Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5
21 câu hỏi
An muốn qua nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường. Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có 6 con đường đi. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường đi đến nhà Cường?
24 cách.
10 cách.
6 cách.
4 cách.
Đáp án đúng là: A
An có \(4.6 = 24\) cách để đi đến nhà Cường.
Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?
\(A_5^1\).
\(5!\).
\(6\).
\(5\).
Đáp án đúng là: B
Có \(5!\) cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc.
Có bao nhiêu cách chọn 2 người từ một nhóm có 10 người?
20.
\(2!\).
\(A_{20}^2\).
\(C_{20}^2\).
Đáp án đúng là: D
Có \(C_{20}^2\) cách chọn 2 người từ một nhóm có 10 người.
Trên đường thẳng \(d\) cho trước, lấy 6 điểm phân biệt. Lấy điểm \(A\) nằm ngoài đường thẳng d. Từ 7 điểm trên lập được bao nhiêu hình tam giác?
\(C_6^2\).
\(C_7^3\).
\(A_7^3\).
\(A_6^2\).
Đáp án đúng là: A
Từ 7 điểm đã cho sẽ lập được \(C_6^2\) tam giác.
Số hạng có chứa \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {{x^2} - 1} \right)^4}\) là:
\( - C_4^2{x^6}\).
\(C_4^3{x^6}\).
\({x^6}\).
\( - C_4^1{x^6}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({\left( {{x^2} - 1} \right)^4} = C_4^0{\left( {{x^2}} \right)^4} - C_4^1{\left( {{x^2}} \right)^3} + C_4^2{\left( {{x^2}} \right)^2} - C_4^3\left( {{x^2}} \right) + C_4^4\).
Số hạng chứa \({x^6}\) là \( - C_4^1{\left( {{x^2}} \right)^3} = - C_4^1{x^6}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a = 3\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \) là
\(\overrightarrow a = \left( {3;5} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( {3; - 5} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( { - 3;5} \right)\).
\(\overrightarrow a = \left( { - 5;3} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\overrightarrow a = \left( {3; - 5} \right)\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến \(\Delta \) được tính bằng công thức:
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0}} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Đáp án đúng là: B
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).
Một lớp có 23 học sinh nữ và 17 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai học sinh tham gia hội trại với điều kiện có cả nam và nữ?
40.
391.
780.
1560.
Đáp án đúng là: B
Giai đoạn 1: Chọn một học sinh nữ: có 23 cách chọn.
Giai đoạn 2: Chọn một học sinh nam: có 17 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có \(23.17 = 391\) cách chọn thỏa mãn.
Lớp 11D có 45 bạn học sinh. Đầu năm cô giáo muốn chọn ra một ban cán sự lớp từ 45 bạn học sinh lớp 11D gồm một lớp trưởng, một lớp phó học tập, một lớp phó lao động và hai thư kí. Số cách cô giáo chọn ra một ban cán sự lớp như vậy là
\(2 \cdot {P_4}\).
\(A_{45}^3 \cdot C_{42}^2\).
\(A_{45}^4\).
\(2 \cdot A_{45}^3\).
Đáp án đúng là: B
Để chọn ra ban cán sự lớp thoả mãn yêu cầu, ta tiến hành như sau:
Bước 1: Chọn 3 bạn trong đó có một lớp trưởng, một lớp phó học tập, một lớp phó lao động từ 45 bạn.
Mỗi một cách chọn ra một ban cán sự lớp gồm ba bạn trong đó có một lớp trưởng, một lớp phó học tập, một lớp phó lao động từ 45 bạn học sinh lớp 11D tương ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 45 phần tử.
Do đó số cách chọn là: \(A_{45}^3\).
Bước 2: Chọn 2 bạn làm thư kí từ 42 bạn còn lại. Mỗi cách chọn này không phân biệt về thứ tự nên số cách chọn là: \(C_{42}^2\).
Số cách cô giáo chọn ra một ban cán sự lớp thoả mãn là: \(A_{45}^3 \cdot C_{42}^2\).
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho \(\overrightarrow a = \left( {2; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( { - 1;0} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a + 2\overrightarrow b \) bằng
\(\left( {0;1} \right)\).
