Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 5

Đáp án đúng là: B

Để chọn ra ban cán sự lớp thoả mãn yêu cầu, ta tiến hành như sau:

Bước 1: Chọn 3 bạn trong đó có một lớp trưởng, một lớp phó học tập, một lớp phó lao động từ 45 bạn.

Mỗi một cách chọn ra một ban cán sự lớp gồm ba bạn trong đó có một lớp trưởng, một lớp phó học tập, một lớp phó lao động từ 45 bạn học sinh lớp 11D tương ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 45 phần tử.

Do đó số cách chọn là: \(A_{45}^3\).

Bước 2: Chọn 2 bạn làm thư kí từ 42 bạn còn lại. Mỗi cách chọn này không phân biệt về thứ tự nên số cách chọn là: \(C_{42}^2\).

Số cách cô giáo chọn ra một ban cán sự lớp thoả mãn là: \(A_{45}^3 \cdot C_{42}^2\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(2\overrightarrow b = \left( { - 2;0} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow a + 2\overrightarrow b = \left( {2 + \left( { - 2} \right); - 1 + 0} \right) = \left( {0; - 1} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\\2x + 3y - 19 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\\2\left( {22 + 2t} \right) + 3\left( {55 + 5t} \right) - 19 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\\t = - 10\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1};{d_2}\) là \(\left( {2;5} \right)\).

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Khai triển trên có 6 số hạng.

b) Số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển là \({\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^5} = - \frac{1}{{32}}{x^5}\).

Suy ra hệ số của \({x^5}\) trong khai triển là \( - \frac{1}{{32}}\).

c) Ta có \({\left( {1 - \frac{1}{2}x} \right)^5} = {\left( {\frac{{ - 1}}{2}x} \right)^5} + 5.{\left( {\frac{{ - 1}}{2}x} \right)^4} + 10.{\left( {\frac{{ - 1}}{2}x} \right)^3} + 10.{\left( {\frac{{ - 1}}{2}x} \right)^2} + 5.\left( {\frac{{ - 1}}{2}x} \right) + 1\)

\( = - \frac{1}{{32}}{x^5} + \frac{5}{{16}}{x^4} - \frac{5}{4}{x^3} + \frac{5}{2}{x^2} - \frac{5}{2}x + 1\).

Hệ số lớn nhất trong tất cả các hệ số là \(\frac{5}{2}\).

d) Tổng các hệ số trong khai triển là \( - \frac{1}{{32}} + \frac{5}{{16}} - \frac{5}{4} + \frac{5}{2} - \frac{5}{2} + 1 = \frac{1}{{32}}\).

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _2}\) là \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = \left( {1; - 1} \right)\).

b) Vectơ pháp tuyến của \({\Delta _1}\) là \(\overrightarrow n = \left( {2;1} \right)\) nên \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2} \right)\).

c) Ta có \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {2.2 + 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\).

d) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({\Delta _2}\) là \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} = \left( {1; - 1} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{{\Delta _1}}}} = \left( {1;1} \right)\).

Suy ra \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.2 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).

Trả lời: 180

Chọn 1 đề tự luận trong 12 đề: có \(C_{12}^1\) cách.

Chọn 1 đề trắc nghiệm trong 15 đề: có \(C_{15}^1\) cách.

Số cách chọn đề kiểm tra là: \(C_{12}^1 \cdot C_{15}^1 = 180\) cách.

Trả lời: 6

Ta có: \(\overrightarrow {AD} = - 3\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_D} - {x_A} = - 3\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}\\{{y_D} - {y_A} = - 3\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_D} - 1 = - 3(0 - 1)}\\{{y_D} - 0 = - 3( - 2 - 0)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_D} = 4}\\{{y_D} = 6}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(D(4;6)\).

Tung độ của điểm \(D\) là 6.

Trả lời: 64

Xét khai triển: \({(1 + x)^6} = C_6^0 + C_6^1x + C_6^2{x^2} + C_6^3{x^3} + C_6^4{x^4} + C_6^5{x^5} + C_6^6{x^6}\).

Thay \(x = 1\), ta được: \(C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 + C_6^6 = {(1 + 1)^6} = {2^6} = 64\).

Trả lời: 11,2

Vật thể \(M\) chuyển động trên một đường thẳng. Đường thẳng đó đi qua \(A\left( {5;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow v \left( {1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\).

Khi vật thể \(M\) chuyển động được 5 giây thì vật ở vị trí \(B\) có tọa độ là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 5 = 10\\y = 3 + 2.5 = 13\end{array} \right.\).

Quãng đường vật thể \(M\) đi được là \(AB = \sqrt {{{\left( {10 - 5} \right)}^2} + {{\left( {13 - 3} \right)}^2}} = 5\sqrt 5 \approx 11,2\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1} \right)\).

Đường thẳng \(AB\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Xét bảy ô tương ứng với bảy chữ số của số tự nhiên cần lập.

Chọn hai từ bảy vị trí để đặt chữ số 2: có \(C_7^2\) (cách).

Chọn ba từ năm vị trí còn lại để đặt chữ số 3: có \(C_5^3\) (cách).

Chọn hai chữ số từ \(\{ 1;4;5\} \) rồi xếp vào hai vị trí cuối: \(A_3^2\) (cách).

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn là \(C_7^2C_5^3A_3^2 = 1260\).

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (1;3),\overrightarrow {AC} = (9; - 3),\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 1.9 + 3( - 3) = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \).

Vậy tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

Ta có: \(AB = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} ,AC = \sqrt {{9^2} + {{( - 3)}^2}} = 3\sqrt {10} \);

Diện tích tam giác \(ABC:{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {10} \cdot 3\sqrt {10} = 15\).

b) Ta có: \(\overrightarrow {BA} = ( - 1; - 3),\overrightarrow {BC} = (8; - 6) \Rightarrow \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} =  - 1.8 + ( - 3)( - 6) = 10\).

Suy ra: \(\cos B = \cos (\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ) = \frac{{\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{BA \cdot BC}} = \frac{{10}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{8^2} + {{( - 6)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).