Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4
21 câu hỏi
Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo một trong ba phương án. Phương án A có 3 cách thực hiện, phương án B có 4 cách thực hiện, phương án C có 7 cách thực hiện (các cách thực hiện của cả ba phương án là khác nhau đôi một). Số cách thực hiện công việc đó là:
14 cách.
19 cách.
84 cách.
31 cách.
Đáp án đúng là: A
Theo quy tắc cộng, ta có số cách thực hiện công việc đó là: \(3 + 4 + 7 = 14\) cách.
Một nhóm học sinh có 10 người. Số cách chọn 3 học sinh trong nhóm để làm 3 công việc là tưới cây, lau bàn và nhặt rác, mỗi người làm một công việc là
1000.
30.
\(C_{10}^3\).
\(A_{10}^3\).
Đáp án đúng là: D
Số cách chọn là \(A_{10}^3\) cách.
Với \(k,n\) là các số tự nhiên và \(1 \le k \le n\), công thức nào sau đây là sai?
\(A_n^n = {P_n}\).
\(n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n\).
\(A_n^k = (n - k + 1) \cdot (n - k) \cdot \ldots \cdot n\).
\({P_n} = C_n^n\).
Đáp án đúng là: D
\({P_n} = C_n^n\) là đáp án sai.
Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là:
\(C_7^3\).
\(A_7^3\).
\(\frac{{7!}}{{3!}}\).
7.
Đáp án đúng là: A
Số tập hợp con có 3 phần tử của một tập hợp có 7 phần tử là: \(C_7^3\).
Hệ số của \({x^2}\) trong khai triển \({(1 + 2x)^4}\) là:
18.
24.
28.
32.
Đáp án đúng là: B
Số hạng chứa \({x^2}\) là \(C_4^2{(2x)^2} = C_4^2 \cdot {2^2}{x^2} = 24{x^2}\). Vậy hệ số cần tìm là 24.
Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \). Tọa độ vectơ \(\overrightarrow u \) là
\(\overrightarrow u = \left( {\frac{1}{2};5} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( { - 1;10} \right)\).
\(\overrightarrow u = \left( {1; - 10} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Tọa độ \(\overrightarrow u = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = 4 + t\end{array} \right.\). Trong các vectơ sau, vectơ nào là vectơ pháp tuyến của \(d\)?
\(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 2;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3;6} \right)\).
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {4;2} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 2;1} \right)\).
Suy ra đường thẳng \(d\) nhận vectơ \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3;6} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.
Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng \(\Delta :2x + 3y - 1 = 0\)?
\(x - 2y + 5 = 0\).
\(2x + 3y + 1 = 0\).
\(2x - 3y + 3 = 0\).
\(4x - 6y - 2 = 0\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;3} \right)\).
Ta thấy đường thẳng ở đáp án B có cùng vectơ pháp tuyến với đường thẳng \(\Delta \).
Mặt khác đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( { - 1;1} \right)\) mà điểm \(M\left( { - 1;1} \right)\) không thuộc đường thẳng \(2x + 3y + 1 = 0\).
Do đó đường thẳng \(\Delta :2x + 3y - 1 = 0\) song song với đường thẳng \(2x + 3y + 1 = 0\).
Một người có 7 cái áo trong đó có 4 cái áo trắng và 5 quần dài trong đó có 2 quần xanh. Số cách chọn một bộ quần áo sao cho đã chọn áo trắng thì không chọn quần xanh là
35 cách.
27 cách.
12 cách.
26 cách.
Đáp án đúng là: B
Trường hợp 1: Chọn 1 áo trắng có 4 cách.
Chọn 1 quần không phải màu xanh có 3 cách.
Do đó có \(4 \cdot 3 = 12\) cách chọn 1 áo trắng và 1 quần không phải màu xanh.
Trường hợp 2: Chọn 1 áo không phải màu trắng có 3 cách.
Chọn 1 quần bất kì có 5 cách.
Do đó có \(3 \cdot 5 = 15\) cách chọn 1 áo không phải màu trắng và 1 quần.
Theo quy tắc cộng, ta có \(12 + 15 = 27\) cách chọn 1 áo và 1 quần thoả mãn.
Số các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau lập từ tập \(\{ 0;1;2;3;4;5;6;7\} \) sao cho cả hai chữ số 1 và 5 đồng thời có mặt là
9600.
\(A_8^6\).
\(C_8^6\).
\(A_6^2 \cdot A_6^4\).
Đáp án đúng là: A
Xét các số thoả mãn điều kiện có mặt chữ số 1 và 5.
Trường hợp 1: Số có dạng \(\overline {1abcde} \).
Số cách chọn vị trí cho chữ số 5 là 5.
