Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 5
38 câu hỏi
Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc cỡ 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu sự lựa chọn (về màu áo và cỡ áo)?
9;
5;
4;
1.
Đáp án đúng là: A
+ Nếu chọn cỡ áo 39 thì sẽ có 5 cách.
+ Nếu chọn cỡ áo 40 thì sẽ có 4 cách.
Theo quy tắc cộng, ta có \[5 + 4 = 9\] cách chọn mua áo.
Một thùng trong đó có 12 hộp đựng bút hình hộp chữ nhật, 18 hộp đựng bút hình trụ. Số cách khác nhau để chọn được đồng thời một hộp hình hộp chữ nhật, một hộp hình trụ là?
13;
12;
18;
216.
Đáp án đúng là: D
Để chọn một hộp hình hộp chữ nhật và một hộp hình trụ, ta có:
+ Có 12 cách chọn hộp hình hộp chữ nhật;
+ Có 18 cách chọn hộp hình trụ.
Vậy theo quy tắc nhân, ta có \(12.18 = 216\) cách.
Giả sử từ tỉnh \[A\] đến tỉnh \[B\] có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh \[A\] đến tỉnh \[B\]?
20;
300;
18;
15.
Đáp án đúng là: A
+ Nếu đi bằng ô tô có 10 cách.
+ Nếu đi bằng tàu hỏa có 5 cách.
+ Nếu đi bằng tàu thủy có 3 cách.
+ Nếu đi bằng máy bay có 2 cách.
Theo quy tắc cộng, ta có \[10 + 5 + 3 + 2 = 20\] cách chọn.
Một túi có 20 viên bi khác nhau trong đó có 7 bi đỏ, 8 bi xanh và 5 bi vàng. Số cách lấy ba viên bi khác màu là
20;
6 840;
280;
1 140.
Đáp án đúng là: C
Việc chọn ba viên bi khác màu phải tiến hành ba hành động liên tiếp:
+) Chọn một bi đỏ trong 7 bi đỏ nên có 7 cách chọn.
+) Chọn một bi xanh trong 8 bi xanh nên có 8 cách chọn.
+) Chọn một bi vàng trong 5 bi vàng nên có 5 cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có: \[7.8.5 = 280\] cách.
\[A_7^3\] là kí hiệu của
Số các tổ hợp chập 3 của 7 phần tử;
Số các chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử;
Số các hoán vị của 7 phần tử;
Một đáp án khác.
Đáp án đúng là: B
\[A_7^3\] là kí hiệu của số các chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử.
Số cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi là
\[6!4!\];
\[10!\];
\[6! - 4!\];
\[6! + 4!\].
Đáp án đúng là: B
Mỗi cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ là một hoán vị của 10 phần tử nên có \[10!\] cách.
Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một một bông)?
60;
10;
15;
720.
Đáp án đúng là: A
Số cách cắm 3 bông hoa vào ba lọ hoa khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Suy ra có \(A_5^3 = 60\) cách.
Cho 8 bạn học sinh \(A,\,B,\,C,\,D,\,E,\,F,\,G,\,H\). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 8 bạn đó ngồi xung quanh một bàn tròn có 8 ghế?
40 320;
5 040;
720;
40 319.
Đáp án đúng là: B
Ta thấy ở đây xếp các vị trí theo hình tròn nên ta phải cố định vị trí một bạn.
Ta chọn cố định vị trí của \(A\), sau đó xếp vị trí cho 7 bạn còn lại có \(7!\) cách.
Vậy có \(7! = 5\,\,040\)cách.
Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn luyện viên mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ để đá luân lưu 5 quả 11 mét. Hãy tính xem huấn luyện viên của mỗi đội có bao nhiêu cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ.
462;
55;
55 440;
\[11!.5!\].
Đáp án đúng là: C
Số cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ đá 5 quả 11 mét là số các chỉnh hợp chập 5 của 11 phần tử. Vậy có \(A_{11}^5 = 55\,440\).
Kí hiệu \[C_n^k\] là số các tổ hợp chập k của n phần tử \[\left( {1 \le k \le n;\,\,k,n \in \mathbb{N}} \right)\]. Khi đó \[C_n^k\] bằng
\[\frac{{n!}}{{k! + \left( {n - k} \right)!}}\];
\[\frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\];
\[\frac{{n!}}{{k!}}\];
\[\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\].
