Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 3
38 câu hỏi
Trong các biểu thức sau, đâu không phải là tam thức bậc hai ?
\(f\left( x \right) = 4x - 5{x^2}\);
\(f\left( x \right) = 2 + 3{x^2} - 2x\);
\(f\left( x \right) = {x^2} - 4\);
\(f\left( x \right) = {x^3} - 4{x^2}\).
Đáp án đúng là: D
Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\).
Như vậy, \(f\left( x \right) = {x^3} - 4{x^2}\) không phải là tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có \(a > 0\) và \(\Delta \ge 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(f\left( x \right)\) luôn dương trên tập số thực;
\(f\left( x \right)\) luôn âm trên tập số thực;
\(f\left( x \right)\) luôn không dương trên tập số thực;
\(f\left( x \right)\) luôn không âm trên tập số thực.
Đáp án đúng là: D
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có \(a > 0\) và \(\Delta \ge 0\). Khi đó, \(f\left( x \right)\) luôn không âm trên tập số thực hay \(f\left( x \right) \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 2021{x^2} + 2022x\) có các hệ số là
\(a = 2021\), \(b = 2022\), \(c = 1\);
\(a = 2021\), \(b = 2022\), \(c = 0\);
\(a = 2022\), \(b = 2021\), \(c = 0\);
\(a = 2021\), \(b = 0\), \(c = 2022\).
Đáp án đúng là: B
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 2021{x^2} + 2022x\) có các hệ số là: \(a = 2021\), \(b = 2022\), \(c = 0\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 2022x\) mang dấu âm trên khoảng nào sau đây ?
\(\left( { - \infty ;2022} \right)\);
\(\left( {0;2022} \right)\);
\(\left( {2022; + \infty } \right)\);
\(\left( { - 2022;2022} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 2022x\) có: \(a = 1 > 0\) và \(b = - 2022\) và \(c = 0\).
\(\Delta = {\left( { - 2022} \right)^2} - 4.0.1 = {2022^2} > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta = 2022\)
Do đó, \(f\left( x \right) = {x^2} - 2022x = 0\) có hai nghiệm:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 2022} \right) + 2022}}{{2.1}} = 2022\); \({x_2} = \frac{{ - \left( { - 2022} \right) - 2022}}{{2.1}} = 0\)
Như vậy, \(f\left( x \right)\) mang dấu âm trên khoảng \(\left( {0;2022} \right)\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x + 5\). Kết luận nào sau đây đúng?
\(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( { - 1;\,5} \right)\);
\(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( { - 1;\, + \infty } \right)\);
\(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;\, - 1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\);
\(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;\,5} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Dễ thấy \(f\left( x \right) = - {x^2} + 4x + 5\) có \(\Delta = 36 > 0,\,a = - 1 < 0\)và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 1;\,{x_2} = 5\). Do đó ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\):
Suy ra \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( { - 1;5} \right)\) và \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
Vậy đáp án đúng là A.
Bất phương trình nào dưới đây không là bất phương trình bậc hai một ẩn?
\({x^2} - 5x + 3 > 0\);
\({x^2} + 3x - 5 > 0\);
\(2{x^4} + {x^2} - 10 > 0\);
\({x^2} + 2x - 1 \ge 2{x^2} + 2x\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(2{x^4} + {x^2} - 10 > 0\) không phải bất phương trình bậc hai một ẩn.
\(x = 0\) là một nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
\(2{x^2} - 5x - 1 > 0\);
\({x^2} + 3x - 5 > 0\);
\(2{x^2} + 3x + 4 < 0\);
\(3{x^2} - 3x - 1 < 0\).
Đáp án đúng là: D
Thay \(x = 0\) vào các bất phương trình đã cho ta thấy bất phương trình ở đáp án D thỏa mãn \({3.0^2} - 3.0 - 1 = - 1 < 0\) nên \(x = 0\) là một nghiệm của bất phương trình \(3{x^2} - 3x - 1 < 0\).
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \( - 3{x^2} - 8x + 9 > 0\) là
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: D
Xét tam thức \(f\left( x \right) = - 3{x^2} - 8x + 9\) có \(\Delta ' = {\left( { - 4} \right)^2} - \left( { - 3} \right).9 = 43 > 0\) nên tam thức này có hai nghiệm \({x_1} = \frac{{ - 4 - \sqrt {43} }}{3},\,\,{x_2} = \frac{{ - 4 + \sqrt {43} }}{3}\).
