Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 8
24 câu hỏi
Trong một hộp bút có 2 bút mực đỏ, 3 bút mực đen và 2 bút chì. Số cách để lấy một cái bút là
12;
6;
2;
7.
Đáp án đúng là: D
Số cách lấy một cái bút trong hộp là \[2 + 3 + 2 = 7\] cách.
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số đều chẵn?
99;
50;
20;
10.
Đáp án đúng là: C
Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {ab} \]
Vì \(a,b\) đều là số chẵn nên
\[a\] có \(4\) cách chọn (vì \(a\) được chọn từ một trong bốn số \(2;4;6;8\))
\[b\] có \(5\) cách chọn (vì \(b\) được chọn từ một trong năm số \(0;2;4;6;8\))
Như vậy, ta có \[4.5 = 20\] số cần tìm.
Có bao nhiêu cách sắp 18 thí sinh vào một phòng thi gồm có 18 bàn, mỗi bàn có một thí sinh?
18;
1;
\({18^{18}}\);
\(18!\).
Đáp án đúng là: D
Số cách sắp xếp là \[{P_{18}} = 18!\].
Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từng đôi một?
20;
216;
720;
120.
Đáp án đúng là: D
Lấy ra 3 số từ 6 số và sắp xếp có \[A_6^3 = 120\] số.
Trong một toa tàu có hai ghế băng đối mặt nhau, mỗi ghế có bốn chỗ ngồi. Tổng số tám hành khách, thì ba người muốn ngồi nhìn theo hướng tàu chạy, còn hai người thì muốn ngồi ngược lại, ba người còn lại không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ để thỏa mãn các yêu cầu của hành khách?
1 728;
864;
288;
432.
Đáp án đúng là: A
Số cách sắp xếp ba hành khách ngồi theo hướng tàu chạy là \[A_4^3.\]
Số cách sắp xếp hai hành khách ngồi ngược hướng tàu chạy là \[A_4^2.\]
Số cách sắp xếp ba hành khách còn lại là \[3!.\]
Vậy cách xếp chỗ để thỏa mãn các yêu cầu của hành khách là \[A_4^3.A_4^2.3! = 1728\] cách.
Một hộp có 3 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi, số cách chọn là
12;
220;
1 320;
60.
Đáp án đúng là: B
Có tất cả 3 + 4 + 5 = 12 viên bi, chọn 3 viên bi trong 12 viên bi có \(C_{12}^3 = 220\) cách chọn.
Một tổ có 6 học sinh nam và 9 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 6 học sinh đi lao động, trong đó có đúng 2 học sinh nam?
\(C_6^2 + C_9^4\);
\(C_6^2.C_{13}^4\);
\(A_6^2.A_9^4\);
\(C_6^2.C_9^4\).
Đáp án đúng là: D
Chọn 2 học sinh nam, có \(C_6^2\) cách.
Chọn 4 học sinh nữ, có \(C_9^4\) cách.
Vậy có \(C_6^2.C_9^4\) cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong hội nghị học sinh giỏi của trường, khi ra về các em bắt tay nhau. Biết rằng có 120 cái bắt tay và giả sử không em nào bị bỏ sót cũng như bắt tay không lặp lại 2 lần. Số học sinh dự hội nghị thuộc khoảng nào sau đây?
\[\left( {9;14} \right)\];
\[\left( {13;18} \right)\];
\[\left( {17;22} \right)\];
\[\left( {21;26} \right)\].
Đáp án đúng là: B
Gọi số học sinh tham gia hội nghị là \(n\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Theo đề bài ta có
\[C_n^2 = 120 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 120 \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 240\]
\[ \Leftrightarrow {n^2} - n - 240 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 16\\n = - 15\end{array} \right. \Rightarrow n = 16\].
Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton của biểu thức \[{\left( {3x - y} \right)^4}\].
\[81{x^4} - 108{x^3}y + 54{x^2}{y^2} - 12x{y^3} + {y^4}\];
\[81{x^4} + 108{x^3}y + 54{x^2}{y^2} + 12x{y^3} + {y^4}\];
\[81{x^4} + 108{x^3}y - 54{x^2}{y^2} + 12x{y^3} - {y^4}\];
\[{x^4} - 108{x^3}y + 54{x^2}{y^2} - 12x{y^3} + {y^4}\].
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\[{\left( {3x - y} \right)^4} = {\left( {3x} \right)^4} + 4.{\left( {3x} \right)^3}.\left( { - y} \right) + 6.{\left( {3x} \right)^2}.{\left( { - y} \right)^2} + 4.3x.{\left( { - y} \right)^3} + {\left( { - y} \right)^4}\]
\[ = 81{x^4} - 108{x^3}y + 54{x^2}{y^2} - 12x{y^3} + {y^4}\].
Hệ số của số hạng chứa \({a^3}{b^2}\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {a + 2b} \right)^5}\) là
160;
80;
20;
40.