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\].
Trong vườn hoa có 11 bông hồng trắng, 8 bông hồng đỏ. Bạn Lan làm một bó hoa gồm 10 bông trong đó có đúng 3 bông đỏ để tặng mẹ. Hỏi bạn Lan có thể làm được bao nhiêu bó hoa như vậy?
92 378;
1 320;
25 852;
18 480.
Đáp án đúng là: D
Số cách chọn 10 bông trong đó có đúng 3 bông đỏ là: \(C_8^3.C_{11}^7 = 18\,\,480\).
Xếp 2 học sinh nam khác nhau và 2 học sinh nữ khác nhau vào một hàng ghế dài có 6 chỗ ngồi sao cho 2 học sinh nam ngồi kề nhau và 2 học sinh nữ ngồi kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách ?
720;
48;
120;
16.
Đáp án đúng là: B
Coi 2 bạn nam ngồi cạnh nhau là 1 phần tử, 2 bạn nữ ngồi cạnh nhau là 1 phần tử. Vậy có tất cả \[2.2.2.C_4^2 = 48\] cách.
Có 4 bì thư khác nhau và có 6 con tem khác nhau. Chọn từ đó ra 2 bì thư và 2 con tem sau đó dán 2 con tem lên 2 bì thư đã chọn. Biết rằng một bì thư chỉ dán một con tem. Hỏi có bao nhiêu cách dán?
\[A_4^2.A_6^2\];
\[2!.A_4^2.A_6^2\];
\[C_4^2.C_6^2\];
\[2!.C_4^2.C_6^2\].
Đáp án đúng là: D
Có 4 bì thư khác nhau, chọn 2 bì thư có \[C_4^2\] cách chọn.
Có 6 con tem khác nhau, chọn 2 con tem thì có \[C_6^2\] cách chọn.
Dán 2 con tem lên 2 bì thư có \[2!\] cách dán khác nhau.
Theo quy tắc nhân ta có \[2!.C_4^2.C_6^2\] cách dán 2 con tem lên 2 bì thư.
Trong khai triển của biểu thức \[{\left( {3a + 2} \right)^4}\], ba số hạng đầu của khai triển lần lượt là
\[216{a^4};96{a^3};81{a^2}\];
\[216{a^4};216{a^3};96{a^2}\];
\[81{a^4};216{a^3};96{a^2}\];
\[81{a^4};\,\,216{a^3};\,\,216{a^2}\].
Đáp án đúng là: D
Ta có:
\[{\left( {3a + 2} \right)^4} = C_4^0.{\left( {3a} \right)^4} + C_4^1.{\left( {3a} \right)^3}.2 + C_4^2.{\left( {3a} \right)^2}{.2^2} + C_4^3.\left( {3a} \right){.2^3} + C_4^4{.2^4}\]
\[ = 81{a^4} + 216{a^3} + 216{a^2} + 96a + 16\].
Vậy ba số hạng đầu của khai triển lần lượt là \[81{a^4};\,\,216{a^3};\,\,216{a^2}\].
Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của biểu thức \[{\left( {x - 2} \right)^5}\] là
\[C_5^3.2\];
\[ - C_5^3.2\];
\[C_5^2{.2^2}\];
\[ - C_5^2{.2^2}\].
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\[{\left( {x - 2} \right)^5}\]\[ = C_5^0.{x^5}.{\left( { - 2} \right)^0} + C_5^1.{x^4}.{\left( { - 2} \right)^1} + C_5^2.{x^3}.{\left( { - 2} \right)^2} + C_5^3.{x^2}.{\left( { - 2} \right)^3} + C_5^4.{x^1}.{\left( { - 2} \right)^4} + C_5^5.{x^0}.{\left( { - 2} \right)^5}\]
Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển của biểu thức \[{\left( {x - 2} \right)^5}\] là \[C_5^2.{\left( { - 2} \right)^2} = C_5^2{.2^2}\].