Lại có hệ số \(a = - 3 < 0\) nên \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 4 - \sqrt {43} }}{3} < x < \frac{{ - 4 + \sqrt {43} }}{3}\).
Các nghiệm nguyên của bất phương trình \( - 3{x^2} - 8x + 9 > 0\) là – 3, – 2, – 1, 0.
Phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi
\(m > 1\);
\( - 3 < m < 1\);
\(m \le - 3\) hoặc \(m \ge 1\);
\( - 3 \le m \le 1\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 1 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta _m} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 4 \ge 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 \ge 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {1;\, + \infty } \right)\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(2x - 4{x^2} < 1\) là
\(S = \mathbb{R}\);
\(S\backslash \left\{ 1 \right\}\);
\(S = \left( {2; + \infty } \right)\);
\(S = \left( { - \infty ;2} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 2x - 4{x^2} - 1\) có:
\(a = - 4 < 0\)
\(\Delta = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 4} \right) = - 12 < 0\)
Do đó, \(f\left( x \right) = 2x - 4{x^2} - 1 < 0\) với mọi số thực \(x\)
Hay \(2x - 4{x^2} < 1\) với mọi số thực \(x\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(2x - 4{x^2} < 1\) là: \(S = \mathbb{R}\).
Một bạn giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = x - 1\) như sau:
Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình ta thu được:
\(2{x^2} - 5x - 9 = {x^2} - 2x + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 5\end{array} \right.\).
Bước 2: Kết luận: Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 2;5} \right\}\).
Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Bạn đó giải đúng phương trình;
Bạn đó giải sai phương trình ở bước 1;
Bạn đó giải sai phương trình ở bước 2;
Bạn đó giải sai ở cả hai bước.
Đáp án đúng là: C
Bạn đó giải sai phương trình ở bước 2 do bạn chưa thử lại các giá trị \(x\) đã tìm được có thỏa mãn phương trình đã cho hay không mà đã kết luận nghiệm.
Dễ thấy, \(x = - 2\) không thỏa mãn vì – 2 – 1 = – 3 < 0, và \(x = 5\) thỏa mãn, do đó, tập nghiệm đúng của phương trình là \(S = \left\{ 5 \right\}\).
Cho phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = \sqrt {3{x^2} - 2x + 3} \), số nghiệm của phương trình này là
1 nghiệm;
2 nghiệm;
3 nghiệm;
0 nghiệm.
Đáp án đúng là: D
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = \sqrt {3{x^2} - 2x + 3} \) ta được:
\(2{x^2} - 5x - 9 = 3{x^2} - 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 12 = 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset \).
Vậy phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = \sqrt {3{x^2} - 2x + 3} \) vô nghiệm.
Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 5x} = \sqrt {3{x^2} - x - 4} \) là
\(S = \left\{ { - 1 - \sqrt 3 } \right\}\);
\(S = \left\{ { - 1 + \sqrt 3 } \right\}\);
\(S = \left\{ { - 1 - \sqrt 3 ;\, - 1 + \sqrt 3 } \right\}\);
\(S = \emptyset \).
Đáp án đúng là: A
Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 5x} = \sqrt {3{x^2} - x - 4} \) ta được:
\({x^2} - 5x = 3{x^2} - x - 4 \Leftrightarrow 2{x^2} + 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 - \sqrt 3 \\x = - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\).
Thay \(x = - 1 - \sqrt 3 \) vào hai vế phương trình đã cho ta có:
\(\sqrt {{{\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)}^2} - 5.\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)} = \sqrt {3.{{\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)}^2} - \left( { - 1 - \sqrt 3 } \right) - 4} \,\,\,\,\left( { = \sqrt {9 + 7\sqrt 3 } } \right)\).
Do đó, \(x = - 1 - \sqrt 3 \) thỏa mãn.
