Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 7

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(h\left( x \right) = 5{x^2} - 3\), \(g\left( x \right) = {3^2}{x^2} + 2{x^2} - 5x + 1 = 11{x^2} - 5x + 1\), \(k\left( x \right) = 7 - 3 - 3{x^2}\) là các tam thức bậc hai.

\(f\left( x \right) = 5 + 2x + {3^2}{x^2} - 9{x^2}\)\( = 5 + 2x + 9{x^2} - 9{x^2} = 5 + 2x\), đây không phải là tam thức bậc hai, nên đáp án A sai.

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai với tam thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), \(\left( {a \ne 0} \right)\), nếu \(\Delta  = {b^2} - 4ac < 0\) thì \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Đáp án đúng là: C

Dựa vào bảng xét dấu, ta có:

\(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty \,;\,1} \right) \cup \,\,\left( {5\,;\, + \infty } \right)\);

\(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( {1;\,\,5} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Thay \(x = 0\) vào các bất phương trình đã cho ta thấy bất phương trình ở đáp án D không thỏa mãn do \({4.0^2} - 0 + 1 = 1 > 0\) nên \(x = 0\) không là một nghiệm của bất phương trình \(4{x^2} - x + 1 < 0\).

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} - 3x + 2\) có hai nghiệm là \({x_1} =  - 2\), \({x_2} = \frac{1}{2}\).

Mặt khác có hệ số \(a =  - 2 < 0\), do đó ta có bảng xét dấu sau:

\(x\)	\( - \infty \)            – 2                   \(\frac{1}{2}\)                    \( + \infty \)
\(f\left( x \right)\)	–        0        +        0           –

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} - 3x + 2 > 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { - 2;\,\,\frac{1}{2}} \right)\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( { - 2;\,\,\frac{1}{2}} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {x - 1 + 2{x^2}}  = 2x - 1\) ta được:

\(x - 1 + 2{x^2} = 4{x^2} - 4x + 1\).

Thu gọn phương trình trên ta được: \(2{x^2} - 5x + 2 = 0\). Từ đó suy ra \(x = 2\) hoặc \(x = \frac{1}{2}\).

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{1}{2};\,2} \right\}\).

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 3x + 2}  = \sqrt {3{x^2} - 5x - 1} \) ta được:

\(2{x^2} - 3x + 2 = 3{x^2} - 5x - 1\).

Thu gọn phương trình trên ta được: \({x^2} - 2x - 3 = 0\). Từ đó suy ra \(x =  - 1\) hoặc \(x = 3\).

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3 - 1;\, - 6 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {2;\,\, - 4} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Cho các vectơ  \(\overrightarrow u  = \left( {3;6} \right)\); \(\overrightarrow v  = \left( {1;2} \right)\) nên ta có: \(\overrightarrow u  = 3\overrightarrow v \).

Vậy \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương cùng hướng.

Đáp án đúng là: A

\(G\) là trọng tâm của tam giác \[ABC\] khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + 4 + x}}{3} = 2x\\\frac{{3 + \left( { - 2} \right) + \left( {y - 1} \right)}}{3} = y + 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 + x = 6x\\y = 3y + 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 3\end{array} \right.\).

Vậy \(x = 1;\,\,y =  - 3\).

Đáp án đúng là: A

Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow 2m - 3\left( {m - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow  - m + 6 = 0 \Leftrightarrow m = 6\).

Đáp án đúng là: B

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {2;\, - 1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2;\, - 3} \right)\) là \(2\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y + 1} \right) = 0\) hay \(2x - 3y - 7 = 0\).

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng \({d_1}:2x + 3y + 15 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\,\,3} \right)\) và đường thẳng \({d_2}:x - 2y - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\, - 2} \right)\).

Ta thấy \(\frac{2}{1} \ne \frac{3}{{ - 2}}\) và \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 2.1 + 3.\left( { - 2} \right) =  - 4 \ne 0\).

