Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 3
21 câu hỏi
Giả sử một công việc được chia thành hai công đoạn. Công đoạn thứ nhất có 2 cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có 6 cách thực hiện công đoạn thứ hai. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo bao nhiêu cách?
4 cách.
8 cách.
12 cách.
40 cách.
Đáp án đúng là: C
Theo quy tắc nhân ta có công việc đó thực hiện theo \(2.6 = 12\) cách.
Với \(k,n\) là các số tự nhiên và \(1 \le k \le n\), công thức nào sau đây là đúng?
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).
\(A_n^k = \frac{{k!}}{{n!}}\).
\(A_n^k = \frac{{(n - k)!}}{{k!}}\).
Đáp án đúng là: B
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).
Cho \(k,n\) là các số nguyên dương thoả mãn \(n \ge k\). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?
\(A_n^k = n(n - 1) \ldots (n - k + 1)\).
\(A_n^k = n(n - 1) \ldots k\).
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}\).
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{k!}}\).
Đáp án đúng là: A
\(A_n^k = n(n - 1) \ldots (n - k + 1)\).
Cho tập hợp \(A\) có \(n\) phần tử ( \(n \ge 1\)) và số nguyên dương \(k\) thoả mãn \(k \le n\). Một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:
Tất cả kết quả của việc lấy \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.
Tất cả tập con gồm \(k\) phần tử được lấy ra từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\).
Mỗi kết quả của việc lấy \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.
Mỗi tập con gồm \(k\) phần tử được lấy ra từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\).
Đáp án đúng là: D
Mỗi tập con gồm \(k\) phần tử được lấy ra từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử .
Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({(x + 2)^5}\) là:
\( - 8\).
40.
80.
10.
Đáp án đúng là: D
Số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({(x + 2)^5}\) là \(5 \cdot {x^4} \cdot 2 = 10{x^4}\).
Vậy hệ số của \({x^4}\) là 10.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tìm tọa tọa độ của \(\overrightarrow i \).
\(\overrightarrow i = \left( {0;1} \right)\).
\(\overrightarrow i = \left( { - 1;0} \right)\).
\(\overrightarrow i = \left( {0;0} \right)\).
\(\overrightarrow i = \left( {1;0} \right)\).
Chọn C
Cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\). Một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là:
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;1} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 5;4} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {4;5} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;3} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 5;4} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
Góc \(\varphi \) giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) được xác định theo công thức
\(\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} + \sqrt {a_1^2 + b_1^2} }}\).
\(\cos \varphi = \sqrt {\frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \).
\(\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).
\(\cos \varphi = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).
Đáp án đúng là: C
\(\cos \varphi = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} \sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).
Trên giá sách có 5 quyển sách Ngữ văn khác nhau, 7 quyển sách Toán khác nhau và 6 quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn?
210 cách.
107 cách.
47 cách.
72 cách.
Đáp án đúng là: B
TH1: Chọn 1 quyển Ngữ Văn và 1 quyển Toán có \(5.7 = 35\) cách.
TH2: Chọn 1 quyển Ngữ Văn và 1 quyển Tiếng Anh có \(5.6 = 30\) cách.
TH3: Chọn 1 quyển Toán và 1 quyển Tiếng Anh có \(7.6 = 42\)cách.
Do đó số cách chọn hai quyển sách khác môn là: \(35 + 30 + 42 = 107\) cách.
Lớp \[11A\] có \[38\] học sinh. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra \[3\] bạn học sinh để sắp xếp làm Lớp trưởng, Lớp phó và Thư kí. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra như vậy?
\[50616\].
\[8436\].
\[114\].
\[41\].
Đáp án đúng là: A
Chọn \[3\] học sinh trong \[38\] học sinh và sắp xếp ba học sinh vào ba chức vụ khác nhau: Lớp trưởng, Lớp phó, Bí thư. Mỗi cách chọn ra \[3\] học sinh như vậy là một chỉnh hợp chập \[3\] của \[38\] phần tử.