Thay \(x = - 1 + \sqrt 3 \) vào hai vế phương trình đã cho ta thấy:
\({\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)^2} - 5.\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right) = 9 - 7\sqrt 3 < 0 \Rightarrow \sqrt {{{\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)}^2} - 5\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)} \) không tồn tại, do đó, \(x = - 1 + \sqrt 3 \) không thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 5x} = \sqrt {3{x^2} - x - 4} \) là: \(S = \left\{ { - 1 - \sqrt 3 } \right\}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho vectơ \(\overrightarrow u = - \,4\overrightarrow i - 9\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là
\(\overrightarrow u = \left( {4;\, - 9} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {4;\,9} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - \,4;\, - 9} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - 4;\,9} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow u = - \,4\overrightarrow i - 9\overrightarrow j \), khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là \(\overrightarrow u = \left( { - \,4;\, - 9} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(M\left( {2;\,\, - 3} \right)\) và \(N\left( { - 1;\, - 5} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {NM} \) là
\(\overrightarrow {NM} = \left( { - 3;\,\, - 2} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( {3;\,\,2} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( {3;\, - 2} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( { - 3;\,\,2} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\overrightarrow {NM} = \left( {2 - \left( { - 1} \right);\, - 3 - \left( { - 5} \right)} \right) = \left( {3;\,\,2} \right)\].
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho bốn điểm \[A\left( {3; - 2} \right)\], \[B\left( {7;\,\,1} \right)\], \[C\left( {0;\,\,1} \right)\], \[D\left( { - 8; - 5} \right)\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) đối nhau;
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) cùng phương, ngược hướng;
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) cùng phương, cùng hướng;
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) không cùng phương.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;3} \right),\,\overrightarrow {CD} = \left( { - 8; - 6} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD} = - 2\overrightarrow {AB} \).
Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) cùng phương và ngược hướng.
Cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( { - 2; - 6} \right)\). Khi đó góc giữa chúng là
\(45^\circ \);
\(60^\circ \);
\(30^\circ \);
\(135^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 6} \right) = 10\).
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Do đó, \(\left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ \).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(E\left( {2;\,4} \right)\) và \(F\left( {5;\,\, - 3} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(FE\) bằng
\(\sqrt {58} \);
\(\sqrt {10} \);
\(7\sqrt 2 \);
\(5\sqrt 2 \).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(FE = \sqrt {{{\left( {2 - 5} \right)}^2} + {{\left( {4 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {58} \).
Cho các vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 3; - 3} \right),\,\,\overrightarrow v = \left( {5; - 2} \right),\,\,\overrightarrow t = \left( { - 4;\,\,1} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow m = \frac{1}{3}\overrightarrow u - \overrightarrow v + \frac{1}{2}\overrightarrow t \) là
\(\left( {8;\,\,\frac{3}{2}} \right)\);
\(\left( { - 8;\,\,\frac{3}{2}} \right)\);
\(\left( {2;\,\,\frac{3}{2}} \right)\);
\(\left( {2;\,\, - \frac{5}{2}} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow m = \frac{1}{3}\overrightarrow u - \overrightarrow v + \frac{1}{2}\overrightarrow t \)\( = \frac{1}{3}\left( { - 3;\,\, - 3} \right) - \left( {5;\, - 2} \right) + \frac{1}{2}\left( { - 4;\,\,1} \right) = \left( { - 8;\,\,\frac{3}{2}} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: - y + 5x + 5 = 0\) là
\(\overrightarrow n = \left( {1;5} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {5;1} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( { - 1;5} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {5; - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: - y + 5x + 5 = 0\,\,{\rm{hay}}\,\,d:5x - y + 5 = 0\) là: \(\overrightarrow n = \left( {5; - 1} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \) nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(C\left( { - 2;5} \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta \) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 5 + 2t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 5 + 2t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 2 + 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - t\\y = 5 - 2t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(\Delta \) nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(C\left( { - 2;5} \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 5 + 2t\end{array} \right.\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(C\left( {2;0} \right)\) và nhận vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\). Phương trình tổng quát của \(d\) là
\(x - 2y - 2 = 0\);
\(x + 2y - 2 = 0\);
\(x + 2y = 0\);
\(x + 2y - 4 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(C\left( {2;0} \right)\) và nhận vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\). Phương trình tổng quát của \(d\) là \(1\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0\).