Đáp án đúng là: D
Ta có
\[{\left( {a + 2b} \right)^5}\, = \,C_5^0.{a^5} + C_5^1.{a^4}.\left( {2b} \right) + C_5^2.{a^3}.{\left( {2b} \right)^2} + C_5^3.{a^2}.{\left( {2b} \right)^3} + C_5^4.a.{\left( {2b} \right)^4} + C_5^5.{\left( {2b} \right)^5}\]
\( = {a^5} + 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} + 32{b^5}\)
Suy ra hệ số của số hạng chứa \({a^3}{b^2}\) trong khai triển trên là: 40.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {3;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( { - 2;\,5} \right)\). Độ dài đoạn thẳng \(AB\) bằng
\(\sqrt {61} \);
\[\sqrt {17} \];
\(\sqrt {41} \);
\(2\sqrt 5 \).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(AB = \sqrt {{{\left( { - 2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {5 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {61} \).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho vectơ \(\overrightarrow a = - 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \). Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là
\(\left( { - 1;\,\,2} \right)\);
\(\left( { - 2;4} \right)\);
\(\left( {2;\,4} \right)\);
\(\left( { - 2; - 4} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta có vectơ \(\overrightarrow a = - 2\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \). Vậy \(\overrightarrow a = \left( { - 2;\,\,4} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho các vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;\,\, - 3} \right),\,\,\overrightarrow v = \left( { - 2;\,\,5} \right)\). Gọi \(\overrightarrow m = \left( {a;\,\,b} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow m = 3\overrightarrow u - 2\overrightarrow v \). Khi đó \(S = {a^2} + {b^2}\) bằng
2;
140;
410;
144.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\overrightarrow m = 3\overrightarrow u - 2\overrightarrow v = 3\left( {1;\,\, - 3} \right) - 2\left( { - 2;\,\,5} \right) = \left( {7;\,\, - 19} \right)\).
Suy ra \(a = 7,\,\,b = - 19\). Khi đó \(S = {a^2} + {b^2} = {7^2} + {\left( { - 19} \right)^2} = 410\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho các điểm \(M\left( {5;\,\,3} \right),N\left( {x;\,\,y} \right),P\left( {x - 4;y + 1} \right).\) Xác định \(x,\,y\) để \(P\) là trung điểm của \(MN\).
\(x = 1;\,\,y = 13\);
\(x = 13;\,y = 1\);
\(x = - 13;\,y = 1\);
\(x = - 1;\,y = 13\).
Đáp án đúng là: B
\(P\) là trung điểm của \(MN\) khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{5 + x}}{2} = x - 4\\\frac{{3 + y}}{2} = y + 1\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 + x = 2x - 8\\3 + y = 2y + 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 13\\y = 1\end{array} \right.\).
Vậy \(x = 13;\,\,y = 1\).
Cho đường thẳng \(d:5x + 3y - 8 = 0\). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) có tọa độ là
\[\left( {3;\,\,5} \right)\];
\(\left( { - 5;\,\, - 3} \right)\);
\(\left( {5;\,\,3} \right)\);
\(\left( {3;\, - 5} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \(d:5x + 3y - 8 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {5;\,\,3} \right)\).
Do đó, nó có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {3;\,\, - 5} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {4;\, - 2} \right)\) và \(B\left( { - 2;\, - 3} \right)\) là
\(6x + y - 22 = 0\);
\(x - 6y - 16 = 0\);
\(6x - y - 22 = 0\);
\(x - 6y + 16 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;\,\, - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\). Do đó, đường thẳng \(AB\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;\,\, - 6} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là:
\(1\left( {x - 4} \right) - 6\left( {y + 2} \right) = 0\) hay \(x - 6y - 16 = 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:x + 2y - 6 = 0\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 3t\end{array} \right.\) ;
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(d:x + 2y - 6 = 0\) nên đường thẳng này có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;\,\,2} \right)\). Do đó đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\, - 1} \right)\).
Lại có điểm \(A\left( {0;\,\,3} \right) \in d\). Vậy phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\).
Cho hai đường thẳng \({d_1}:2x + 3y - 19 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\[{d_1}\] và \({d_2}\) song song với nhau;
\[{d_1}\] và \({d_2}\) trùng nhau;
\[{d_1}\] và \({d_2}\) cắt nhau và không vuông góc với nhau;
\[{d_1}\] và \({d_2}\) vuông góc với nhau.
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \({d_1}:2x + 3y - 19 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\,\,3} \right)\) và đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;\,\,5} \right)\) nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5;\, - 2} \right)\).
Ta thấy \(\frac{2}{5} \ne \frac{3}{{ - 2}}\) và \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 2.5 + 3.\left( { - 2} \right) = 4 \ne 0\).
Vậy \[{d_1}\] và \({d_2}\) cắt nhau và không vuông góc với nhau.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), khoảng cách từ điểm \(M\left( {5;\,\,1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :x - 8y + 8 = 0\) bằng
\(\frac{1}{{13}}\);
\(\frac{5}{{\sqrt {65} }}\);
\(\frac{5}{{\sqrt {26} }}\);
\(\frac{1}{5}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 - 8.1 + 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {65} }}\).
Góc tạo bởi hai đường thẳng \({d_1}:x + \sqrt 3 y = 0\) và \({d_2}:x + 10 = 0\) bằng
\(30^\circ \);
\(45^\circ \);
\(90^\circ \);
\(60^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng đã cho.