Vậy \[{d_1}\] và \({d_2}\) cắt nhau và không vuông góc với nhau.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.3 - 4.\left( { - 4} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{24}}{5}\). 

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \(d: - 3x + y - 5 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( { - 3;\,\,1} \right)\), nên nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,\,3} \right)\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d\). Đường thẳng này có dạng \(x + 3y + m = 0\).

Vì \(M\left( { - 2;\,\,1} \right) \in \Delta \) nên \( - 2 + 3.1 + m = 0 \Rightarrow m =  - 1\).

Do đó, phương trình của \(\Delta \) là \(x + 3y - 1 = 0\).

Tọa độ hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(d\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 1 = 0\\ - 3x + y - 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{7}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là : D

Đường tròn tâm \(I\left( { - 1;\,\,2} \right)\) và bán kính \(R = 3\) có phương trình là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {3^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 4 = 0\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \({x^2} + {y^2} - 10y - 24 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = {7^2}\).

Do đó, đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(R = 7\).

Đáp án đúng là: B

Đường tròn có tâm \(I\left( {1;\,\,1} \right)\), tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x + 4y - 2 = 0\) có bán kính là

\(R = d\left( {I,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 1\).

Vậy phương trình đường tròn cần lập là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).

Đáp án đúng là: A

Phương trình \({x^2} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) là phương trình chính tắc của một hypebol do nó có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) thỏa mãn \(a = 1 > 0,\,\,b = 2\, > 0\).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{{81}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{{12}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{9^2}}} = 1 \Rightarrow a = 12,\,\,b = 9\).

Vậy độ dài trục lớn là \(2a = 2.12 = 24\).

Đáp án đúng là: D

Đường chuẩn là \(x =  - 1\) nên \( - \frac{p}{2} =  - 1 \Leftrightarrow p = 2\).

Vậy phương trình parabol \(\left( P \right)\) là \({y^2} = 2.2.x\,\,\,{\rm{hay}}\,\,{y^2} = 4x\).

Ta có \(3{x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x - {m^2} + 2m + 8 = 0 \Leftrightarrow x = m + 2\) hoặc \(x = \frac{{4 - m}}{3}\).

* Với \(m + 2 > \frac{{4 - m}}{3} \Leftrightarrow 3m + 6 > 4 - m \Leftrightarrow m >  - \frac{1}{2}\) ta có

Bất phương trình (1)\( \Leftrightarrow \frac{{4 - m}}{3} \le x \le m + 2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là \(\left[ {\frac{{4 - m}}{3};m + 2} \right]\)

Suy ra mọi \[x \in \left[ { - 1;1} \right]\] đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi \[\left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ {\frac{{4 - m}}{3};m + 2} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 \ge \frac{{4 - m}}{3}}\\{1 \le m + 2}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge 7}\\{m \ge  - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \ge 7\).

Kết hợp với điều kiện \(m >  - \frac{1}{2}\) ta có \(m \ge 7\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

* Với \(m + 2 < \frac{{4 - m}}{3} \Leftrightarrow m <  - \frac{1}{2}\) ta có

Bất phương trình (1)\( \Leftrightarrow m + 2 \le x \le \frac{{4 - m}}{3}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là \(\left[ {m + 2;\frac{{4 - m}}{3}} \right]\)

Suy ra mọi \[x \in \left[ { - 1;1} \right]\] đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi \[\left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ {m + 2;\frac{{4 - m}}{3}} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 \ge m + 2}\\{1 \le \frac{{4 - m}}{3}}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le  - 3}\\{m \le 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le  - 3\).

Kết hợp với điều kiện \(m <  - \frac{1}{2}\) ta có \(m \le  - 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* Với \(m =  - \frac{1}{2}\) ta có bất phương trình (1)\( \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\)  nên \(m =  - \frac{1}{2}\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy \(m \in ( - \infty ; - 3] \cup {\rm{[}}7; + \infty )\) là giá trị cần tìm.

