Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 10 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 2
21 câu hỏi
Từ Hà Nội bay vào Đà Nẵng có các chuyến bay trực tiếp của ba hãng máy bay. Hãng thứ nhất cung cấp 4 chuyến bay mỗi ngày. Hãng thứ hai cung cấp 3 chuyến bay mỗi ngày. Hãng thứ ba cung cấp 1 chuyến bay mỗi ngày. Hỏi mỗi ngày có bao nhiêu cách bay trực tiếp từ Hà Nội vào Đà Nẵng?
3 cách.
8 cách.
12 cách.
16 cách.
Đáp án đúng là: B
Mỗi ngày có \(4 + 3 + 1 = 8\) chuyến bay trực tiếp từ Hà Nội vào Đà Nẵng.
Ví dụ nào sau đây là một ví dụ về hoán vị?
Số cách xếp hàng theo hàng dọc của 10 bạn.
Số cách chia 10 bạn vào hai nhóm.
Số cách chọn ra 4 bạn trong nhóm 10 bạn.
Số cách xếp hàng của 5 bạn trong nhóm 10 bạn.
Đáp án đúng là: A
Số cách xếp hàng theo hàng dọc của 10 bạn là một ví dụ về hoán vị.
Đội tuyển toán có 5 bạn nam và 7 bạn nữ. Giáo viên phải chọn ra một nhóm bốn bạn. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn?
\(\frac{{12!}}{{4!}}\).
12!.
\(C_{12}^4\).
\(A_{12}^4\).
Đáp án đúng là: C
Số cách chọn là \(C_{12}^4\).
Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức \({\left( {2023x + 2024} \right)^4}\).
\(4\).
6.
\(5\).
\(3\).
Đáp án đúng là: C
Khai triển nhị thức \({\left( {2023x + 2024} \right)^4}\) có 5 số hạng.
Cho \(\overrightarrow a = \left( {3; - 4} \right)\). Chọn khẳng định đúng?
\(\overrightarrow a= 3\overrightarrow i- 4\overrightarrow j \).
\(\overrightarrow a = - 4\overrightarrow i + 3\overrightarrow j \).
\(\overrightarrow a = 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \).
\(\overrightarrow a = - 3\overrightarrow i + 4\overrightarrow j \).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\overrightarrow a = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \).
Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} (12; - 13)\). Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \)?
\(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 13;12)\).
\(\overrightarrow {{n_\Delta }} (12;13)\).
\(\overrightarrow {{n_\Delta }} (13;12)\).
\(\overrightarrow {{n_\Delta }} ( - 12; - 13)\).
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} (12; - 13)\) nên nhận \(\overrightarrow {{n_\Delta }} (13;12)\) làm vectơ pháp tuyến.
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:3x - 2y - 6 = 0\) và \({d_2}:6x - 2y - 8 = 0\).
Trùng nhau.
Song song.
Vuông góc với nhau.
Cắt nhau nhưng không vuông góc.
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {6; - 2} \right)\) lần lượt là vectơ pháp tuyến của \({d_1},{d_2}\).
Vì \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) không cùng phương nên \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau.
Lại có \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} \ne 0\) nên \({d_1}\) và \({d_2}\) không vuông góc với nhau.
Có bao nhiêu cách xếp 5 quyển sách Văn khác nhau và 7 quyển sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các quyển sách Văn phải xếp kề nhau?
\(12!\).
\(2.5!.7!\).
\(8!.5!\).
\(5!.7!\).
Đáp án đúng là: C
Ta coi 5 quyển sách Văn là một Quyển và xếp Quyển này với 7 quyển sách Toán khác nhau ta có 8! cách xếp. Mỗi cách đổi vị trí các quyển sách văn cho nhau thì tương ứng sinh ra một cách xếp mới, mà có 5! cách đổi vị trí các quyển sách Văn. Vậy số cách xếp là \(8!.5!\).
Khai triển của \({(x - 1)^4}\) là:
\({x^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1\).
\({x^4} - 4{x^3} - 6{x^2} - 4x - 1\).
\({x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1\).
\({x^4} + 4{x^3} - 6{x^2} + 4x - 1\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \({(x - 1)^4} = {x^4} + 4.{x^3}.\left( { - 1} \right) + 6.{x^2}.{\left( { - 1} \right)^2} + 4.x.{\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^4}\)
\( = {x^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho \(M\left( {2; - 2} \right),N\left( { - 3;4} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow {MN} \) có tọa độ là
\(\left( { - 5; - 6} \right)\).