Vậy số cách chọn là: \[A_{38}^3 = 50616.\]
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A( - 1;2),B(0; - 2),C(3;3)\). Toạ độ của vectơ \(2\overrightarrow {AB} - 4\overrightarrow {BC} \) là:
\((14;12)\).
\(( - 10; - 28)\).
\(( - 14; - 12)\).
\((10;28)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (1; - 4) \Rightarrow 2\overrightarrow {AB} = (2; - 8)\); \(\overrightarrow {BC} = (3;5) \Rightarrow 4\overrightarrow {BC} = (12;20).\)
Suy ra \(2\overrightarrow {AB} - 4\overrightarrow {BC} = ( - 10; - 28)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \[\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = - 1 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\] và điểm \(M\left( { - 1;6} \right)\). Phương trình đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \) là:
\(x - 3y + 19 = 0\).
\(x + 3y - 17 = 0\).
\(3x - y + 9 = 0\).
\(3x + y - 3 = 0\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {3;1} \right)\)là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).
Giả sử \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x + 1} \right) + \left( {y - 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + y - 3 = 0\).
Từ một hộp chứa 12 quả cầu trong đó có 8 quả màu đỏ, 3 quả màu xanh và 1 quả màu vàng, lấy ngẫu nhiên 3 quả.
a) Số cách chọn ra 3 quả cầu từ hộp là \(A_{12}^3\) cách.
b) Số cách chọn ra 3 quả cầu từ hộp là 792 cách.
c) Số cách chọn ra 3 quả cầu chỉ có một màu là 108 cách.
d) Số cách để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu là 139 cách.
a) S, b) S, c) S, d) Đ
a) Số cách chọn ra 3 quả cầu từ hộp là \(C_{12}^3\) cách.
b) Số cách chọn ra 3 quả cầu từ hộp là \(C_{12}^3 = 220\) cách.
c) Số cách chọn ra 3 quả cầu chỉ có một màu là \(C_8^3 + C_3^3 = 57\) cách.
d) Số cách chọn 3 quả cầu có đủ 3 màu là \(C_8^1.C_3^1.C_1^1 = 24\) cách.
Suy ra số cách chọn 3 quả cầu có đúng hai màu là: \(220 - 24 - 57 = 139\) cách.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có các đỉnh thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow i - \overrightarrow j \), \(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow i + \overrightarrow j \), \(C\left( {4;1} \right)\). Khi đó
a) \(A\left( {2; - 1} \right),B\left( {1;1} \right)\).
b) \(\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow i + \overrightarrow j \).
c) Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) là \(\left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3}} \right)\).
d) Tọa độ điểm \(D\) để tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành là \(\left( {2; - 1} \right)\).
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Ta có \(A\left( {2; - 1} \right),B\left( {1;1} \right)\).
b) \(\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow i + \overrightarrow j \).
c) Ta có \({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{2 + 1 + 4}}{3} = \frac{7}{3};{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{ - 1 + 1 + 1}}{3} = \frac{1}{3}\).
Vậy \(G\left( {\frac{7}{3};\frac{1}{3}} \right)\).
d) Gọi \(D\left( {a;b} \right)\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;2} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {4 - a;1 - b} \right)\).
Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = 4 - a\\2 = 1 - b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = - 1\end{array} \right.\). Suy ra \(D\left( {5; - 1} \right)\).
Từ các chữ số \(\left\{ {3;4;5;6;8;9} \right\}\)có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau?
Trả lời: 720
Số cách lập số tự nhiên gồm 5 chữ số khách nhau từ 6 số đã cho là \(A_6^5 = 720\) cách.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), tìm tham số \(m\) để hai đường thẳng \({d_1}:3x - 6y + 2024 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = mt\\y = 7 - \left( {m + 1} \right)t\end{array} \right.\) vuông góc với nhau.
Trả lời: 1
Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 6} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {m; - \left( {m + 1} \right)} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {m + 1;m} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \({d_2}\).
Để \({d_1} \bot {d_2}\) thì \(3\left( {m + 1} \right) - 6m = 0 \Leftrightarrow m = 1\).
Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển biểu thức \(P(x) = x{(1 - x)^4} + {x^2}{(2 + x)^5}\) thành đa thức bằng bao nhiêu?
