Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình ta được \(x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow x - 1 = {x^2} - 6x + 9\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = 5\).

Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = 5\) là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình có 1 nghiệm nguyên dương.

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {4; - m} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _1};{\Delta _2}\).

Để \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\) thì \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\)\( \Leftrightarrow 2.4 + \left( { - 1} \right).\left( { - m} \right) = 0 \Leftrightarrow m = - 8\).

Đáp án đúng là: A

Có \(R = IM = \sqrt {{{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {10} \).

Phương trình đường tròn cần lập có dạng: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 10\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 5 = 0\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) \(f\left( x \right)\) là tam thức bậc hai khi \(m - 2 \ne 0\)\( \Leftrightarrow m \ne 2\).

b) Với \(m = 3\) thì \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3 > 0\) \( \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).

c) \(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 < 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\\Delta < 0\end{array} \right.\).

d) Với \(m = 2\) thì \(f\left( x \right) = - 2x + 3 > 0 \Leftrightarrow x < \frac{3}{2}\).

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 5} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 5; - 4} \right)\).

b) Có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 4.\left( { - 5} \right) + \left( { - 5} \right).\left( { - 4} \right) = 0\). Do đó \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).

c) Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {4.\left( { - 5} \right) + \left( { - 5} \right).\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 0 \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 90^\circ \).

d) Ta có \(M\left( { - 2;0} \right)\).

Khi đó \(d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {10.\left( { - 2} \right) + 8.0 - 4} \right|}}{{\sqrt {{{10}^2} + {8^2}} }} = \frac{{24}}{{2\sqrt {41} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {41} }}\).

Suy ra \(a = 12;b = 41\). Suy ra \(\sqrt {12 + 41} = \sqrt {53} > 7\).

Trả lời: 5

Bình phương hai vế của phương trình ta được \(2{x^2} + 7x + 1 = 3{x^2} + 4x - 9\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 10 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 5\) hoặc \(x = - 2\).

Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = 5\) là nghiệm của phương trình.

Do đó tổng các nghiệm của phương trình là 5.

Trả lời: 3

Vì hypebol \(\left( H \right)\) đi qua điểm \(M\left( {8; - 3} \right)\) nên \(\frac{{64}}{{32}} - \frac{9}{{{b^2}}} = 1\)\( \Leftrightarrow {b^2} = 9\)\( \Leftrightarrow b = 3\) (do \(b > 0\)).

Trả lời: 58

Gọi \(x\) là số lượng khách tính từ người thứ 51 trở lên của nhóm (điều kiện \(x \in \mathbb{N}*\)).

Khi đó số lượng khách tham quan là \(50 + x\).

Thêm \(x\) người thì giá vé sẽ giảm \(5000x\) (đồng).

Khi đó giá vé một người phải trả là \(300000 - 5000x\).

Tổng chi phí của đoàn khách tham quan là \(\left( {50 + x} \right)\left( {300000 - 5000x} \right)\) đồng.

Để công ty không bị lỗ thì \(\left( {50 + x} \right)\left( {300000 - 5000x} \right) \ge 15080000\)

\( \Leftrightarrow - 5000{x^2} + 50000x - 80000 \ge 0\)\( \Leftrightarrow 2 \le x \le 8\).

Do đó số người của nhóm khách nhiều nhất là 58 người thì công ty sẽ không bị lỗ.

Trả lời: 57

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {0;0} \right),R = 10\).

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\) nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( {8;6} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

\(8\left( {x - 8} \right) + 6\left( {y - 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 8x + 6y - 100 = 0\)\( \Leftrightarrow 4x + 3y - 50 = 0\).

Suy ra \(a = 4;b = 3;c = 50\). Suy ra \(a + b + c = 57\).

Có \(\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {2x - 30} \)\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + x - 42} = \sqrt {2x - 30} \).

Thay \(x = 4\) vào phương trình ta được \(\sqrt {{4^2} + 4 - 42} = \sqrt {2.4 - 30} \)\( \Leftrightarrow \sqrt { - 22} = \sqrt { - 22} \) (vô lí).

Vậy \(x = 4\) không là nghiệm của phương trình \(\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {2x - 30} \).

Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {15; - 60} \right)\).

Khoảng cách giữa hai tàu sau 2 giờ là \(BC = \sqrt {{{15}^2} + {{\left( { - 60} \right)}^2}} \approx 61,85\) (km).

+ Ta có: \(\Delta \cap {d_1} = A \Rightarrow A \in {d_1} \Rightarrow A\left( { - 1 - 2a;a} \right)\).

\(\Delta \cap {d_2} = B \Rightarrow B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {b; - 2 - 2b} \right)\).

+ Suy ra\(\overrightarrow {MA} = ( - 2a;a - 2);\overrightarrow {MB} = (b + 1; - 2b - 4)\).

+ đường thẳng \(\Delta \)qua \(M( - 1;2)\)và cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại \(A,B\) nên\(M,A,B\) thẳng hàng.

Lại có \(MA = 2MB\)suy ra\[\left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} \\\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \end{array} \right.\].

+ \[\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a = 2(b + 1)\\a - 2 = 2( - 2b - 4)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b = - \frac{5}{3}\end{array} \right.\] .

Suy ra \(A\left( { - \frac{7}{3};\frac{2}{3}} \right);B\left( { - \frac{5}{3};\frac{4}{3}} \right)\). Suy ra phương trình đường thẳng \[\Delta :x - y + 3 = 0\] .

+ \[\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a = - 2(b + 1)\\a - 2 = - 2( - 2b - 4)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 3\end{array} \right.\] .

Suy ra \(A\left( {3; - 2} \right);B\left( { - 3;4} \right)\). Suy ra phương trình đường thẳng \[\Delta :x + y - 1 = 0\] .