Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 1
21 câu hỏi
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c,\left( {a \ne 0} \right)\) và \(\Delta = {b^2} - 4ac\). Cho biết dấu của \(\Delta \) khi \(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
\(\Delta > 0\).
\(\Delta < 0\).
\(\Delta \ge 0\).
\(\Delta = 0\).
Đáp án đúng là: B
\(f\left( x \right)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi \(\Delta < 0\).
Trong các bất phương trình dưới đây, bất phương trình nào là bất phương trình bậc hai một ẩn \(x\)?
\(x + 3 \ge 0\).
\( - {x^2} + 3x - 2 \ge 0\).
\({x^2} - x - 3 \ne 0\).
\(3{x^2} - 3\sqrt x - 3 > 0\).
Đáp án đúng là: B
Bất phương trình \( - {x^2} + 3x - 2 \ge 0\) là bất phương trình bậc hai một ẩn \(x\).
Cho phương trình \(\sqrt {2x - 3} = x - 3\). Chọn câu đúng.
\(x = 6\) là nghiệm của phương trình.
\(x = 2\) là nghiệm của phương trình.
\(x = 1\) là nghiệm của phương trình.
\(x = 3\)là nghiệm của phương trình.
Đáp án đúng là: A
Thay lần lượt \(x = 1;x = 2;x = 3;x = 6\) vào phương trình ta thấy \(x = 6\) là nghiệm của phương trình.
Trong mặt phẳng với hệ \(Oxy\), cho \(\overrightarrow {OM} = 7\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \), tìm tọa độ của điểm \(M\)
\(M\left( {7;4} \right)\).
\(M\left( {4;7} \right)\).
\(M\left( { - 7; - 4} \right)\).
\(M\left( {7; - 4} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Tọa độ của điểm \(M\left( {7;4} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d: - x + 2y + 7 = 0\). Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là
\(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( { - 1;2} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \(d\) nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 1;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Phương trình đường tròn có tâm\(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính \(R\) là
\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = R\).
\({\left( {x + a} \right)^2} + {\left( {y + b} \right)^2} = {R^2}\).
\({\left( {x + a} \right)^2} + {\left( {y + b} \right)^2} = R\).
Đáp án đúng là: A
Phương trình đường tròn có tâm\(I\left( {a;b} \right)\) và bán kính \(R\) là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của một elip?
\(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 0\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) là phương trình chính tắc của một elip.
Tập nghiệm của bất phương trình \(2{x^2} - 7x - 15 \ge 0\) là
\(\left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\).
\(\left[ { - \frac{3}{2};5} \right]\).
\(\left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\).
\(\left[ { - 5;\frac{3}{2}} \right]\).
Đáp án đúng là: A
\(2{x^2} - 7x - 15 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - \frac{3}{2}\\x \ge 5\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\).
Tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {2x + 7} = x - 4\) là
\(S = \left\{ {1;9} \right\}\).
\(S = \left\{ 1 \right\}\).
\(S = \left\{ 9 \right\}\).
\(S = \left\{ { - 1; - 9} \right\}\).
Đáp án đúng là: C
Bình phương 2 vế của phương trình ta được \(2x + 7 = {x^2} - 8x + 16\).
Thu gọn ta được \({x^2} - 10x + 9 = 0\). Từ đó tìm được \(x = 1\) hoặc \(x = 9\).
Thay lần lượt hai giá trị này của \(x\) vào phương trình đã cho ta chỉ thấy \(x = 9\) thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 9 \right\}\).
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(M\left( { - 1;0} \right),N\left( {3;1} \right)\) là
\(4x + y + 4 = 0\).
\(x - 4y - 1 = 0\).
\(4x + y - 4 = 0\).
\(x - 4y + 1 = 0\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {4;1} \right)\).
Đường thẳng \(MN\) nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( {4;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(\left( {x + 1} \right) - 4y = 0 \Leftrightarrow x - 4y + 1 = 0\).
Cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 13\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( { - 2;5} \right)\) là:
\( - 2x + 5y + 16 = 0\).
\( - 2x + 5y - 16 = 0\).
\( - 3x + 2y - 16 = 0\).
\(3x - 2y - 16 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;3} \right)\).
Ta thấy điểm \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\).
Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( { - 2;5} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( { - 3;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là \( - 3\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y - 5} \right) = 0\) hay \( - 3x + 2y - 16 = 0\).
Viết phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\).
\({y^2} = 8x\).
\(y = 4{x^2}\).
\({y^2} = 16x\).
\({y^2} = 32x\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình chính tắc của parabol có phương trình là \({y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\).
Vì parabol đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\) nên \({4^2} = 2p.1 \Leftrightarrow p = 8\).
Vậy \({y^2} = 16x\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 20{x^2} + 56x + 36\).
a) Theo đề bài thì \(f\left( x \right)\) là một tam thức bậc hai.
b) Bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( { - \infty ; - \frac{7}{5}} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\).
c) Bất phương trình \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \frac{9}{5}; + \infty } \right)\).
d) Bất phương trình luôn nhận giá trị không âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
a) Đ, b) S, c) S, d) S
a) Ta có \(f\left( x \right) = 20{x^2} + 56x + 36\) là một tam thức bậc hai.
b) Ta có \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow 20{x^2} + 56x + 36 \ge 0 \Leftrightarrow \left( { - \infty ; - \frac{9}{5}} \right] \cup \left[ { - 1; + \infty } \right)\).
c) Ta có \(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow 20{x^2} + 56x + 36 \le 0 \Leftrightarrow \left[ { - \frac{9}{5}; - 1} \right]\).
d) Theo câu b, \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( { - \infty ; - \frac{9}{5}} \right] \cup \left[ { - 1; + \infty } \right)\).
Cho hai điểm \(A\left( {3; - 3} \right),B\left( { - 1; - 5} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):4x - 3y - 2 = 0\).
a) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {4; - 3} \right)\).
b)Ta có \(\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow j - 3\overrightarrow i \).
c) Khoảng cách từ \(A\) tới \(\left( d \right)\) nhỏ hơn khoảng cách từ \(B\) tới \(\left( d \right)\).
d) Cosin của góc tạo bởi \(\left( d \right)\) và đường thẳng \(AB\) bằng \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Ta có \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {4; - 3} \right)\).
b) \(\overrightarrow {OA} = 3\overrightarrow i - 3\overrightarrow j \).
c) Ta có \(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {4.3 - 3.\left( { - 3} \right) - 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{19}}{5}\).
Ta có \(d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + 4.\left( { - 5} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{20}}{5}\).
Vì \(\frac{{19}}{5} < \frac{{20}}{5}\) nên \(d\left( {A,d} \right) < d\left( {B,d} \right)\).
d) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2} \right) = - 2\left( {2;1} \right)\).
Đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng.
Ta có \[\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_d}} ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {4.\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{10}}{{5\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\].
Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn \(2{x^2} + 2{y^2} - 8x + 4y - 1 = 0\) có bán kính bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Trả lời: 2,35
\(2{x^2} + 2{y^2} - 8x + 4y - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x + 2y - \frac{1}{2} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = \frac{{11}}{2}\).
Vậy bán kính của đường tròn là \(\sqrt {\frac{{11}}{2}} \approx 2,35\).
Tập nghiệm của bất phương trình \( - {x^2} + 5x - 6 \ge 0\) có bao nhiêu giá trị nguyên?
Trả lời: 2
Ta có \( - {x^2} + 5x - 6 \ge 0\)\( \Leftrightarrow 2 \le x \le 3\).
Vì \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {2;3} \right\}\).
Do đó tập nghiệm của bất phương trình có 2 giá trị nguyên.