Đường thẳng đi qua hai điểm \(C\left( {2; - 1} \right)\) và \(B\left( { - 3;5} \right)\) có phương trình tổng quát là
\(6x + 5y = 0\);
\(6x - 5y - 7 = 0\);
\(6x + 5y - 7 = 0\);
\(6x + 5y - 17 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(C\left( {2; - 1} \right)\) và \(B\left( { - 3;5} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {CB} = \left( { - 3 - 2;5 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 5;6} \right)\), do đó, \(d\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n = \left( {6;5} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là:
\(6\left( {x - 2} \right) + 5\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 5y - 7 = 0\).
Cho hai đường thẳng \({d_1}:2x - 5y + 1 = 0\) và \({d_2}:4x + 3y + 3 = 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\({d_1}\) và \({d_2}\) song song hoặc trùng nhau;
\({d_1}\) và \({d_2}\) song song với nhau;
\({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại 1 điểm;
\({d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau.
Đáp án đúng là: C
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y + 1 = 0\\4x + 3y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{9}{{13}}\\y = - \frac{1}{{13}}\end{array} \right.\).
Hệ phương trình trên có duy nhất một nghiệm là cặp số \(\left( { - \frac{9}{{13}}; - \frac{1}{{13}}} \right)\), do đó, \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại 1 điểm có tọa độ là \(\left( { - \frac{9}{{13}}; - \frac{1}{{13}}} \right)\).
Cho hai đường thẳng \({d_1}:2x - y + 12 = 0\) và \({d_2}:4mx + my - 1 = 0\). Giá trị của \(m\) để \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau là
0;
1;
2;
– 1.
Đáp án đúng là: A
\({d_1}:2x - y + 12 = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right)\).
\({d_2}:4mx + my - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4m;m} \right)\).
Để \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau thì:
\(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow 2.4m + \left( { - 1} \right).m = 0 \Leftrightarrow 8m - m = 0 \Leftrightarrow 7m = 0 \Leftrightarrow m = 0\).
Vậy \(m = 0\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 16\) có tâm và bán kính lần lượt là
\(I\left( {1;3} \right)\) và \(R = 16\);
\(I\left( {1; - 3} \right)\) và \(R = 16\);
\(I\left( {1;3} \right)\) và \(R = 4\);
\(I\left( {1; - 3} \right)\)và \(R = 4\).
Đáp án đúng là: C
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 16\) có tâm và bán kính lần lượt là:
\(I\left( {1;3} \right)\) và \(R = \sqrt {16} = 4\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 4;9} \right)\) và bán kính \(R = 16\) có phương trình là
\({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} = 16\);
\({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} = 256\);
\({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 9} \right)^2} = 16\);
\({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 9} \right)^2} = 256\).
Đáp án đúng là: B
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 4;9} \right)\) và bán kính \(R = 16\) có phương trình là:
\({\left( {x - \left( { - 4} \right)} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} = {16^2}\) hay \({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 9} \right)^2} = 256\).
Phương trình nào sau đây không phải phương trình đường tròn ?
\({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 2\);
\({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\);
\({x^2} + {y^2} + 8x - 18y + 43 = 0\);
\({x^2} + {y^2} + 4x + 6y + 10 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình \({x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\) không phải phương trình đường tròn vì phương trình đường tròn có dạng:
\({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \({a^2} + {b^2} - c > 0\);
Hoặc \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) với \(R > 0\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 2; - 3} \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;0} \right)\) có phương trình là
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 18\);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 18\);
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 18\);
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 18\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(IM = \sqrt {{{\left( {1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {0 + 3} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 \)
Do \(M\left( {1;0} \right)\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 2; - 3} \right)\) nên bán kính: \(R = IM = 3\sqrt 2 \Rightarrow {R^2} = 18\).
Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 18\).
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\) có tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {2;0} \right)\) là đường thẳng \(\Delta \). Phương trình tổng quát của \(\Delta \) là
\(2x - y = 0\);
\(y = 0\);
\(x = 0\);
\(2x + y = 0\).
Đáp án đúng là: B
Đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\) có tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 1\).
Vì đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\) có tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {2;0} \right)\) nên \(\Delta \) nhận vectơ \(\overrightarrow {IA} = \left( {0;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến và đi qua điểm \(A\left( {2;0} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là: \(0\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của một elip?
\({x^2} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\);
\({x^2} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{{{2^2}}} + \frac{{{y^2}}}{2} = - 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\).
