Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2
21 câu hỏi
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\). Điều kiện để \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta > 0\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
\(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).
Giá trị \(x\) nào cho bên dưới là nghiệm của bất phương trình \(2{x^2} - 3x + 1 \le 0\).
\(x = 0\).
\(x = 1\).
\(x = 2\).
\(x = 3\).
Đáp án đúng là: B
Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào bất phương trình ta thấy \(x = 1\) là nghiệm của bất phương trình.
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4x + 3} = \sqrt {1 - x} \) là
\(x = 2\).
\(x = 1\).
\(x = 1\) hoặc \(x = 2\).
\(\left( {1;2} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = 1\) là nghiệm của phương trình.
\(\overrightarrow a = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \).
\(\overrightarrow a = - 4\overrightarrow i + 3\overrightarrow j \).
\(\overrightarrow a= 3\overrightarrow i+ 4\overrightarrow j \).
\(\overrightarrow a=- 3\overrightarrow i+ 4\overrightarrow j \).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow a = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \).
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:3x - 2y - 6 = 0\) và \({d_2}:6x - 2y - 8 = 0\).
Trùng nhau.
Song song.
Vuông góc với nhau.
Cắt nhau nhưng không vuông góc.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {6; - 2} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của \({d_1},{d_2}\).
Vì \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) không cùng phương nên \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau.
Lại có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} \ne 0\) nên \({d_1}\) và \({d_2}\) không vuông góc với nhau.
Tâm và bán kính của đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\) là
\(I\left( {1; - 1} \right),R = 9\).
\(I\left( {1; - 1} \right),R = 3\).
\(I\left( { - 1;1} \right),R = 3\).
\(I\left( { - 1;1} \right),R = 9\).a
Đáp án đúng là: B
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = 3\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), parabol \(\left( P \right)\) có phương trình chính tắc \({y^2} = 8x\) có tọa độ tiêu điểm là
\(F\left( {0;2} \right)\).
\(F\left( {2;0} \right)\).
\(F\left( {4;0} \right)\).
\(F\left( {0;4} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Có \(2p = 8 \Rightarrow p = 4\). Suy ra parabol có tiêu điểm là \(F\left( {2;0} \right)\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x - 4\) âm khi
\(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)\).
\(x \in \left[ { - 4;2} \right]\).
\(x \in \left( { - 1;4} \right)\).
\(x \in \left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(f\left( x \right) < 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 4\).
Số nghiệm nguyên dương của phương trình \(\sqrt {x - 1} = x - 3\) là
\(1\).
\(3\).
\(2\).
\(0\).
Đáp án đúng là: A
Bình phương hai vế của phương trình ta được
\(x - 1 = {x^2} - 6x + 9\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 5\) hoặc \(x = 2\).
Thay lần lượt hai giá trị của \(x\) vào phương trình ta được \(x = 5\) là nghiệm của phương trình.
Suy ra phương trình có 1 nghiệm nguyên dương.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(M\left( {2; - 2} \right),N\left( { - 3;4} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {MN} \) có tọa độ là
\(\left( { - 5; - 6} \right)\).
\(\left( {5; - 6} \right)\).
\(\left( {5;6} \right)\).
\(\left( { - 5;6} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 3 - 2;4 + 2} \right) = \left( { - 5;6} \right)\).
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) và tiếp xúc với trục \(Ox\) có phương trình là
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 1\).
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(R = d\left( {I,Ox} \right) = 2\).
Ta có phương trình đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\).
Cho elip \(\left( E \right)\) đi qua 2 điểm \({A_1}\left( { - 3;0} \right),{B_1}\left( {0; - 2} \right)\). Phương trình nào là phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\)?
\(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Đáp án đúng là: B
Giả sử \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
Vì \(\left( E \right)\) đi qua 2 điểm \({A_1}\left( { - 3;0} \right),{B_1}\left( {0; - 2} \right)\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{{{a^2}}} = 1\\\frac{4}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 4\end{array} \right.\).
Do đó \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
Cho đồ thị hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ
a)\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 2\end{array} \right.\).
b)\(f\left( 3 \right) > 0\).
c) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu
d) \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 2\).
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Dựa vào đồ thị ta có \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 2\end{array} \right.\).
b) Dựa vào đồ thị ta có \(f\left( 3 \right) > 0\).
c) Dựa vào đồ thị ta có \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) và \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 2\).
Do đó
.
d) Có \(f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {0;3} \right),B\left( {1; - 2} \right),C\left( {5;3} \right)\). Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) xuống \(BC\). Khi đó
a) Một vectơ pháp tuyến của đường cao \(AH\) là \(\overrightarrow {CB} \).
b) Phương trình đường cao \(AH\) là \(4x + 5y - 16 = 0\).
c) Phương trình đường thẳng \(BC\) là \(5x - 4y - 13 = 0\).
d) Độ dài đường cao \(AH\) bằng \(\frac{{10}}{{\sqrt {41} }}\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Vì \(AH \bot CB\) nên \(\overrightarrow {CB} \) là một vectơ pháp tuyến của đường cao \(AH\).
b) Đường cao \(AH\) đi qua \(A\left( {0;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {CB} = \left( { - 4; - 5} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là \( - 4x - 5\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y - 15 = 0\).
c) Đường thẳng \(BC\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC} = \left( {4;5} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {5; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(5\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y + 2} \right) = 0\) hay \(5x - 4y - 13 = 0\).
d) Ta có \(AH = d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {5.0 - 4.3 - 13} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {4^2}} }} = \frac{{25}}{{\sqrt {41} }}\).
Trả lời: 1
Ta có \({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 10\).
Suy ra \(I\left( {2; - 1} \right)\). Do đó \(a + b = 1\).
Tính tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4} = \sqrt {2 - x} \).