Số hạng đứng chính giữa trong khai triển của biểu thức \[{\left( {3x + xy} \right)^4}\] là
\[C_4^1.27{x^4}.y\];
\[C_4^2.9{x^2}.{y^2}\];
\[C_4^3.3{x^4}{y^3}\];
\[C_4^2.9{x^4}.{y^2}\].
Đáp án đúng là: D
Ta có:
\[{\left( {3x + xy} \right)^4}\]
\[ = C_4^0.{\left( {3x} \right)^4}.{\left( {xy} \right)^0} + C_4^1.{\left( {3x} \right)^3}.{\left( {xy} \right)^1} + C_4^2.{\left( {3x} \right)^2}.{\left( {xy} \right)^2} + C_4^3.{\left( {3x} \right)^1}.{\left( {xy} \right)^3} + C_4^4.{\left( {3x} \right)^0}.{\left( {xy} \right)^4}\]
Khai triển \[{\left( {3x + xy} \right)^4}\] có tất cả 5 số hạng nên số hạng đứng giữa là số hạng thứ 3: \[C_4^2.{\left( {3x} \right)^2}.{\left( {xy} \right)^2} = C_4^2.9{x^4}.{y^2}\].
Vậy số hạng đứng giữa cần tìm là \[C_4^2.9{x^4}.{y^2}\].
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho vectơ \(\overrightarrow b = 3\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow b \) là
\(\left( {3;5} \right)\);
\(\left( {3; - 5} \right)\);
\(\left( { - 3; - 5} \right)\);
\(\left( { - 3;5} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta có vectơ \(\overrightarrow b = 3\overrightarrow i - 5\overrightarrow j = 3\overrightarrow i + \left( { - 5} \right)\overrightarrow j \). Vậy \(\overrightarrow b = \left( {3; - 5} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \[A\left( {3;\,4} \right)\]và \[B\left( {3;\,7} \right)\]. Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là
\(\left( {0;\,\,3} \right)\);
\(\left( {6;\,\,11} \right)\);
\(\left( {4;\,\,3} \right)\);
\(\left( {6;\,\,3} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \[A\left( {3;\,\,4} \right)\]và \[B\left( {3;\,\,7} \right)\].
Khi đó, tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 3;7 - 4} \right) = \left( {0;\,\,3} \right)\).
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A\left( { - 2;3} \right)\), \(B\left( {0;4} \right)\), \(C\left( {5; - 4} \right)\). Toạ độ đỉnh \(D\) là
\(\left( {3; - 5} \right)\);
\(\left( {3;7} \right)\);
\(\left( {3;\,\sqrt 2 } \right)\);
\(\left( {\sqrt 7 ;\,2} \right)\).
Đáp án đúng là: A
\(ABCD\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} + 2 = 5 - 0\\{y_D} - 3 = - 4 - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 3\\{y_D} = - 5\end{array} \right.\)\( \Rightarrow D\left( {3; - 5} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho điểm \(M\left( {1; - 3} \right)\). Khẳng định nào sau đây sai?
Hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục hoành là \(H\left( {1;\,0} \right)\);
Điểm đối xứng với \(M\) qua gốc tọa độ là \(P\left( {3; - 1} \right)\);
Điểm đối xứng với \(M\)qua trục hoành là \(N\left( {1;3} \right)\);
Hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục tung là \(K\left( {0; - 3} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\]:
+ Hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục hoành là \(H\left( {1;\,0} \right)\). Đáp án A đúng.
+ Điểm đối xứng với \(M\) qua gốc tọa độ là \(P\left( { - 1;\,3} \right)\). Đáp án B sai.
+ Điểm đối xứng với \(M\) qua trục hoành là \(N\left( {1;3} \right)\). Đáp án C đúng.
+ Hình chiếu vuông góc của \(M\) trên trục tung là \(K\left( {0; - 3} \right)\). Đáp án D đúng.
Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?
\(\sqrt {{{\left( {\overrightarrow a } \right)}^2}} = \overrightarrow a \);
\(\overrightarrow a = \pm \left| {\overrightarrow a } \right|\);
\(\sqrt {{{\left( {\overrightarrow a } \right)}^2}} = \left| {\overrightarrow a } \right|\);
\(\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\).
Đáp án đúng là: C
Giả sử \(\overrightarrow a = \left( {x;y} \right)\)\( \Rightarrow {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} = \overrightarrow a .\overrightarrow a = {x^2} + {y^2}\) và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).
