Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 7

Đáp án đúng là: A

Số cách bạn Linh chọn một quyển truyện cho bạn Hằng mượn là 5 cách.

Số cách bạn Linh chọn một quyển tạp chí cho bạn Hằng mượn là 7 cách.

Vậy bạn Linh có \[5 + 7 = 12\] cách chọn một quyển truyện hoặc một quyển tạp chí để cho bạn Hằng mượn.

Đáp án đúng là: C

Mỗi mật khẩu điện thoại của bạn Hùng là một dãy gồm 4 ký tự, mỗi ký tự là một chữ số (từ 0 đến 9) nên số cách đặt mật khẩu của bạn Hùng là \[{10^4} = 10\,\,000\].

Đáp án đúng là: C

Mỗi cách xếp 5 bạn gồm 2 bạn nam và 3 bạn nữ thành một hàng dọc là một hoán vị của 5 phần tử nên ta có \(5!\) cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: A

Một hoán vị của một tập hợp có \(n\) phần tử là cách sắp xếp có thứ tự \(n\) phần tử đó (với \(n\) là số tự nhiên, \(n \ge 1\)).

Đáp án đúng là: C

Gọi \[\overline {abcde} \] là số cần tìm.

+) Trường hợp 1: \[e = 0\], chọn \[\overline {abcd} \] có \[A_7^4\] cách.

+) Trường hợp 2: \[e = 5\], chọn \[\overline {abcd} \] có \[6.A_6^3\] cách (do \(a \ne 0\)).

Vậy có \[A_7^4 + 6.A_6^3 = 1\,\,560\] số cần tìm.

Đáp án đúng là: D

Số tập con gồm 3 phần tử của tập \(K\) là \(C_{20}^3\).

Đáp án đúng là: C

Cứ hai đội gặp nhau cho ta một trận đấu nên số trận đấu một lượt là \[C_{20}^2.\]

Số trận đấu hai lượt là \[C_{20}^2.2 = 380\] trận.

Đáp án đúng là: B

Cách chọn ra 5 học sinh sao cho có đủ nam, nữ và số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ gồm các phương án sau:

Phương án 1: Chọn 1 nam và 4 nữ có \(C_{15}^1.C_{20}^4\).

Phương án 2: Chọn 2 nam và 3 nữ có \(C_{15}^2.C_{20}^3\).

Áp dụng quy tắc cộng, có tất cả \(C_{15}^1.C_{20}^4 + C_{15}^2.C_{20}^3 = 192\,\,375\) cách.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \({\left( {x - 4} \right)^4} = {x^4} + 4.{x^3}.\left( { - 4} \right) + 6.{x^2}.{\left( { - 4} \right)^2} + 4x.{\left( { - 4} \right)^3} + {\left( { - 4} \right)^4}\)

\( = {x^4} - 16{x^3} + 96{x^2} - 256x + 256\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \({\left( {3x + k} \right)^4} = C_4^0.{\left( {3x} \right)^4} + C_4^1.{\left( {3x} \right)^3}.k + C_4^2.{\left( {3x} \right)^2}.{k^2} + C_4^3.\left( {3x} \right).{k^3} + C_4^4.{k^4}\)

\( = 81{x^4} + 108.{x^3}.k + 54.{x^2}.{k^2} + 12.x.{k^3} + {k^4}\)

Suy ra hệ số của \(x\) trong khai triển là \(12{k^3}\) nên \(12{k^3} = 12 \Leftrightarrow {k^3} = 1 \Leftrightarrow k = 1\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3 - 1;\, - 6 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {2;\,\, - 4} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Cho các vectơ  \(\overrightarrow u  = \left( {3;6} \right)\); \(\overrightarrow v  = \left( {1;2} \right)\) nên ta có: \(\overrightarrow u  = 3\overrightarrow v \).

Vậy \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương cùng hướng.

Đáp án đúng là: A

\(G\) là trọng tâm của tam giác \[ABC\] khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + 4 + x}}{3} = 2x\\\frac{{3 + \left( { - 2} \right) + \left( {y - 1} \right)}}{3} = y + 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 + x = 6x\\y = 3y + 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 3\end{array} \right.\).

Vậy \(x = 1;\,\,y =  - 3\).

Đáp án đúng là: A

Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow 2m - 3\left( {m - 2} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow  - m + 6 = 0 \Leftrightarrow m = 6\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {5 - 1;\,\,4 - 2} \right) = \left( {4;\,\,2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\), nên \(\overrightarrow u  = \left( {2;\,\, - 4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AB\).

Do đó, đường thẳng \(AB\) cũng có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {u'}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow u  =  - \frac{1}{2}\left( {2;\,\, - 4} \right) = \left( { - 1;\,\,2} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {2;\, - 1} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2;\, - 3} \right)\) là \(2\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y + 1} \right) = 0\) hay \(2x - 3y - 7 = 0\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(d:x + 2y - 6 = 0\) nên đường thẳng này có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;\,\,2} \right)\). Do đó đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2;\,\, - 1} \right)\). 

