Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 4
38 câu hỏi
Giả sử một công việc có thể tiến hành theo hai công đoạn \(A\) và \(B\). Công đoạn \(A\) có thể thực hiện bằng \(n\) cách, công đoạn \(B\) có thể thực hiện bằng \(m\) cách. Khi đó:
Công việc có thể được thực hiện bằng \(m.n\) cách;
Công việc có thể được thực hiện bằng \(\frac{1}{2}.m.n\) cách;
Công việc có thể được thực hiện bằng \(m + n\) cách;
Công việc có thể thực hiện bằng \(\frac{1}{2}\left( {m + n} \right)\) cách.
Đáp án đúng là: A
Vì công việc được tiến hành theo hai công đoạn \(A\) và \(B\) nên theo quy tắc nhân ta có công việc có thể được thực hiện bằng \(m.n\) cách.
Từ \(A\) đến \(B\) có 3 con đường, từ \(B\) đến \(C\) có 4 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường từ \(A\) đến \(C\) (qua \(B\))?
7;
12;
81;
64.
Đáp án đúng là: B
Để đi từ \(A\) đến \(C\) (qua \(B\))
Bước 1: Đi từ \(A\) đến \(B\) có 3 cách chọn con đường.
Bước 2: Đi từ \(B\) đến \(C\) có 4 cách chọn con đường.
Do đó theo quy tắc nhân có 3 . 4 = 12 cách chọn đường từ \(A\) đến \(C\) (qua \(B\)).
Một lớp có 23 học sinh nữ và 17 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi tìm hiểu môi trường?
17;
23;
391;
40.
Đáp án đúng là: D
Chọn một học sinh nữ có 23 cách;
Chọn một học sinh nam có 17 cách.
Theo quy tắc cộng có: \[23 + 17 = 40\] cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi.
Một túi có 20 viên bi khác nhau trong đó có 7 bi đỏ, 8 bi xanh và 5 bi vàng. Số cách lấy hai viên bi khác màu là
40;
131;
2 345;
78 400.
Đáp án đúng là: B
Muốn lấy được hai viên bi khác màu từ trong túi đã cho xảy ra các trường hợp sau:
+) Lấy một bi đỏ và một bi xanh: có 7 cách để lấy một bi đỏ và 8 cách để lấy một bi xanh. Do đó có \[7.8 = 56\] cách lấy.
+) Lấy một bi đỏ và một bi vàng: có 7 cách lấy một bi đỏ và 5 cách lấy một bi vàng. Do đó co \[7.5 = 35\] cách lấy.
+) Lấy một bi xanh và một bi vàng: có 8 cách để lấy một bi xanh và 5 cách để lấy một bi vàng. Do đó có \[8.5 = 40\] cách để lấy.
Áp dụng quy tắc cộng cho 3 trường hợp trên, ta có \[56 + 35 + 40 = 131\] cách.
Cho tập hợp \[A\] có \[n\] phần tử \[\left( {n \in \mathbb{N},\,n \ge 2} \right)\] và \[k\] là số nguyên thỏa mãn \[0 \le k \le n\]. Số các chỉnh hợp chập \[k\] của \[n\] phần tử trên là
\[\frac{{n!}}{{k!}}\];
\[\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\];
\[\frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\];
\[k!\left( {n - k} \right)!\].
Đáp án đúng là: C
Một chỉnh hợp chập \[k\] của \[n\] là một cách sắp xếp có thứ tự \[k\] phần tử từ một tập hợp \[n\] phần tử (với \[k,\,n\] là các số tự nhiên, \[1 \le k \le n\]).
Số các chỉnh hợp chập \[k\] của \[n\], kí hiệu là \[A_n^k\] và được tính bằng công thức: \[A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\].
Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp sao cho bạn Chi luôn ngồi chính giữa là?
16;
24;
60;
120.
Đáp án đúng là: B
Xếp bạn Chi ngồi giữa có 1 cách.