Chọn 4 số trong 6 số còn lại và cho vào 4 vị trí còn lại có \(A_6^4\) cách.
Vậy có \(5 \cdot A_6^4 = 1800\) số.
Trường hợp 2: Số có dạng \(\overline {5abcde} \). Tương tự cũng có \(5 \cdot A_6^4 = 1800\) số.
Trường hợp 3: Số 1 và số 5 không ở vị trí đầu tiên.
Có \(A_5^2\) cách chọn vị trí cho số 1 và số 5.
Chữ số đầu tiên khác 0 và chọn trong \(\{ 2;3;4;6;7\} \) nên có 5 cách chọn.
Chọn 3 số trong 5 số cho 3 vị trí còn lại có \(A_5^3\) cách.
Do đó tạo được \(A_5^2 \cdot 5 \cdot A_5^3 = 6000\) số. Vậy có \(1800 + 1800 + 6000 = 9600\) số.
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) cho các điểm \(A(1;3),B(4;0)\) và \(C(2; - 5)\). Toạ độ điểm \(M\) thoả mãn \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} \) là
\((1;18)\).
\((1; - 18)\).
\(( - 18;1)\).
\(( - 1;18)\).
Đáp án đúng là: B
Gọi điểm \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \). Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 1\\{y_M} = - 18\end{array} \right.\). Vậy \(M\left( {1; - 18} \right)\).
Tìm \(m\) để 2 đường thẳng \({\Delta _1}:2x - y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:4x - my + 7 = 0\) vuông góc với nhau?
\(m = 2\).
\(m = - 2\).
\(m = - 8\).
\(m = 8\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4; - m} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _1};{\Delta _2}\).
Để \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\) thì \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\)\( \Leftrightarrow 2.4 + \left( { - 1} \right).\left( { - m} \right) = 0 \Leftrightarrow m = - 8\).
Cho nhị thức \({\left( {2x + 2} \right)^4}\).
a) Hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển nhị thức theo lũy thừa giảm dần của \(x\)là \(96\).
b) Khai triển nhị thức ta được \(16{x^4} + 64{x^3} + 97{x^2} + 64x + 16\).
c) Số hạng chứa \({x^2}\) là \(64{x^2}\).
d) Tổng của tất cả các hệ số của khai triển là \(259\).
a) Đ, b) S, c) S, d) S
a) Hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển nhị thức theo lũy thừa giảm dần của \(x\)là \({6.2^2}{.2^2} = 96\).
b) Ta có \({\left( {2x + 2} \right)^4} = {\left( {2x} \right)^4} + 4.{\left( {2x} \right)^3}.2 + 6.{\left( {2x} \right)^2}{.2^2} + 4.\left( {2x} \right){.2^3} + {2^4}\)
\( = 16{x^4} + 64{x^3} + 96{x^2} + 64x + 16\).
c) Số hạng chứa \({x^2}\) là \(96{x^2}\).
d) Tổng của tất cả các hệ số của khai triển là \(16 + 64 + 96 + 64 + 16 = 256\).
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:4x - 5y + 8 = 0\) và \({\Delta _2}:10x + 8y - 4 = 0\).
a) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 5} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 5; - 4} \right)\).
b) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.
c) Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) nhỏ hơn 60 độ.
d) Điểm \(M\) thuộc giao điểm của \({\Delta _1}\) và trục hoành. Khoảng cách từ điểm \(M\) đến \({\Delta _2}\) là \(d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{a}{{\sqrt b }}\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)\) sao cho \(a,b\) là phân số tối giản. Khi đó \(\sqrt {a + b} > 7\).
a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {4; - 5} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 5; - 4} \right)\).
b) Có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 4.\left( { - 5} \right) + \left( { - 5} \right).\left( { - 4} \right) = 0\). Do đó \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).
c) Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {4.\left( { - 5} \right) + \left( { - 5} \right).\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 0 \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 90^\circ \).
d) Ta có \(M\left( { - 2;0} \right)\).
Khi đó \(d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {10.\left( { - 2} \right) + 8.0 - 4} \right|}}{{\sqrt {{{10}^2} + {8^2}} }} = \frac{{24}}{{2\sqrt {41} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {41} }}\).
Suy ra \(a = 12;b = 41\). Suy ra \(\sqrt {12 + 41} = \sqrt {53} > 7\).
Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có duy nhất một bạn tên An. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 em đi trực trong đó phải có An?
Chọn bạn An: có 1 cách. Chọn 3 bạn trong 11 bạn còn lại: có \(C_{11}^3\) cách.
Vậy số cách chọn thỏa mãn là \(1.C_{11}^3 = 165\).
