Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 2
38 câu hỏi
Một lớp có 31 học sinh nam và 16 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn một học sinh làm lớp trưởng của lớp.
31;
16;
47;
15.
Đáp án đúng là: C
Có tất cả \(31 + 16 = 47\) cách chọn một học sinh làm lớp trưởng của lớp.
Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay và 4 kiểu dây. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?
4;
7;
12;
16.
Đáp án đúng là: C
Để chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây có hai công đoạn:
Công đoạn thứ nhất: Chọn mặt đồng hồ có 3 cách chọn.
Công đoạn thứ hai: Chọn dây có 4 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân ta có \(3.4 = 12\) cách.
Phương tiện bạn Khoa có thể chọn đi từ Hải Dương xuống Hà Nội rồi từ Hà Nội vào Đà Lạt được thể hiện qua sơ đồ cây sau:
Hỏi bạn Khoa có mấy cách chọn phương tiện đi từ Hải Dương xuống Hà Nội rồi từ Hà Nội vào Đà Lạt?
3;
4;
5;
6.
Đáp án đúng là: B
Từ sơ đồ hình cây ta thấy có 4 cách chọn phương tiện.
Các thành phố \(A;\,B;\,\,C;\,D\) được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ sau:
Có bao nhiêu cách đi từ \(A\) đến \(D\) mà qua \(B\) và \(C\) chỉ một lần?
12;
18;
20;
24.
Đáp án đúng là: D
Từ hình vẽ ta thấy có 4 con đường đi từ \(A\) đến \(B\), có 2 con đường đi từ \(B\) đến \(C\) và có 3 con đường đi từ \(C\) đến \(D\).
Vậy theo quy tắc nhân có \(4\,\,.\,\,3\,\,.\,\,2 = 24\) cách đi từ \(A\) đến \(D\) mà qua \(B\) và \(C\) chỉ một lần.
Cho tập \(A\) có \(n\) phần tử \(\left( {n \in \mathbb{N},\,\,n \ge 2} \right)\), \(k\) là số nguyên thỏa mãn \(1 \le k \le n\). Số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử trên là
\(n.k\);
\(n.\left( {n - 1} \right).\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right)\);
\(\frac{n}{k}\);
\(\frac{k}{n}\).
Đáp án đúng là: B
Tập \(A\) có \(n\) phần tử \(\left( {n \in \mathbb{N},\,\,n \ge 2} \right)\), \(k\) là số nguyên thỏa mãn \(1 \le k \le n\). Số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử trên là: \(n.\left( {n - 1} \right).\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right)\).
Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Số các hoán vị của \(n\) phần tử là
\(n\);
\(n + 1\);
\(n - 1\);
\(n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...2.1\).
Đáp án đúng là: D
Số các hoán vị của \(n\) phần tử trong \(A\) là: \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...2.1\).
Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Mỗi hoán vị của \(n\) phần tử đó là
Một kết quả của sự sắp xếp thứ tự \(n\) phần tử của tập hợp \(A\);
Tất cả các kết quả của sự sắp xếp thứ tự \(n\) phần tử của tập hợp \(A\);
Một số được tính bằng \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...2.1\);
Một số được tính bằng \(n!\).
Đáp án đúng là: A
Tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Mỗi hoán vị của \(n\) phần tử đó là một kết quả của sự sắp xếp thứ tự \(n\) phần tử của tập hợp \(A\).
Có 4 học sinh nam là \[{A_1};\,\,{A_2};\,\,{A_3};\,\,{A_4}\] và 3 học sinh nữ \({B_1};\,\,{B_2};\,\,{B_3}\) được xếp thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách xếp để các bạn nữ không ngồi cạnh nhau?
5 040;
144;
720;
210.
Đáp án đúng là: B
Xếp 3 bạn nữ trước có \(3!\) cách xếp.
Xếp 4 bạn nam vào 4 khoảng trống còn lại có \(4!\) cách xếp.
Vậy có \(3!.4! = 144\) cách xếp để các bạn nữ không ngồi cạnh nhau.