Số cách xếp bốn bạn An, Bình, Dũng, Lệ vào 4 chỗ còn lại, mỗi cách xếp là một hoán vị của 4 phần tử nên có số cách xếp là: \[4! = 24\] cách.
Vậy có: \[1.24 = 24\] cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài?
15;
720;
30;
360.
Đáp án đúng là: D
Mỗi cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Suy ra có \(A_6^4 = 360\) cách.
Sắp xếp 5 học sinh lớp A và 5 học sinh lớp B vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy \[5\] ghế sao cho hai học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp. Khi đó số cách xếp là
14 400;
3 628 800;
460 800;
480.
Đáp án đúng là: C
Vì hai học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp nên mỗi cặp ghế đối diện nhau sẽ được xếp bởi một học sinh lớp A và một học sinh lớp B.
Số cách xếp 5 học sinh lớp A vào 5 cặp ghế là \[5!\] cách. Số cách xếp 5 học sinh lớp B vào 5 cặp ghế là \[5!\] cách. Số cách xếp chỗ ở mỗi cặp ghế là 2 cách.
Theo quy tắc nhân thì có \[{\left( {5!} \right)^2}{.2^5} = 460\,\,800\] cách.
Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này?
15;
12;
1 440;
30.
Đáp án đúng là: D
Mỗi cặp sắp thứ tự gồm hai điểm \(\left( {A,\,B} \right)\) cho ta một vectơ có điểm đầu \(A\) và điểm cuối \(B\) và ngược lại. Như vậy, mỗi vectơ có thể xem là một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 6 điểm đã cho. Suy ra có \(A_6^2 = 30\) cách.
Cho tập \[A\] có 2 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử của \[A\] là
\[C_{20}^2\];
\[A_{20}^2\];
\[{2^{20}}\];
\[{20^2}\].
Đáp án đúng là: A
Lấy 2 phần tử trong 20 phần tử có \[C_{20}^2\] cách.
Vậy tập hợp \[A\] có \[C_{20}^2\] tập con có 2 phần tử.
Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên?
9 880;
59 280;
2 300;
455.
Đáp án đúng là: A
Mỗi nhóm học sinh 3 người được chọn (không phân biệt nam, nữ - công việc) là một tổ hợp chập 3 của 40 (học sinh).
Vì vậy, số cách chọn nhóm học sinh là \(C_{40}^3 = \frac{{40!}}{{37!.3!}} = 9880.\)
Với đa giác lồi 10 cạnh thì số đường chéo là
90;
45;
35;
100.
Đáp án đúng là: C
Đa giác lồi 10 cạnh thì có 10 đỉnh. Lấy hai điểm bất kỳ trong 10 đỉnh của đa giác lồi ta được số đoạn thẳng gồm cạnh và đường chéo của đa giác lồi.
Vậy số đường chéo cần tìm là \(C_{10}^2 - 10 = \frac{{10!}}{{8!.2!}} - 10 = 35.\)
Một tổ gồm 10 học sinh. Cần chia tổ đó thành ba nhóm có 5 học sinh, 3 học sinh và 2 học sinh. Số cách chia nhóm là
2 880;
2 520;
2 515;
2 510.
Đáp án đúng là: B
Số cách chọn ra nhóm có 5 học sinh từ 10 học sinh là: \(C_{10}^5\) cách.
Số cách chọn ra nhóm 3 học sinh từ 5 học sinh còn lại là: \(C_5^3\) cách.
Số cách chọn ra nhóm 2 học sinh từ 2 học sinh còn lại là: \(C_2^2\) cách.
Vậy có \(C_{10}^5.C_5^3.C_2^2 = 2\,520\) cách chia nhóm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tổng số mũ của \[a\] và \[b\] trong mỗi hạng tử khi khai triển biểu thức \[{\left( {a + b} \right)^5}\] bằng?
2;
3;
5;
10.
Đáp án đúng là: C
Tổng số mũ của \[a\] và \[b\] trong mỗi hạng tử khi khai triển \[{\left( {a + b} \right)^5}\] bằng 5.
