Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 3
38 câu hỏi
Giả sử một công việc có thể được tiến hành theo hai phương án \(A\) và \(B\). Phương án \(A\) có thể thực hiện bằng \(n\) cách, phương án \(B\) có thể thực hiện bằng \(m\) cách không trùng với cách nào của phương án \(A\). Khi đó
công việc có thể thực hiện bằng \(m.n\) cách;
công việc có thể thực hiện bằng \(\frac{1}{2}m.n\) cách;
công việc có thể thực hiện bằng \(m + n\) cách;
công việc có thể thực hiện bằng \(\frac{1}{2}\left( {m + n} \right)\) cách.
Đáp án đúng là: C
Vì hai phương án là rời nhau nên theo quy tắc cộng ta có công việc có thể thực hiện bằng \(m + n\) cách.
Tung một con xúc xắc hai lần liên tiếp và ghi lại kết quả. Có bao nhiêu kết quả khác nhau có thể xảy ra?
6;
12;
18;
36.
Đáp án đúng là: D
Có thể coi việc tung một con xúc xắc hai lần liên tiếp là một công việc gồm hai công đoạn, mỗi công đoạn là một lần tung. Mỗi lần tung đều có 6 khả năng khác nhau xảy ra. Do đó, theo quy tắc nhân ta có 6 . 6 = 36 kết quả khác nhau có thể xảy ra.
Một tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật.
20;
11;
30;
10.
Đáp án đúng là: B
Chọn một học sinh nữ có 5 cách chọn.
Chọn một học sinh nam có 6 cách chọn.
Áp dụng quy tắc cộng ta có: chọn một học sinh đi trực nhật có \(5 + 6 = 11\) cách.
Cho 6 chữ số \[2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7\]. Số các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số lập thành từ 6 chữ số đó là
36;
18;
256;
108.
Đáp án đúng là: D
Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là: \[\overline {abc} ,{\rm{ }}a \ne 0\], khi đó:
Chọn \[c\] có 3 cách (vì là số chẵn nên \(c\) có thể chọn một trong các số \(2;4;6\))
Chọn \[a\] có 6 cách (vì \(a\) có thể chọn một trong các số \[2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7\])
Chọn \[b\] có 6 cách (vì \(b\) có thể chọn một trong các số \[2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7\])
Vậy có: \[3.6.6 = 108\] số.
\[A_5^2\] là kí hiệu của
Số các tổ hợp chập 2 của 5 phần tử;
Số các chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử;
Số các hoán vị của 5 phần tử;
Một đáp án khác.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[A_5^2\] là kí hiệu của số các chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử.
Một tổ công nhân có 12 người. Cần chọn 3 người, một người làm tổ trưởng, một tổ phó và một thành viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
220;
\(12!\);
1 320;
1 230.
Đáp án đúng là: C
Mỗi cách chọn 3 người, một người làm tổ trưởng, một tổ phó và một thành viên là một chỉnh hợp chập 3 của 12 phần tử \(A_{12}^3 = 1320\).
Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc?
\({5^5}\);
\(5!\);
20;
5.
Đáp án đúng là: B
Số cách sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc là \(5!\).
Cho \[A = \left\{ {1;2;3;5;7} \right\}\]. Từ tập \(A\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau?
24;
10;
125;
60.
Đáp án đúng là: D
Số các số tự nhiên gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập \(A\) là \[A_5^3 = 60\] số.
Vậy có 60 số cần tìm.
Số hoán vị \[{P_n} = 720\] thì n có giá trị là
5;
6;
4;
3.
Đáp án đúng là: B
Ta có \[6! = 720 \Rightarrow {P_6} = 720\] nên \[n = 6.\]
Công thức nào sau đây sai?
\[A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\];
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k! + \left( {n - k} \right)!}}\];
\[kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\];
\[C_n^k = C_n^{n - k}\].
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[C_n^k = \frac{{n!}}{{k!.\left( {n - k} \right)!}}\], do đó đáp án B sai.
Có bao nhiêu cách để có thể chọn được 8 em học sinh từ một tổ có 10 học sinh?
45;
90;
80;
100.
Đáp án đúng là: A
Chọn 8 em học sinh từ một tổ có 10 em học sinh có \[C_{10}^8 = 45\] cách chọn.
Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác gồm 3 người cần có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và vật lý thì có bao nhiêu cách?
220;
90;
96;
60.
Đáp án đúng là: B
Chọn ra 3 người có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và vật lý ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Chọn 1 nhà vật lý nam, 2 nhà toán học nữ có \(C_4^1.C_3^2 = 12\) cách chọn.