Một tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 2 học sinh từ tổ đó để giữ hai chức vụ tổ trưởng và tổ phó?
\[A_{10}^2\];
\[C_{10}^2\];
\[A_{10}^8\];
\[{10^2}\].
Đáp án đúng là: A
Mỗi cách chọn ra 2 học sinh từ một tổ có 10 học sinh và phân công giữ chức vụ tổ trưởng, tổ phó là một chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử.
Do đó số cách chọn là \[A_{10}^2\] cách.
Số giao điểm tối đa của 5 đường tròn phân biệt là
10;
20;
18;
22.
Đáp án đúng là: B
Cách tìm số giao điểm của 5 đường tròn phân biệt được chia làm 2 công đoạn:
- Công đoạn thứ 1: Chọn 2 đường tròn trong 5 đường tròn có \(C_5^2\) cách.
- Công đoạn thứ 2: Ứng với 2 đường tròn có tối đa 2 giao điểm.
Vậy số giao điểm tối đa của 5 đường tròn phân biệt là \[2.C_5^2 = 20\].
Cho \(k,n\) là các số nguyên dương với \(k \le n\). Trong các phát biểu dưới đây, phát biểu nào sai?
\(C_n^k = C_n^{n - k}\);
\(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{\left( {n - k} \right)!}}\);
\(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\);
\(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}} = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\), do đó đáp án B sai.
Một nhóm gồm 6 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn từ đó ra 3 học sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam.
245;
3 480;
336;
251.
Đáp án đúng là: D
Chọn ra 3 học sinh tham gia văn nghệ trong 13 học sinh tùy ý có \[C_{13}^3\] cách.
Chọn ra 3 học sinh tham gia văn nghệ trong 7 học sinh nữ có \[C_7^3\] cách.
Vậy chọn ra 3 học sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam có \[C_{13}^3 - C_7^3 = 251\].
Cho đa giác đều \(n\) đỉnh, \(n \in \mathbb{N}\) và \(n \ge 3\). Biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo. Khi đó giá trị của \(n\) là
\[n = 15\];
\[n = 27\];
\[n = 8\];
\[n = 18\].
Đáp án đúng là: D
Đa giác lồi \(n\) đỉnh thì có \(n\) cạnh.
Nếu vẽ tất cả các đoạn thẳng nối từng cặp đỉnh trong \(n\) đỉnh này thì có một bộ gồm các cạnh và các đường chéo.
Do đó để tính số đường chéo thì lấy tổng số đoạn thẳng dựng được trừ đi số cạnh.
Bằng cách lấy ra 2 điểm bất kỳ trong \(n\) điểm ta được số đoạn thẳng chính là số tổ hợp chập 2 của \(n\) phần tử.
Như vậy, tổng số đoạn thẳng là \(C_n^2\).
Số cạnh của đa giác lồi là \(n\).
Suy ra số đường chéo của đa giác đều \(n\) đỉnh là
\[C_n^2 - n = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} - n = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\]
Theo bài ra, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = 135\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\{n^2} - 3n - 270 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 18\].
Trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {2x - 3} \right)^5}\) có bao nhiêu số hạng?
6;
3;
5;
4.
Đáp án đúng là: A
Trong khai triển nhị thức Newton \({\left( {a + b} \right)^n}\) có \(n + 1\) số hạng
Vậy trong khai triển của \({\left( {2x - 3} \right)^5}\) có \[5 + 1 = 6\] số hạng.
Khai triển của \[{\left( {1 - 2x} \right)^5}\] là
\[5 - 10x + 40{x^2} - 80{x^3} - 80{x^4} - 32{x^5}\];
\[1 + 10x + 40{x^2} - 80{x^3} - 80{x^4} - 32{x^5}\];
\[1 - 10x + 40{x^2} - 80{x^3} + 80{x^4} - 32{x^5}\];
\[1 + 10x + 40{x^2} + 80{x^3} + 80{x^4} + 32{x^5}\].