Đáp án đúng là: D
Phương trình \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\) là phương trình chính tắc của một elip do có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) và \(a = \sqrt 9 = 3,\,\,b = \sqrt 5 \,\,\left( {3 > \sqrt 5 > 0} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol ?
\({y^2} = 8x\);
\({y^2} = - 4x\);
\({x^2} = - 8y\);
\({x^2} = 4y\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình \({y^2} = 8x\) là phương trình chính tắc của parabol do nó có dạng \({y^2} = 2px\) với \(p = 4 > 0\).
Cho elip \(\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36\). Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?
\(\left( E \right)\) có tỉ số \[\frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\];
\(\left( E \right)\) có trục lớn bằng \(6\);
\(\left( E \right)\) có trục nhỏ bằng \(4\);
\(\left( E \right)\) có tiêu cự \(\sqrt 5 \).
Đáp án đúng là: D
\(\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)
Suy ra: \(a = 3,b = 2,c = \sqrt 5 \)
Do đó tỉ số \(\frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) nên đáp án A đúng
Độ dài trục lớp \(2a = 6\)nên đáp án B đúng
Độ dài trục nhỏ \(2b = 4\) nên đáp án C đúng.
Tiêu cự của \(\left( E \right)\) là \(2c = 2\sqrt 5 \) đáp án D sai.
Cho hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Tiêu cự của hypebol là
\(2c = 6\);
\(2c = 4\);
\(2c = 41\);
\(2c = 2\sqrt {41} \).
Đáp án đúng là: D
Hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) có \(a = 5;\,\,\,b = 4\).
\( \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{5^2} + {4^2}} = \sqrt {41} \)
Vậy tiêu cự \(2c = 2\sqrt {41} \).
Hypebol có tỉ số \(\frac{c}{a} = \sqrt 5 \) và đi qua điểm \(M\left( {1;\,0} \right)\) có phương trình chính tắc là
\(\frac{{{y^2}}}{1} - \frac{{{x^2}}}{4} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\);
\(\frac{{{y^2}}}{1} + \frac{{{x^2}}}{4} = 1\).
Đáp án đúng là: B
Gọi phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\left( {a,b > 0} \right)\).
Ta có điểm \(M\left( {1;\,0} \right)\) thuộc hypebol nên thay \(x = 1\) và \(y = 0\) vào phương trình trên ta được: \(\frac{{{1^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\, \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 1 \Rightarrow a = 1\) (vì \(a > 0\)).
Mặt khác ta có \(\frac{c}{a} = \sqrt 5 \Rightarrow c = \sqrt 5 .a = \sqrt 5 \).
Do đó \(b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} = \sqrt {5 - 1} = 2 \Rightarrow {b^2} = 4\).
Vậy phương trình chính tắc của hypebol là \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
Xác định tọa độ giao điểm \(A\) của parabol \(\left( P \right):{y^2} = 32x\) và đường thẳng \(\Delta :2x - 3y + 4 = 0\).
Tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\Delta \) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 32x\\2x - 3y + 4 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 32x\\2x = 3y - 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 32x\\x = \frac{3}{2}y - 2\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 32.\left( {\frac{3}{2}y - 2} \right) = 48y - 64\\x = \frac{3}{2}y - 2\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 48y + 64 = 0\\x = \frac{3}{2}y - 2\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 24 \pm 16\sqrt 2 \\x = \frac{3}{2}y - 2\end{array} \right.\]
Với \(y = 24 + 16\sqrt 2 \), ta có \(x = \frac{3}{2}.\left( {24 + 16\sqrt 2 } \right) - 2 = 34 + 24\sqrt 2 \)
Suy ra \(A\left( {34 + 24\sqrt 2 ;24 + 16\sqrt 2 } \right)\).
Với \(y = 24 - 16\sqrt 2 \), ta có \(x = \frac{3}{2}.\left( {24 - 16\sqrt 2 } \right) - 2 = 34 - 24\sqrt 2 \)
Suy ra \(A\left( {34 - 24\sqrt 2 ;24 - 16\sqrt 2 } \right)\).
Vậy \(A\left( {34 + 24\sqrt 2 ;24 + 16\sqrt 2 } \right)\) hoặc \(A\left( {34 - 24\sqrt 2 ;24 - 16\sqrt 2 } \right)\) là tọa độ \(A\) cần tìm.