Trường hợp 2: Chọn 1 nhà vật lý nam, 1 nhà toán học nữ và 1 nhà toán học nam có \(C_4^1.C_3^1.C_5^1 = 60\) cách chọn.
Trường hợp 3: Chọn 2 nhà vật lý nam, 1 nhà toán học nữ có \(C_4^2.C_3^1 = 18\) cách chọn.
Vậy, có \(12 + 60 + 18 = 90\) cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.
Cho tập \(A\) gồm \(n\) điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Giá trị của \(n\) sao cho số tam giác có 3 đỉnh lấy từ 3 điểm thuộc \(A\) gấp đôi số đoạn thẳng được nối từ 2 điểm thuộc \(A\) là
\(n = 6\);
\(n = 12\);
\(n = 8\);
\(n = 15\).
Đáp án đúng là: C
Số tam giác có thể tạo ra từ \(n\) điểm không có ba điểm nào thẳng hàng là: \(C_n^3\left( {n \ge 3} \right)\).
Số đoạn thẳng có thể tạo ra từ \(n\) điểm không có ba điểm nào thẳng hàng là: \(C_n^2\).
Vì số tam giác gấp đôi số đoạn thẳng được tạo ra nên ta có:
\(C_n^3 = 2C_n^2\left( {n \in \mathbb{N},n \ge 3} \right)\)
\[ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 2\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 2\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}\]
\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 2\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\)
\( \Rightarrow n - 2 = 6\) (do \(n \ge 3\))
\( \Leftrightarrow n = 8\) (thỏa mãn điều kiện).
Khai triển biểu thức \[{\left( {1 - 3x} \right)^5}\] ta được
\[1 + 15x + 90{x^2} + 270{x^3} + 405{x^4} + 243{x^5}\];
\[1 - 15x + 90{x^2} - 270{x^3} + 405{x^4} - 243{x^5}\];
\[243{x^5} - 405{x^4} + 270{x^3} - 90{x^2} + 15x - 1\];
\[243{x^5} + 405{x^4} - 270{x^3} + 90{x^2} - 15x + 1\].
Đáp án đúng là: B
\[{\left( {1 - 3x} \right)^5} = C_5^0 + C_5^1{\left( { - 3x} \right)^1} + C_5^2{\left( { - 3x} \right)^2} + C_5^3{\left( { - 3x} \right)^3} + C_5^4{\left( { - 3x} \right)^4} + C_5^5{\left( { - 3x} \right)^5}\]\[ = 1 - 15x + 90{x^2} - 270{x^3} + 405{x^4} - 243{x^5}\].
Số hạng không chứa \[x\] trong khai triển của biểu thức \({\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4}\) là
1;
4;
6;
12.
Đáp án đúng là: B
Ta có
\({\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4} = C_4^0{\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}{\left( {{x^3}} \right)^0} + C_4^1{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3}{\left( {{x^3}} \right)^1} + C_4^2{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2}{\left( {{x^3}} \right)^2} + C_4^3{\left( {\frac{1}{x}} \right)^1}{\left( {{x^3}} \right)^3} + C_4^4{\left( {\frac{1}{x}} \right)^0}{\left( {{x^3}} \right)^4}\)\( = \frac{1}{{{x^4}}} + 4 + 6{x^4} + 4{x^8} + {x^{12}}\)
Vậy số hạng không chứa \[x\] trong khai triển của biểu thức \({\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4}\) là 4.
Gọi \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(A_n^3 + 2A_n^2 = 48\). Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {1 - 3x} \right)^n}\) thuộc khoảng nào dưới đây?
\[\left( { - \infty ; - 108} \right)\];
\[\left( { - \infty ;50} \right)\];
\[\left( {50;108} \right)\];
\[\left( {0;2} \right)\].
Đáp án đúng là: B
Điều kiện: \(n \in \mathbb{N},n \ge 3\)
\(A_n^3 + 2A_n^2 = 48 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 2\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 48\)
\( \Leftrightarrow \)\(n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + 2.n\left( {n - 1} \right) = 48\)
\( \Leftrightarrow \)\({n^3} - {n^2} - 48 = 0 \Leftrightarrow n = 4\)
Ta có
\({\left( {1 - 3x} \right)^4} = C_4^0{.1^4}.{\left( { - 3x} \right)^0} + C_4^1{.1^3}.{\left( { - 3x} \right)^1} + C_4^2{.1^2}.{\left( { - 3x} \right)^2} + C_4^3{.1^1}.{\left( { - 3x} \right)^3} + C_4^4{.1^0}.{\left( { - 3x} \right)^4}\)
\( = 1 - 12x + 54{x^2} - 108{x^3} + 81{x^4}\)
Vậy hệ số của \({x^3}\) trong khai triển biểu thức \({\left( {1 - 3x} \right)^4}\) là \[ - 108\] và \[ - 108 \in \left( { - \infty ;50} \right)\].
