn?
\(2{x^2} - 15x + 35 > 0\);
\({x^2} + x - 5 > 0\);
\({x^4} + {x^2} - 8 > 0\);
\(2{x^2} + 5x - 1 \ge 4{x^2} + 8x\).
Đáp án đúng là: C
Bất phương trình \({x^4} + {x^2} - 8 > 0\) không phải là bất phương trình bậc hai một ẩn.
\(x = 1\) là một nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
\({x^2} - 3x + 1 > 0\);
\({x^2} + x - 5 > 0\);
\({x^2} + x + 3 < 0\);
\({x^2} - 2x - 1 < 0\).
Đáp án đúng là: D
Thay \(x = 1\) vào từng bất phương trình, ta thấy \(x = 1\) là một nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 2x - 1 < 0\).
Vì \({1^2} - 2.1 - 1 = - 2 < 0\).
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({x^2} - 7x + 10 < 0\) là
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: B
Xét tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 7x + 10\) có \(\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.1.10 = 9 > 0\) nên tam thức này có hai nghiệm \({x_1} = 2,\,\,{x_2} = 5\).
Lại có hệ số \(a = 1 > 0\) nên \(f\left( x \right) = {x^2} - 7x + 10 < 0\) khi \(x \in \left( {2;\,\,5} \right)\).
Các nghiệm nguyên của bất phương trình \({x^2} - 7x + 10 < 0\) là: \(x = 3;\,\,x = 4\).
Phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1 = 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi
\(m > 1\);
\( - 3 < m < 1\);
\(m \le - 3\) hoặc \(m \ge 1\);
\( - 3 \le m \le 1\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1 = 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta _m} < 0\)
\( \Leftrightarrow {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 4.\,1.1 < 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 < 0\)
\( \Leftrightarrow - 3 < m < 1\).
Tập nghiệm của bất phương trình bậc hai \({x^2} + 2x - 6 > 0\) là
\(S = \left( { - \infty ; - 1 - \sqrt 7 } \right) \cup \left( { - 1 + \sqrt 7 ; + \infty } \right)\);
\(S = \left( { - \infty ; - 1 - \sqrt 7 } \right)\);
\(S = \left( { - 1 + \sqrt 7 ; + \infty } \right)\);
\(S = \mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: A
Xét tam thức bậc hai: \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 6\) có:
\(a = 1 > 0\);
\(\Delta = {2^2} - 4.1.( - 6) = 28 > 0\).
Có \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 6 = 0\) có hai nghiệm là:
\({x_1} = \frac{{ - 2 - \sqrt {28} }}{{2.1}} = - 1 - \sqrt 7 \); \({x_1} = \frac{{ - 2 + \sqrt {28} }}{{2.1}} = - 1 + \sqrt 7 \).
Ta có, \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 6 > 0\) trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1 - \sqrt 7 } \right)\) và \(\left( { - 1 + \sqrt 7 ; + \infty } \right)\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} + 2x - 6 > 0\) là:
\(S = \left( { - \infty ; - 1 - \sqrt 7 } \right) \cup \left( { - 1 + \sqrt 7 ; + \infty } \right)\).
Một nghiệm của phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 4x + 5} = 2x + 1\) là
\(x = 1\);
\(x = 3\);
\(x = 2\);
\(x = 0\).
Đáp án đúng là: C
Thay \(x = 2\) vào hai vế phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 4x + 5} = 2x + 1\) có:
\(\sqrt {{{3.2}^2} + 4.2 + 5} = 5 = 2.2 + 1\)
Như vậy, \(x = 2\) là một nghiệm của phương trình \(\sqrt {3{x^2} + 4x + 5} = 2x + 1\).
Phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x + 3} = \sqrt {3{x^2} - 1} \) có bao nhiêu nghiệm ?
1 nghiệm;
2 nghiệm;
3 nghiệm;
Vô nghiệm.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\sqrt {{x^2} - 2x + 3} = \sqrt {3{x^2} - 1} \)
\( \Rightarrow {x^2} - 2x + 3 = 3{x^2} - 1\)
\( \Rightarrow 2{x^2} + 2x - 4 = 0\)
\( \Rightarrow {x^2} + x - 2 = 0\)
\( \Rightarrow x = 1\) hoặc \(x = - 2\)
Với \(x = 1\) ta có: \(\sqrt {{1^2} - 2.1 + 3} = \sqrt 2 = \sqrt {{{3.1}^2} - 1} \), do đó, \(x = 1\) là một nghiệm của phương trình đã cho.