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho tam giác \(ABC\) có đỉnh \(A\left( { - 1;2} \right)\), gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\), đường thẳng \(CM:5x + 7y - 20 = 0\), \(BH\) là đường cao, có phương trình \(5x - 2y - 4 = 0\). Viết phương trình cạnh \(BC\).
Do \(BH\) là đường cao nên \(AC \bot BH\) nên đường thẳng \(AC\)có một vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow {{u_{AC}}} = \overrightarrow {{n_{BH}}} = \left( {5; - 2} \right)\).
Do đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AC\) là: \(\overrightarrow {{n_{AC}}} = \left( {2;5} \right)\).
Đường thẳng \(AC\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) có phương trình là:
\(2\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y - 8 = 0\).
Do đường thẳng \(AC\) giao đường thẳng \(CM\) tại \(C\) nên tọa độ của \(C\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y - 8 = 0\\5x + 7y - 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {4;0} \right)\).
Đặt tọa độ điểm \(B\left( {a;b} \right)\). Do \(B \in BH\) nên \(5a - 2b - 4 = 0\)
Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên\(M\left( {\frac{{ - 1 + a}}{2};\frac{{2 + b}}{2}} \right) \in CM\)
\( \Leftrightarrow 5.\frac{{ - 1 + a}}{2} + 7.\frac{{2 + b}}{2} - 20 = 0 \Leftrightarrow 5a + 7b - 31 = 0\).
Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}5a - 2b - 4 = 0\\5a + 7b - 31 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow B\left( {2;3} \right)\).
Đường thẳng \(BC\) có vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow {BC} = \left( {2; - 3} \right)\) nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;2} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(3\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 12 = 0\).
Một viên đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu 500 m/s, hợp với phương ngang một góc bằng 45°. Biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, quỹ đạo chuyển động của một vật ném xiên sẽ tuân theo phương trình:
\(y = \frac{{ - g}}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + x\tan \alpha \),
trong đó \(x\) là khoảng cách (tính bằng mét) vật bay được theo phương ngang, vận tốc ban đầu \({v_0}\) của vật hợp với phương ngang một góc \(\alpha \) và \(g = 9,8\) m/s2 là gia tốc trọng trường.
Để viên đạn bay qua một ngọn núi cao 4 000 mét thì khẩu pháo phải đặt cách chân núi một khoảng cách bao xa ?
Một viên đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu 500 m/s, hợp với phương ngang một góc bằng 45° nên ta có:
\(g = 9,8\) m/s2; \({v_0} = 500\)m/s; \(\alpha = 45^\circ \).
Phương trình chuyển động của viên đạn là:
\(y = \left( {\frac{{ - 9,8}}{{{{2.500}^2}.{{\cos }^2}45^\circ }}} \right){x^2} + x\left( {\tan 45^\circ } \right) = \frac{{ - 9,8}}{{250\,\,000}}{x^2} + x\).
Để viên đạn bay qua một ngọn núi cao 4 000 mét thì
\(y = \frac{{ - 9,8}}{{250\,\,000}}{x^2} + x > 4\,\,000\)\( \Rightarrow \frac{{ - 9,8}}{{250\,\,000}}{x^2} + x - 4\,000 > 0\).
Xét phương trình bậc hai \(\frac{{ - 9,8}}{{250\,\,000}}{x^2} + x - 4\,000 = 0\) có:
\(a = \frac{{ - 9,8}}{{250\,\,000}} < 0\)
\(\Delta = {1^2} - 4.\left( {\frac{{ - 9,8}}{{250\,\,000}}} \right).( - 4\,\,000) = \frac{{233}}{{625}} > 0\)
Do đó, phương trình bậc hai \(\frac{{ - 9,8}}{{250000}}{x^2} + x - 4000 = 0\) có hai nghiệm phân biệt là:
\({x_1}\) ≈ 20 543; \({x_2}\) ≈ 4 967.
Do đó, \(\frac{{ - 9,8}}{{250\,\,000}}{x^2} + x - 4\,\,000 > 0\) \( \Leftrightarrow \) 4 967 < \(x\) < 20 543.
Vậy khẩu pháo phải đặt cách chân núi trong khoảng từ 4 967 m đến 20 543 m (tất nhiên là phải tính đến tầm bắn của khẩu pháo nữa) thì viên đạn sẽ bay qua đỉnh núi.
