Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 10
24 câu hỏi
Phương tiện bạn Lan có thể chọn đi từ Phú Thọ xuống Hà Nội rồi từ Hà Nội vào Đà Nẵng được thể hiện qua sơ đồ hình cây sau:
Hỏi bạn Lan có mấy cách chọn đi từ Phú Thọ vào Đà Nẵng mà qua Hà Nội?
3;
6;
18;
9.
Đáp án đúng là: B
Dựa vào sơ đồ hình cây, ta thấy có 6 cách đi từ Phú Thọ vào Đà Nẵng mà qua Hà Nội.
Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm một món chính trong năm món chính, một loại quả tráng miệng trong năm loại quả tráng miệng và một loại nước uống trong ba loại nước uống. Số cách chọn thực đơn là
25;
75;
100;
15.
Đáp án đúng là: B
Việc chọn thực đơn gồm ba công đoạn:
Công đoạn 1: Chọn một món chính, có 5 cách chọn.
Công đoạn 2: Chọn một loại quả tráng miệng, có 5 cách chọn.
Công đoạn 3: Chọn một loại nước uống, có 3 cách chọn.
Theo quy tắc nhân, ta có tất cả \(5.5.3 = 75\) cách chọn thực đơn.
Vậy ta chọn phương án B.
Cho tập \(A\) có \(n\) phần tử \(\left( {n \in \mathbb{N},n \ge 2} \right)\), \(k\) là số nguyên thỏa mãn \(1 \le k \le n\). Số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử trên là
\(n.k\);
\(n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right)\);
\(\frac{n}{k}\);
\(\frac{k}{n}\).
Đáp án đúng là: B
Kí hiệu số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử \(\left( {1 \le k \le n} \right)\) là \(A_n^k\).
Ta có: \(A_n^k = n\left( {n - 1} \right)...\left( {n - k + 1} \right)\).
Có 3 cặp vợ chồng mua 6 vé xem phim với các chỗ ngồi liên tiếp nhau trên cùng một hàng ghế. Số cách xếp chỗ ngồi sao cho mỗi cặp vợ chồng đều ngồi cạnh nhau là
24;
36;
48;
120.
Đáp án đúng là: C
Trước hết, xét mỗi cặp vợ chồng như là một khối.
Số cách xếp 3 khối vào 3 vị trí có 3! = 6 cách xếp.
Bây giờ, với mỗi cách xếp như vậy, mỗi cặp vợ chồng (của một khối) có thể đổi chỗ cho nhau để có một cách xếp mới. Số cách đổi chỗ mỗi cặp vợ chồng là: 2! = 2 cách.
Như vậy, tổng số cách xếp chỗ cho 6 người với yêu cầu của bài toán là:
6 . 2 . 2 . 2 = 48 (cách).
Một câu lạc bộ phụ nữ của phường Khương Mai có 39 hội viên. Phường Khương Mai có tổ chức một hội thảo cần chọn ra 9 người xếp vào 9 vị trí lễ tân khác nhau ở cổng chào, 12 người vào 12 vị trí khác nhau ở ghế khách mới. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các hội viên để đi tham gia các vị trí trong hội thao theo quy định?
\(A_{39}^9.A_{39}^{12}\);
\(C_{39}^9.C_{30}^{12}\);
\(C_{39}^9.C_{39}^{12}\);
\(A_{39}^9.A_{30}^{12}\).
Đáp án đúng là: D
Bước 1: Chọn người vào vị trí lễ tân.
Do ở đây được sắp theo thứ tự nên ta sẽ sử dụng chỉnh hợp. Số cách chọn ra 9 người vào vị trí lễ tân là \(A_{39}^9\) cách.
Bước 2: Chọn người vào vị trí khách mời. Số cách chọn là 12 thành viên trong số các thành viên còn lại để xếp vào khách mời là \(A_{30}^{12}\) cách.
Vậy theo quy tắc nhân thì số cách chọn các hội viên để đi dự hội thảo theo đúng quy định là \(A_{39}^9.A_{30}^{12}\) cách.
Số tập hợp con có 6 phần tử của một tập hợp có 10 phần tử là
\(C_{10}^6\);
\(A_{10}^6\);
\(\frac{{10!}}{{6!}}\);
10.
Đáp án đúng là: A
Số tập hợp con có 6 phần tử của một tập hợp có 10 phần tử là số các tổ hợp chập 6 của 10 phần tử. Vậy có \(C_{10}^6\) tập hợp con.
Tên của 15 học sinh được ghi vào 15 tờ giấy để vào trong hộp. Chọn tên 4 học sinh để cho đi du lịch. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các học sinh?
\(4!\);
\(15!\);
1 365;
32 760.