\(\left( {5; - 6} \right)\).
\(\left( {5;6} \right)\).
\(\left( { - 5;6} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 3 - 2;4 + 2} \right) = \left( { - 5;6} \right)\).
Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát là \(x - 2y - 5 = 0\). Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của \(\Delta \)?
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 4 - t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 5 + 2t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 4t}\\{y = 1 - 2t}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = t}\end{array}} \right.\).
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)\) nên nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(\left( {5;0} \right)\).
Do đó phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5 + 2t}\\{y = t}\end{array}} \right.\).
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho điểm \(A(5;0)\) và đường thẳng \(\Delta :12x - 5y + 5 = 0\). Khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(\Delta \) là:
2.
8.
5.
\(2\frac{1}{2}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {12.5 - 5.0 + 5} \right|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{65}}{{13}} = 5\).
Một tập thể có 14 người trong đó có hai bạn tên \(A\) và \(B\). Người ta cần chọn một tổ công tác gồm 6 người, khi đó:
a) Chọn nhóm 6 bạn bất kỳ ta có \(C_{14}^6\) cách.
b) Chọn nhóm 6 bạn trong đó có cả \(A\) và \(B\), có \(C_{14}^6\) cách.
c) Chọn nhóm 6 bạn trong đó không có hai bạn \(A\) và \(B\), có \(924\) cách.
d) Có \(9504\) cách chọn sao cho trong tổ phải có 1 tổ trưởng và 5 tổ viên hơn nữa \(A\) hoặc \(B\) phải có mặt nhưng không đồng thời có mặt cả hai người trong tổ.
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Chọn nhóm 6 bạn bất kỳ ta có \(C_{14}^6\) cách.
b) Chọn nhóm 6 bạn trong đó có cả \(A\) và \(B\), có \(C_{12}^4\) cách.
c) Chọn nhóm 6 bạn trong đó không có hai bạn \(A\) và \(B\), có \(C_{12}^6 = 924\) cách.
d) Suy ra số cách chọn 6 bạn có mặt \(A,B\) nhưng không đồng thời có mặt cả hai người trong tổ là: \(C_{14}^6 - C_{12}^4 - C_{12}^6 = 1584\) cách,
Chọn 1 tổ trưởng từ nhóm 6 bạn này, có 6 cách.
Vậy có \(1584.6 = 9504\) cách chọn thỏa yêu câu đề.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {0;3} \right),B\left( {1; - 2} \right),C\left( {5;3} \right)\). Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) xuống \(BC\). Khi đó
a) Một vectơ pháp tuyến của đường cao \(AH\) là \(\overrightarrow {CB} \).
b) Phương trình đường cao \(AH\) là \(4x + 5y - 16 = 0\).
c) Phương trình đường thẳng \(BC\) là \(5x - 4y - 13 = 0\).
d) Độ dài đường cao \(AH\) bằng \(\frac{{10}}{{\sqrt {41} }}\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Vì \(AH \bot CB\) nên \(\overrightarrow {CB} \) là một vectơ pháp tuyến của đường cao \(AH\).
b) Đường cao \(AH\) đi qua \(A\left( {0;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {CB} = \left( { - 4; - 5} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là \( - 4x - 5\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y - 15 = 0\).
c) Đường thẳng \(BC\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC} = \left( {4;5} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {5; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(5\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y + 2} \right) = 0\) hay \(5x - 4y - 13 = 0\).
d) Ta có \(AH = d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {5.0 - 4.3 - 13} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {4^2}} }} = \frac{{25}}{{\sqrt {41} }}\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(d:ax - 3y + 2 = 0\).Tìm \(a\) để \(B\left( {5; - 1} \right)\) thuộc \(d\).
Vì \(B\left( {5; - 1} \right) \in d\) nên \(a.5 - 3\left( { - 1} \right) + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow a = - 1\).
Khi chọn thực đơn để tổ chức tiệc sinh nhật, cô Yến yêu cầu nhà hàng chuẩn bị một món khai vị, một món chính và một món tráng miệng. Biết rằng nhà hàng có 3 loại món khai vị, 5 loại món chính và 2 loại món tráng miệng. Hỏi cô Yến có bao nhiêu cách chọn thực đơn cho bữa tiệc sinh nhật?
