Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 3

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[C_n^k = \frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}\], do đó đáp án B sai.

Đáp án đúng là: A

Chọn 8 em học sinh từ một tổ có 10 em học sinh có \[C_{10}^8 = 45\] cách chọn.

Đáp án đúng là: B

Chọn ra 3 người có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và vật lý ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Chọn 1 nhà vật lý nam, 2 nhà toán học nữ có \(C_4^1.C_3^2 = 12\) cách chọn.

Trường hợp 2: Chọn 1 nhà vật lý nam, 1 nhà toán học nữ và 1 nhà toán học nam có \(C_4^1.C_3^1.C_5^1 = 60\) cách chọn.

Trường hợp 3: Chọn 2 nhà vật lý nam, 1 nhà toán học nữ có \(C_4^2.C_3^1 = 18\) cách chọn.

Vậy, có \(12 + 60 + 18 = 90\) cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: C

Số tam giác có thể tạo ra từ \(n\) điểm không có ba điểm nào thẳng hàng là: \(C_n^3\left( {n \ge 3} \right)\).

Số đoạn thẳng có thể tạo ra từ \(n\) điểm không có ba điểm nào thẳng hàng là: \(C_n^2\).

Vì số tam giác gấp đôi số đoạn thẳng được tạo ra nên ta có:

 \(C_n^3 = 2C_n^2\left( {n \in \mathbb{N},n \ge 3} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 2\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 2\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}\]

\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 2\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\)

\( \Rightarrow n - 2 = 6\) (do \(n \ge 3\))

\( \Leftrightarrow n = 8\) (thỏa mãn điều kiện).

Đáp án đúng là: B

\[{\left( {1 - 3x} \right)^5} = C_5^0 + C_5^1{\left( { - 3x} \right)^1} + C_5^2{\left( { - 3x} \right)^2} + C_5^3{\left( { - 3x} \right)^3} + C_5^4{\left( { - 3x} \right)^4} + C_5^5{\left( { - 3x} \right)^5}\]\[ = 1 - 15x + 90{x^2} - 270{x^3} + 405{x^4} - 243{x^5}\].

Đáp án đúng là: B

Ta có

\({\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4} = C_4^0{\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}{\left( {{x^3}} \right)^0} + C_4^1{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3}{\left( {{x^3}} \right)^1} + C_4^2{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2}{\left( {{x^3}} \right)^2} + C_4^3{\left( {\frac{1}{x}} \right)^1}{\left( {{x^3}} \right)^3} + C_4^4{\left( {\frac{1}{x}} \right)^0}{\left( {{x^3}} \right)^4}\)\( = \frac{1}{{{x^4}}} + 4 + 6{x^4} + 4{x^8} + {x^{12}}\)

Vậy số hạng không chứa \[x\] trong khai triển của biểu thức \({\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4}\) là 4.

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: \(n \in \mathbb{N},n \ge 3\)

\(A_n^3 + 2A_n^2 = 48 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 2\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 48\)

\( \Leftrightarrow \)\(n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + 2.n\left( {n - 1} \right) = 48\)

\( \Leftrightarrow \)\({n^3} - {n^2} - 48 = 0 \Leftrightarrow n = 4\)

Ta có

\({\left( {1 - 3x} \right)^4} = C_4^0{.1^4}.{\left( { - 3x} \right)^0} + C_4^1{.1^3}.{\left( { - 3x} \right)^1} + C_4^2{.1^2}.{\left( { - 3x} \right)^2} + C_4^3{.1^1}.{\left( { - 3x} \right)^3} + C_4^4{.1^0}.{\left( { - 3x} \right)^4}\)

\( = 1 - 12x + 54{x^2} - 108{x^3} + 81{x^4}\)

Vậy hệ số của \({x^3}\) trong khai triển biểu thức \({\left( {1 - 3x} \right)^4}\) là \[ - 108\] và \[ - 108 \in \left( { - \infty ;50} \right)\].

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[\overrightarrow a  = \left( { - 4;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  =  - 4\overrightarrow i  + 0\overrightarrow j  =  - 4\overrightarrow i \].

Đáp án đúng là: C

Ta có vectơ đối của \[\overrightarrow {AB} \] là \[\overrightarrow {BA}  = \left( {1 - 0;0 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {1;2} \right)\].

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow a  = \overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 = 3\\2n + 1 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n =  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(B\) là điểm đối xứng của \(A\) qua trục hoành \( \Rightarrow B\left( {2;1} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Trung điểm của đoạn thẳng AB là

\[I = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right) = \left( {\frac{{1 + 0}}{2};\frac{{0 + \left( { - 2} \right)}}{2}} \right) = \left( {\frac{1}{2}; - 1} \right)\].

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;3} \right),\,\overrightarrow {CD}  = \left( { - 8; - 6} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD}  =  - 2\overrightarrow {AB} \).

Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) cùng phương và ngược hướng.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = 1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 6} \right) = 10\).

\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó, \(\left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(FE = \sqrt {{{\left( {2 - 5} \right)}^2} + {{\left( {4 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}}  = \sqrt {58} \).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow m  = \frac{1}{3}\overrightarrow u  - \overrightarrow v  + \frac{1}{2}\overrightarrow t \)\( = \frac{1}{3}\left( { - 3;\,\, - 3} \right) - \left( {5;\, - 2} \right) + \frac{1}{2}\left( { - 4;\,\,1} \right) = \left( { - 8;\,\,\frac{3}{2}} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: - y + 5x + 5 = 0\,\,{\rm{hay}}\,\,d:5x - y + 5 = 0\) là: \(\overrightarrow n  = \left( {5; - 1} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \(\Delta \) nhận vectơ \(\overrightarrow u  = \left( {1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(C\left( { - 2;5} \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y = 5 + 2t\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(C\left( {2;0} \right)\) và nhận vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)\). Phương trình tổng quát của \(d\) là \(1\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0\).