Đáp án đúng là: C
Mỗi cách chọn 4 trong 15 học sinh (không phân biệt thứ tự) là một tổ hợp chập 4 của 15.
Vậy có \(C_{15}^4 = 1\;365\) cách chọn.
Trong một căn phòng có 36 người, trong đó có 25 người họ Nguyễn, 11 người họ Trần. Trong số những người họ Nguyễn có 8 cặp là anh em ruột (anh trai và em gái), 9 người còn lại (gồm 4 nam và 5 nữ) không có quan hệ họ hàng với nhau. Trong 11 người họ Trần, có 3 cặp là anh em ruột (anh trai và em gái), 5 người còn lại (gồm 2 nam và 3 nữ) không có quan hệ họ hàng với nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai người sao cho không có cặp anh em ruột nào?
619;
630;
11;
25.
Đáp án đúng là: A
Ta có \(8 + 3 = 11\) cặp anh em trong đó 8 cặp họ Nguyễn và 3 cặp họ Trần.
Chọn bất kì 2 người trong số 36 người thì có \(C_{36}^2 = 630\) cách chọn.
Vậy có tất cả \(630 - 11 = 619\) cách chọn các cặp sao cho không có cặp anh em nào.
Cho biểu thức \({\left( {a + b} \right)^n}\), với \(n = 4\) ta có khai triển là
\({\left( {a + b} \right)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}{b^1} + C_4^2{a^2}.{b^2} + C_4^3a.{b^3} + C_4^4.{b^4}\);
\({\left( {a + b} \right)^4} = C_4^0{a^4} - C_4^1{a^3}{b^1} - C_4^2{a^2}.{b^2} - C_4^3a.{b^3} - C_4^4.{b^4}\);
\({\left( {a + b} \right)^4} = C_4^0{a^4} - C_4^1{a^3}{b^1} + C_4^2{a^2}.{b^2} - C_4^3a.{b^3} + C_4^4.{b^4}\);
\({\left( {a + b} \right)^4} = - C_4^0{a^4} - C_4^1{a^3}{b^1} - C_4^2{a^2}.{b^2} - C_4^3a.{b^3} - C_4^4.{b^4}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({\left( {a + b} \right)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}{b^1} + C_4^2{a^2}.{b^2} + C_4^3a.{b^3} + C_4^4.{b^4}\).v
Giá trị của biểu thức \({\left( {\sqrt 5 + 1} \right)^5} - {\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^5}\)bằng
252;
352;
452;
425.
Đáp án đúng là: B
Áp dụng công thức khai triển của \({\left( {a + b} \right)^5}\) lần lượt cho \(a = \sqrt 5 \) và \(b = 1\), rồi cho \(a = \sqrt 5 \) và \(b = - 1\), ta có
\({\left( {\sqrt 5 + 1} \right)^5} - {\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^5}\)
\( = \left( {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5} + 5{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 5\sqrt 5 + 1} \right)\)
\( - \left( {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^5} - 5{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^4} + 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^3} - 10{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 5\sqrt 5 - 1} \right)\)
\( = 10.{\left( {\sqrt 5 } \right)^4} + 20.{\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 2\)
\( = 10\,\,.\,25 + 20\,\,.\,\,5 + 2 = 352\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho vectơ \(\overrightarrow u = - 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow i \), tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là
\(\left( { - 3;2} \right)\);
\(\left( { - 3; - 2} \right)\);
\(\left( {3;2} \right)\);
\(\left( {3; - 2} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho vectơ \(\overrightarrow u = - 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow i = \left( { - 3} \right)\overrightarrow i + \left( { - 2} \right)\overrightarrow j \).
Vậy tọa độ của \(\overrightarrow u = \left( { - 3; - 2} \right)\).
Cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( { - 1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow c = \left( { - 1;2} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(\overrightarrow a = \overrightarrow c \);
\(\overrightarrow a = \overrightarrow b \);
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow c \) ngược hướng;
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow c \) cùng hướng.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow c = \left( { - 1;2} \right)\).
Do đó, \(\overrightarrow a = - \overrightarrow c \).
Vậy \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow c \) ngược hướng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho bốn điểm \(A\left( {3;\,\,1} \right),\,B\left( {2;\,2} \right)\), \(C\left( {1;\,\,16} \right)\), \(D\left( {1;\,\, - 6} \right)\). Điểm \(G\left( {2;\,\, - 1} \right)\) là trọng tâm của tam giác nào sau đây?