Đáp án A sai vì \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} \ne \left( {x;y} \right)\)
Đáp án B sai vì \(\overrightarrow a \ne \pm \left| {\overrightarrow a } \right|\)
Đáp án C đúng vì \(\sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
Đáp án D sai vì \(\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)}}\).
Cho các vectơ \(\overrightarrow u = \left( {3;6} \right)\), \(\overrightarrow v = \left( {1;2} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
\(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương cùng hướng;
\(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương ngược hướng;
\(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) bằng nhau;
\(\overrightarrow u = 2\overrightarrow v \).
Đáp án đúng là: A
Cho các vectơ \(\overrightarrow u = \left( {3;6} \right)\); \(\overrightarrow v = \left( {1;2} \right)\) nên ta có: \(\overrightarrow u = 3\overrightarrow v \).
Vậy \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương cùng hướng.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(E\left( {1;\, - 2} \right)\) và \(F\left( {2;\,\, - 9} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(FE\) bằng
\(\sqrt {10} \);
\(2\sqrt {10} \);
\(2\sqrt 5 \);
\(5\sqrt 2 \).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(FE = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 9 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}} = 5\sqrt 2 \).
Cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {3;4} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {0;2} \right)\). Tích vô hướng \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \) bằng
9;
– 8;
8;
0.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 2 = 8\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( { - 1;\,\,1} \right),\,B\left( { - 5;\, - 3} \right)\) và \(C\) thuộc trục \(Oy\), trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) nằm trên trục \(Ox\). Tọa độ của điểm \(C\) là
\(\left( {0;\,\,4} \right)\);
\(\left( {0;\,\,2} \right)\);
\(\left( {2;\,\,0} \right)\);
\(\left( {4;\,\,0} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(C \in Oy \Rightarrow C\left( {0;\,\,c} \right)\), \(G \in Ox \Rightarrow G\left( {g;\,\,0} \right)\).
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}g = \frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 5} \right) + 0}}{3}\\0 = \frac{{1 + \left( { - 3} \right) + c}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g = - 2\\c = 2\end{array} \right.\).
Vậy \(C\left( {0;\,\,2} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 3t\\y = 6 - 2t\end{array} \right.\). Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là
\(\overrightarrow n = \left( {3;\,\, - 2} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {2;\,\,3} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {2;\,\, - 3} \right)\);
\(\overrightarrow n = \left( {6;\,\, - 4} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 3t\\y = 6 - 2t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3;\,\, - 2} \right)\), do đó nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;\,\,3} \right)\).
Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(\Delta :3x + 5y - 7 = 0\)?
\(A\left( {1;\,\,1} \right)\);
\(B\left( {0;\,\,\frac{3}{5}} \right)\);
\(C\left( { - \frac{3}{2};\,\,0} \right)\);
\(D\left( {0;\,\,\frac{7}{5}} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(3.0 + 5.\frac{7}{5} - 7 = 0\). Do đó \(D\left( {0;\,\,\frac{7}{5}} \right) \in \Delta \).
Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( { - 4;\,\,2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 5} \right)\) làm vectơ chỉ phương là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 4t\\y = - 5 + 2t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + 2t\\y = 2 - 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = - 5 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + 2t\\y = 2 + 5t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( { - 4;\,\,2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 5} \right)\) làm vectơ chỉ phương là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + 2t\\y = 2 - 5t\end{array} \right.\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(N\left( {1;\,\, - 5} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 2;\,\,1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là
\(2x - 7y + 2 = 0\);
\( - 2x + y - 7 = 0\);
\(2x - y - 7 = 0\);
\( - 2x - y + 7 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(N\left( {1;\,\, - 5} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 2;\,\,1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là \( - 2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y + 5} \right) = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,2x - y - 7 = 0\).
Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tổng quát: \(x + 2y - 3 = 0\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 1 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(d:x + 2y - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;\,\,2} \right)\), do đó nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;\,\, - 1} \right)\), suy ra loại đáp án B và D.
Ở đáp án C, ta thấy khi \(t = 0\) thì \(x = 2\) và \(y = 1\), thay vào phương trình \(d\) ta thấy không thỏa mãn nên loại đáp án C, vậy chọn đáp án A.