Hệ số của \[{x^2}\] trong khai triển của biểu thức \[{\left( {x + 1} \right)^5}\] là
1;
5;
10;
2.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[{\left( {x + 1} \right)^5} = {x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\].
Hệ số của \[{x^2}\] là 10.
Giá trị của biểu thức \[T = C_4^0 + \frac{1}{2}C_4^1 + \frac{1}{4}C_4^2 + \frac{1}{8}C_4^3 + \frac{1}{{16}}C_4^4\] là
\[\frac{3}{2}\];
\[\frac{9}{{16}}\];
\[\frac{{27}}{{16}}\];
\[\frac{{81}}{{16}}\].
Đáp án đúng là: D
\[T = C_4^0 + \frac{1}{2}C_4^1 + \frac{1}{4}C_4^2 + \frac{1}{8}C_4^3 + \frac{1}{{16}}C_4^4\]
\[ = C_4^0{.1^4}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} + C_4^1{.1^3}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} + C_4^2{.1^2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + C_4^3.1.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} + C_4^4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}\]
\[ = {\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{{81}}{{16}}\].
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho vectơ \(\overrightarrow u = \,2\overrightarrow i + 13\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là
\(\overrightarrow u = \left( {2;\,13} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {2;\, - 13} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - \,2;\, - 13} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - \,2;\,13} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow u = \,2\overrightarrow i + 13\overrightarrow j \), khi đó tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u \) là \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\,13} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(M\left( { - 1;\,\,2} \right)\) và \(N\left( {3;\, - 1} \right)\). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {NM} \) là
\(\overrightarrow {NM} = \left( {4;\,\, - 3} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( {2;\,\,1} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( { - 4;\,3} \right)\);
\(\overrightarrow {NM} = \left( {2;\,\, - 1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\overrightarrow {NM} = \left( { - 1 - 3;\,2 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 4;\,\,3} \right)\].
Cho điểm \(A\left( { - 1;\,\,2} \right)\). Tìm tọa độ của điểm \(M\) sao cho vectơ \(\overrightarrow {AM} = \left( {5;\,\, - 10} \right)\).
\(\left( { - 4;\,8} \right)\);
\(\left( {4;\,\, - 8} \right)\);
\(\left( {6;\,\, - 8} \right)\);
\(\left( { - 6;\,\, - 8} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Gọi \(M\left( {x;\,\,y} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( {x + 1;\,y - 2} \right)\). Vì \(\overrightarrow {AM} = \left( {5;\,\, - 10} \right)\).
Do đó, \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 5\\y - 2 = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 8\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( {4;\,\, - 8} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \[A\left( { - 2;0} \right),\;B\left( {5; - 4} \right),\;C\left( { - 5;1} \right)\]. Tọa độ điểm \[D\] để tứ giác \[BCAD\] là hình bình hành là
\[\left( { - 8; - 5} \right)\];
\[\left( {8;\,\,5} \right)\];
\[\left( { - 8;\,\,5} \right)\];
\[\left( {8;\, - 5} \right)\].
Đáp án đúng là: D
Tứ giác \[BCAD\] là hình bình hành khi \[\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DA} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 - 5 = - 2 - {x_D}\\1 + 4 = 0 - {y_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 8\\{y_D} = - 5\end{array} \right.\].
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho 3 điểm \(A\left( { - 2; - 3} \right),B\left( {1;4} \right),C\left( {3;1} \right)\). Đặt \(\overrightarrow v = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \). Hỏi tọa độ \(\overrightarrow v \) là cặp số nào?