Ta có: \(\frac{1}{2} \ne \frac{3}{{ - 5}}\), do đó hai đường thẳng \[x + 3y - 6 = 0\] và \[2x - 5y - 1 = 0\] cắt nhau.

Giả sử hình bình hành \(ABCD\) có hai cạnh \[AB:x + 3y - 6 = 0\] và \[AD:2x - 5y - 1 = 0\].

Khi đó, tọa độ đỉnh \(A\) là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 = 0\\2x - 5y - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {3;1} \right)\].

Vì tâm của hình bình hành là điểm \[I\left( {3;5} \right)\] nên \[I\] là trung điểm của \[AC\], do đó:

\[\left\{ \begin{array}{l}2{x_I} = {x_A} + {x_C}\\2{y_I} = {y_A} + {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 = 3 + {x_C}\\10 = 1 + {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3\\{y_C} = 9\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow C\left( {3;9} \right)\].

Vì \[DC\,\,{\rm{//}}\,\,AB\] nên phương trình \[DC:x + 3y + n = 0\] \(\left( {n \ne  - 6} \right)\).

\[C\left( {3;9} \right) \in DC \Rightarrow 3 + 27 + n = 0 \Rightarrow n =  - 30\] (t/m).

\[ \Rightarrow \] Phương trình \[DC:x + 3y - 30 = 0\].

Vì \[BC\,\,{\rm{//}}\,AD\] nên phương trình \[BC:2x - 5y + m = 0\,\,\,\left( {m \ne  - 1} \right)\].

\[C\left( {3;9} \right) \in BC \Rightarrow 6 - 45 + m = 0 \Rightarrow m = 39\] (t/m).

\[ \Rightarrow \] Phương trình \[BC:2x - 5y + 39 = 0\].

Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\).

Ta có điểm \(M\)thuộc \(d:x - y + 1 = 0\) nên \(M\left( {a;a + 1} \right)\).

Gọi \(K\) trung điểm của \(MI\)thì \(K\left( {\frac{{a + 1}}{2};\frac{{a - 1}}{2}} \right)\).

Vì \(\Delta MAI\) và \(\Delta MBI\) lần lượt vuông tại \(A\) và \(B\) (định nghĩa tiếp tuyến)  nên \(KA = KB = \frac{1}{2}MI\).

Đường tròn \(\left( {C'} \right)\) tâm \(K\), đường kính \(MI\) nên có phương trình

\({\left( {x - \frac{{a + 1}}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{a - 1}}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2} + 2a + 5}}{2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - \left( {a + 1} \right)x - \left( {a - 1} \right)y - a - 2 = 0\).

Đường thẳng \(AB\)  là giao của hai đường tròn \(\left( C \right)\) và \(\left( {C'} \right)\) nên tọa độ điểm \(A,B\) thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0\\{x^2} + {y^2} - \left( {a + 1} \right)x - \left( {a - 1} \right)y - a - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left( {1 - a} \right)x - \left( {a + 3} \right)y - a + 2 = 0\).

Suy ra đường thẳng\(AB\) có phương trình \(\left( {1 - a} \right)x - \left( {a + 3} \right)y - a + 2 = 0\).

Khoảng cách từ \(N\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)đến \(AB\) là \(d\left( {N,AB} \right) = \frac{{\left| {1 - 3a} \right|}}{{2\sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( {a + 3} \right)}^2}} }} = 1\).

\[ \Rightarrow 2\sqrt {2{a^2} + 4a + 10}  = \left| {1 - 3a} \right|\]

\( \Rightarrow 4\left( {2{a^2} + 4a + 10} \right) = 9{a^2} - 6a + 1\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 22a - 39 = 0 \Leftrightarrow a = 11 \pm 4\sqrt {10} \).

Thử lại ta thấy cả hai giá trị của \(a\) đều thỏa mãn.

Vậy \(M\left( {11 + 4\sqrt {10} ;12 + 4\sqrt {10} } \right)\) hoặc \(M\left( {11 - 4\sqrt {10} ;12 - 4\sqrt {10} } \right)\).