Đáp án đúng là: C
Ta có
\[{\left( {1 - 2x} \right)^5} = C_5^0 + C_5^1{\left( { - 2x} \right)^1} + C_5^2{\left( { - 2x} \right)^2} + C_5^3{\left( { - 2x} \right)^3} + C_5^4{\left( { - 2x} \right)^4} + C_5^5{\left( { - 2x} \right)^5}\]\[ = 1 - 10x + 40{x^2} - 80{x^3} + 80{x^4} - 32{x^5}\].
Tìm số hạng không chứa \[x\] trong khai triển \[{\left( {\frac{x}{2} + \frac{4}{x}} \right)^4}\]với \[x \ne 0\].
24;
36;
96;
58.
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\[{\left( {\frac{x}{2} + \frac{4}{x}} \right)^4} = C_4^0.{\left( {\frac{x}{2}} \right)^4} + C_4^1.{\left( {\frac{x}{2}} \right)^3}.\left( {\frac{4}{x}} \right) + C_4^2.{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2}.{\left( {\frac{4}{x}} \right)^2} + C_4^3.\left( {\frac{x}{2}} \right).{\left( {\frac{4}{x}} \right)^3} + C_4^4.{\left( {\frac{4}{x}} \right)^4}\]
\[ = \frac{{{x^4}}}{{16}} + 2{x^2} + 24 + \frac{{128}}{{{x^2}}} + \frac{{256}}{{{x^4}}}\].
Vậy số hạng không chứa \[x\] trong khai triển đã cho là 24.
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho vectơ \(\overrightarrow v = - 7\overrightarrow i + 8\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow v \) là
\(\overrightarrow v = \left( {7;\, - 8} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( {7;\,8} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( { - 7;\, - 8} \right)\);
\(\overrightarrow v = \left( { - 7;\,8} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow v = - 7\overrightarrow i + 8\overrightarrow j \), khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow v \) là \(\overrightarrow v = \left( { - 7;\,8} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {2;\,\, - 3} \right)\) và \(B\left( { - 5;\, - 4} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {BA} \) là
\(\overrightarrow {BA} = \left( {7;\,\,1} \right)\);
\(\overrightarrow {BA} = \left( { - 7;\,\, - 1} \right)\);
\(\overrightarrow {BA} = \left( {7;\, - 1} \right)\);
\(\overrightarrow {BA} = \left( { - 7;\,1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {BA} = \left( {2 - \left( { - 5} \right);\, - 3 - \left( { - 4} \right)} \right) = \left( {7;\,\,1} \right)\).
Cho hình dưới đây.
Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) trong hình vẽ trên là
\(\left( {1;\,\,1} \right)\);
\(\left( {3;\,\,2} \right)\);
\(\left( {1;\,\,2} \right)\);
\(\left( {2;\,\,1} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Từ gốc tọa độ \(O\), dựng vectơ \(\overrightarrow {OA} \) sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \).
Ta xác định được tọa độ điểm \(A\) là \(\left( {3;\,\,2} \right)\). Do đó, \(\overrightarrow {OA} = \left( {3;\,\,2} \right)\). Vậy \(\overrightarrow a = \left( {3;\,\,2} \right)\).
Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A\left( { - 3;\,\,2} \right),\,\,B\left( { - 1;\,\,3} \right),\,\,C\left( { - 1;\,\,2} \right)\). Tọa độ của đỉnh \(D\) là
\(\left( {3;\,\,1} \right)\);
\(\left( {1;\,\,3} \right)\);
\(\left( { - 3;\,\,1} \right)\);
\(\left( { - 3;\,\, - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Gọi \(D\left( {x;\,\,y} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;\,\,1} \right),\,\,\overrightarrow {DC} = \left( { - 1 - x;\,\,2 - y} \right)\).
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = - 1 - x\\1 = 2 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 1\end{array} \right.\).
Vậy \(D\left( { - 3;\,\,1} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(A\left( {1;\,\,1} \right)\) và \(B\left( {5;\,\, - 2} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(AB\) là
5;
\(\sqrt {37} \);
\(\sqrt {17} \);
25.
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(AB = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 1} \right)}^2}} = 5\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {6;{\rm{ }}1} \right),{\rm{ }}B\left( { - 3;{\rm{ }}5} \right)\) và trọng tâm \(G\left( { - 1;{\rm{ }}1} \right)\). Tìm tọa độ đỉnh \(C\).