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 4t\\y = 2 - 6t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t'\\y = 4 + 3t'\end{array} \right.\). Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng đã cho.
Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\)song song với nhau;
Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\)trùng nhau;
Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\)vuông góc;
Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\)cắt nhau nhưng không vuông góc.
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 4t\\y = 2 - 6t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {4;\,\, - 6} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t'\\y = 4 + 3t'\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;\,\,3} \right)\).
Nhận thấy \(\overrightarrow {{u_1}} = - 2\overrightarrow {{u_2}} \). Do đó hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song hoặc trùng nhau.
Lại có \(A\left( {1;\,\,4} \right)\) thuộc \({\Delta _2}\) nhưng không thuộc \({\Delta _1}\). Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.
Cho điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu là \(d\left( {M,\,\,\Delta } \right)\), được tính bởi công thức
\[d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\];
\[d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\];
\[d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{{\sqrt {x_0^2 + y_0^2} }}\];
\[d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {x_0^2 + y_0^2} }}\].
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\].
Góc giữa hai đường thẳng \(a:2x - y - 10 = 0\) và \(b:x - 3y - 9 = 0\) bằng
30°;
45°;
60°;
90°.
Đáp án đúng là: B
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\).
Đường thẳng \(a:2x - y - 10 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,\, - 1} \right)\);
Đường thẳng \(b:x - 3y - 9 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\, - 3} \right)\).
Ta có: \(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Do đó, \(\varphi = 45^\circ \).
Khoảng cách từ điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1\) là
\(\frac{{24}}{5}\);
\(\frac{{24}}{{25}}\);
\(\frac{1}{{10}}\);
\(\frac{{12}}{{25}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\Delta :\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1\)\( \Leftrightarrow 24\left( {\frac{x}{6} + \frac{y}{8}} \right) = 24 \Leftrightarrow 4x + 3y - 24 = 0\).
Khoảng cách từ điểm \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) đến \(\Delta \) là \(d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 24} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{{24}}{5}\).
Đường thẳng đi qua \(A\left( {2;\,\,1} \right)\) và song song với đường thẳng \(\Delta :2x + 3y - 2 = 0\) là
\(x - y + 3 = 0\);
\(3x - 2x - 4 = 0\);
\(2x + 3y - 7 = 0\);
\(4x + 6y - 11 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\left( {2;\,\,1} \right)\) và song song với đường thẳng \(\Delta \).
Khi đó, \(\overrightarrow {{n_d}} = \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {2;\,\,3} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(d\) là: \(2\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,2x + 3y - 7 = 0\).
Một thầy giáo có 10 cuốn sách khác nhau trong đó có 4 cuốn sách Toán, 3 cuốn sách Lí, 3 cuốn sách Hóa. Thầy muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 em học sinh \(A,\,B,\,C,\,D,\,E\) mỗi em một cuốn. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách tặng cho các em học sinh sao cho sau khi tặng xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn ít nhất một cuốn?
Ta thấy với bài toán này nếu làm trực tiếp thì sẽ khá khó, nên ta sẽ làm theo cách gián tiếp. Tìm bài toán đối đó là tìm số cách sao cho sau khi tặng sách xong có một môn hết sách.
+ TH1: Môn Toán hết sách:
Số cách chọn 4 cuốn sách Toán là 1 cách.
Số cách chọn 1 cuốn trong 6 cuốn còn lại là 6 cách.
Vậy có 6 cách chọn sách.
Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là \(A_5^5 = 120\) cách.
Vậy có \(6.120 = 720\) cách.
+ TH2: Môn Lí hết sách:
Số cách chọn 3 cuốn sách Lí là 1 cách.
Số cách chọn 2 cuốn trong 7 cuốn còn lại là \(C_7^2\) cách.
Vậy có 21 cách chọn sách.
Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là \(A_5^5 = 120\) cách.
Vậy có \(21.120 = 2\,\,520\) cách.
+ TH3: Môn Hóa hết sách: Tương tự trường hợp 2 thì có 2 520 cách.
Số cách chọn 5 cuốn bất kì trong 10 cuốn và tặng cho 5 em là \(C_{10}^5.A_5^5 = 30\,240\) cách.