Với \(x = - 2\) ta có: \(\sqrt {{{( - 2)}^2} - 2.( - 2) + 3} = \sqrt {11} = \sqrt {3.{{( - 2)}^2} - 1} \), do đó, \(x = - 2\) là một nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x + 3} = \sqrt {3{x^2} - 1} \) có hai nghiệm.
Một nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x + 3} = x + 2\) là
\(x = - \frac{1}{2}\);
\(x = \frac{1}{2}\);
\(x = - \frac{1}{4}\);
\(x = \frac{1}{4}\).
Đáp án đúng là: A
Thay \(x = - \frac{1}{2}\) vào hai vế phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x + 3} = x + 2\) ta có:
\(\sqrt {{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2} + 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + 3} = \frac{3}{2} = \left( { - \frac{1}{2}} \right) + 2\).
Như vậy, \(x = - \frac{1}{2}\) là một nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x + 3} = x + 2\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho vectơ \(\overrightarrow v = - 7\overrightarrow i + 8\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow v \) là
\(\overrightarrow v = \left( {7;\, - 8} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( {7;\,8} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( { - 7;\, - 8} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( { - 7;\,8} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow v = - 7\overrightarrow i + 8\overrightarrow j \), khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow v \) là \(\overrightarrow v = \left( { - 7;\,8} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {2;\,\, - 3} \right)\) và \(B\left( { - 5;\, - 4} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {BA} \) là
\(\overrightarrow {BA} = \left( {7;\,\,1} \right)\);
\(\overrightarrow {BA} = \left( { - 7;\,\, - 1} \right)\);
\(\overrightarrow {BA} = \left( {7;\, - 1} \right)\);
\(\overrightarrow {BA} = \left( { - 7;\,1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {BA} = \left( {2 - \left( { - 5} \right);\, - 3 - \left( { - 4} \right)} \right) = \left( {7;\,\,1} \right)\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {6;{\rm{ }}1} \right),{\rm{ }}B\left( { - 3;{\rm{ }}5} \right)\) và trọng tâm \(G\left( { - 1;{\rm{ }}1} \right)\). Tìm tọa độ đỉnh \(C\).
\(\left( {6;\, - 3} \right)\);
\(\left( { - 6;\,\,3} \right)\);
\(\left( { - 6;\, - 3} \right)\);
\(\left( { - 3;\,\,6} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\).
Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 6 - \left( { - 3} \right) = - 6\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3 \cdot 1 - 1 - 5 = - 3\end{array} \right.\]. Vậy \(C\left( { - 6;\, - 3} \right)\).
Cho hai điểm \(A\left( {2;\,2} \right)\) và \(B\left( {5;\, - 2} \right)\). Tìm điểm \(M\) nằm trên tia \[Ox\] sao cho \(\widehat {AMB} = 90^\circ \).
\(M\left( {1;\,\,6} \right)\);
\(M\left( {6;\,\,0} \right)\);
\(M\left( {1;\,\,0} \right)\) hoặc \(M\left( {6;\,\,0} \right)\);
\(M\left( {0;\,\,1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Vì điểm \(M\) nằm trên tia \[Ox\] nên gọi tọa độ điểm \(M\) là \(M\left( {x;\,\,0} \right)\).
Khi đó, \(\overrightarrow {MA} = \left( {2 - x;\,\,2} \right),\,\,\overrightarrow {MB} = \left( {5 - x;\, - 2} \right)\).
Ta có: \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) \( \Leftrightarrow MA \bot MB \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \bot \overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( {5 - x} \right) + 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = 1\end{array} \right.\).
Vậy \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) hoặc \(M\left( {6;\,\,0} \right)\).
Cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;\, - 3} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {2;\,5} \right)\). Tích vô hướng của \(\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)\) bằng
16;
26;
36;
– 16.