\(\left( {6;\, - 3} \right)\);
\(\left( { - 6;\,\,3} \right)\);
\(\left( { - 6;\, - 3} \right)\);
\(\left( { - 3;\,\,6} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\).
Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3 \cdot \left( { - 1} \right) - 6 - \left( { - 3} \right) = - 6\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3 \cdot 1 - 1 - 5 = - 3\end{array} \right.\]. Vậy \(C\left( { - 6;\, - 3} \right)\).
Cho hai điểm \(A\left( {2;\,2} \right)\) và \(B\left( {5;\, - 2} \right)\). Tìm điểm \(M\) nằm trên tia \[Ox\] sao cho \(\widehat {AMB} = 90^\circ \).
\(M\left( {1;\,\,6} \right)\);
\(M\left( {6;\,\,0} \right)\);
\(M\left( {1;\,\,0} \right)\) hoặc \(M\left( {6;\,\,0} \right)\);
\(M\left( {0;\,\,1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Vì điểm \(M\) nằm trên tia \[Ox\] nên gọi tọa độ điểm \(M\) là \(M\left( {x;\,\,0} \right)\).
Khi đó, \(\overrightarrow {MA} = \left( {2 - x;\,\,2} \right),\,\,\overrightarrow {MB} = \left( {5 - x;\, - 2} \right)\).
Ta có: \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) \( \Leftrightarrow MA \bot MB \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \bot \overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( {5 - x} \right) + 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = 1\end{array} \right.\).
Vậy \(M\left( {1;\,\,0} \right)\) hoặc \(M\left( {6;\,\,0} \right)\).
Cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;\, - 3} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {2;\,5} \right)\). Tích vô hướng của \(\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)\) bằng
16;
26;
36;
– 16.
Đáp án đúng là: D
Cách 1:
\(\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)\)\( = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {\left( {\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} } \right)^2} + 2\left( {1 \cdot 2 + \left( { - 3} \right) \cdot 5} \right) = - 16\).
Cách 2: \(2\overrightarrow b = \left( {2 \cdot 2;\,2 \cdot 5} \right) = \left( {4;\,10} \right) \Rightarrow \overrightarrow a + 2\overrightarrow b = \left( {1 + 4;\, - 3 + 10} \right) = \left( {5;\,7} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) = 1 \cdot 5 + \left( { - 3} \right) \cdot 7 = 5 - 21 = - 16\).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {3;\,\,7} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( { - 2;\,\,1} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow c = 2\overrightarrow a - 5\overrightarrow b \) là
\(\left( {9;\,\,16} \right)\);
\(\left( {16;\,\,9} \right)\);
\(\left( { - 16;\,\,9} \right)\);
\(\left( { - 4;\,\,9} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow c = 2\overrightarrow a - 5\overrightarrow b = 2\left( {3;\,\,7} \right) - 5\left( { - 2;\,\,1} \right) = \left( {16;\,\,9} \right)\).
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d:x - 3y + 1 = 0\) là
\(\overrightarrow u = \left( {3;1} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {3; - 1} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - 3;1} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {1;1} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(d:x - 3y + 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến: \(\overrightarrow n = \left( {1; - 3} \right)\).
Do đó, đường thẳng này có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3;1} \right)\).
Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng \(d:2x - y + 3 = 0\) ?
\(A\left( { - 1;\,\,1} \right)\);
\(B\left( { - 2; - 1} \right)\);
\(C\left( { - 3; - 3} \right)\);
\(D\left( {4; - 5} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Xét điểm \(D\left( {4; - 5} \right)\) ta có: \(2.4 - ( - 5) + 3 = 16 \ne 0\)
Do đó, điểm \(D\left( {4; - 5} \right)\) không thuộc đường thẳng \(d:2x - y + 3 = 0\).
Cho đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( {0;3} \right)\), phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 3t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = t - 3\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( {0;3} \right)\), phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\).