Vectơ \[\overrightarrow a = \left( { - 4;0} \right)\] được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?
\[\overrightarrow a = - 4\overrightarrow i + \overrightarrow j \];
\[\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 4\overrightarrow j \];
\[\overrightarrow a = - 4\overrightarrow j \];
\[\overrightarrow a = - 4\overrightarrow i \].
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[\overrightarrow a = \left( { - 4;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow a = - 4\overrightarrow i + 0\overrightarrow j = - 4\overrightarrow i \].
Cho hai điểm \[A\left( {1;0} \right)\] và \[B\left( {0; - 2} \right)\]. Vectơ đối của vectơ \[\overrightarrow {AB} \] có tọa độ là
\[\left( { - 1;2} \right)\];
\[\left( { - 1; - 2} \right)\];
\[\left( {1;2} \right)\];
\[\left( {1; - 2} \right)\].
Đáp án đúng là: C
Ta có vectơ đối của \[\overrightarrow {AB} \] là \[\overrightarrow {BA} = \left( {1 - 0;0 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {1;2} \right)\].
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(\overrightarrow a = (m - 2;2n + 1),\overrightarrow b = \left( {3; - 2} \right)\). Nếu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) thì
\[m = 5,n = - 3\];
\[m = 5,n = - \frac{3}{2}\];
\(m = 5,n = - 2\);
\(m = 5,n = 2\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 = 3\\2n + 1 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 5\\n = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(A(2; - 1)\). Điểm \(B\) là điểm đối xứng của \(A\) qua trục hoành. Tọa độ điểm \(B\) là
\(\left( {2;\,\,1} \right)\);
\(\left( { - 2;\,\, - 1} \right)\);
\(\left( {1;\,\,2} \right)\);
\(\left( {1;\, - 2} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(B\) là điểm đối xứng của \(A\) qua trục hoành \( \Rightarrow B\left( {2;1} \right)\).
Cho hai điểm \[A\left( {1;0} \right)\] và \[B\left( {0; - 2} \right)\]. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \[AB\] là
\[\left( {\frac{1}{2}; - 1} \right)\];
\[\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)\];
\[\left( {\frac{1}{2}; - 2} \right)\];
\[\left( {1; - 1} \right)\].
Đáp án đúng là: A
Trung điểm của đoạn thẳng AB là
\[I = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right) = \left( {\frac{{1 + 0}}{2};\frac{{0 + \left( { - 2} \right)}}{2}} \right) = \left( {\frac{1}{2}; - 1} \right)\].
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho bốn điểm \[A\left( {3; - 2} \right)\], \[B\left( {7;\,\,1} \right)\], \[C\left( {0;\,\,1} \right)\], \[D\left( { - 8; - 5} \right)\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) đối nhau;
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) cùng phương, ngược hướng;
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) cùng phương, cùng hướng;
Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) không cùng phương.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;3} \right),\,\overrightarrow {CD} = \left( { - 8; - 6} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD} = - 2\overrightarrow {AB} \).
Do đó, hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) cùng phương và ngược hướng.
Cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( { - 2; - 6} \right)\). Khi đó góc giữa chúng là
\(45^\circ \);
\(60^\circ \);
\(30^\circ \);
\(135^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 6} \right) = 10\).
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{10}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Do đó, \(\left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ \).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(E\left( {2;\,4} \right)\) và \(F\left( {5;\,\, - 3} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(FE\) bằng
\(\sqrt {58} \);
\(\sqrt {10} \);
\(7\sqrt 2 \);
\(5\sqrt 2 \).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(FE = \sqrt {{{\left( {2 - 5} \right)}^2} + {{\left( {4 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {58} \).
