Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 6
24 câu hỏi
Một người có 4 cái quần khác nhau, 6 cái áo khác nhau, 3 chiếc cà vạt khác nhau. Để chọn một cái quần hoặc một cái áo hoặc một cái cà vạt thì số cách chọn khác nhau là
13;
72;
12;
30.
Đáp án đúng là: A
+ Nếu chọn một cái quần thì sẽ có 4 cách.
+ Nếu chọn một cái áo thì sẽ có 6 cách.
+ Nếu chọn một cái cà vạt thì sẽ có 3 cách.
Theo quy tắc cộng, ta có \[4 + 6 + 3 = 13\] cách chọn.
Từ thành phố \(A\) đến thành phố \(B\) có 4 con đường, từ thành phố \(B\) đến thành phố \(C\) có 3 con đường. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố \(A\) đến thành phố \(C\) phải đi qua thành phố \(B\)?
21;
12;
64;
7.
Đáp án đúng là: B
Cách để đi từ thành phố \(A\) đến thành phố \(C\) phải đi qua thành phố \(B\) gồm 2 giai đoạn:
- Giai đoạn 1: Đi từ thành phố \(A\) đến thành phố \(B\) có 4 cách.
- Giai đoạn 2: Ứng với mỗi cách của giai đoạn 1, từ thành phố \(B\) đến thành phố \(C\) có 3 cách.
Áp dụng quy tắc nhân có \(4.3 = 12\) cách để đi từ thành phố \(A\) đến thành phố \(C\).
Số các chỉnh hợp chập \(k\) của một tập hợp có \(n\) phần tử \(\left( {1 \le k \le n} \right)\) là
\(C_n^k\);
\(n!\);
\(\frac{{n!}}{{k!}}\);
\(A_n^k\).
Đáp án đúng là: D
Số các chỉnh hợp chập \(k\) của một tập hợp có \(n\) phần tử \(\left( {1 \le k \le n} \right)\) là \(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).
Từ 3 chữ số \(1;\,\,2;\,\,3\) lập được bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau?
27;
24;
8;
6.
Đáp án đúng là: D
Mỗi số gồm ba chữ số khác nhau được lập từ 3 chữ số \(1;\,\,2;\,\,3\) là một hoán vị của 3 phần tử nên có \(3! = 6\) số các số thỏa mãn yêu cầu.
Cho 5 điểm phân biệt. Số các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối từ các điểm đã cho là
\(5!\);
\(A_5^2\);
\(C_5^2\);
\(5.2\).
Đáp án đúng là: B
Số các vectơ khác vectơ-không có điểm đầu và điểm cuối từ các điểm đã cho là số các chỉnh hợp chập 2 của 5 và là \(A_5^2\).
Một tổ có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người, hỏi có bao nhiêu cách lập?
25;
252;
50;
455.
Đáp án đúng là: B
Mỗi đoàn được lập là một tổ hợp chập 5 của 10 (người). Vì vậy, số đoàn đại biểu có thể có là \(C_{10}^5 = \frac{{10!}}{{5!.5!}} = 252.\)
Có bao nhiêu cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con?
104;
450;
1 326;
2 652.
Đáp án đúng là: C
Mỗi cách lấy 2 con bài từ 52 con là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử.
Vậy số cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con là \(C_{52}^2 = 1326.\)
Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ?
\[4!.C_4^1.C_5^1\];
\[3!.C_3^2.C_5^2\];
\[4!.C_4^2.C_5^2\];
\[3!.C_4^2.C_5^2\].
Đáp án đúng là: C
Số cách chọn 2 số chẵn trong tập hợp \[\left\{ {2;4;6;8} \right\}\] là: \[C_4^2\] cách.
Số cách chọn 2 số lẻ trong tập hợp \[\left\{ {1;3;5;7;9} \right\}\] là: \[C_5^2\] cách.
Số cách hoán vị 4 chữ số đã chọn lập thành 1 số tự nhiên là: \[4!\] cách.
Vậy có \[4!\;.C_4^2.C_5^2\] số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Khai triển biểu thức \({\left( {3x + y} \right)^5}\) ta thấy số hạng có chứa \({x^3}{y^2}\) là
90;
\(90{x^3}{y^2}\);
270;
\(270{x^3}{y^2}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có:
\({\left( {3x + y} \right)^5} = {\left( {3x} \right)^5} + 5.{\left( {3x} \right)^4}.y + 10.{\left( {3x} \right)^3}.{y^2} + 10.{\left( {3x} \right)^2}.{y^3} + 5.\left( {3x} \right).{y^4} + {y^5}\)
\( = 243{x^5} + 405{x^4}y + 270{x^3}{y^2} + 90{x^2}{y^3} + 15x{y^4} + {y^5}\)
Số hạng có chứa \({x^3}{y^2}\) là \(270{x^3}{y^2}\).
Ta có khai triển sau: \({a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\). Khai triển này được viết gọn thành biểu thức nào dưới đây?