Lại có điểm \(A\left( {0;\,\,3} \right) \in d\). Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng \({d_1}:2x + 3y + 15 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\,\,3} \right)\) và đường thẳng \({d_2}:x - 2y - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\, - 2} \right)\).

Ta thấy \(\frac{2}{1} \ne \frac{3}{{ - 2}}\) và \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 2.1 + 3.\left( { - 2} \right) =  - 4 \ne 0\).

Vậy \[{d_1}\] và \({d_2}\) cắt nhau và không vuông góc với nhau.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.3 - 4.\left( { - 4} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{24}}{5}\). 

Đáp án đúng là: D

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng \({d_1}:3x + 4y - 2 = 0\) có một vectơ pháp tuyến  là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;\,4} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 9 + at\\y = 7 - 2t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {a;\,\, - 2} \right)\), do đó đường thẳng \({d_2}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;\,\,a} \right)\).

Ta có: \(\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {3a - 8} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + 4} }}\)\( \Leftrightarrow \cos 45^\circ  = \frac{{\left| {3a - 8} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + 4} }}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {3a - 8} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + 4} }} \Leftrightarrow 5\sqrt {{a^2} + 4}  = \sqrt 2 \left| {3a - 8} \right|\)\( \Leftrightarrow 25{a^2} + 100 = 18{a^2} - 96a + 128\)

\( \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 14\\a = \frac{2}{7}\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \(d: - 3x + y - 5 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( { - 3;\,\,1} \right)\), nên nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1;\,\,3} \right)\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d\). Đường thẳng này có dạng \(x + 3y + m = 0\).

Vì \(M\left( { - 2;\,\,1} \right) \in \Delta \) nên \( - 2 + 3.1 + m = 0 \Rightarrow m =  - 1\).

Do đó, phương trình của \(\Delta \) là \(x + 3y - 1 = 0\).

Tọa độ hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(d\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 1 = 0\\ - 3x + y - 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{7}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.\).

- Xếp để \(A\) và \(B\) luôn ngồi cạnh nhau, ta có:

Coi \(AB\) như 1 phần tử, trường hợp này có 2 cách thỏa mãn là \(AB\) và \(BA\).

Ứng với 1 phần tử \(AB\) và 8 đại biểu còn lại có \(9!\) cách xếp.

Do đó có \(2.9!\) cách xếp.

- Xếp để \(A\) luôn ngồi cạnh cả \(B\) và \(C\) là:

Coi \(ABC\) như 1 phần tử, do đó có thể có 2 cách thỏa mãn là \(CAB\) và \(BAC\).

Ứng với 1 phần tử \(ABC\) và 7 đại biểu còn lại có \(8!\) cách xếp.

Do đó có \(2.8!\) cách xếp.

Vậy có \(2.9!\, - \,\,2.8! = 645\,\,120\) cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có: \({\left( {1 - k.x} \right)^5} = 1 - 5kx + 10{k^2}{x^2} - 10{k^3}{x^3} + 5{k^4}{x^4} - {k^5}{x^5}\)

Khi hệ số của \(x\) và \({x^3}\) trong khai triển lần lượt là: \( - 5k\) và \( - 10{k^3}\).

Do đó ta có: \(\left( { - 5k} \right) + \left( { - 10{k^3}} \right) = 15 \Leftrightarrow 2{k^3} + k + 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} - 2k + 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow k =  - 1\).

Vậy hệ số của \(x\) và \({x^2}\) trong khai triển lần lượt là: 5 và 10.

Ta có: \(\frac{1}{2} \ne \frac{3}{{ - 5}}\), do đó hai đường thẳng \[x + 3y - 6 = 0\] và \[2x - 5y - 1 = 0\] cắt nhau.

Giả sử hình bình hành \(ABCD\) có hai cạnh \[AB:x + 3y - 6 = 0\] và \[AD:2x - 5y - 1 = 0\].

Khi đó, tọa độ đỉnh \(A\) là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 = 0\\2x - 5y - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {3;1} \right)\].

Vì tâm của hình bình hành là điểm \[I\left( {3;5} \right)\] nên \[I\] là trung điểm của \[AC\], do đó:

\[\left\{ \begin{array}{l}2{x_I} = {x_A} + {x_C}\\2{y_I} = {y_A} + {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 = 3 + {x_C}\\10 = 1 + {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3\\{y_C} = 9\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow C\left( {3;9} \right)\].

Vì \[DC\,\,{\rm{//}}\,\,AB\] nên phương trình \[DC:x + 3y + n = 0\] \(\left( {n \ne  - 6} \right)\).

\[C\left( {3;9} \right) \in DC \Rightarrow 3 + 27 + n = 0 \Rightarrow n =  - 30\] (t/m).

\[ \Rightarrow \] Phương trình \[DC:x + 3y - 30 = 0\].

Vì \[BC\,\,{\rm{//}}\,AD\] nên phương trình \[BC:2x - 5y + m = 0\,\,\,\left( {m \ne  - 1} \right)\].

\[C\left( {3;9} \right) \in BC \Rightarrow 6 - 45 + m = 0 \Rightarrow m = 39\] (t/m).

\[ \Rightarrow \] Phương trình \[BC:2x - 5y + 39 = 0\].