Trả lời: 30
Số cách chọn thực đơn cho bữa tiệc là: \(3.5.2 = 30\) cách.
Giả sử có khai triển \({(1 - 2x)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_n}{x^n}\). Tìm \({a_4}\) biết \({a_0} + {a_1} + {a_2} = 31\).
Trả lời: 80
Ta có:
\({(1 - 2x)^n} = C_n^0{1^n}{( - 2x)^0} + C_n^1{1^{n - 1}}( - 2x) + C_n^2{1^{n - 2}}{( - 2x)^2} + \ldots = 1 - 2C_n^1x + 4C_n^2{x^2} + \ldots \)
Vậy \({a_0} = 1;{a_1} = - 2C_n^1;{a_2} = 4C_n^2\). Theo bài ra \({a_0} + {a_1} + {a_2} = 31\) nên ta có:
\(1 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 31 \Leftrightarrow 1 - 2\frac{{n!}}{{1!(n - 1)!}} + 4\frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = 31 \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n(n - 1) = 31\)
\( \Leftrightarrow 2{n^2} - 4n - 30 = 0 \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 15 = 0 \Rightarrow n = 5\). Từ đó ta có \({a_4} = C_5^4{( - 2)^4} = 80\).
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A(4;1),B(1;3)\), \(C(5;5)\). Giả sử \(D(a;b)\). Tính \(a + b\).
Trả lời: 11
Giả sử \(D(a;b)\). Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 3;2)\) và .
Vì ABCD là hình bình hành nên AB→=DC→⇔−3=5−a2=5−b⇔a=8b=3. Vậy D(8;3).
Vậy a+b=11.
Trong mặt phẳng Oxy, tìm tọa độ của các vectơ sau
a) b→=7j→.
b) d→=0,5i→−11j→.
a) b→=7j→=0;7.\(\overrightarrow {DC} = (5 - a;5 - b)\)\(\overrightarrow d = 0,5\overrightarrow i - \sqrt {11} \overrightarrow j = \left( {0,5; - \sqrt {11} } \right)\)b) .
Cho tập hợp \(A = \{ 0;1;2;3;4;5\} \). Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chã̃n có bốn chữ số khác nhau?
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là \(\overline {abcd} \).
Trường hợp 1: \(d = 0\).
Chọn \(d\): có 1 cách. Chọn \(a(a \ne 0)\): có 5 cách.
Số cách chọn \(b,c\) lần lượt là 4, 3.
Số các số tự nhiên trong trường hợp này là .
Trường hợp 2: d∈{2;4}.\(1.5.4.3 = 60\)
Chọn \(d\): có 2 cách. Chọn \(a(a \ne 0,a \ne d)\): có 4 cách.
Số cách chọn \(b,c\) lần lượt là 4, 3.
Số các số tự nhiên trong trường hợp này là \(2.4.4.3 = 96\).
Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là \(60 + 96 = 156\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình bình hành \(ABCD\) có diện tích bằng 2. Biết \(A\left( {0;2} \right),B\left( {3;0} \right)\) và giao điểm \(I\) của hai đường chéo hình bình hành nằm trên đường thẳng \(y = - x\). Tìm tọa độ điểm \(D\), biết \({x_D} > - 14\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2} \right)\). Suy ra \(AB = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {13} \).
Vì \({S_{ABCD}} = DH.AB \Rightarrow DH = \frac{2}{{\sqrt {13} }}\).
Giả sử \(I\left( {a; - a} \right)\).
Mà \(I\) là trung điểm của \(BD\) nên \(D\left( {2a - 3; - 2a} \right)\).
Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {0;2} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {2;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(2x + 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - 6 = 0\).
Lại có \(DH = d\left( {D,AB} \right) = \frac{{\left| {2.\left( {2a - 3} \right) + 3.\left( { - 2a} \right) - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{{\left| { - 2a - 12} \right|}}{{\sqrt {13} }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }}\).
Từ đó ta có \(\left[ \begin{array}{l}a + 6 = 1\\a + 6 = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 5\\a = - 7\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}D\left( { - 13;10} \right)\\D\left( { - 17;14} \right)\end{array} \right.\).
Vì \({x_D} > - 14\) nên \(D\left( { - 13;10} \right)\).