\(\left( {0; - 1} \right)\).
\(\left( {3; - 2} \right)\).
\(\left( {4; - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(2\overrightarrow b = \left( { - 2;0} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow a + 2\overrightarrow b = \left( {2 + \left( { - 2} \right); - 1 + 0} \right) = \left( {0; - 1} \right)\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:2x + 3y - 19 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.\) là
\(\left( {5;2} \right)\).
\(\left( { - 1;7} \right)\).
\(\left( {2;5} \right)\).
\(\left( {10;25} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\\2x + 3y - 19 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\\2\left( {22 + 2t} \right) + 3\left( {55 + 5t} \right) - 19 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\\t = - 10\end{array} \right.\).
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1};{d_2}\) là \(\left( {2;5} \right)\).
Cho nhị thức \({\left( {1 - \frac{1}{2}x} \right)^5}\). Khi đó
a) Khai triển trên có 6 số hạng.
b) Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển là \( - \frac{1}{{32}}\).
c) Hệ số lớn nhất trong tất cả hệ số là \(\frac{5}{2}\).
d) Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức đã cho là \(\frac{1}{{16}}\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Khai triển trên có 6 số hạng.
b) Số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển là \({\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^5} = - \frac{1}{{32}}{x^5}\).
Suy ra hệ số của \({x^5}\) trong khai triển là \( - \frac{1}{{32}}\).
c) Ta có \({\left( {1 - \frac{1}{2}x} \right)^5} = {\left( {\frac{{ - 1}}{2}x} \right)^5} + 5.{\left( {\frac{{ - 1}}{2}x} \right)^4} + 10.{\left( {\frac{{ - 1}}{2}x} \right)^3} + 10.{\left( {\frac{{ - 1}}{2}x} \right)^2} + 5.\left( {\frac{{ - 1}}{2}x} \right) + 1\)
\( = - \frac{1}{{32}}{x^5} + \frac{5}{{16}}{x^4} - \frac{5}{4}{x^3} + \frac{5}{2}{x^2} - \frac{5}{2}x + 1\).
Hệ số lớn nhất trong tất cả các hệ số là \(\frac{5}{2}\).
d) Tổng các hệ số trong khai triển là \( - \frac{1}{{32}} + \frac{5}{{16}} - \frac{5}{4} + \frac{5}{2} - \frac{5}{2} + 1 = \frac{1}{{32}}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:2x + y - 1 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 - t\end{array} \right.\).
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _2}\) là \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = \left( {2;1} \right)\).
b) Vectơ pháp tuyến của \({\Delta _1}\) là \(\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)\) nên \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)\).
c) Khoảng cách từ điểm \(M\left( {2;1} \right)\)đến đường thẳng \({\Delta _1}\) bằng \(\frac{4}{{\sqrt 5 }}\).
d) Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) bằng \(\frac{3}{{\sqrt {10} }}\).
a) S, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _2}\) là \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = \left( {1; - 1} \right)\).
b) Vectơ pháp tuyến của \({\Delta _1}\) là \(\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)\) nên \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2} \right)\).
c) Ta có \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\).
d) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _2}\) là \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = \left( {1; - 1} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{{\Delta _1}}}} = \left( {1;1} \right)\).
Suy ra \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.2 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).
Đề kiểm tra tập trung môn toán khối 10 của một trường THPT gồm hai loại đề tự luận và trắc nghiệm. Một học sinh tham gia kiểm tra phải thực hiện hai đề gồm một đề tự luận và một đề trắc nghiệm, trong đó loại đề tự luận có 12 đề, loại đề trắc nghiệm 15 có đề. Hỏi mỗi học sinh có bao nhiêu cách chọn đề kiểm tra?
Trả lời: 180
Chọn 1 đề tự luận trong 12 đề: có \(C_{12}^1\) cách.
Chọn 1 đề trắc nghiệm trong 15 đề: có \(C_{15}^1\) cách.
Số cách chọn đề kiểm tra là: \(C_{12}^1 \cdot C_{15}^1 = 180\) cách.