\(\left( {6;0} \right)\);
\(\left( {0; - 1} \right)\);
\(\left( { - 8;\,\,11} \right)\);
\(\left( {8;\,\,11} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;7} \right);\overrightarrow {AC} = \left( {5;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow v = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \left( {3 + 5;\,7 + 4} \right) = \left( {8;11} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(E\left( {3;\, - 4} \right)\) và \(F\left( {1;\,\,2} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(FE\) bằng
\(\sqrt {10} \);
\(2\sqrt {10} \);
\(2\sqrt 5 \);
\(5\sqrt 2 \).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(FE = \sqrt {{{\left( {1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - \left( { - 4} \right)} \right)}^2}} = 2\sqrt {10} \).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho \[B\left( {5; - 4} \right),C\left( {3;7} \right)\]. Tọa độ của điểm \[E\] đối xứng với \[C\] qua \[B\] là
\[\left( {1;\,\,18} \right)\];
\[\left( {7;\,\,15} \right)\];
\[\left( {7;\, - 1} \right)\];
\[\left( {7;\, - 15} \right)\].
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[E\] đối xứng với \[C\] qua \[B \Rightarrow \]\[B\] là trung điểm đoạn thẳng \[EC\]
Do đó, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}5 = \frac{{{x_E} + 3}}{2}\\ - 4 = \frac{{{y_E} + 7}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = 7\\{y_E} = - 15\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {7; - 15} \right)\].
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( { - 1; - 3} \right)\). Tính \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
\(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 135^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ \);
\(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt 5 .\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ \].
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;\,\, - 1} \right),\,B\left( {5;\, - 3} \right)\) và \(C\) thuộc trục \(Oy\), trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) nằm trên trục \(Ox\). Tọa độ của điểm \(C\) là
\(\left( {0;\,\,4} \right)\);
\(\left( {0;\,\,2} \right)\);
\(\left( {2;\,\,0} \right)\);
\(\left( {4;\,\,0} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(C \in Oy \Rightarrow C\left( {0;\,\,c} \right)\), \(G \in Ox \Rightarrow G\left( {g;\,\,0} \right)\).
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}g = \frac{{1 + 5 + 0}}{3}\\0 = \frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right) + c}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g = 2\\c = 4\end{array} \right.\).
Vậy \(C\left( {0;\,\,4} \right)\).
Đường thẳng \(AB\) với \(A\left( {2;3} \right)\) và \(B\left( {3;5} \right)\) có một vectơ chỉ phương là
\(\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {5;8} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {0;2} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( { - 1;2} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(AB\) với \(A\left( {2;3} \right)\) và \(B\left( {3;5} \right)\) có một vectơ chỉ phương là:
\(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} = \left( {3 - 2;5 - 3} \right) = \left( {1;2} \right)\).
Đường thẳng \(d:4x - y + 2 = 0\) đi qua điểm nào sau đây ?
\(A\left( {1; - 2} \right)\);
\(B\left( {1;2} \right)\);
\(C\left( { - 1;2} \right)\);
\(D\left( { - 1; - 2} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Xét điểm \(D\left( { - 1; - 2} \right)\) ta có: \(4.\left( { - 1} \right) - \left( { - 2} \right) + 2 = 0\)
Do đó, điểm \(D\left( { - 1; - 2} \right)\) thuộc đường thẳng \(d:4x - y + 2 = 0\) hay đường thẳng \(d:4x - y + 2 = 0\) đi qua điểm \(D\left( { - 1; - 2} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(C\left( { - 1;2} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {0; - 1} \right)\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1t\\y = - 1 + 2t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2 + t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(C\left( { - 1;2} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {0; - 1} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2 - t\end{array} \right.\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {4; - 3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là
\(4x - 3y = 0\);
\(4x + 3y + 5 = 0\);
\(4x - 3y + 5 = 0\);
\(4x - 3y - 5 = 0\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;3} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {4; - 3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là:
\(4\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 5 = 0\).
Cho điểm \(C\left( {2;4} \right)\) và điểm \(D\left( { - 5;3} \right)\), phương trình tổng quát của đường thẳng \(CD\) là
\(7x + y + 18 = 0\);
\(x - 7y + 26 = 0\);
\(x - 7y - 18 = 0\);
\(7x + y = 0\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(CD\) đi qua hai điểm \(C\left( {2;4} \right)\) và \(D\left( { - 5;3} \right)\) nên nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {CD} = \left( { - 5 - 2;3 - 4} \right) = \left( { - 7; - 1} \right)\).
