Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4
21 câu hỏi
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 5\) có bảng xét dấu như sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
\(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
\(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
\(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {1;5} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Dựa vào bảng xét dấu ta có \(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).
Bất phương trình nào là bất phương trình bậc hai một ẩn?
\(2023x - 2022 < 0\).
\({x^2} - 2023x + 2022 \ge 0\).
\(\frac{{2023}}{{{x^2}}} + 2022x + 1 \ge 0\).
\({x^2} - \frac{{2023}}{x} + 2022 < 0\).
Đáp án đúng là: B
\({x^2} - 2023x + 2022 \ge 0\) là bất phương trình bậc hai một ẩn.
Kết quả nào dưới đây không phải là nghiệm của phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 6x + 1} = \sqrt { - 2{x^2} - 9x + 1} \)?
\(x = 0\).
\(x = 0\)và \(x = - \frac{3}{5}\).
\(x = \frac{3}{5}\).
\(x = - \frac{3}{5}\)
Đáp án đúng là: C
Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = \frac{3}{5}\) không là nghiệm của phương trình.
Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \). Tọa độ vectơ \(\overrightarrow u \) là
\(\overrightarrow u = \left( {\frac{1}{2};5} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( { - 1;10} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {1; - 10} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Tọa độ \(\overrightarrow u = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = 4 + t\end{array} \right.\). Trong các vectơ sau, vectơ nào là vectơ pháp tuyến của \(d\)?
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 2;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3;6} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {4;2} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 2;1} \right)\).
Suy ra đường thẳng \(d\) nhận vectơ \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3;6} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng \(\Delta :2x + 3y - 1 = 0\)?
\(x - 2y + 5 = 0\).
\(2x + 3y + 1 = 0\).
\(2x - 3y + 3 = 0\).
\(4x - 6y - 2 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;3} \right)\).
Ta thấy đường thẳng ở đáp án B có cùng vectơ pháp tuyến với đường thẳng \(\Delta \).
Mặt khác đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( { - 1;1} \right)\) mà điểm \(M\left( { - 1;1} \right)\) không thuộc đường thẳng \(2x + 3y + 1 = 0\).
Do đó đường thẳng \(\Delta :2x + 3y - 1 = 0\) song song với đường thẳng \(2x + 3y + 1 = 0\).
Tìmtọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 8\).
\(I\left( { - 1;3} \right),R = 8\).
\(I\left( {1; - 3} \right),R = 8\).
\(I\left( { - 1;3} \right),R = 2\sqrt 2 \).
\(I\left( {1; - 3} \right),R = 2\sqrt 2 \).
Đáp án đúng là: C
Đường tròn \(\left( C \right)\) có \(I\left( { - 1;3} \right),R = 2\sqrt 2 \).
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hypebol?
\(\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{6} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 0\).
\(\frac{{{y^2}}}{{16}} - \frac{{{x^2}}}{9} = 1\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình \(\frac{{{x^2}}}{3} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) là phương trình chính tắc của đường hypebol.
Cho đồ thị của hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ
\(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
\(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {1;3} \right]\).
\(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {1;3} \right)\).
\(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: C
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {1;3} \right)\).
Số nghiệm nguyên dương của phương trình \(\sqrt {x - 1} = x - 3\) là
\(0\).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
Đáp án đúng là: B
Bình phương hai vế của phương trình ta được \(x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow x - 1 = {x^2} - 6x + 9\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = 5\).
Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = 5\) là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có 1 nghiệm nguyên dương.
Tìm \(m\) để 2 đường thẳng \({\Delta _1}:2x - y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:4x - my + 7 = 0\) vuông góc với nhau?
\(m = 2\).
\(m = - 2\).
\(m = - 8\).
\(m = 8\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4; - m} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _1};{\Delta _2}\).
Để \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\) thì \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\)\( \Leftrightarrow 2.4 + \left( { - 1} \right).\left( { - m} \right) = 0 \Leftrightarrow m = - 8\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {2;1} \right)\) có phương trình là:
\({x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 5 = 0\).
\({x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 3 = 0\).
\({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 5 = 0\).