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(3;1),B(2; - 6)\). Điểm \(M\) thuộc trục hoành và \(\widehat {ABM} = 90^\circ \). Tìm hoành độ của điểm \(M\).
Trả lời: −40
Do \(M \in Ox\) nên giả sử \(M(m;0)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 1; - 7),\overrightarrow {BM} = (m - 2;6)\).
Vì \(\widehat {ABM} = 90^\circ \) nên \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BM} = 0 \Leftrightarrow ( - 1)(m - 2) + ( - 7) \cdot 6 = 0 \Leftrightarrow m = - 40\). Vậy \(M( - 40;0)\).
Hoành độ của điểm \(M\) là −40.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\). Từ tập hợp \(A\) có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khách nhau sao cho các số này lẻ và không chia hết cho 5. Khi đó, tổng các chữ số của kết quả bằng bao nhiêu?
Trả lời: 9
Gọi số cần tìm là \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \).
Vì số cần tìm là số lẻ và không chia hết cho 5. Suy ra \({a_8}\) có 3 cách chọn.
Các số còn lại sẽ có \(7.6.5.4.3.2.1 = 5040\) cách.
Do đó số cách lập là: \(5040.3 = 15120\).
Do đó tổng các chữ số của kết quả bằng \(1 + 5 + 1 + 2 + 0 = 9\).
Gọi \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(A_n^3 + 2A_n^2 = 48\). Tìm hệ số của \({x^3}\) trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({(1 - 3x)^n}\).
Trả lời: −108
Điều kiện :\(n \ge 3;n \in N\)
\(A_n^3 + 2A_n^2 = 48 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{(n - 3)!}} + 2 \cdot \frac{{n!}}{{(n - 2)!}} = 48\)\( \Leftrightarrow n(n - 1)(n - 2) + 2.n(n - 1) = 48 \Leftrightarrow {n^3} - {n^2} - 48 = 0 \Leftrightarrow n = 4\) (thỏa)
Ta có \({(1 - 3x)^4} = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} {( - 3x)^k} = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k} {( - 3)^k}{x^k}\).
Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển trên ứng với \(k = 3\).
Vậy hệ số của \({x^3}\) trong khai triển \({(1 - 3x)^4}\) là \(C_4^3 \cdot {( - 3)^3} = - 108\).
Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ?
Có \(10!\) cách sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ.
Trong mặt phẳng gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\), hai tàu chuyển động đều, cùng xuất phát từ điểm \(O\). Sau 2 giờ, tàu một di chuyển đến vị trí điểm \(B\left( {15;20} \right)\), tàu hai di chuyển đến vị trí điểm \(C\left( {30; - 40} \right)\) (đơn vị trục tọa độ là km, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Khoảng cách giữa hai tàu sau 2 giờ là bao nhiêu km? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {15; - 60} \right)\).
Khoảng cách giữa hai tàu sau 2 giờ là \(BC = \sqrt {{{15}^2} + {{\left( { - 60} \right)}^2}} \approx 61,85\) (km).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(M( - 1;2)\)và 2 đường thẳng\({d_1}:x + 2y + 1 = 0;\,{d_2}:2x + y + 2 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \(M( - 1;2)\)và cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại \(A,B\)sao cho \(MA = 2MB\).
+ Ta có: \(\Delta \cap {d_1} = A \Rightarrow A \in {d_1} \Rightarrow A\left( { - 1 - 2a;a} \right)\).
\(\Delta \cap {d_2} = B \Rightarrow B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {b; - 2 - 2b} \right)\).
+ Suy ra\(\overrightarrow {MA} = ( - 2a;a - 2);\overrightarrow {MB} = (b + 1; - 2b - 4)\).
+ đường thẳng \(\Delta \)qua \(M( - 1;2)\)và cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại \(A,B\) nên\(M,A,B\) thẳng hàng.
Lại có \(MA = 2MB\)suy ra\[\left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} \\\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \end{array} \right.\].
+ \[\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a = 2(b + 1)\\a - 2 = 2( - 2b - 4)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b = - \frac{5}{3}\end{array} \right.\] .
Suy ra \(A\left( { - \frac{7}{3};\frac{2}{3}} \right);B\left( { - \frac{5}{3};\frac{4}{3}} \right)\). Suy ra phương trình đường thẳng \[\Delta :x - y + 3 = 0\] .
+ \[\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a = - 2(b + 1)\\a - 2 = - 2( - 2b - 4)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 3\end{array} \right.\] .
Suy ra \(A\left( {3; - 2} \right);B\left( { - 3;4} \right)\). Suy ra phương trình đường thẳng \[\Delta :x + y - 1 = 0\] .