Đáp án đúng là: D
Cách 1:
\(\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)\)\( = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {\left( {\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} } \right)^2} + 2\left( {1 \cdot 2 + \left( { - 3} \right) \cdot 5} \right) = - 16\).
Cách 2: \(2\overrightarrow b = \left( {2 \cdot 2;\,2 \cdot 5} \right) = \left( {4;\,10} \right) \Rightarrow \overrightarrow a + 2\overrightarrow b = \left( {1 + 4;\, - 3 + 10} \right) = \left( {5;\,7} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) = 1 \cdot 5 + \left( { - 3} \right) \cdot 7 = 5 - 21 = - 16\).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {3;\,\,7} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( { - 2;\,\,1} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow c = 2\overrightarrow a - 5\overrightarrow b \) là
\(\left( {9;\,\,16} \right)\);
\(\left( {16;\,\,9} \right)\);
\(\left( { - 16;\,\,9} \right)\);
\(\left( { - 4;\,\,9} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow c = 2\overrightarrow a - 5\overrightarrow b = 2\left( {3;\,\,7} \right) - 5\left( { - 2;\,\,1} \right) = \left( {16;\,\,9} \right)\).
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d:x - 3y + 1 = 0\) là
\(\overrightarrow u = \left( {3;1} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {3; - 1} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - 3;1} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {1;1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(d:x - 3y + 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến: \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)\).
Do đó, đường thẳng này có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3;1} \right)\).
Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng \(d:2x - y + 3 = 0\) ?
\(A\left( { - 1;\,\,1} \right)\);
\(B\left( { - 2; - 1} \right)\);
\(C\left( { - 3; - 3} \right)\);
\(D\left( {4; - 5} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Xét điểm \(D\left( {4; - 5} \right)\) ta có: \(2.4 - ( - 5) + 3 = 16 \ne 0\)
Do đó, điểm \(D\left( {4; - 5} \right)\) không thuộc đường thẳng \(d:2x - y + 3 = 0\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I\left( {2;5} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {0;1} \right)\) có phương trình tổng quát là
\(x + y - 5 = 0\);
\(y - 5 = 0\);
\(x - 2 = 0\);
\(x - y - 5 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I\left( {2;5} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {0;1} \right)\) có phương trình tổng quát là: \(0\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,y - 5 = 0\).
Đường thẳng \(d:4x - y + 5 = 0\) có phương trình tham số là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 1 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = - 1 + 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \(d:4x - y + 5 = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {4; - 1} \right)\), do đó, đường thẳng này có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;4} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng \(d:4x - y + 5 = 0\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\).
Cho đường thẳng \({d_1}\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;5} \right)\) và đường thẳng \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 5;3} \right)\) , khẳng định nào dưới đây là đúng ?
\({d_1}\) song song hoặc trùng với \({d_2}\);
\({d_1}\) vuông góc với \({d_2}\);
\({d_1}\) cắt nhưng không vuông góc với \({d_2}\);
Tất cả các đáp án trên đều sai.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 3.( - 5) + 5.3 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \).
Vậy \({d_1}\) vuông góc với \({d_2}\).
Góc giữa hai đường thẳng \(\Delta :4x - 3y + 6\) và \(d:x - 1 = 0\) là: \(\alpha = ?\) (làm tròn đến độ)
\[37^\circ \];
\[36^\circ \];
\[35^\circ \];
\[34^\circ \].
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(\Delta :4x - 3y + 6\) có vectơ pháp tuyến có \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {4; - 3} \right)\) và đường thẳng \(d:x - 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;0} \right)\).
Ta có: \[\cos \alpha = \frac{{\left| {4.1 + ( - 3).0} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{( - 3)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \frac{4}{5} \Rightarrow \alpha \approx 37^\circ \].
Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải phương trình đường tròn ?
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 24\);
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2\);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\);
\({x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = - 4\).
Đáp án đúng là: D
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R > 0\) có dạng: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)
Vậy \({x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = - 4\) không là phương trình đường tròn vì \( - 4 < 0\).