\({\left( {a + 2b} \right)^2}\);
\({\left( {a + b} \right)^4}\);
\({\left( {a + 2b} \right)^4}\);
\({\left( {2a + 2b} \right)^4}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho vectơ \(\overrightarrow v = - 2\overrightarrow i + \overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow v \) là
\(\overrightarrow v = \left( {2;\,\,0} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( { - 2;\,\,1} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( {2;\, - 1} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( { - 2;\,\,0} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow v = - 2\overrightarrow i + \overrightarrow j \). Khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow v \) là \(\overrightarrow v = \left( { - 2;\,\,1} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {2;\,\, - 3} \right)\) và \(B\left( { - 5;\, - 4} \right)\). Khoảng cách giữa \(A\) và \(B\) là
\(5\sqrt 2 \);
\(2\sqrt 5 \);
\(\sqrt {58} \);
\(8\sqrt 5 \).
Đáp án đúng là: A
Khoảng cách giữa \(A\) và \(B\) là \(AB = \sqrt {{{\left( { - 5 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2}} = 5\sqrt 2 \).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {7; - 2} \right),\overrightarrow b = \left( {3; - 4} \right)\). Giá trị của \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \) là
29;
13;
\( - \,26\);
\(5\sqrt {33} \).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 7 \cdot 3 + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = 29\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( { - 1;\,\,1} \right),\,B\left( { - 5;\, - 3} \right)\) và \(C\) thuộc trục \(Oy\), trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) nằm trên trục \(Ox\). Tọa độ của điểm \(C\) là
\(\left( {0;\,\,4} \right)\);
\(\left( {0;\,\,2} \right)\);
\(\left( {2;\,\,0} \right)\);
\(\left( {4;\,\,0} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(C \in Oy \Rightarrow C\left( {0;\,\,c} \right)\), \(G \in Ox \Rightarrow G\left( {g;\,\,0} \right)\).
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}g = \frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 5} \right) + 0}}{3}\\0 = \frac{{1 + \left( { - 3} \right) + c}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g = - 2\\c = 2\end{array} \right.\).
Vậy \(C\left( {0;\,\,2} \right)\).
Cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - \frac{1}{2}t\\y = - 3 + 3t\end{array} \right.\). Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) có tọa độ là
\(\left( {5;\,\, - 3} \right)\);
\(\left( { - 5;\,3} \right)\);
\(\left( {\frac{1}{2};\,\,3} \right)\);
\(\left( {6;\,\,1} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - \frac{1}{2}t\\y = - 3 + 3t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - \frac{1}{2};\,\,3} \right)\), nên có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,\,\frac{1}{2}} \right)\).
Do đó, nó cũng có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {n'} = 2\overrightarrow n = 2\left( {3;\,\,\frac{1}{2}} \right) = \left( {6;\,\,1} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {2;\, - 1} \right)\) và \(B\left( {2;\,\,5} \right)\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = - 6t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 5 + 6t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 6t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(AB\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;\,\,6} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {2;\, - 1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;\,\,6} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 0t\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\). Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là
\(4x - 5y - 7 = 0\) ;
\(4x + 5y - 17 = 0\);
\(4x - 5y - 17 = 0\);
\(4x + 5y + 17 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{3 - x}}{5}\\t = \frac{{y - 1}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{3 - x}}{5} = \frac{{y - 1}}{4} \Leftrightarrow 4x + 5y - 17 = 0\).
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(2x - 5y + 3 = 0\) và \(5x + 2y - 3 = 0\) là
\[\left( {\frac{9}{{29}};\,\, - \frac{{21}}{{29}}} \right)\];
\[\left( { - \frac{9}{{29}};\,\, - \frac{{21}}{{29}}} \right)\];
\[\left( {\frac{9}{{29}};\,\frac{{21}}{{29}}} \right)\];
\[\left( {\frac{{21}}{{29}};\,\frac{9}{{29}}} \right)\].
Đáp án đúng là: C
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(2x - 5y + 3 = 0\) và \(5x + 2y - 3 = 0\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y + 3 = 0\\5x + 2y - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{{29}}\\y = \frac{{21}}{{29}}\end{array} \right.\).
Giao điểm của hai đường thẳng đã cho có tọa độ là \[\left( {\frac{9}{{29}};\,\frac{{21}}{{29}}} \right)\].
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến đường thẳng \(\Delta :4x - 3y + 1 = 0\) bằng
1;
\(\frac{1}{5}\);
3;
4.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(d\left( {O,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.0 - 3.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{5}\).
Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi hai đường thẳng \({d_1}:6x - 5y + 15 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right..\) Số đo \(\alpha \) là
\(30^\circ \);
\(45^\circ \);
\(60^\circ \);
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}:6x - 5y + 15 = 0\) là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {6;\,\, - 5} \right)\).
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\) là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 6;\,\,5} \right)\), do đó đường thẳng \({d_2}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5;\,\,6} \right)\).
Ta thấy \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 6.5 + \left( { - 5} \right).6 = 0\). Do đó, hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau.
Vậy \(\alpha = 90^\circ \).