\(\Delta ABD\);
\(\Delta ABC\);
\(\Delta ACD\);
\(\Delta BCD\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_D}}}{3} = \frac{{3 + 2 + 1}}{3} = 2 = {x_G}\\\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_D}}}{3} = \frac{{1 + 2 + \left( { - 6} \right)}}{3} = - 1 = {y_G}\end{array} \right.\).
Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABD\).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2m - 1;\,\,4} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {3;\,7} \right)\). Giá trị của \(m\) để \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \) là
\(\frac{{25}}{6}\);
\(\frac{{ - 25}}{6}\);
0;
2.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = \left( {2m - 1} \right) \cdot 3 + 4 \cdot 7 = 6m - 3 + 28 = 6m + 25\)
Để \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \) thì \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 6m + 25 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 25}}{6}\).
Cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - \frac{1}{2}t\\y = - 10 + 3t\end{array} \right.\). Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) có tọa độ là
\[\left( {6;\,\, - 10} \right)\];
\(\left( {3;\,\, - 5} \right)\);
\(\left( { - \frac{1}{2};\,\,3} \right)\);
\(\left( {3;\,\frac{1}{2}} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6 - \frac{1}{2}t\\y = - 10 + 3t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - \frac{1}{2};\,\,3} \right)\), do đó đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,\,\frac{1}{2}} \right)\).
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( { - 2;\, - 6} \right)\) và \(B\left( { - 9;\,2} \right)\) là
\(8x - 7y + 58 = 0\) ;
\(8x + 7y + 58 = 0\);
\( - 7x + 8y + 34 = 0\);
\( - 7x + 8y = 0\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 7;\,\,8} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\), do đó \(AB\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {8;\,\,7} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(8\left( {x + 2} \right) + 7\left( {y + 6} \right) = 0\) hay \(8x + 7y + 58 = 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:5x + 2y - 4 = 0\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = 2 - 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 3 - 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 - 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 4 + 5t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(d:5x + 2y - 4 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {5;\,\,2} \right)\), nên nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 5} \right)\). Các vectơ chỉ phương của đường thẳng này đều có dạng \(k\overrightarrow u \), nên ta loại đáp án A và D.
Lại có \(A\left( {2;\,\,3} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 - 5t\end{array} \right.\) nhưng không thuộc đường thẳng \(d\) nên loại đáp án C.
Cho hai đường thẳng \({d_1}:6x - 5y + 9 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 12t\\y = 5 + 10t\end{array} \right.\). Khi đó
Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) song song với nhau;
Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau nhưng không vuông góc;
Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau;
Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau.
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \({d_1}:6x - 5y + 9 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {6;\,\, - 5} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 12t\\y = 5 + 10t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 12;\,10} \right)\), nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {10;\,\,12} \right)\).
Nhận thấy: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 6.10 + \left( { - 5} \right).12 = 0\). Do đó, hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;\,\, - 5} \right)\) đến đường thẳng \(d:x - 2y + 9 = 0\) là
4;
\(4\sqrt 5 \);
0;
\(\frac{{10\sqrt {26} }}{{13}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(d\left( {A,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {1 - 2.\left( { - 5} \right) + 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt 5 }} = 4\sqrt 5 \).
Gọi \(\varphi \) là góc tạo bởi hai đường thẳng \({d_1}:2x + y - 1 = 0\) và \({d_2}:x - 2 = 1 - y\). Giá trị của biểu thức \(A = \sin \varphi + \cos \varphi \) là
\(\frac{1}{{\sqrt {10} }}\);
\(\frac{2}{{\sqrt {10} }}\);
\(\frac{3}{{\sqrt {10} }}\);
\(\frac{4}{{\sqrt {10} }}\).
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \({d_1}:2x + y - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,\,1} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}:x - 2 = 1 - y \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\,\,1} \right)\).
Ta có: \(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\).
Lại có \({\sin ^2}\varphi + {\cos ^2}\varphi = 1 \Rightarrow \sin \varphi = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\varphi } = \sqrt {1 - \frac{9}{{10}}} = \frac{1}{{\sqrt {10} }}\,\,\,\)(do \(\varphi \) là góc nhọn).
Vậy \(A = \sin \varphi + \cos \varphi = \frac{3}{{\sqrt {10} }} + \frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\).
Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {1;\,\,2} \right)\) lên đường thẳng \(\Delta :x - y = 0\) là
\(\left( {\frac{3}{2};\,\,\frac{3}{2}} \right)\);
\(\left( {1;\,\,1} \right)\);
\(\left( {2;\,\,2} \right)\);
\(\left( { - \frac{3}{2};\,\, - \frac{3}{2}} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(\Delta :x - y = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\, - 1} \right)\) nên nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;\,\,1} \right)\).
Giả sử \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\left( {1;\,\,2} \right)\) lên đường thẳng \(\Delta \), vì \(H \in \Delta \) nên \(H\left( {t;\,\,t} \right)\).