Cho hai điểm \(A(1;0)\) và \(B(0; - 2)\). Tìm tung độ của điểm \(D\) sao cho \(\overrightarrow {AD} = - 3\overrightarrow {AB} \).
Trả lời: 6
Ta có: \(\overrightarrow {AD} = - 3\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_D} - {x_A} = - 3\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}\\{{y_D} - {y_A} = - 3\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_D} - 1 = - 3(0 - 1)}\\{{y_D} - 0 = - 3( - 2 - 0)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_D} = 4}\\{{y_D} = 6}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(D(4;6)\).
Tung độ của điểm \(D\) là 6.
Tính giá trị của tổng \(S = C_6^0 + C_6^1 + .. + C_6^6\).
Trả lời: 64
Xét khai triển: \({(1 + x)^6} = C_6^0 + C_6^1x + C_6^2{x^2} + C_6^3{x^3} + C_6^4{x^4} + C_6^5{x^5} + C_6^6{x^6}\).
Thay \(x = 1\), ta được: \(C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 + C_6^6 = {(1 + 1)^6} = {2^6} = 64\).
Chuyển động của vật thể\(M\) được thể hiện trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\). Vật thể \(M\) khởi hành từ điểm \(A\left( {5;3} \right)\) và chuyển động thẳng đều với vận tốc là \(\overrightarrow v \left( {1;2} \right)\). Hỏi khi vật thể \(M\)chuyển động được 5 giây thì vật thể \(M\) chuyển động được quãng đường dài bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Trả lời: 11,2
Vật thể \(M\) chuyển động trên một đường thẳng. Đường thẳng đó đi qua \(A\left( {5;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow v \left( {1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\).
Khi vật thể \(M\) chuyển động được 5 giây thì vật ở vị trí \(B\) có tọa độ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 5 = 10\\y = 3 + 2.5 = 13\end{array} \right.\).
Quãng đường vật thể \(M\) đi được là \(AB = \sqrt {{{\left( {10 - 5} \right)}^2} + {{\left( {13 - 3} \right)}^2}} = 5\sqrt 5 \approx 11,2\).
Tìm một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {1;1} \right)\) và \(B\left( {2;2} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1} \right)\).
Đường thẳng \(AB\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5 sao cho chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần?
Xét bảy ô tương ứng với bảy chữ số của số tự nhiên cần lập.
Chọn hai từ bảy vị trí để đặt chữ số 2: có \(C_7^2\) (cách).
Chọn ba từ năm vị trí còn lại để đặt chữ số 3: có \(C_5^3\) (cách).
Chọn hai chữ số từ \(\{ 1;4;5\} \) rồi xếp vào hai vị trí cuối: \(A_3^2\) (cách).
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn là \(C_7^2C_5^3A_3^2 = 1260\).
Cho tam giác \(ABC\) có các đỉnh \(A(1;1),B(2;4),C(10; - 2)\).
a) Chứng minh tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Tính diện tích tam giác \(ABC\).
b) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} \), suy ra \(\cos B\).
a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (1;3),\overrightarrow {AC} = (9; - 3),\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 1.9 + 3( - 3) = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \).
Vậy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
Ta có: \(AB = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} ,AC = \sqrt {{9^2} + {{( - 3)}^2}} = 3\sqrt {10} \);
Diện tích tam giác \(ABC:{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {10} \cdot 3\sqrt {10} = 15\).
b) Ta có: \(\overrightarrow {BA} = ( - 1; - 3),\overrightarrow {BC} = (8; - 6) \Rightarrow \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = - 1.8 + ( - 3)( - 6) = 10\).
Suy ra: \(\cos B = \cos (\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ) = \frac{{\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{BA \cdot BC}} = \frac{{10}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{8^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1;3), B(2;7). Một vecto chỉ phương của đường thẳng AB là:
u1→= (-4; 1)
u2→= (-2; 1)
u3→= (-3; 2)
u4→= (1; 4)
Đáp án đúng là D
Ta có AB→ = (1; 4)
Do đó một vecto chỉ phương của đường thẳng AB là u4→ = (1; 4)