\({x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 5 = 0\)
Đáp án đúng là: A
Có \(R = IM = \sqrt {{{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {10} \).
Phương trình đường tròn cần lập có dạng: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 10\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 5 = 0\).
Cho biểu thức \(f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\).
a) \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai khi \(m \ne 2\).
b) Khi \(m = 3\) thì \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
c) \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(m < 2\) và \(\Delta < 0\).
d) Khi \(m = 2,f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai khi \(m - 2 \ne 0\)\( \Leftrightarrow m \ne 2\).
b) Với \(m = 3\) thì \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3 > 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
c) \(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\\Delta < 0\end{array} \right.\).
d) Với \(m = 2\) thì \(f\left( x \right) = - 2x + 3 > 0 \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}\).
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:4x - 5y + 8 = 0\) và \({\Delta _2}:10x + 8y - 4 = 0\).
a) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 5} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 5; - 4} \right)\).
b) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.
c) Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) nhỏ hơn 60 độ.
d) Điểm \(M\) thuộc giao điểm của \({\Delta _1}\) và trục hoành. Khoảng cách từ điểm \(M\) đến \({\Delta _2}\) là \(d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{a}{{\sqrt b }}\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)\) sao cho \(a,b\) là phân số tối giản. Khi đó \(\sqrt {a + b} > 7\).
a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 5} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 5; - 4} \right)\).
b) Có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 4.\left( { - 5} \right) + \left( { - 5} \right).\left( { - 4} \right) = 0\). Do đó \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).
c) Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {4.\left( { - 5} \right) + \left( { - 5} \right).\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 0 \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 90^\circ \).
d) Ta có \(M\left( { - 2;0} \right)\).
Khi đó \(d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {10.\left( { - 2} \right) + 8.0 - 4} \right|}}{{\sqrt {{{10}^2} + {8^2}} }} = \frac{{24}}{{2\sqrt {41} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {41} }}\).
Suy ra \(a = 12;b = 41\). Suy ra \(\sqrt {12 + 41} = \sqrt {53} > 7\).
Phương tình \(\sqrt {2{x^2} + 7x + 1} = \sqrt {3{x^2} + 4x - 9} \) có tổng các nghiệm là bao nhiêu?
Trả lời: 5
Bình phương hai vế của phương trình ta được \(2{x^2} + 7x + 1 = 3{x^2} + 4x - 9\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 10 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 5\) hoặc \(x = - 2\).
Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = 5\) là nghiệm của phương trình.
Do đó tổng các nghiệm của phương trình là 5.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hyperbol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{32}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (trong đó \(b > 0\) là hằng số). Biết rằng hypebol \(\left( H \right)\) đi qua điểm \(M\left( {8; - 3} \right)\). Tìm giá trị của \(b\).
Trả lời: 3
Vì hypebol \(\left( H \right)\) đi qua điểm \(M\left( {8; - 3} \right)\) nên \(\frac{{64}}{{32}} - \frac{9}{{{b^2}}} = 1\)\( \Leftrightarrow {b^2} = 9\)\( \Leftrightarrow b = 3\) (do \(b > 0\)).
Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của môt nhóm khách như sau 50 khách đầu tiên có giá 300000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 50 người đăng kí thì cứ có thêm một người, giá vé sẽ giảm 5000 đồng/người cho toàn bộ hành khách. Biết chi phí thực sự của chuyến đi là 15 080 000 đồng. Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu để công ty không bị lỗ.
Trả lời: 58
Gọi \(x\) là số lượng khách tính từ người thứ 51 trở lên của nhóm (điều kiện \(x \in \mathbb{N}*\)).
Khi đó số lượng khách tham quan là \(50 + x\).
Thêm \(x\) người thì giá vé sẽ giảm \(5000x\) (đồng).
Khi đó giá vé một người phải trả là \(300000 - 5000x\).
Tổng chi phí của đoàn khách tham quan là \(\left( {50 + x} \right)\left( {300000 - 5000x} \right)\) đồng.
Để công ty không bị lỗ thì \(\left( {50 + x} \right)\left( {300000 - 5000x} \right) \ge 15080000\)
\( \Leftrightarrow - 5000{x^2} + 50000x - 80000 \ge 0\)\( \Leftrightarrow 2 \le x \le 8\).