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(C\left( {2; - 1} \right)\) và \(B\left( { - 3;5} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {CB}  = \left( { - 3 - 2;5 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 5;6} \right)\), do đó, \(d\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n  = \left( {6;5} \right)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là:

\(6\left( {x - 2} \right) + 5\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 5y - 7 = 0\).

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 4t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.\) đi qua điểm \(A\left( {5;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 4;2} \right)\), do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2;4} \right)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là:

\(2\left( {x - 5} \right) + 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 4y - 14 = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 7 = 0\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: hai đường thẳng \({d_1}:ax + by + c = 0\) và \({d_2}:mx + ny + p = 0\), khi hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\mx + ny + p = 0\end{array} \right.\) có vô số nghiệm thì \({d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau.

Đáp án đúng là: A

Công thức tính khoảng cách từ một điểm \(A\left( {3; - 4} \right)\) tới một đường thẳng \(\Delta :dx + ey + f = 0\) là: \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3d - 4e + f} \right|}}{{\sqrt {{d^2} + {e^2}} }}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có:

\(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 2.\left( { - 1} \right) + 3.4 = 10\);

\(\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} \);

\(\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {17} \).

Công thức tính góc \(\alpha \) giữa hai đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \({d_2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \)là: \[\cos \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {10} \right|}}{{\sqrt {13} .\sqrt {17} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {221} }}\].

Đáp án đúng là: C

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y + 1 = 0\\4x + 3y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{9}{{13}}\\y =  - \frac{1}{{13}}\end{array} \right.\).

Hệ phương trình trên có duy nhất một nghiệm là cặp số \(\left( { - \frac{9}{{13}}; - \frac{1}{{13}}} \right)\), do đó, \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại 1 điểm có tọa độ là \(\left( { - \frac{9}{{13}}; - \frac{1}{{13}}} \right)\).

Đáp án đúng là: A

\({d_1}:2x - y + 12 = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1} \right)\).

\({d_2}:4mx + my - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {4m;m} \right)\).

Để \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau thì:

\(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0 \Leftrightarrow 2.4m + \left( { - 1} \right).m = 0 \Leftrightarrow 8m - m = 0 \Leftrightarrow 7m = 0 \Leftrightarrow m = 0\).

Vậy \(m = 0\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vì trong 5 người được chọn phải có ít nhất 1 nữ và ít nhất phải có 2 nam nên số học sinh nữ gồm 1 hoặc 2 hoặc 3 nên ta có các trường hợp sau:

+ Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam.

    - Số cách chọn 1 nữ: 5 cách

    - Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: \(A_{15}^2\)

    - Số cách chọn 2 nam còn lại: \(C_{13}^2\)

Suy ra có \(5A_{15}^2.C_{13}^2\) cách chọn cho trường hợp này.

+ Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam.

   - Số cách chọn 2 nữ: \(C_5^2\) cách.

   - Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: \(A_{15}^2\)cách.

   - Số cách chọn 1 nam còn lại: 13 cách.

Suy ra có \[13A_{15}^2.C_5^2\] cách chọn cho trường hợp này.

+ Trường hợp 3: Chọn 3 nữ và 2 nam.

  - Số cách chọn 3 nữ : \(C_5^3\) cách.

  - Số cách chọn 2 làm đội trưởng và đội phó: \(A_{15}^2\) cách.

Suy ra có \(A_{15}^2.C_5^3\) cách chọn cho trường hợp 3.

Vậy có \(5A_{15}^2.C_{13}^2 + 13A_{15}^2.C_5^2 + A_{15}^2.C_5^3 = 111\,\,300\) cách.

Ta có: \({\left( {\sqrt 7  + \sqrt 5 } \right)^5} - {\left( {\sqrt 7  - \sqrt 5 } \right)^5}\)

\( = \left[ {{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^5} + 5.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^4}.\sqrt 5  + 10.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^3}.{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 10.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}.{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} + 5.\sqrt 7 .{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5}} \right]\)

\( - \left[ {{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^5} - 5.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^4}.\sqrt 5  + 10.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^3}.{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 10.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}.{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} + 5.\sqrt 7 .{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5}} \right]\)

\( = 10.{\left( {\sqrt 7 } \right)^4}.\sqrt 5  + 20.{\left( {\sqrt 7 } \right)^2}.{\left( {\sqrt 5 } \right)^3} + 2.{\left( {\sqrt 5 } \right)^5}\)

\( = 490\sqrt 5  + 700\sqrt 5  + 50\sqrt 5  = 1240\sqrt 5 \).

Ta có \(A = AB \cap AC \Rightarrow A\left( {0;3} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \left( {1; - 2} \right)\).

Ta có \(BH \bot AC \Rightarrow BH:7x - 4y + d = 0\)

Mà \(H\left( {1;\,\,1} \right) \in BH \Rightarrow d =  - 3\), do đó \(BH:7x - 4y - 3 = 0\).

Có \(B = AB \cap BH \Rightarrow B\left( { - 5; - \frac{{19}}{2}} \right)\).

Đường thẳng \(BC\) nhận \(\overrightarrow {AH}  = \left( {1; - 2} \right)\) là VTPT và đi qua \(B\left( { - 5; - \frac{{19}}{2}} \right)\).

Suy ra phương trình \(BC:\left( {x + 5} \right) - 2\left( {y + \frac{{19}}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 14 = 0\).