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I\left( {2;5} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {0;1} \right)\) có phương trình tổng quát là
\(x + y - 5 = 0\);
\(y - 5 = 0\);
\(x - 2 = 0\);
\(x - y - 5 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I\left( {2;5} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {0;1} \right)\) có phương trình tổng quát là: \(0\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,y - 5 = 0\).
Đường thẳng \(d:4x - y + 5 = 0\) có phương trình tham số là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 1 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = - 1 + 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \(d:4x - y + 5 = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {4; - 1} \right)\), do đó, đường thẳng này có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;4} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( { - 1;1} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng \(d:4x - y + 5 = 0\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\).
Cho đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương vuông góc với vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_2}\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\({d_1}\) song song hoặc trùng với \({d_2}\);
\({d_1}\) vuông góc với \({d_2}\);
\({d_1}\) cắt nhưng không vuông góc với \({d_2}\);
Tất cả các đáp án trên đều sai.
Đáp án đúng là: A
Do đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương vuông góc với vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_2}\).
Mà vectơ pháp tuyến của \({d_1}\) cũng vuông góc với vectơ chỉ phương của \({d_1}\).
Do đó, vectơ pháp tuyến của \({d_1}\) song song hoặc trùng với vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_2}\).
Vậy \({d_1}\) song song hoặc trùng với \({d_2}\).
Công thức tính khoảng cách từ một điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) tới một đường thẳng \(\Delta :dx + ey + f = 0\) là
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {d{x_A} + e{y_A} + f} \right|}}{{\sqrt {{d^2} + {e^2}} }}\);
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {dx + ey + f} \right|}}{{\sqrt {{d^2} + {e^2}} }}\);
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {d{x_A} - e{y_A} - f} \right|}}{{\sqrt {{d^2} + {e^2}} }}\);
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{d{x_A} + e{y_A} + f}}{{\sqrt {{d^2} + {e^2}} }}\).
Đáp án đúng là: A
Công thức tính khoảng cách từ một điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) tới một đường thẳng \(\Delta :dx + ey + f = 0\) là: \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {d{x_A} + e{y_A} + f} \right|}}{{\sqrt {{d^2} + {e^2}} }}\).
Công thức tính góc \(\alpha \) giữa hai đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \({d_2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \) là
\[\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\];
\[\cos \alpha = - \cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = - \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\];
\[\cos \alpha = \cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\];
\[\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\].
Đáp án đúng là: D
Công thức tính góc \(\alpha \) giữa hai đường thẳng \({d_1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \({d_2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \)là: \[\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\].
Cho đường thẳng \({d_1}\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3;5} \right)\) và đường thẳng \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 5;3} \right)\) , khẳng định nào dưới đây là đúng ?
\({d_1}\) song song hoặc trùng với \({d_2}\);
\({d_1}\) vuông góc với \({d_2}\);
\({d_1}\) cắt nhưng không vuông góc với \({d_2}\);
Tất cả các đáp án trên đều sai.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 3.( - 5) + 5.3 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \).
Vậy \({d_1}\) vuông góc với \({d_2}\).
Góc giữa hai đường thẳng \(\Delta :4x - 3y + 6\) và \(d:x - 1 = 0\) là: \(\alpha = ?\) (làm tròn đến độ)
\[37^\circ \];
\[36^\circ \];
\[35^\circ \];
\[34^\circ \].
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(\Delta :4x - 3y + 6\) có vectơ pháp tuyến có \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {4; - 3} \right)\) và đường thẳng \(d:x - 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;0} \right)\).
Ta có: \[\cos \alpha = \frac{{\left| {4.1 + ( - 3).0} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{( - 3)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \frac{4}{5} \Rightarrow \alpha \approx 37^\circ \].
Từ các chữ số \[0;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}5\] có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau?
Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {abcd} \] với \[a,b,c,d \in A = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}\].