Do đó số người của nhóm khách nhiều nhất là 58 người thì công ty sẽ không bị lỗ.
Một vật chuyển động tròn đều chịu tác động của lực hướng tâm, quỹ đạo chuyển động của vật trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) là đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} = 100\). Vật chuyển động đến điểm \(M\left( {8;6} \right)\) thì bị bay ra ngoài. Trong những giây đầu tiên sau khi vật bay ra ngoài, vật chuyển động trên đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. Biết phương trình tiếp tuyến đó có dạng \(ax + by - c = 0\) với \(a,b,c\) là các số nguyên dương và \(a,b\) nguyên tố cùng nhau. Giá trị của \(a + b + c\) bằng bao nhiêu?
Trả lời: 57
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;0} \right),R = 10\).
Phương trình tiếp tuyến tại \(M\) nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( {8;6} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
\(8\left( {x - 8} \right) + 6\left( {y - 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 8x + 6y - 100 = 0\)\( \Leftrightarrow 4x + 3y - 50 = 0\).
Suy ra \(a = 4;b = 3;c = 50\). Suy ra \(a + b + c = 57\).
Cho biểu thức \(f\left( x \right) = {x^2} + x - 42\). Hỏi \(x = 4\) có là nghiệm của phương trình \(\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {2x - 30} \) không?
Có \(\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {2x - 30} \)\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + x - 42} = \sqrt {2x - 30} \).
Thay \(x = 4\) vào phương trình ta được \(\sqrt {{4^2} + 4 - 42} = \sqrt {2.4 - 30} \)\( \Leftrightarrow \sqrt { - 22} = \sqrt { - 22} \) (vô lí).
Vậy \(x = 4\) không là nghiệm của phương trình \(\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {2x - 30} \).
Trong mặt phẳng gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\), hai tàu chuyển động đều, cùng xuất phát từ điểm \(O\). Sau 2 giờ, tàu một di chuyển đến vị trí điểm \(B\left( {15;20} \right)\), tàu hai di chuyển đến vị trí điểm \(C\left( {30; - 40} \right)\) (đơn vị trục tọa độ là km, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Khoảng cách giữa hai tàu sau 2 giờ là bao nhiêu km? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {15; - 60} \right)\).
Khoảng cách giữa hai tàu sau 2 giờ là \(BC = \sqrt {{{15}^2} + {{\left( { - 60} \right)}^2}} \approx 61,85\) (km).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(M( - 1;2)\)và 2 đường thẳng\({d_1}:x + 2y + 1 = 0;\,{d_2}:2x + y + 2 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \(M( - 1;2)\)và cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại \(A,B\)sao cho \(MA = 2MB\).
+ Ta có: \(\Delta \cap {d_1} = A \Rightarrow A \in {d_1} \Rightarrow A\left( { - 1 - 2a;a} \right)\).
\(\Delta \cap {d_2} = B \Rightarrow B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {b; - 2 - 2b} \right)\).
+ Suy ra\(\overrightarrow {MA} = ( - 2a;a - 2);\overrightarrow {MB} = (b + 1; - 2b - 4)\).
+ đường thẳng \(\Delta \)qua \(M( - 1;2)\)và cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại \(A,B\) nên\(M,A,B\) thẳng hàng.
Lại có \(MA = 2MB\)suy ra\[\left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} \\\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \end{array} \right.\].
+ \[\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a = 2(b + 1)\\a - 2 = 2( - 2b - 4)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b = - \frac{5}{3}\end{array} \right.\] .
Suy ra \(A\left( { - \frac{7}{3};\frac{2}{3}} \right);B\left( { - \frac{5}{3};\frac{4}{3}} \right)\). Suy ra phương trình đường thẳng \[\Delta :x - y + 3 = 0\] .
+ \[\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a = - 2(b + 1)\\a - 2 = - 2( - 2b - 4)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 3\end{array} \right.\] .
Suy ra \(A\left( {3; - 2} \right);B\left( { - 3;4} \right)\). Suy ra phương trình đường thẳng \[\Delta :x + y - 1 = 0\] .
