Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 3
21 câu hỏi
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c,\left( {a \ne 0} \right)\) có \(\Delta = {b^2} - 4ac < 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(f\left( x \right)\) không đổi dấu trên \(\mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Tồn tại \(x\) để \(f\left( x \right) = 0\).
\(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: A
Nếu \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c,\left( {a \ne 0} \right)\) có \(\Delta = {b^2} - 4ac < 0\) thì \(f\left( x \right)\) không đổi dấu trên \(\mathbb{R}\).
Cho các bất phương trình \(4{x^2} - 3x + 9 < 0;{x^2} - 5x < 0;4x - 3 > 0;4{x^2} + 1 > {x^3}\). Số lượng bất phương trình bậc hai một ẩn là:
\(3\).
\(2\).
\(1\).
\(4\).
Đáp án đúng là: B
Các bất phương trình \(4{x^2} - 3x + 9 < 0;{x^2} - 5x < 0\) là bất phương trình bậc hai một ẩn.
Giá trị \(x = 2\) là nghiệm của phương trình nào sau đây?
\(x + 2 = \sqrt {x - 1} \).
\(x - 1 = \sqrt {x - 3} \).
\(x + 2 = 2\sqrt {3x - 2} \).
\(\sqrt {{x^2} - x - 4} = \sqrt {x - 4} \).
Đáp án đúng là: C
Thay \(x = 2\) vào phương trình \(x + 2 = 2\sqrt {3x - 2} \) ta thấy thỏa mãn. Suy ra \(x = 2\) là nghiệm của phương trình \(x + 2 = 2\sqrt {3x - 2} \).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tìm tọa tọa độ của \(\overrightarrow i \).
\(\overrightarrow i = \left( {0;1} \right)\).
\(\overrightarrow i = \left( { - 1;0} \right)\).
\(\overrightarrow i = \left( {0;0} \right)\).
\(\overrightarrow i = \left( {1;0} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Tọa độ \(\overrightarrow i = \left( {1;0} \right)\).
Cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\). Một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là:
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 5;4} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {4;5} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;3} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 5;4} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
Góc \(\varphi \) giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) được xác định theo công thức
\(\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} + \sqrt {a_1^2 + b_1^2} }}\).
\(\cos \varphi = \sqrt {\frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \).
\(\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).
\(\cos \varphi = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).
Đáp án đúng là: C
\(\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).
Đường tròn tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\) và \(R = 5\) có phương trình là
\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 5\).
\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\).
Đáp án đúng là: B
Đường tròn tâm \(I\left( {3; - 2} \right)\) và \(R = 5\) có phương trình là\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).
Cho elip \(\left( E \right)\) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\). Tổng khoảng cách từ một điểm \(M\) bất kì trên \(\left( E \right)\) đến hai tiêu điểm là
\(6\).
\(4\).
\(3\).
\(9\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({a^2} = 9 \Rightarrow a = 3\).
Do đó tổng khoảng cách từ một điểm \(M\) bất kì trên \(\left( E \right)\) đến hai tiêu điểm là\(2a = 6\).
Tập nghiệm của bất phương trình \( - {x^2} + 5x + 6 > 0\) là
\(\left( { - 1;6} \right)\).
\(\left\{ { - 1;6} \right\}\).
\(\left[ { - 1;6} \right]\).
\(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {6; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: A
\( - {x^2} + 5x + 6 > 0\)\( \Leftrightarrow - 1 < x < 6\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - 1;6} \right)\).
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x - 3} = \sqrt {15 - 5x} \) là
\(7\).
\( - 7\).
\(6\).
\(4\).
Đáp án đúng là: B
Bình phương hai vế của phương trình ta được \({x^2} + 2x - 3 = 15 - 5x\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 7x - 18 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = - 9\).
Thay 2 giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = 2;x = - 9\) đều là nghiệm của phương trình.
Do đó tổng các nghiệm của phương trình là \( - 7\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \[\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = - 1 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\] và điểm \(M\left( { - 1;6} \right)\). Phương trình đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \) là:
\(x - 3y + 19 = 0\).
\(x + 3y - 17 = 0\).
\(3x - y + 9 = 0\).
\(3x + y - 3 = 0\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {3;1} \right)\)là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).