Cho phương trình đường tròn \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\), tâm và bán kính của đường tròn đó là
\(I\left( {1;2} \right)\) và \(R = 4\);
\(I\left( { - 1; - 2} \right)\) và \(R = 4\);
\(I\left( {1;2} \right)\) và \(R = 2\);
\(I\left( { - 1; - 2} \right)\) và \(R = 2\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\) hay \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {2^2}\).
Do đó, tâm và bán kính của đường tròn đó là: \(I\left( {1;2} \right)\) và \(R = 2\).
Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;4} \right)\) và bán kính \(R = 5\), phương trình đường tròn đó là
\({x^2} + {y^2} = 5\);
\({x^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\);
\({x^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25\);
\({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25\).
Đáp án đúng là: C
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;4} \right)\) và bán kính \(R = 5\) có phương trình là
\({\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {5^2}\,\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,{x^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 25\).
Cho hai điểm \(A\left( {3;4} \right)\) và \(B\left( {1;0} \right)\), phương trình đường tròn đường kính \(AB\) là
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = \sqrt 5 \);
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \sqrt 5 \);
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 5\);
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).
Đáp án đúng là: D
Tâm \(I\)của đường tròn là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\), có tọa độ là:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2\\{y_I} = \frac{{4 + 0}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;2} \right)\).
Độ dài đường kính \(AB\) là: \(\sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \)
Độ dài bán kính là: \(R = \sqrt 5 \).
Phương trình đường tròn là:
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2}\,\,{\rm{hay}}\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(C\left( {1;3} \right)\) và có tâm là điểm \(O\left( {0;0} \right)\) có phương trình là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = \sqrt {10} \);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 10\);
\({x^2} + {y^2} = 10\);
\({x^2} + {y^2} = \sqrt {10} \).
Đáp án đúng là: C
Bán kính của đường tròn là: \(R = OC = \sqrt {{{(0 - 1)}^2} + {{(0 - 3)}^2}} = \sqrt {10} \).
Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là: \({x^2} + {y^2} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2}\,\,{\rm{hay}}\,\,{x^2} + {y^2} = 10\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], elip nào dưới đây có phương trình chính tắc dạng
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\)?
;
;
;
.
Đáp án đúng là: C
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], elip có phương trình chính tắc dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\) là elip có hai tiêu điểm \({F_1},\,\,{F_2}\) nằm trên trục \(Ox\) sao cho \(O\) là trung điểm của \({F_1}{F_2}\). Vậy ta chọn hình ở đáp án C.
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của một hypebol?
\({x^2} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1\);
\({x^2} + \frac{{{y^2}}}{3} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{{{3^2}}} + \frac{{{y^2}}}{3} = - 1\);
\({x^2} - \frac{{{y^2}}}{5} = - 1\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình chính tắc của hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a,\,\,b > 0} \right)\).
Vậy \({x^2} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1\) là phương trình chính tắc của hypebol.
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol ?
\({y^2} = 4x\);
\({y^2} = - 2x\);
\({x^2} = - 4y\);
\({x^2} = 2y\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình chính tắc của parabol có dạng \({y^2} = 2px\,\,\left( {p > 0} \right)\).
Vậy \({y^2} = 4x\) là phương trình chính tắc của parabol.
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho elip \(\left( E \right):16{x^2} + 25{y^2} = 400\). Khẳng định nào sai trong các khẳng định sai?
\(\left( E \right)\) có trục nhỏ bằng 8;
\(\left( E \right)\) có tiêu cự bằng 3;
\(\left( E \right)\) có trục lớn bằng 10;
\(\left( E \right)\) có các tiêu điểm \({F_1}\left( { - 3;\,\,0} \right)\) và \({F_2}\left( {3;\,\,0} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\left( E \right):16{x^2} + 25{y^2} = 400\)\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
Do đó, elip \(\left( E \right)\) có \(a = \sqrt {25} = 5,\,\,b = \sqrt {16} = 4\), suy ra \(c = \sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 = 3\).
Vậy \(\left( E \right)\) có trục nhỏ \(2b = 2.4 = 8\), có trục lớn \(2a = 2.5 = 10\), có tiêu cự bằng \(2c = 2.3 = 6\) và có các tiêu điểm \({F_1}\left( { - 3;\,\,0} \right)\) và \({F_2}\left( {3;\,\,0} \right)\). Do đó, đáp án B sai.