Do đó, \(CD\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;\,\, - 7} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(CD\) là:
\(1.\left( {x - 2} \right) - 7\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 7y + 26 = 0\).
Cho hai đường thẳng \({d_1}:ax + by + c = 0\) và \({d_2}:mx + ny + p = 0\), biết \({d_1}\,{\rm{v\`a }}\,{d_2}\)vuông góc với nhau, khẳng định nào sau đây là đúng ?
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\mx + ny + p = 0\end{array} \right.\) có vô số nghiệm;
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\mx + ny + p = 0\end{array} \right.\) vô nghiệm;
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\mx + ny + p = 0\end{array} \right.\) có duy nhất một nghiệm;
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\mx + ny + p = 0\end{array} \right.\) có hai nghiệm.
Đáp án đúng là: C
Cho hai đường thẳng \({d_1}:ax + by + c = 0\) và \({d_2}:mx + ny + p = 0\), biết \({d_1} \bot {d_2}\) hay \({d_1}\) cắt \({d_2}\) tại 1 điểm, do đó, hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by + c = 0\\mx + ny + p = 0\end{array} \right.\) có duy nhất một nghiệm.
Góc \(\alpha \) giữa hai đường thẳng \({d_1}:ax + by + c = 0\) và \({d_2}:mx + ny + p = 0\) được xác định bởi công thức nào dưới đây ?
\[\cos \alpha = \frac{{\left| {am + bn} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {{m^2} + {n^2}} }}\];
\[\cos \alpha = \frac{{\left| {am - bn} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {{m^2} + {n^2}} }}\];
\[\cos \alpha = \frac{{am + bn}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {{m^2} + {n^2}} }}\];
\[\cos \alpha = \frac{{am + bn}}{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} .\sqrt {{m^2} - {n^2}} }}\].
Đáp án đúng là: A
Góc \(\alpha \) giữa hai đường thẳng \({d_1}:ax + by + c = 0\) và \({d_2}:mx + ny + p = 0\) được xác định bởi công thức:
\[\cos \alpha = \frac{{\left| {am + bn} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sqrt {{m^2} + {n^2}} }}\].
Cho đường thẳng \(\Delta :3x + 2y + 1 = 0\) và điểm \(M\left( {1;\,\,1} \right)\), khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) là
\(\frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}\);
\( - \frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}\);
\(\frac{{\sqrt {13} }}{{13}}\);
\( - \frac{{\sqrt {13} }}{{13}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 + 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }} = \frac{{6\sqrt {13} }}{{13}}\).
Cho tam giác \(ABC\) biết \(A\left( {2;4} \right)\), \(B\left( {1;2} \right)\), \(C\left( {3;4} \right)\), khoảng cách từ điểm \(C\) đến đường thẳng \(AB\) là
\( - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\);
\(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\);
\(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\);
\( - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(B\left( {1;2} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 2;2 - 4} \right) = \left( { - 1; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là:
\(2\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y = 0\).
Khoảng cách từ điểm \(C\) đến đường thẳng \(AB\) là:
\(d\left( {C,AB} \right) = \frac{{\left| {2.3 - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
Giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:5x - y + 4 = 0\) và \({d_2}:x - y + 3 = 0\) là
\(M\left( {\frac{1}{4};\frac{{11}}{4}} \right)\);
\(M\left( { - \frac{1}{4};\frac{{11}}{4}} \right)\);
\(M\left( { - \frac{1}{4}; - \frac{{11}}{4}} \right)\);
\(M\left( {\frac{{10}}{4};\frac{{11}}{4}} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:5x - y + 4 = 0\) và \({d_2}:x - y + 3 = 0\) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}5x - y + 4 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x - y = - 4\\x - y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{4}\\y = \frac{{11}}{4}\end{array} \right.\).