Giả sử \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x + 1} \right) + \left( {y - 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + y - 3 = 0\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {5; - 1} \right),B\left( { - 3;7} \right)\). Đường tròn có đường kính \(AB\) có phương trình là
\({x^2} + {y^2} - 2x - 6y - 22 = 0\).
\({x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 22 = 0\).
\({x^2} + {y^2} - 2x - y + 1 = 0\).
\({x^2} + {y^2} + 6x + 5y + 1 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Tâm \(I\left( {1;3} \right)\) của đường tròn \(\left( C \right)\)là trung điểm của \(AB\) và \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 3 - 5} \right)}^2} + {{\left( {7 + 1} \right)}^2}} }}{2} = 4\sqrt 2 \)
Phương trình đường tròn đường kính \(AB\) có phương trình là:
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 32\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 6y - 22 = 0\).
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} + 11x - 24\).
a) Tam thức bậc hai đã cho có biệt thức \(\Delta = - 71\).
b) Tam thức bậc hai có hai nghiệm \(x = - 3\); \(x = - 8\).
c) \(f\left( x \right)\) nhận giá trị âm khi \(x \in \left( { - \infty ;3} \right) \cup \left( {8; + \infty } \right)\).
d) Có 6 giá trị nguyên của \(x\) để \(f\left( x \right)\) nhận giá trị không âm.
a) S, b) S, c) Đ, d) Đ
a) \(\Delta = {11^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 24} \right) = 25\).
b) Tam thức bậc hai có hai nghiệm \(x = 3\); \(x = 8\).
c) \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;3} \right) \cup \left( {8; + \infty } \right)\).
d) Có \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {3;8} \right]\).
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {3;4;5;6;7;8} \right\}\). Suy ra có 6 giá trị nguyên của \(x\) để \(f\left( x \right)\) nhận giá trị không âm.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0\) và hai điểm \(A\left( {1; - 1} \right),B\left( {1;3} \right)\).
a) Điểm \(A\) thuộc đường tròn.
b) Điểm \(B\) nằm trong đường tròn.
c) \(x = 1\) phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\).
d) Qua \(B\) kẻ được hai tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) có phương trình lần lượt là \(x = 1\) và \(3x + 4y - 12 = 0\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 1} \right);R = 2\).
a) Ta có \(IA = \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 1} \right)}^2}} = 2 = R\). Suy ra điểm \(A\) thuộc đường tròn.
b) Ta có \(IB = \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {3 + 1} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 > R\). Suy ra điểm \(B\) nằm ngoài đường tròn.
c) Có \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 2;0} \right)\).
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\) đi qua \(A\left( {1; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \( - \left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
d) Giả sử tiếp tuyến qua \(B\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(a\left( {x - 1} \right) + b\left( {y - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow ax + by - a - 3b = 0\;\left( {\rm{d}} \right)\).
Vì \(d\left( {I,\left( d \right)} \right) = R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {a.3 + b.\left( { - 1} \right) - a - 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\)\( \Leftrightarrow \left| {2a - 4b} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)\( \Leftrightarrow \left| {a - 2b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 4ab + 4{b^2}} \right) = {a^2} + {b^2}\)\( \Leftrightarrow - 4ab + 3{b^2} = 0\)\( \Leftrightarrow b\left( {3b - 4a} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\a = \frac{3}{4}b\end{array} \right.\).
TH1: \(b = 0\) chọn \(a = 1\). Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(x - 1 = 0\).
TH2: Chọn \(b = 4 \Rightarrow a = 3\). Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(3x + 4y - 15 = 0\).
Trả lời: 1
Ta có \({x^2} - 8x + 16 \le 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} \le 0\) mà \({\left( {x - 4} \right)^2} \ge 0\). Do đó \(x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4\).
Do đó bất phương trình có 1 nghiệm nguyên.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\). Biết khoảng cách từ tiêu điểm \(F\) đến đường thẳng \(\Delta :x + y - 12 = 0\) bằng \(2\sqrt 2 \). Tính tổng các giá trị của \(p\) thỏa mãn đề bài.
Trả lời: 48
Ta có \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\).
Ta có \(d\left( {F,\Delta } \right) = \frac{{\left| {\frac{p}{2} - 12} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \left| {\frac{p}{2} - 12} \right| = 4\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{p}{2} = 16\\\frac{p}{2} = 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}p = 32\\p = 16\end{array} \right.\).
Do đó tổng các giá trị của \(p\) là 48.