Đường hypebol \(\frac{{{x^2}}}{5} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) có tiêu cự bằng
1;
2;
3;
6.
Đáp án đúng là: D
Từ \(\frac{{{x^2}}}{5} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\), ta suy ra \({a^2} = 5,\,\,{b^2} = 4\) nên \({c^2} = {a^2} + {b^2} = 5 + 4 = 9\), suy ra \(c = 3\).
Vậy tiêu cự của hypebol là \(2c = 2.3 = 6\).
Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:
20 khách đầu tiên có giá là 300 000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 20 người đăng kí thì cứ có thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 10 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách.
a) Gọi \(x\) là số lượng khách từ người thứ 21 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu của công ty theo \(x\).
b) Số người từ người thứ 21 trở lên của nhóm khách du lịch trong khoảng bao nhiêu thì công ty có lãi? Biết rằng chi phí của chuyến đi là 4 000 000 đồng.
Parabol có phương trình chính tắc là: \({y^2} = 2px\,\,\left( {p > 0} \right)\).
Vì \(AB = 40\) cm và \(h = 30\) cm nên \(A\left( {30;\,\,20} \right)\).
Do \(A\left( {30;\,\,20} \right)\) thuộc parabol nên ta có: \({20^2} = 2p\,.\,\,30 \Rightarrow p = \frac{{20}}{3}\).
Vậy parabol có phương trình chính tắc là: \({y^2} = \frac{{40}}{3}x\).
Hình dưới đây mô tả mặt cắt ngang của một chiếc đèn có dạng parabol trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) (\(x\) và \(y\) tính bằng xen-ti-mét). Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là \(AB = 40\) cm và chiều sâu \(h = 30\) cm (\(h\) bằng khoảng cách từ \(O\) đến \(AB\)). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm \(S\). Viết phương trình chính tắc của parabol đó.
Parabol có phương trình chính tắc là: \({y^2} = 2px\,\,\left( {p > 0} \right)\).
Vì \(AB = 40\) cm và \(h = 30\) cm nên \(A\left( {30;\,\,20} \right)\).
Do \(A\left( {30;\,\,20} \right)\) thuộc parabol nên ta có: \({20^2} = 2p\,.\,\,30 \Rightarrow p = \frac{{20}}{3}\).
Vậy parabol có phương trình chính tắc là: \({y^2} = \frac{{40}}{3}x\).
Người ta dự định xây một bồn trồng hoa hình vuông và một bồn trồng cây hình vuông khác. Hãy tìm độ dài cạnh của bồn trồng hoa và bồn trồng cây để tổng chu vi của chúng là 48 m mà tổng diện tích là nhỏ nhất (làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai).
Gọi độ dài một cạnh của bồn trồng hoa và bồn trồng cây lần lượt là \(x\), \(y\) (m).
\(\left( {x,y > 0} \right)\)
Chu vi của bồn trồng hoa là: \(4x\) (m).
Chu vi của bồn trồng cây là: \(4y\) (m).
Tổng chu vi của các bồn là: \(4x + 4y = 48 \Leftrightarrow x + y - 12 = 0\).
Diện tích của bồn trồng hoa là: \({x^2}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Diện tích của bồn trồng cây là: \({y^2}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Gọi tổng diện tích của chúng là \(S\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\). Khi đó ta có: \(S = {x^2} + {y^2}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = S\) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt S \) và đường thẳng \(\Delta :x + y - 12 = 0\).
Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm \(R\) nhỏ nhất để \(\left( C \right)\) và \(\Delta \) có ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương.
Bài toán trên tương đương với \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( C \right)\), đồng thời khi đó điểm \(M\) trùng với điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(\Delta \).
Ta có: \(OH \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {{u_{OH}}} = \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {1;1} \right)\).
Suy ra đường thẳng \(OH\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_{OH}}} = \left( { - 1;1} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(OH\) là: \( - 1\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y = 0\)
Điểm \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(OH\) và đường thẳng \(\Delta \) nên tọa độ của \(H\) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 12 = 0\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 6\end{array} \right.\).
Vậy độ dài cạnh bồn trồng hoa và bồn trồng cây đều là 6 m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
