Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 9

Đáp án đúng là: C

Ta có: \({\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}\)

\( = {\left( {{x^3}} \right)^5} + 5.{\left( {{x^3}} \right)^4}.\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 10.{\left( {{x^3}} \right)^3}.{\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} + 10.{\left( {{x^3}} \right)^2}.{\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^3} + 5.\left( {{x^3}} \right).{\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4} + {\left( { - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}\)\( = {x^{15}} - 5{x^{10}} + 10{x^5} - 10 + \frac{5}{{{x^5}}} - \frac{1}{{{x^{10}}}}\)

Số hạng không chứa \[x\] trong khai triển là – 10.

Bình phương của số hạng này là 100.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow i  - \frac{3}{2}\overrightarrow j \). Khi đó, tọa độ vectơ \(\overrightarrow u \) là \(\left( {2;\,\, - \frac{3}{2}} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \( - 3\overrightarrow a  =  - 3\left( {1;\,\, - \frac{7}{3}} \right) = \left( { - 3;\,7} \right) = \overrightarrow u \).

Do đó, vectơ \(\overrightarrow a \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow m  - \overrightarrow n  = 2\left( {2;\,\, - 4} \right) - \left( { - 5;\,\,3} \right) = \left( {9;\,\, - 11} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Cách 1: Gọi \(D\left( {a;\;b} \right)\). Vì \(G\left( {0; - \frac{{13}}{3}} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ADC\) nên

\(\overrightarrow {BD}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {BG}  \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}a - 4 = \frac{3}{2} \cdot \left( {0 - 4} \right)\\b - 5 = \frac{3}{2} \cdot \left( {\frac{{ - 13}}{3} - 5} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 9\end{array} \right.\)\( \Rightarrow D\left( { - 2;\; - 9} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {4;\,\, - 6} \right)\).

Do đó, nó nhận \(\overrightarrow u  = \left( {6;\,\,4} \right)\) hoặc \(\overrightarrow {u'}  = \frac{1}{3}\overrightarrow u  = \frac{1}{2}\left( {6;\,\,4} \right) = \left( {3;\,\,2} \right)\) là vectơ chỉ phương.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;\,\,3} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y =  - 7 + 3t\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y =  - 4 + 3t\end{array} \right.\).

Ngoài ra đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow u  =  - \overrightarrow {AB}  = \left( {2;\,\, - 3} \right)\) là một vectơ chỉ phương nên ta có phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y =  - 7 - 3t\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y =  - 9 - 2t\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = x - 5\\y =  - 9 - 2t\end{array} \right. \Rightarrow y =  - 9 - 2.\left( {x - 5} \right) \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0\).

Đáp án đúng là: C

Thay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.\) vào phương trình đường thẳng \({d_1}\) ta được:

\(2\left( {22 + 2t} \right) + 3\left( {55 + 5t} \right) - 19 = 0\)

\( \Leftrightarrow 19t =  - 190 \Leftrightarrow t =  - 10\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t = 22 + 2.\left( { - 10} \right) = 2\\y = 55 + 5t = 55 + 5.\left( { - 10} \right) = 5\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\) là \(\left( {2;\,\,5} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(d\left( {A,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5.2 - 2.1 + 5} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{13}}{{\sqrt {29} }}\).

Đáp án đúng là: D

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng \({d_1}:2x + 2\sqrt 3 y + 5 = 0\) có một vectơ pháp tuyến  là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\,2\sqrt 3 } \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:y - 6 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {0;\,\,1} \right)\).

Ta có: \(\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.0 + 2\sqrt 3 .1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(\varphi= 30^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \({d_1}:2x - 3y + 19 = 0\) có một vectơ pháp tuyến  là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\, - 3} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 4 - 4mt\end{array} \right.\) chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 3;\,\, - 4m} \right)\), nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {4m;\,\, - 3} \right)\).

Hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0\)

\( \Leftrightarrow 2.4m + \left( { - 3} \right).\left( { - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 8m + 9 = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{9}{8}\).

a) Để có một cách sơn, ông An cần chọn ra một bộ 4 màu sơn khác nhau, có sắp thứ tự (tương ứng với màu sơn của tầng 1, tầng 2, tầng 3 và tầng 4).

Do có 10 màu sơn nên số cách sơn là số các chỉnh hợp chập 4 của 10 và là:

\[A_{10}^4 = 5040\] (cách).

b) Để có một cách sơn nhà, ông An cần chọn ra 4 màu khác nhau từ 10 màu xanh rồi với mỗi bộ 4 màu đã chọn ra, ông An sắp thứ tự từ đậm nhất đến nhạt nhất để sơn các tầng từ thấp lên cao theo mong muốn.

Nói cách khác, với mỗi bộ 4 màu khác nhau, ông An có một cách sơn. Ngược lại, rõ ràng mỗi cách sơn phải dùng 4 màu khác nhau. Như vậy, số cách sơn bằng số cách chọn ra 4 màu sơn từ 10 màu sơn chính là số các tổ hợp chập 4 của 10 và là: \(C_{10}^4 = 210\) (cách).

Áp dụng công thức khai triển của \({\left( {a + b} \right)^5}\) cho \(a = {x^2},b = \frac{r}{x}\) ta được:

\({\left( {{x^2} + \frac{r}{x}} \right)^5}\)

\( = C_5^0.{\left( {{x^2}} \right)^5} + C_5^1.{\left( {{x^2}} \right)^4}.\frac{r}{x} + C_5^2.{\left( {{x^2}} \right)^3}.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^2} + C_5^3.{\left( {{x^2}} \right)^2}.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^3} + C_5^4.{x^2}.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^4} + C_5^5.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^5}\)

\( = {\left( {{x^2}} \right)^5} + 5{\left( {{x^2}} \right)^4}.\frac{r}{x} + 10{\left( {{x^2}} \right)^3}.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^2} + 10{\left( {{x^2}} \right)^2}.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^3} + 5{x^2}.{\left( {\frac{r}{x}} \right)^4} + {\left( {\frac{r}{x}} \right)^5}\)

\( = {x^{10}} + 5r{x^7} + 10{r^2}{x^4} + 10{r^3}x + \frac{{5{r^4}}}{{{x^2}}} + \frac{{{r^5}}}{{{x^5}}}\)

Theo đề bài, ta có hệ số của \(x\) trong khai triển của \({\left( {{x^2} + \frac{r}{x}} \right)^5}\)bằng 640 nên:

\(10{r^3} = 640 \Leftrightarrow {r^3} = 64 \Leftrightarrow r = 4\).

Giả sử \[A\left( {a;0} \right),\,\,B\left( {0;b} \right)\]

Vì \[OA = OB\] nên \[\left| a \right| = \left| b \right| \Leftrightarrow a =  \pm b\]

Phương trình \[AB:\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\]

Vì \[M\left( { - 2; - 4} \right) \in AB\] nên

Nếu \[a = b\] thì \[\left( * \right) \Leftrightarrow  - \frac{6}{a} = 1 \Rightarrow a = b =  - 6\]

Vậy phương trình \[AB:\frac{x}{{ - 6}} + \frac{y}{{ - 6}} = 1 \Leftrightarrow x + y + 6 = 0\]

Nếu \[a =  - b\] thì \[\left( * \right) \Leftrightarrow  - \frac{2}{a} + \frac{4}{a} = 1 \Rightarrow \frac{2}{a} = 1 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow b =  - 2\]

Vậy phương trình \[AB:\frac{x}{2} - \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow x - y - 2 = 0\].