Vậy giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) là \(M\left( { - \frac{1}{4};\frac{{11}}{4}} \right)\).
Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từ tập \[A = \left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5} \right\}\] sao cho mỗi số lập được luôn có mặt chữ số 3?
Gọi số tạo thành có dạng \[x = \overline {abc} \] với \[a,\,b,\,c\] đôi một khác nhau và lấy từ \[A\].
Chọn một vị trí \[a,\,b\] hoặc \[c\] cho số \[3\] có \[3\] cách chọn.
Chọn hai chữ số khác \[3\] từ \[A\] và sắp xếp vào hai vị trí còn lại của \[x\] có \[A_4^2\] cách chọn.
Theo quy tắc nhân có: \[3.A_4^2 = 36\] cách chọn.
Mỗi cách sắp xếp như trên cho ta một số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy có 36 số cần tìm.
Tìm số hạng chứa \[{x^2}\] trong khai triển \[{\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^{n + 1}}\] với \[x \ne 0\], biết \[n\] là số nguyên dương thỏa mãn \[3C_{n + 1}^2 + n{P_2} = 4A_n^2\].
Ta có: \[3C_{n + 1}^2 + n{P_2} = 4A_n^2\] (điều kiện \(n \ge 2,n \in \mathbb{N}\))
\[ \Leftrightarrow 3.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2\left( {n - 1} \right)!}} + 2n = 4.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}\]
\[ \Leftrightarrow 3.\frac{{\left( {n + 1} \right).n.\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} + 4n = 8.\frac{{n.\left( {n - 1} \right).\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}\]
\[ \Leftrightarrow 3n.\left( {n + 1} \right) + 4n = 8n.\left( {n - 1} \right)\]
\[ \Leftrightarrow 5{n^2} - 15n = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\\n = 3\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.\]
Với \[n = 3\], ta có:
\[{\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^{n + 1}} = {\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4}\]
\[ = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^4} + 4x.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + 6{x^2}.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 4{x^3}.\left( {\frac{1}{x}} \right) + {x^4}\]
\[ = \frac{1}{{{x^4}}} + 4.\frac{1}{{{x^2}}} + 6 + 4{x^2} + {x^4}\].
Vậy số hạng chứa \[{x^2}\] là: \[4{x^2}\].
Cho tam giác \(ABC\) với tọa độ đỉnh \(C\left( {4; - 1} \right)\), đường cao kẻ từ đỉnh \(A\) là \(\left( {{d_1}} \right):2x - 3y + 12 = 0\) và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh \(A\) là \(\left( {{d_2}} \right):2x + 3y = 0\). Lập phương trình tổng quát các đường thẳng \(AB,AC,BC\).
Vì \(BC\) vuông góc với \(\left( {{d_1}} \right)\) nên đường thẳng \(BC\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {3;2} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(BC\) là: \(3\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 10 = 0\).
Điểm \(A\) là giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) nên ta có tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + 12 = 0\\2x + 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;2} \right)\).
Đường thẳng \(AC\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AC} = \left( {4 + 3; - 1 - 2} \right) = \left( {7; - 3} \right)\) là một vectơ chỉ phương, do đó, nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{AC}}} = \left( {3;7} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(AC\) là:
\(3\left( {x + 3} \right) + 7\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 7y - 5 = 0\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), khi đó điểm \(M\) là giao điểm của \({d_2}\) và \(BC\)
Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y - 10 = 0\\2x + 3y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 4\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {6; - 4} \right)\).
Do \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2.6 - 4 = 8\\{y_B} = 2.( - 4) - ( - 1) = - 7\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {8; - 7} \right)\).
Đường thẳng \(AB\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {11; - 9} \right)\) là vectơ chỉ phương và nhận vectơ \(\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {9;11} \right)\) là vectơ pháp tuyến.
Do đó, phương trình của đường thẳng \(AB\) là:
\(9\left( {x - 8} \right) + 11\left( {y + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow 9x + 11y + 5 = 0\).
