Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 6

Đáp án đúng là: B

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow v  =  - 2\overrightarrow i  + \overrightarrow j \). Khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow v \) là \(\overrightarrow v  = \left( { - 2;\,\,1} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách giữa \(A\) và \(B\) là \(AB = \sqrt {{{\left( { - 5 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}}  = 5\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = 7 \cdot 3 + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = 29\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(C \in Oy \Rightarrow C\left( {0;\,\,c} \right)\), \(G \in Ox \Rightarrow G\left( {g;\,\,0} \right)\).

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}g = \frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 5} \right) + 0}}{3}\\0 = \frac{{1 + \left( { - 3} \right) + c}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g =  - 2\\c = 2\end{array} \right.\).

Vậy \(C\left( {0;\,\,2} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - \frac{1}{2}t\\y =  - 3 + 3t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - \frac{1}{2};\,\,3} \right)\), nên có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3;\,\,\frac{1}{2}} \right)\).

Do đó, nó cũng có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {n'}  = 2\overrightarrow n  = 2\left( {3;\,\,\frac{1}{2}} \right) = \left( {6;\,\,1} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng \(AB\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;\,\,6} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {2;\, - 1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;\,\,6} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 0t\\y =  - 1 + 6t\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1 + 6t\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{3 - x}}{5}\\t = \frac{{y - 1}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{3 - x}}{5} = \frac{{y - 1}}{4} \Leftrightarrow 4x + 5y - 17 = 0\).

Đáp án đúng là: C

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(2x - 5y + 3 = 0\) và \(5x + 2y - 3 = 0\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y + 3 = 0\\5x + 2y - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{{29}}\\y = \frac{{21}}{{29}}\end{array} \right.\).

Giao điểm của hai đường thẳng đã cho có tọa độ là \[\left( {\frac{9}{{29}};\,\frac{{21}}{{29}}} \right)\].

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(d\left( {O,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.0 - 3.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{5}\). 

Đáp án đúng là: D

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}:6x - 5y + 15 = 0\) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {6;\,\, - 5} \right)\).

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\) là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 6;\,\,5} \right)\), do đó đường thẳng \({d_2}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {5;\,\,6} \right)\).

Ta thấy \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 6.5 + \left( { - 5} \right).6 = 0\). Do đó, hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau.

Vậy \(\alpha  = 90^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \({d_1}:3mx + 2y - 6 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3m;\,\,2} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:\left( {{m^2} + 2} \right)x + 2my - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {{m^2} + 2;\,\,2m} \right)\).

Với \(m = 0\) ta có: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {0;\,\,2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {0;\,\,0} \right)\), khi đó hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) không song song với nhau. Vậy \(m = 0\) không thỏa mãn.

Với \(m \ne 0\), \({d_1}\,{\rm{//}}\,{d_2} \Leftrightarrow \frac{{{m^2} + 2}}{{3m}} = \frac{{2m}}{2} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 6}}\)\( \Leftrightarrow m =  \pm 1\).

Để tạo đề kiểm tra gồm 5 câu hỏi sao cho có đủ ba loại câu hỏi và có đúng 2 câu hỏi dễ sẽ có các phương án sau:

- Phương án 1: Đề gồm 2 câu hỏi dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khó có \(C_{10}^2.C_6^2.C_4^1 = 2700\) đề.

- Phương án 2: Đề gồm \(2\) câu hỏi dễ, \(1\) câu trung bình và \(2\) câu khó có \(C_{10}^2.C_6^1.C_4^2 = 1620\) đề.

Áp dụng quy tắc cộng, ta có \(2700 + 1620 = \,4\,\,320\) đề.

Ta có: \(T = C_4^0 + 2C_4^1 + 4C_4^2 + 8C_4^3 + 16C_4^4\)

\( = C_4^0{.1^4} + C_4^1{.1^3}.2 + C_4^2{.1.2^2} + C_4^3{.1.2^3} + C_4^4{.1.2^4}\)

\( = {\left( {1 + 2} \right)^4}\)

\( = {3^4}\)

\( = 81\).

a) Ta có: \(2 + 2.5 - 2 = 10 \ne 0 \Rightarrow M \notin \Delta \).

Đường thẳng \[d\] qua \[M\] và vuông góc \[\Delta \] có dạng: \[2x - y + m = 0\].

Do \[M\left( {2;5} \right) \in d \Rightarrow 4 - 5 + m = 0 \Rightarrow m = 1\].

Phương trình \[d:2x - y - 1 = 0\].

Gọi giao điểm của hai đường thẳng \(\Delta \)và \(d\) là \(H\). Tọa độ của \(H\) là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 1 = 0\\x + 2y - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{4}{5};\frac{3}{5}} \right)\].

Vì \[M\] và \[M'\] đối xứng qua \[H\] nên \[H\] là trung điểm của \[MM'\].

\[\left. \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = \frac{8}{5} - 2 =  - \frac{2}{5}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = \frac{6}{5} - 5 =  - \frac{{19}}{5}\end{array} \right\} \Rightarrow M'\left( { - \frac{2}{5}; - \frac{{19}}{5}} \right)\].

b) Cho \[x = 0 \Rightarrow 0 + 2y - 2 = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow I\left( {0;1} \right) \in \Delta \];

Cho \[x = 1 \Rightarrow 1 + 2y - 2 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2} \Rightarrow J\left( {1;\frac{1}{2}} \right) \in \Delta \].

Gọi \[I'\] là điểm đối xứng của \[I\] qua \[M,\,\,J'\] là điểm đối xứng của \[J\] qua \[M\]

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = 2{x_M} - {x_I} = 4 - 0 = 4\\{y_{I'}} = 2{y_M} - {y_I} = 10 - 1 = 9\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {4;9} \right)\];

          \[\left\{ \begin{array}{l}{x_{J'}} = 2{x_M} - {x_J} = 4 - 1 = 3\\{y_{J'}} = 2{y_M} - {y_J} = 10 - \frac{1}{2} = \frac{{19}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow J'\left( {3;\frac{{19}}{2}} \right)\].

Phương trình \[\Delta ' \equiv \] phương trình \[I'J':\frac{{x - 4}}{{ - 1}} = \frac{{y - 9}}{{\frac{1}{2}}} \Rightarrow x + 2y - 22 = 0\].