Trả lời: 86
Hệ số \({x^3}\) trong \(x{(1 - x)^4}\) là \(a = {( - 1)^2}C_4^2 = 6\).
Hệ số \({x^3}\) trong \({x^2}{(2 + x)^5}\) là \(b = C_5^1 \cdot {2^4} = 80\).
Vậy hệ số của \({x^3}\) khi khai triển biểu thức \(P(x)\) là \(a + b = 86\).
Có hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được gọi như mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) với đơn vị trên các trục tính theo km). Sau khi xuất phát \(t\) giờ (\(t \ge 0\)) thì vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 35t\\y = - 4 + 25t\end{array} \right.\) còn vị trí của tàu B có tọa độ là \(N\left( {4 - 30t;3 - 40t} \right)\). Hỏi khi hai tàu gần nhau nhất thì cách nhau bao nhiêu km? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Trả lời: 1,53
Vị trí của tàu A tại thời điểm sau khi xuất phát \(t\) (giờ) (\(t \ge 0\)) là điểm \(M\left( {3 - 35t; - 4 + 25t} \right)\).
Vị trí của tàu B tại thời điểm sau khi xuất phát \(t\) (giờ) (\(t \ge 0\)) là điểm \(N\left( {4 - 30t;3 - 40t} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {1 + 5t;7 - 65t} \right)\).
Suy ra \(MN = \sqrt {{{\left( {1 + 5t} \right)}^2} + {{\left( {7 - 65t} \right)}^2}} = \sqrt {4250{t^2} - 900t + 50} = \sqrt {4250{{\left( {t - \frac{9}{{85}}} \right)}^2} + \frac{{40}}{{17}}} \ge \sqrt {\frac{{40}}{{17}}} \approx 1,53\) km.
Do đó \(MN\) nhỏ nhất xấp xỉ bằng 1,53 km khi \(t = \frac{9}{{85}}\) giờ.
Vậy kể từ thời điểm xuất phát thì hai tàu gần nhau nhất và cách nhau khoảng 1,53 km.
Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;3} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.\).
Ban văn nghệ lớp \(10\;A\) có 7 học sinh nam và 9 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học sinh nam và 5 học sinh nữ để ghép thành 5 cặp nam nữ diễn tiết mục thời trang. Hỏi có bao nhiêu cách chọn thỏa mãn yêu cầu trên?
Chọn 5 nam sinh từ 7 nam sinh: có \(C_7^5\) cách.
Chọn 5 nữ sinh từ 9 nữ sinh: có \(C_9^5\) cách.
Khi ghép những học sinh được chọn, ta cần làm hai việc liên tiếp:
- Cố định một vị trí bất kỳ cho 5 nam sinh: có 1 cách.
- Sắp xếp 5 nữ sinh vào 5 vị trí nam sinh được cố định trước đó: có 5! cách. Vậy có \(C_7^5 \cdot C_9^5 \cdot 1 \cdot 5! = 317520\) cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(3; - 5),B(1;0)\).
a) Tìm tọa độ điểm \(C\) sao cho \(\overrightarrow {OC} = - 3\overrightarrow {AB} \).
b) Tìm điểm \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(C\).
a) Gọi \(C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {OC} = \left( {{x_C};{y_C}} \right),\overrightarrow {AB} = ( - 2;5) \Rightarrow - 3\overrightarrow {AB} = (6; - 15)\);
\(\overrightarrow {OC} = - 3\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{x_C} = 6\\{y_C} = - 15\end{array}\end{array}{\rm{. }} \Rightarrow {\rm{ }}C(6; - 15)} \right.{\rm{. }}\)
b) \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(C\) hay \(C\) là trung điểm của \(AD \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = \frac{{{x_A} + {x_D}}}{2}}\\{{y_C} = \frac{{{y_A} + {y_D}}}{2}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{x_D} = 2{x_C} - {x_A} = 2.6 - 3 = 9\\{y_D} = 2{y_C} - {y_A} = 2( - 15) - ( - 5) = - 25\end{array}\end{array} \Rightarrow D(9; - 25).} \right.\)