Cho các vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 3; - 3} \right),\,\,\overrightarrow v = \left( {5; - 2} \right),\,\,\overrightarrow t = \left( { - 4;\,\,1} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow m = \frac{1}{3}\overrightarrow u - \overrightarrow v + \frac{1}{2}\overrightarrow t \) là
\(\left( {8;\,\,\frac{3}{2}} \right)\);
\(\left( { - 8;\,\,\frac{3}{2}} \right)\);
\(\left( {2;\,\,\frac{3}{2}} \right)\);
\(\left( {2;\,\, - \frac{5}{2}} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow m = \frac{1}{3}\overrightarrow u - \overrightarrow v + \frac{1}{2}\overrightarrow t \)\( = \frac{1}{3}\left( { - 3;\,\, - 3} \right) - \left( {5;\, - 2} \right) + \frac{1}{2}\left( { - 4;\,\,1} \right) = \left( { - 8;\,\,\frac{3}{2}} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: - y + 5x + 5 = 0\) là
\(\overrightarrow n = \left( {1;5} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {5;1} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( { - 1;5} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {5; - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: - y + 5x + 5 = 0\,\,{\rm{hay}}\,\,d:5x - y + 5 = 0\) là: \(\overrightarrow n = \left( {5; - 1} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \) nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(C\left( { - 2;5} \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta \) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 5 + 2t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 5 + 2t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 2 + 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - t\\y = 5 - 2t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(\Delta \) nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)\) làm vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(C\left( { - 2;5} \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = 5 + 2t\end{array} \right.\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(C\left( {2;0} \right)\) và nhận vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\). Phương trình tổng quát của \(d\) là
\(x - 2y - 2 = 0\);
\(x + 2y - 2 = 0\);
\(x + 2y = 0\);
\(x + 2y - 4 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(C\left( {2;0} \right)\) và nhận vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\). Phương trình tổng quát của \(d\) là \(1\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0\).
Đường thẳng đi qua hai điểm \(C\left( {2; - 1} \right)\) và \(B\left( { - 3;5} \right)\) có phương trình tổng quát là
\(6x + 5y = 0\);
\(6x - 5y - 7 = 0\);
\(6x + 5y - 7 = 0\);
\(6x + 5y - 17 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(C\left( {2; - 1} \right)\) và \(B\left( { - 3;5} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {CB} = \left( { - 3 - 2;5 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 5;6} \right)\), do đó, \(d\) có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n = \left( {6;5} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là:
\(6\left( {x - 2} \right) + 5\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 5y - 7 = 0\).
Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 4t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.\) có phương trình tổng quát là
\(x - 2y - 7 = 0\);
\(x + 2y + 7 = 0\);
\(x + 2y - 7 = 0\);
\(x + 2y = 0\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 4t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.\) đi qua điểm \(A\left( {5;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( { - 4;2} \right)\), do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;4} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là:
\(2\left( {x - 5} \right) + 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 4y - 14 = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 7 = 0\).
Cho hai đường thẳng \({d_1}:ax + by + c = 0\) và \({d_2}:mx + ny + p = 0\), hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\mx + ny + p = 0\end{array} \right.\) có vô số nghiệm. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\({d_1}\) và \({d_2}\) song song hoặc trùng nhau;
\({d_1}\) và \({d_2}\) song song với nhau;
\({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại 1 điểm;
\({d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau.
Đáp án đúng là: D
Ta có: hai đường thẳng \({d_1}:ax + by + c = 0\) và \({d_2}:mx + ny + p = 0\), khi hệ \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\mx + ny + p = 0\end{array} \right.\) có vô số nghiệm thì \({d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau.
Công thức tính khoảng cách từ một điểm \(A\left( {3; - 4} \right)\) tới một đường thẳng \(\Delta :dx + ey + f = 0\) là
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3d - 4e + f} \right|}}{{\sqrt {{d^2} + {e^2}} }}\);
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{3d - 4e + f}}{{\sqrt {{d^2} + {e^2}} }}\);
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{3d - 4e + f}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\);
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3d - 4e + f} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\).
Đáp án đúng là: A
Công thức tính khoảng cách từ một điểm \(A\left( {3; - 4} \right)\) tới một đường thẳng \(\Delta :dx + ey + f = 0\) là: \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3d - 4e + f} \right|}}{{\sqrt {{d^2} + {e^2}} }}\).
Có góc \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;3} \right)\) và \({d_2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;4} \right)\). Ta có: \[\cos \alpha = ?\]
\[\frac{{10}}{{\sqrt {17} }}\];
\[\frac{{10}}{{\sqrt {13} }}\];
\[ - \frac{{10}}{{\sqrt {221} }}\];
\[\frac{{10}}{{\sqrt {221} }}\].
Đáp án đúng là: D
Ta có:
\(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 2.\left( { - 1} \right) + 3.4 = 10\);
\(\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \);
\(\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {17} \).
Công thức tính góc \(\alpha \) giữa hai đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \({d_2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \)là: \[\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {10} \right|}}{{\sqrt {13} .\sqrt {17} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {221} }}\].
Cho hai đường thẳng \({d_1}:2x - 5y + 1 = 0\) và \({d_2}:4x + 3y + 3 = 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\({d_1}\) và \({d_2}\) song song hoặc trùng nhau;
\({d_1}\) và \({d_2}\) song song với nhau;
\({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại 1 điểm;
\({d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau.
