Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 8

Đáp án đúng là: D

Ta có

\[{\left( {a + 2b} \right)^5}\, = \,C_5^0.{a^5} + C_5^1.{a^4}.\left( {2b} \right) + C_5^2.{a^3}.{\left( {2b} \right)^2} + C_5^3.{a^2}.{\left( {2b} \right)^3} + C_5^4.a.{\left( {2b} \right)^4} + C_5^5.{\left( {2b} \right)^5}\]

\( = {a^5} + 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} + 32{b^5}\)

Suy ra hệ số của số hạng chứa \({a^3}{b^2}\) trong khai triển trên là: 40.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(AB = \sqrt {{{\left( { - 2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {5 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}}  = \sqrt {61} \).

Đáp án đúng là: B

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta có vectơ \(\overrightarrow a  =  - 2\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j \). Vậy \(\overrightarrow a  = \left( { - 2;\,\,4} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(\overrightarrow m  = 3\overrightarrow u  - 2\overrightarrow v  = 3\left( {1;\,\, - 3} \right) - 2\left( { - 2;\,\,5} \right) = \left( {7;\,\, - 19} \right)\).

Suy ra \(a = 7,\,\,b =  - 19\). Khi đó \(S = {a^2} + {b^2} = {7^2} + {\left( { - 19} \right)^2} = 410\).

Đáp án đúng là: B

\(P\) là trung điểm của \(MN\) khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{5 + x}}{2} = x - 4\\\frac{{3 + y}}{2} = y + 1\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 + x = 2x - 8\\3 + y = 2y + 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 13\\y = 1\end{array} \right.\).

Vậy \(x = 13;\,\,y = 1\).

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng \(d:5x + 3y - 8 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {5;\,\,3} \right)\).

Do đó, nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {3;\,\, - 5} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 6;\,\, - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\). Do đó, đường thẳng \(AB\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;\,\, - 6} \right)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là:

\(1\left( {x - 4} \right) - 6\left( {y + 2} \right) = 0\) hay \(x - 6y - 16 = 0\).

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(d:x + 2y - 6 = 0\) nên đường thẳng này có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;\,\,2} \right)\). Do đó đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {2;\,\, - 1} \right)\). 

Lại có điểm \(A\left( {0;\,\,3} \right) \in d\). Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng \({d_1}:2x + 3y - 19 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\,\,3} \right)\) và đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;\,\,5} \right)\) nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {5;\, - 2} \right)\).

Ta thấy \(\frac{2}{5} \ne \frac{3}{{ - 2}}\) và \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 2.5 + 3.\left( { - 2} \right) = 4 \ne 0\).

Vậy \[{d_1}\] và \({d_2}\) cắt nhau và không vuông góc với nhau.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 - 8.1 + 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {65} }}\). 

Đáp án đúng là: D

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng \({d_1}:x + \sqrt 3 y = 0\) có một vectơ pháp tuyến  là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;\,\sqrt 3 } \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:x + 10 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;\,\,0} \right)\).

Ta có: \(\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + \sqrt 3 .0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{2}\). Do đó, \(\varphi  = 60^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Do \(BH \bot AC\) nên đường cao \(BH\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {CA}  = \left( {5;\,\, - 3} \right)\).

Phương trình tổng quát của đường cao \(BH\):

\(5\left( {x - 4} \right) - 3\left( {y - 5} \right) = 0\) hay \(5x - 3y - 5 = 0\).

Để chọn một đội hình ra sân gồm 11 cầu thủ sao cho Quang Hải và Đức Chinh không cùng có mặt có thể thực hiện theo hai phương án sau:

+ Phương án 1: Chọn Quang Hải hoặc Đức Chinh có 2 cách

Chọn thủ môn có \[C_2^1\] cách

Chọn 9 cầu thủ còn lại có \[C_{26}^9.\]

Theo quy tắc nhân, ta có \[2.C_2^1.C_{26}^9\] cách.

+ Phương án 2: Cả hai đều không ra sân

Chọn thủ môn có \[C_2^1\] cách

Chọn 10 cầu thủ còn lại có \[C_{26}^{10}\]

Theo quy tắc nhân, ta có \[C_2^1.C_{26}^{10}\] cách.

Vậy số cách chọn cần tìm là \[2.C_2^1.C_{26}^9 + C_2^1.C_{26}^{10}\] cách.

a) Ta có \[\overrightarrow {MA}  = \left( { - 2 - x;1 - y} \right)\] và \[\overrightarrow {MB}  = \left( {4 - x;3 - y} \right)\]

Do đó \[\overrightarrow u  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \left( {2 - 2x;4 - 2y} \right)\] và \[\overrightarrow v  = \overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  = \left( { - 6; - 2} \right)\].

b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{ - 2 + 4}}{2} = 1\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OI}  = \left( {1;2} \right)\).

Hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {OI} \) cùng phương \( \Leftrightarrow \overrightarrow u  = k\overrightarrow {OI} ,\,\,\,k \in \mathbb{R},k \ne 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - 2x = k.1\\4 - 2y = k.2\end{array} \right. \Rightarrow 4 - 2y = 2\left( {2 - 2x} \right) \Leftrightarrow y = 2x\)

Vậy tập hợp các điểm \(M\) là đường thẳng \[\left( d \right):{\rm{ }}y = 2x\].