Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 3

Đáp án đúng là: A

Chọn \[3\] học sinh trong \[38\] học sinh và sắp xếp ba học sinh vào ba chức vụ khác nhau: Lớp trưởng, Lớp phó, Bí thư. Mỗi cách chọn ra \[3\] học sinh như vậy là một chỉnh hợp chập \[3\] của \[38\] phần tử.

Vậy số cách chọn là: \[A_{38}^3 = 50616.\]

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (1; - 4) \Rightarrow 2\overrightarrow {AB} = (2; - 8)\); \(\overrightarrow {BC} = (3;5) \Rightarrow 4\overrightarrow {BC} = (12;20).\)

Suy ra \(2\overrightarrow {AB} - 4\overrightarrow {BC} = ( - 10; - 28)\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {3;1} \right)\)là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).

Giả sử \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x + 1} \right) + \left( {y - 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + y - 3 = 0\).

a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) Số cách chọn ra 3 quả cầu từ hộp là \(C_{12}^3\) cách.

b) Số cách chọn ra 3 quả cầu từ hộp là \(C_{12}^3 = 220\) cách.

c) Số cách chọn ra 3 quả cầu chỉ có một màu là \(C_8^3 + C_3^3 = 57\) cách.

d) Số cách chọn 3 quả cầu có đủ 3 màu là \(C_8^1.C_3^1.C_1^1 = 24\) cách.

Suy ra số cách chọn 3 quả cầu có đúng hai màu là: \(220 - 24 - 57 = 139\) cách.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Ta có \(A\left( {2; - 1} \right),B\left( {1;1} \right)\).

b) \(\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow i + \overrightarrow j \).

c) Ta có \({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{2 + 1 + 4}}{3} = \frac{7}{3};{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{ - 1 + 1 + 1}}{3} = \frac{1}{3}\).

Vậy \(G\left( {\frac{7}{3};\frac{1}{3}} \right)\).

d) Gọi \(D\left( {a;b} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;2} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {4 - a;1 - b} \right)\).

Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = 4 - a\\2 = 1 - b\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = - 1\end{array} \right.\). Suy ra \(D\left( {5; - 1} \right)\).

Trả lời: 720

Số cách lập số tự nhiên gồm 5 chữ số khách nhau từ 6 số đã cho là \(A_6^5 = 720\) cách.

Trả lời: 1

Đường thẳng \({d_1}\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 6} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {m; - \left( {m + 1} \right)} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {m + 1;m} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \({d_2}\).

Để \({d_1} \bot {d_2}\) thì \(3\left( {m + 1} \right) - 6m = 0 \Leftrightarrow m = 1\).

Trả lời: 86

Hệ số \({x^3}\) trong \(x{(1 - x)^4}\) là \(a = {( - 1)^2}C_4^2 = 6\).

Hệ số \({x^3}\) trong \({x^2}{(2 + x)^5}\) là \(b = C_5^1 \cdot {2^4} = 80\).

Vậy hệ số của \({x^3}\) khi khai triển biểu thức \(P(x)\) là \(a + b = 86\).

Trả lời: 1,53

Vị trí của tàu A tại thời điểm sau khi xuất phát \(t\) (giờ) (\(t \ge 0\)) là điểm \(M\left( {3 - 35t; - 4 + 25t} \right)\).

Vị trí của tàu B tại thời điểm sau khi xuất phát \(t\) (giờ) (\(t \ge 0\)) là điểm \(N\left( {4 - 30t;3 - 40t} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {1 + 5t;7 - 65t} \right)\).

Suy ra \(MN = \sqrt {{{\left( {1 + 5t} \right)}^2} + {{\left( {7 - 65t} \right)}^2}} = \sqrt {4250{t^2} - 900t + 50} = \sqrt {4250{{\left( {t - \frac{9}{{85}}} \right)}^2} + \frac{{40}}{{17}}} \ge \sqrt {\frac{{40}}{{17}}} \approx 1,53\) km.

Do đó \(MN\) nhỏ nhất xấp xỉ bằng 1,53 km khi \(t = \frac{9}{{85}}\) giờ.

Vậy kể từ thời điểm xuất phát thì hai tàu gần nhau nhất và cách nhau khoảng 1,53 km.

Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.\).

Chọn 5 nam sinh từ 7 nam sinh: có \(C_7^5\) cách.

Chọn 5 nữ sinh từ 9 nữ sinh: có \(C_9^5\) cách.

Khi ghép những học sinh được chọn, ta cần làm hai việc liên tiếp:

- Cố định một vị trí bất kỳ cho 5 nam sinh: có 1 cách.

- Sắp xếp 5 nữ sinh vào 5 vị trí nam sinh được cố định trước đó: có 5! cách. Vậy có \(C_7^5 \cdot C_9^5 \cdot 1 \cdot 5! = 317520\) cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Gọi \(C\left( {{x_C};{y_C}} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {OC} = \left( {{x_C};{y_C}} \right),\overrightarrow {AB} = ( - 2;5) \Rightarrow - 3\overrightarrow {AB} = (6; - 15)\);

\(\overrightarrow {OC} = - 3\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{x_C} = 6\\{y_C} = - 15\end{array}\end{array}{\rm{. }} \Rightarrow {\rm{ }}C(6; - 15)} \right.{\rm{. }}\)

b) \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(C\) hay \(C\) là trung điểm của \(AD \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = \frac{{{x_A} + {x_D}}}{2}}\\{{y_C} = \frac{{{y_A} + {y_D}}}{2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{x_D} = 2{x_C} - {x_A} = 2.6 - 3 = 9\\{y_D} = 2{y_C} - {y_A} = 2( - 15) - ( - 5) = - 25\end{array}\end{array} \Rightarrow D(9; - 25).} \right.\)