Trả lời: −3
Bình phương hai vế của phương trình ta được
\({x^2} + 2x + 4 = 2 - x\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = - 2\).
Thay lần lượt hai giá trị \(x\) vào phương trình trên ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.
Do đó tổng các nghiệm của phương trình là \[ - 3\].
Tổng chi phí \(P\) (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất \(x\) sản phẩm được cho bởi biểu thức \(P = {x^2} + 30x + 3300\); giá bán một sản phẩm là \(170\) nghìn đồng. Gọi \(a;b\) lần lượt là số sản phẩm tối thiểu và tối đa mà nhà sản xuất cần sản xuất để không bị lỗ. Tính \(S = a + b\) (giả sử các sản phẩm được bán hết).
Trả lời: 140
Bán hết \(x\) sản phẩm thì số tiền nhà sản xuất thu được là \(170x\) nghìn đồng.
Để nhà sản xuất không bị lỗ thì
\(170x \ge {x^2} + 30x + 3300\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 140x + 3300 \le 0\)\( \Leftrightarrow 30 \le x \le 110\).
Suy ra \(a = 30;b = 110\). Do đó \(S = 140\).
Một gương lõm có mặt cắt hình parabol (hình vẽ bên), có tiêu điểm cách đỉnh \(5\;{\rm{cm}}\). Cho biết bề sâu của gương là \(45\;{\rm{cm}}\). Tính khoảng cách \(AB\). (theo đơn vị cm).
Trả lời: 60
Ta có \(\left( P \right):{y^2} = 2px\).
Vì tiêu điểm cách đỉnh \(5\;{\rm{cm}}\) nên \(\frac{p}{2} = 5 \Rightarrow p = 10\). Do đó \(\left( P \right):{y^2} = 20x\).
Vì \(A\left( {45;{y_A}} \right) \in \left( P \right)\) nên \(y_A^2 = 20.45 \Leftrightarrow y_A^2 = 900 \Rightarrow {y_A} = 30\).
Do đó \(AB = 2.30 = 60\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), tìm tọa độ của các vectơ sau
a) \(\overrightarrow b = 7\overrightarrow j \).
b) \(\overrightarrow d = 0,5\overrightarrow i - \sqrt {11} \overrightarrow j \).
a) \(\overrightarrow b = 7\overrightarrow j = \left( {0;7} \right)\).
b) \(\overrightarrow d = 0,5\overrightarrow i - \sqrt {11} \overrightarrow j = \left( {0,5; - \sqrt {11} } \right)\).
Người ta kéo dây điện từ nguồn điện ở vị trí A đến B rồi kéo lên vị trí C là ngọn hải đăng ở Vũng Tàu để chiếu sáng. Biết khoảng cách từ vị trí A đến chân Ngọn Hải Đăng là 5 km, chiều cao Ngọn Hải Đăng là 1 km. Tiền công kéo dây điện bắt từ A đến B là 2 triệu đồng/km và từ B đến C là 3 triệu đồng/km (như hình vẽ bên dưới). Hỏi tổng chiều dài (km) dây điện đã kéo từ A đến C là bao nhiêu biết tổng chi phí tiền công kéo dây điện là 13 triệu đồng?
Gọi chều dài đoạn dây điện kéo từ A đến B là \(AB = x\) (km) (\(0 < x < 5\))
Khi đó chiều dài dây điện kéo từ B đến C là \(BC = \sqrt {1 + {{\left( {5 - x} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} - 10x + 26} \) (km)
Tổng số tiền công là \(3\sqrt {{x^2} - 10x + 26} + 2x = 13\) (triệu đồng).
Theo đề ta có: \(3\sqrt {{x^2} - 10x + 26} + 2x = 13\)\( \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} - 10x + 26} = 13 - 2x\).
Bình phương hai về của phương trình ta được:
\(9\left( {{x^2} - 10x + 26} \right) = 169 - 52x + 4{x^2}\)\( \Leftrightarrow 5{x^2} - 38x + 65 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \frac{{13}}{5}\end{array} \right.\).
Thay các giá trị của \(x\) vào phương trình ban đầu và kết hợp với điều kiện ta thấy \(x = \frac{{13}}{5}\) là nghiệm.
Khi đó \(AB = x = \frac{{13}}{5} \Rightarrow BC = \frac{{13}}{5}\).
Vậy tổng chiều dài dây điện đã kéo từ A đến C là \(AB + BC = \frac{{26}}{5} = 5,2\) (km).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình bình hành \(ABCD\) có diện tích bằng 2. Biết \(A\left( {0;2} \right),B\left( {3;0} \right)\) và giao điểm \(I\) của hai đường chéo hình bình hành nằm trên đường thẳng \(y = - x\). Tìm tọa độ điểm \(D\), biết \({x_D} > - 14\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2} \right)\). Suy ra \(AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {13} \).
Vì \({S_{ABCD}} = DH.AB \Rightarrow DH = \frac{2}{{\sqrt {13} }}\).
Giả sử \(I\left( {a; - a} \right)\).
Mà \(I\) là trung điểm của \(BD\) nên \(D\left( {2a - 3; - 2a} \right)\).
Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {0;2} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {2;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(2x + 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - 6 = 0\).
Lại có \(DH = d\left( {D,AB} \right) = \frac{{\left| {2.\left( {2a - 3} \right) + 3.\left( { - 2a} \right) - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{\left| { - 2a - 12} \right|}}{{\sqrt {13} }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }}\).
Từ đó ta có \(\left[ \begin{array}{l}a + 6 = 1\\a + 6 = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 5\\a = - 7\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}D\left( { - 13;10} \right)\\D\left( { - 17;14} \right)\end{array} \right.\).
Vì \({x_D} > - 14\) nên \(D\left( { - 13;10} \right)\).