Cho hai đường thẳng \({d_1}:3mx + 2y - 6 = 0\) và \({d_2}:\left( {{m^2} + 2} \right)x + 2my - 3 = 0\). Giá trị của \(m\) để hai đường thẳng đã cho song song với nhau là
\(m = 1;\,\,m = - 1\);
\(m \in \emptyset \);
\(m = 2\);
\(m = - 1\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \({d_1}:3mx + 2y - 6 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3m;\,\,2} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}:\left( {{m^2} + 2} \right)x + 2my - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{m^2} + 2;\,\,2m} \right)\).
Với \(m = 0\) ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;\,\,2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;\,\,0} \right)\), khi đó hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) không song song với nhau. Vậy \(m = 0\) không thỏa mãn.
Với \(m \ne 0\), \({d_1}\,{\rm{//}}\,{d_2} \Leftrightarrow \frac{{{m^2} + 2}}{{3m}} = \frac{{2m}}{2} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 6}}\)\( \Leftrightarrow m = \pm 1\).
Trong một môn học, thầy giáo có 20 câu hỏi khác nhau, trong đó có 10 câu hỏi dễ, 6 câu hỏi trung bình và 4 câu hỏi khó. Từ 20 câu hỏi đó lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi, sao cho đề kiểm tra phải có đủ ba loại câu hỏi và có đúng 2 câu hỏi dễ.
Để tạo đề kiểm tra gồm 5 câu hỏi sao cho có đủ ba loại câu hỏi và có đúng 2 câu hỏi dễ sẽ có các phương án sau:
- Phương án 1: Đề gồm 2 câu hỏi dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khó có \(C_{10}^2.C_6^2.C_4^1 = 2700\) đề.
- Phương án 2: Đề gồm \(2\) câu hỏi dễ, \(1\) câu trung bình và \(2\) câu khó có \(C_{10}^2.C_6^1.C_4^2 = 1620\) đề.
Áp dụng quy tắc cộng, ta có \(2700 + 1620 = \,4\,\,320\) đề.
Tính tổng \(T = C_4^0 + 2C_4^1 + 4C_4^2 + 8C_4^3 + 16C_4^4\).
Ta có: \(T = C_4^0 + 2C_4^1 + 4C_4^2 + 8C_4^3 + 16C_4^4\)
\( = C_4^0{.1^4} + C_4^1{.1^3}.2 + C_4^2{.1.2^2} + C_4^3{.1.2^3} + C_4^4{.1.2^4}\)
\( = {\left( {1 + 2} \right)^4}\)
\( = {3^4}\)
\( = 81\).
Cho điểm \[M\left( {2;5} \right)\] và đường thẳng \[\Delta :x + 2y - 2 = 0\].
a) Tìm tọa độ điểm \[M'\] đối xứng với \[M\] qua \[\Delta \];
b) Viết phương trình đường thẳng \[\Delta '\] đối xứng với \[\Delta \] qua \[M\].
a) Ta có: \(2 + 2.5 - 2 = 10 \ne 0 \Rightarrow M \notin \Delta \).
Đường thẳng \[d\] qua \[M\] và vuông góc \[\Delta \] có dạng: \[2x - y + m = 0\].
Do \[M\left( {2;5} \right) \in d \Rightarrow 4 - 5 + m = 0 \Rightarrow m = 1\].
Phương trình \[d:2x - y - 1 = 0\].
Gọi giao điểm của hai đường thẳng \(\Delta \)và \(d\) là \(H\). Tọa độ của \(H\) là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x - y - 1 = 0\\x + 2y - 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{4}{5};\frac{3}{5}} \right)\].
Vì \[M\] và \[M'\] đối xứng qua \[H\] nên \[H\] là trung điểm của \[MM'\].
\[\left. \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = \frac{8}{5} - 2 = - \frac{2}{5}\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = \frac{6}{5} - 5 = - \frac{{19}}{5}\end{array} \right\} \Rightarrow M'\left( { - \frac{2}{5}; - \frac{{19}}{5}} \right)\].
b) Cho \[x = 0 \Rightarrow 0 + 2y - 2 = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow I\left( {0;1} \right) \in \Delta \];
Cho \[x = 1 \Rightarrow 1 + 2y - 2 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2} \Rightarrow J\left( {1;\frac{1}{2}} \right) \in \Delta \].
Gọi \[I'\] là điểm đối xứng của \[I\] qua \[M,\,\,J'\] là điểm đối xứng của \[J\] qua \[M\]
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = 2{x_M} - {x_I} = 4 - 0 = 4\\{y_{I'}} = 2{y_M} - {y_I} = 10 - 1 = 9\end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {4;9} \right)\];
\[\left\{ \begin{array}{l}{x_{J'}} = 2{x_M} - {x_J} = 4 - 1 = 3\\{y_{J'}} = 2{y_M} - {y_J} = 10 - \frac{1}{2} = \frac{{19}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow J'\left( {3;\frac{{19}}{2}} \right)\].
Phương trình \[\Delta ' \equiv \] phương trình \[I'J':\frac{{x - 4}}{{ - 1}} = \frac{{y - 9}}{{\frac{1}{2}}} \Rightarrow x + 2y - 22 = 0\].