Đáp án đúng là: C
Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y + 1 = 0\\4x + 3y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{9}{{13}}\\y = - \frac{1}{{13}}\end{array} \right.\).
Hệ phương trình trên có duy nhất một nghiệm là cặp số \(\left( { - \frac{9}{{13}}; - \frac{1}{{13}}} \right)\), do đó, \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại 1 điểm có tọa độ là \(\left( { - \frac{9}{{13}}; - \frac{1}{{13}}} \right)\).
Cho hai đường thẳng \({d_1}:2x - y + 12 = 0\) và \({d_2}:4mx + my - 1 = 0\). Giá trị của \(m\) để \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau là
0;
1;
2;
– 1.
Đáp án đúng là: A
\({d_1}:2x - y + 12 = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right)\).
\({d_2}:4mx + my - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4m;m} \right)\).
Để \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau thì:
\(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow 2.4m + \left( { - 1} \right).m = 0 \Leftrightarrow 8m - m = 0 \Leftrightarrow 7m = 0 \Leftrightarrow m = 0\).
Vậy \(m = 0\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Một nhóm học sinh gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một đội cờ đỏ sao cho phải có 1 đội trưởng nam, 1 đội phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội cờ đỏ?
Vì trong 5 người được chọn phải có ít nhất 1 nữ và ít nhất phải có 2 nam nên số học sinh nữ gồm 1 hoặc 2 hoặc 3 nên ta có các trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: chọn 1 nữ và 4 nam.
- Số cách chọn 1 nữ: 5 cách
- Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: \(A_{15}^2\)
- Số cách chọn 2 nam còn lại: \(C_{13}^2\)
Suy ra có \(5A_{15}^2.C_{13}^2\) cách chọn cho trường hợp này.
+ Trường hợp 2: chọn 2 nữ và 3 nam.
- Số cách chọn 2 nữ: \(C_5^2\) cách.
- Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó: \(A_{15}^2\)cách.
- Số cách chọn 1 nam còn lại: 13 cách.
Suy ra có \[13A_{15}^2.C_5^2\] cách chọn cho trường hợp này.
+ Trường hợp 3: Chọn 3 nữ và 2 nam.
- Số cách chọn 3 nữ : \(C_5^3\) cách.
- Số cách chọn 2 làm đội trưởng và đội phó: \(A_{15}^2\) cách.
Suy ra có \(A_{15}^2.C_5^3\) cách chọn cho trường hợp 3.
Vậy có \(5A_{15}^2.C_{13}^2 + 13A_{15}^2.C_5^2 + A_{15}^2.C_5^3 = 111\,\,300\) cách.
Thực hiện phép tính: \({\left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)^5} - {\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)^5}\).
Ta có: \({\left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)^5} - {\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)^5}\)
\( = \left[ {{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^5} + 5.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^4}.\sqrt 5 + 10.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^3}.{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 10.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}.{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} + 5.\sqrt 7 .{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5}} \right]\)
\( - \left[ {{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^5} - 5.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^4}.\sqrt 5 + 10.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^3}.{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 10.{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}.{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} + 5.\sqrt 7 .{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5}} \right]\)
\( = 10.{\left( {\sqrt 7 } \right)^4}.\sqrt 5 + 20.{\left( {\sqrt 7 } \right)^2}.{\left( {\sqrt 5 } \right)^3} + 2.{\left( {\sqrt 5 } \right)^5}\)
\( = 490\sqrt 5 + 700\sqrt 5 + 50\sqrt 5 = 1240\sqrt 5 \).
Cho tam giác \(ABC\) biết trực tâm \[H(1;\,\,1)\] và phương trình cạnh\[AB:5x - 2y + 6 = 0\], phương trình cạnh \[AC:4x + 7y - 21 = 0\]. Viết phương trình cạnh \(BC\).
Ta có \(A = AB \cap AC \Rightarrow A\left( {0;3} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {1; - 2} \right)\).
Ta có \(BH \bot AC \Rightarrow BH:7x - 4y + d = 0\)
Mà \(H\left( {1;\,\,1} \right) \in BH \Rightarrow d = - 3\), do đó \(BH:7x - 4y - 3 = 0\).
Có \(B = AB \cap BH \Rightarrow B\left( { - 5; - \frac{{19}}{2}} \right)\).
Đường thẳng \(BC\) nhận \(\overrightarrow {AH} = \left( {1; - 2} \right)\) là VTPT và đi qua \(B\left( { - 5; - \frac{{19}}{2}} \right)\).
Suy ra phương trình \(BC:\left( {x + 5} \right) - 2\left( {y + \frac{{19}}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 14 = 0\).