Vì \[\overline {abcd} \] là số chẵn \[ \Rightarrow \,\,d \in \left\{ {0;\,\,2;\,\,4} \right\}\]
+ Trường hợp 1: Nếu \[d = 0\] thì \(d\) có một cách chọn
\[a\] có 5 cách chọn (vì \(a\) được chọn từ một trong các số \(1;2;3;4;5\)).
\[b\] có 4 cách chọn (vì \(a \ne b\) nên \(b\) được chọn từ một trong các số \(1;2;3;4;5\) nhưng bỏ đi số mà \(a\) đã chọn).
\[c\] có 3 cách chọn (vì \(a \ne c;\,b \ne c\) nên \(c\) được chọn từ một trong các số \(1;2;3;4;5\) nhưng bỏ đi số mà \(a,b\) đã chọn).
Như vậy, ta có \[5.4.3.1 = 60\] số.
+ Trường hợp 2: Nếu \[d \ne 0\] thì \(d\) có \[2\] cách chọn là số 2 hoặc 4
\[a\] có 4 cách chọn (vì \(a\) được chọn từ một trong các số \(1;2;3;4;5\) bỏ đi số mà \(d\) đã chọn).
\[b\] có 4 cách chọn (vì \(a \ne b;b \ne d\) nên \(b\) được chọn từ một trong các số \(0;1;2;3;4;5\) nhưng bỏ đi số mà \(a,d\) đã chọn).
\[c\] có 3 cách chọn (vì \(a \ne c;\,b \ne c;d \ne c\) nên \(c\) được chọn từ một trong các số \(0;1;2;3;4;5\) nhưng bỏ đi số mà \(a,b,d\) đã chọn).
Như vậy, ta có \[2.4.4.3 = 96\] số.
Vậy có tất cả \[60 + 96 = 156\] số cần tìm.
Tìm hệ số của \({x^2}\) trong khai triển \({\left( {{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^n}\), với \(x > 0\) , biết: \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 11\).
Ta có : \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 11 \Leftrightarrow 1 + n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 11\,\,\left( {n \ge 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow 1 + n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 11\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 4\\n = - 5\end{array} \right.\) .
Do đó có \(n = 4\) thỏa mãn điều kiện.
Khi đó:
\({\left( {{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4} = {\left( {{x^3}} \right)^4} + 4.{\left( {{x^3}} \right)^3}.\frac{1}{{{x^2}}} + 6.{\left( {{x^3}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} + 4.{x^3}.{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4}\)
\( = {x^{12}} + 4{x^7} + 6{x^2} + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^8}}}\).
Vậy hệ số của \({x^2}\) trong khai triển đã cho là 6.
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho tam giác \(ABC\) có đỉnh \(A\left( { - 1;2} \right)\), gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\), đường thẳng \(CM:5x + 7y - 20 = 0\), \(BH\) là đường cao, có phương trình \(5x - 2y - 4 = 0\). Viết phương trình cạnh \(BC\).
Do \(BH\) là đường cao nên \(AC \bot BH\) nên đường thẳng \(AC\)có một vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow {{u_{AC}}} = \overrightarrow {{n_{BH}}} = \left( {5; - 2} \right)\).
Do đó, một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(AC\) là: \(\overrightarrow {{n_{AC}}} = \left( {2;5} \right)\).
Đường thẳng \(AC\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) có phương trình là:
\(2\left( {x + 1} \right) + 5\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y - 8 = 0\).
Do đường thẳng \(AC\) giao đường thẳng \(CM\) tại \(C\) nên tọa độ của \(C\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y - 8 = 0\\5x + 7y - 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {4;0} \right)\).
Đặt tọa độ điểm \(B\left( {a;b} \right)\). Do \(B \in BH\) nên \(5a - 2b - 4 = 0\)
Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên\(M\left( {\frac{{ - 1 + a}}{2};\frac{{2 + b}}{2}} \right) \in CM\)
\( \Leftrightarrow 5.\frac{{ - 1 + a}}{2} + 7.\frac{{2 + b}}{2} - 20 = 0 \Leftrightarrow 5a + 7b - 31 = 0\).
Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}5a - 2b - 4 = 0\\5a + 7b - 31 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow B\left( {2;3} \right)\).
Đường thẳng \(BC\) có vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow {BC} = \left( {2; - 3} \right)\) nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;2} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(3\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 12 = 0\).