Đường thẳng \({d_1}:x + \sqrt 3 y = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;\,\sqrt 3 } \right)\).
Đường thẳng \({d_2}:x + 10 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\,\,0} \right)\).
Ta có: \(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + \sqrt 3 .0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \frac{1}{2}\). Do đó, \(\varphi = 60^\circ \).
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;\,\, - 1} \right),\,\,B\left( {4;\,5} \right),\,\,C\left( { - 3;\,\,2} \right)\). Phương trình tổng quát đường cao \(BH\) của tam giác \(ABC\) là
\(5x - 3y - 5 = 0\);
\(3x + 5y - 37 = 0\);
\(3x - 5y - 13 = 0\);
\(3x + 5y - 20 = 0\).
Đáp án đúng là: A
Do \(BH \bot AC\) nên đường cao \(BH\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \overrightarrow {CA} = \left( {5;\,\, - 3} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường cao \(BH\):
\(5\left( {x - 4} \right) - 3\left( {y - 5} \right) = 0\) hay \(5x - 3y - 5 = 0\).
Đội tuyển U23 Việt Nam tham dự giải U23 Châu Á gồm 2 thủ môn và 28 cầu thủ (hậu vệ, trung vệ, tiền vệ và tiền đạo). Trong số 28 cầu thủ có Quang Hải và Đức Chinh. Huấn luyện viên Park Hang Seo có bao nhiêu cách chọn một đội hình ra sân gồm 11 cầu thủ sao cho Quang Hải và Đức Chinh không cùng có mặt?
Để chọn một đội hình ra sân gồm 11 cầu thủ sao cho Quang Hải và Đức Chinh không cùng có mặt có thể thực hiện theo hai phương án sau:
+ Phương án 1: Chọn Quang Hải hoặc Đức Chinh có 2 cách
Chọn thủ môn có \[C_2^1\] cách
Chọn 9 cầu thủ còn lại có \[C_{26}^9.\]
Theo quy tắc nhân, ta có \[2.C_2^1.C_{26}^9\] cách.
+ Phương án 2: Cả hai đều không ra sân
Chọn thủ môn có \[C_2^1\] cách
Chọn 10 cầu thủ còn lại có \[C_{26}^{10}\]
Theo quy tắc nhân, ta có \[C_2^1.C_{26}^{10}\] cách.
Vậy số cách chọn cần tìm là \[2.C_2^1.C_{26}^9 + C_2^1.C_{26}^{10}\] cách.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho 3 điểm \[A\left( { - 2;1} \right),{\rm{ }}B\left( {4;3} \right),{\rm{ }}M\left( {x;y} \right)\].
a) Tìm tọa độ các vectơ \[\overrightarrow u = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} ,{\rm{ }}\overrightarrow v = \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} \].
b) Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn \(AB\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho vectơ \(\overrightarrow u \) và vectơ \(\overrightarrow {OI} \) cùng phương.
a) Ta có \[\overrightarrow {MA} = \left( { - 2 - x;1 - y} \right)\] và \[\overrightarrow {MB} = \left( {4 - x;3 - y} \right)\]
Do đó \[\overrightarrow u = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \left( {2 - 2x;4 - 2y} \right)\] và \[\overrightarrow v = \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \left( { - 6; - 2} \right)\].
b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{ - 2 + 4}}{2} = 1\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OI} = \left( {1;2} \right)\).
Hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {OI} \) cùng phương \( \Leftrightarrow \overrightarrow u = k\overrightarrow {OI} ,\,\,\,k \in \mathbb{R},k \ne 0\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - 2x = k.1\\4 - 2y = k.2\end{array} \right. \Rightarrow 4 - 2y = 2\left( {2 - 2x} \right) \Leftrightarrow y = 2x\)
Vậy tập hợp các điểm \(M\) là đường thẳng \[\left( d \right):{\rm{ }}y = 2x\].
Cho đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình: \(x + 3y - 3 = 0\). Viết phương trình đường thẳng qua \(A\left( { - 2;\,0} \right)\) và tạo với \(\left( d \right)\) một góc \(45^\circ \).
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm; \(\overrightarrow n = \left( {A;\,\,B} \right)\) là VTPT của \(\Delta \) \(\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)\).
Đường thẳng \(\left( d \right)\): \(x + 3y - 3 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1;\,\,3} \right)\).
Để \(\Delta \) tạo với \(\left( d \right)\) một góc \(45^\circ \) thì:
\(\cos 45^\circ = \frac{{\left| {A + 3B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow 2{\left( {A + 3B} \right)^2} = 10\left( {{A^2} + {B^2}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 2B\\B = - 2A\end{array} \right.\) .
+ Với \(A = 2B\), chọn \(B = 1 \Rightarrow A = 2\) ta được phương trình \(\Delta :\,2x + y + 4 = 0\).
+ Với \(B = - 2A\), chọn \(A = 1 \Rightarrow B = - 2\) ta được phương trình \(\Delta :\,x - 2y + 2 = 0\).