Một cửa hàng pháo hoa Bộ Quốc Phòng nhân dịp Tết Nguyên Đán đã đồng loạt giảm giá các sản phẩm pháo hoa. Trong đó có chương trình nếu mua một hộp pháo hoa thứ hai trở đi sẽ được giảm 10% so với giá ban đầu. Biết giá hộp đầu là 400000 đồng. Bác An có 5000000 đồng. Hỏi Bác An có thể mua tối đa bao nhiêu hộp pháo.
Trả lời: 13
Nếu một người mua \(x\) hộp pháo (\(x\) nguyên dương). Khi đó hộp thứ nhất người đó trả 400000 đồng.
Số hộp pháo còn lại là \(x - 1\) và người đó chỉ phải trả \(400000 - 10\% .400000 = 360000\) đồng/1 hộp.
Vậy số tiền phải trả khi mua pháo được tính theo công thức \(400000 + \left( {x - 1} \right).360000\).
Số tiền bác An dùng mua pháo phải không quá 5000000 đồng.
Suy ra \(400000 + \left( {x - 1} \right).360000 \le 5000000\)\( \Leftrightarrow x \le \frac{{124}}{9}\).
Do đó bác An có thể mua tối đa là 13 hộp.
Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\) cho điểm \(I\left( { - 2;\;1} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :4x + 3y + 1 = 0.\) Tìm bán kính của đường tròn có tâm \(I\) và cắt đường thẳng \(\Delta \) tại hai điểm \(A,B\) sao cho tam giác \(IAB\) vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Trả lời: 1,13
Ta có khoảng cách từ \(I\) đến \(\Delta \) là: \(d = \frac{4}{5}.\)
Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn.
Theo giả thiết ta có tam giác \(IAB\) vuông cân tại \(I\) nên:
\(AB = 2d = \frac{8}{5};\;R = IA = \frac{{AB.\sqrt 2 }}{2} = \frac{{4\sqrt 2 }}{5} \approx 1,13.\)
Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.\).
Người thứ nhất chèo thuyền với vận tốc 6 (km/h) vào bờ biển từ một ngọn hải đăng đặt tại vị trí \(A\) cách bờ biển một khoảng \(AB = 4\left( {{\rm{km}}} \right)\). Trên bờ biển, người thứ hai đi xe máy với vận tốc 10 (km/h) từ một nhà kho ở vị trí C cách \(B\) một khoảng \(BC = 7\)(km) (hình vẽ bên dưới). Xác định vị trí hai người gặp nhau ở vị trí \(M\) đến \(C\), biết hai người xuất phát cùng một lúc (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Theo đề ta có \(BM = 7 - x\) (điều kiện \(0 < x < 7\))
Xét \(\Delta ABM\) ta có \(AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}} = \sqrt {{4^2} + {{\left( {7 - x} \right)}^2}} \).
Theo đề ta có \(\frac{{\sqrt {{4^2} + {{\left( {7 - x} \right)}^2}} }}{6} = \frac{x}{{10}}\).
Bình phương hai vế phương trình ta được \(\frac{{65 - 14x + {x^2}}}{{36}} = \frac{{{x^2}}}{{100}}\)\( \Leftrightarrow 1625 - 350x + 25{x^2} = 9{x^2}\)
\( \Leftrightarrow 1625 - 350x + 16{x^2} = 0\)\( \Leftrightarrow x \approx 15,2\) hoặc \(x \approx 6,7\).
Thử lại ta thấy giá trị 6,7 thỏa mãn.
Vậy hai người gặp nhau ở vị trí M cách C một khoảng 6,7 km.
Một elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\) với bán trục lớn \(a\), bán tiêu cự \(c\) thì tỉ số \(e = \frac{c}{a}\) được gọi là tâm sai của elip. Quỹ đạo của trái đất quay quanh mặt trời là một elip \(\left( E \right)\), trong đó mặt trời là một trong các tiêu điểm. Biết khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa mặt trời và trái đất lần lượt là 147 triệu km và 152 triệu km. Tìm tâm sai của elip \(\left( E \right)\).
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a - c = 147\\a + c = 152\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{299}}{2}\\c = \frac{5}{2}\end{array} \right.\).
Tâm sai của elip \(\left( E \right)\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{5}{2}:\frac{{299}}{2} = \frac{5}{{299}}\).