Vì \(MH \bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow {MH} \bot \overrightarrow u \Rightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow u = 0 \Leftrightarrow t - 1 + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}\).
Vậy \(H\left( {\frac{3}{2};\,\frac{3}{2}} \right)\).
Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp \(A\), 4 học sinh lớp \(B\) và 3 học sinh lớp \(C\). Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Số cách chọn 4 học sinh bất kì từ 12 học sinh là \(C_{12}^4 = 495\) cách.
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như sau:
\( * \) TH1: Lớp \(A\) có 2 học sinh, các lớp \(B,C\) mỗi lớp có 1 học sinh:
Chọn 2 học sinh trong 5 học sinh lớp \(A\) có \(C_5^2\) cách.
Chọn 1 học sinh trong 4 học sinh lớp \(B\) có \(C_4^1\) cách.
Chọn 1 học sinh trong 3 học sinh lớp \(C\) có \(C_3^1\) cách.
Suy ra số cách chọn là \(C_5^2.C_4^1.C_3^1 = 120\) cách.
\( * \) TH2: Lớp \(B\) có 2 học sinh, các lớp \(A,C\) mỗi lớp có 1 học sinh:
Tương tự ta có số cách chọn là \(C_5^1.C_4^2.C_3^1 = 90\) cách.
\( * \) TH3: Lớp \(C\) có 2 học sinh, các lớp \(A,B\) mỗi lớp có 1 học sinh:
Tương tự ta có số cách chọn là \(C_5^1.C_4^1.C_3^2 = 60\) cách.
Vậy số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là \(120 + 90 + 60 = 270\) cách.
Số cách chọn ra 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên là \(495 - 270 = 225\) cách.
Cho biểu thức \({\left( {2{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^n}\), trong đó số nguyên \(n\) thỏa mãn \(A_n^3 = 12n\). Tìm số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển của biểu thức đã cho.
Xét phương trình \(A_n^3 = 12n\) (điều kiện \(n \ge 3\))
\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} = 12n\)
\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 12n\)
\( \Rightarrow \left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 12\) (do \(n \ge 3\))
\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 2\end{array} \right.\)
Do đó chỉ có \(n = 5\) thỏa mãn điều kiện.
Khi đó \({\left( {2{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^5}\)
\( = {\left( {2{x^2}} \right)^5} + 5.{\left( {2{x^2}} \right)^4}.\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right) + 10.{\left( {2{x^2}} \right)^3}.{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^2} + 10.{\left( {2{x^2}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^3}\)\( + 5.\left( {2{x^2}} \right).{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^4} + {\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^5}\)
\( = 32{x^{10}} + 80{x^5} + 80 + \frac{{40}}{{{x^5}}} + \frac{{10}}{{{x^{10}}}} + \frac{1}{{{x^{15}}}}\).
Vậy số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển của biểu thức đã cho là \(80{x^5}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình vuông \(ABCD\) có \(A\left( { - 1;\,\,0} \right)\) và \(B\left( {1;\,\,2} \right)\).
a) Lập phương trình đường thẳng \(BC\).
b) Tìm toạ độ của điểm \(C\) biết rằng hoành độ của điểm \(C\) là số dương.
a) Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB\) và \(BC\) vuông góc với nhau tại \(B\).
Do đó, đường thẳng \(BC\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;\,\,2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
Chọn điểm \(B\left( {1;\,\,2} \right)\) thuộc đường thẳng \(BC\). Phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\) là: \(2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0\) hay \(x + y - 3 = 0\).
Vậy phương trình tổng quát đường thẳng \(BC\): \(x + y - 3 = 0\).
b) Từ phương trình đường thẳng \(BC\) là \(x + y - 3 = 0\), ta có: \(y = 3 - x\).
Điểm \(C\) thuộc đường thẳng \(BC\) nên tọa độ của nó có dạng: \(\left( {t;\,\,3 - t} \right)\).
\(\overrightarrow {BC} = \left( {t - 1;\,\,1 - t} \right)\)
\(BC = \sqrt {{{(t - 1)}^2} + {{(1 - t)}^2}} \)
\(AB = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \)
Do \(ABCD\) là hình vuông nên ta có: \(BC = AB\)
\( \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} + {\left( {1 - t} \right)^2} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = - 1\end{array} \right.\)
Với \(t = 3\), ta có: \(C\left( {3;\,\,0} \right)\)
Với \(t = - 1\), ta có: \(C\left( { - 1;\,4} \right)\)
Mà hoành độ của điểm \(C\) là số dương nên \(C\left( {3;\,\,0} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