Trên màn hình ra đa của đài kiểm soát không lưu (được coi như mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) với đơn vị trên các trục tính theo kilômét), một máy bay trực thăng chuyển động thẳng đều từ thành phố A có tọa độ (600; 200) đến thành phố B có tọa độ (200; 500) và thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ. Hãy tìm tung độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 1 giờ.
Trả lời: 300
Giả sử sau 1 giờ, máy bay tại vị trí điểm \(C\left( {x;y} \right)\).
Vì máy bay chuyển động thẳng đều nên A, B, C thẳng hàng nên \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng hướng.
Máy bay bay từ A đến B hết 3 giờ.
Máy bay bay từ A đến C hết 1 giờ.
Do vận tốc không đổi nên AB = 3AC \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AC} \).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 400;300} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {x - 600;y - 200} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AC} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l} - 400 = 3\left( {x - 600} \right)\\300 = 3\left( {y - 200} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{1400}}{3}\\y = 300\end{array} \right.\).
Vậy \(C\left( {\frac{{1400}}{3};300} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right)\), cho điểm \(M\left( {1; - 2} \right)\) và đường thẳng \(d:2x - 4y + 3 = 0\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và song song \(d\) có phương trình \(ax + by - 5 = 0\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\). Tính giá trị biểu thức \({a^2} + {b^2}\).
Trả lời: 5
Vì đường thẳng \(\Delta //d\) nên \(\Delta :2x - 4y + c = 0\left( {c \ne 3} \right)\).
Vì \(\Delta \) đi qua \(M\left( {1; - 2} \right)\) nên ta có \(2.1 - 4.\left( { - 2} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c = - 10\).
Do đó \(\Delta :2x - 4y - 10 = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 5 = 0\).
Suy ra \(a = 1;b = - 2\). Do đó \({a^2} + {b^2} = 5\).
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để biểu thức \(f\left( x \right) = \left( {m - 2024} \right){x^2} + 2mx + 3\) là một tam thức bậc hai.
Để biểu thức đã cho là tam thức bậc hai thì \(m - 2024 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2024\).
Xét \(\Delta AOC\) có \(A{C^2} = O{A^2} + O{C^2} - 2.OA.OC.\cos 120^\circ = 4 + {\left( {x + 1} \right)^2} + 2.\left( {x + 1} \right) = {x^2} + 4x + 7\).
Suy ra \(AC = \sqrt {{x^2} + 4x + 7} \).
Xét \(\Delta ABO\) có \(AB = \sqrt {O{A^2} - O{B^2}} = \sqrt {4 - {x^2}} \).
Vì \(AC = 2AB\) nên \(\sqrt {{x^2} + 4x + 7} = 2\sqrt {4 - {x^2}} \)
Bình phương 2 vế của phương trình trên ta được:
\({x^2} + 4x + 7 = 4\left( {4 - {x^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 5{x^2} + 4x - 9 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = - \frac{9}{5}\).
Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = 1\) và \(x = - \frac{9}{5}\) đều là nghiệm của phương trình.
Vì \(x > 0\) nên \(x = 1\) thỏa mãn \(OB < OA\).
Hình vẽ bên mô phỏng một trạm thu phát sóng điện thoại di động đặt ở vị trí \(I\) có tọa độ \(\left( { - 2;1} \right)\) trong mặt phẳng tọa độ (đơn vị trên hai trục là kilômét). Tính theo đường chim bay, xác định khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có tọa độ \(\left( { - 3;4} \right)\) di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng 3 (km).
Giả sử người đó đứng ở vị trí \(B\left( { - 3;4} \right)\).
Ta có \(IB = \sqrt {{{\left( { - 3 + 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10} > R\).
Suy ra khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có tọa độ \(B\left( { - 3;4} \right)\) di chuyển được tới vùng phủ sóng là \(IB - R = \sqrt {10} - 3 \approx 0,16\) (km).