Vậy số cách chọn sao cho sau khi tặng xong, mỗi loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn là: \(30\,240 - 720 - 2\,520 - 2\,520 = 24\,480\) cách.
Tìm số hạng không chứa \[x\] trong khai triển của biểu thức \[{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^{\frac{{n - 7}}{2}}}\] biết \[x \ne 0\] và \[n \in {\mathbb{Z}^ + }\] thỏa mãn \[A_n^2 - C_n^2 = 105\].
Ta có: \[A_n^2 - C_n^2 = 105\] (điều kiện \(n \ge 2\))
\[ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 105\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 105\]
\[ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - \frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right) = 105\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right) = 105\]
\[ \Leftrightarrow {n^2} - n - 210 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 14\\n = 15\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\]
Thay \[n = 15\] vào biểu thức, ta được:
\[{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^{\frac{{15 - 7}}{2}}} = {\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^4} = C_4^0.{x^4} + C_4^1.{x^3}.\left( { - \frac{1}{x}} \right) + C_4^2.{x^2}.{\left( { - \frac{1}{x}} \right)^2} + C_4^3.x.{\left( { - \frac{1}{x}} \right)^3} + C_4^4.{\left( { - \frac{1}{x}} \right)^4}\]
Do đó, \[{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^4} = {x^4} - 4{x^2} + 6 - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^4}}}\].
Vậy số hạng không chứa \[x\] trong khai triển của biểu thức đã cho là 6.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( { - 1;\,1} \right),\,B\left( {0;\,\,2} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) sao cho khoảng cách từ điểm \(A\) tới \(d\) bằng \(\sqrt 8 \), khoảng cách từ điểm \(B\) tới \(d\) bằng \(\sqrt 2 \).
Giả sử đường thẳng \(d\) có dạng: \(y = ax + b\,\,\,\,{\rm{hay}}\,\,\,d:ax - y + b = 0\).
Ta có: \(d\left( {A,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a.\left( { - 1} \right) - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 8 \). Suy ra \(\frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \sqrt {{a^2} + 1} \).
Lại có: \(d\left( {B,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {a.0 - 2 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 2 \). Suy ra \(\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{a^2} + 1} \) (*).
Do đó, \(\frac{{\left| { - a + b - 1} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }}\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| { - a + b - 1} \right| = \sqrt 8 \left| {b - 2} \right|\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| { - a + b - 1} \right| = 2\sqrt 2 \left| {b - 2} \right|\)
\( \Leftrightarrow \left| { - a + b - 1} \right| = 2\left| {b - 2} \right|\)
Trường hợp 1: \( - a + b - 1 = 2\left( {b - 2} \right) \Leftrightarrow a + b - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow a = 3 - b\).
Thay \(a = 3 - b\) vào (*) ta được: \(\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{{\left( {3 - b} \right)}^2} + 1} \Leftrightarrow \left| {b - 2} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {{b^2} - 6b + 10} \)
\( \Rightarrow {b^2} - 4b + 4 = 2\left( {{b^2} - 6b + 10} \right)\)\( \Leftrightarrow {b^2} - 8b + 16 = 0 \Leftrightarrow b = 4\).
Suy ra \(a = 3 - 4 = - 1\).
Vậy \(d: - x - y + 4 = 0\,\,\,{\rm{hay}}\,\,d:x + y - 4 = 0\).
Trường hợp 2: \( - a + b - 1 = - 2\left( {b - 2} \right) \Leftrightarrow a - 3b + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow a = 3b - 5\).
Thay \(a = 3b - 5\) vào (*) ta được: \(\frac{{\left| {b - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{{\left( {3b - 5} \right)}^2} + 1} \Leftrightarrow \left| {b - 2} \right| = \sqrt 2 .\sqrt {9{b^2} - 30b + 26} \)
\( \Rightarrow {b^2} - 4b + 4 = 2\left( {9{b^2} - 30b + 26} \right)\)\( \Leftrightarrow 17{b^2} - 56b + 48 = 0\) (vô nghiệm).
Vậy phương trình đường thẳng \(d\) cần lập có dạng: \(x + y - 4 = 0\).
