Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4

Khi kim giờ \(OM\) chỉ số 12, kim phút \(ON\) chỉ số 3 thì \(\widehat {MON} = \frac{\pi }{2}\).

Từ hình vẽ ta thấy góc lượng giác \(\left( {OM,ON} \right)\) có tia đầu \(OM,\) tia cuối \(ON\), quay theo chiều dương (ngược chiều quay của kim đồng hồ) nên \(\left( {OM,ON} \right) = 2\pi - \frac{\pi }{2} + k2\pi = \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc nếu theo chiều âm có thể kết luận \[\left( {OM,\,\,ON} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\]. Chọn A.

Ta có \(\sin \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{{3\pi }}{2} - \cos \alpha \sin \frac{{3\pi }}{2} = \sin \alpha \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot \left( { - 1} \right) = \frac{1}{3}\). Chọn D.

Ta thấy đồ thị hàm số \(y = \cos x\) đi lên từ trái sang phải khi \(x \in \left( { - 3\pi ; - 2\pi } \right)\). Do đó hàm số \(y = \cos x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3\pi ; - 2\pi } \right)\). Chọn D.

Ta có \(\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Chọn A.

Ta có \({u_5} = \frac{{2 \cdot {5^2} - 1}}{{{5^2} + 3}} = \frac{7}{4}\). Chọn C.

Ta có \({u_1} = 5 - 2 \cdot 1 = 3;\,\,{u_2} = 5 - 2 \cdot 2 = 1;\,\,{u_3} = 5 - 2 \cdot 3 = - 1;\,\,...........\)

Khi đó, công sai của cấp số cộng là \(d = {u_2} - {u_1} = 1 - 3 = - 2\). Chọn A.

 Dãy số \({u_n} = \frac{1}{n}\) có \[{u_1} = 1;{u_2} = \frac{1}{2};{u_3} = \frac{1}{3};...\] nên \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\), do đó không phải là cấp số nhân.

 Dãy số \({u_n} = 3n\) có \[{u_1} = 3;{u_2} = 6;{u_3} = 9;...\] nên \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\), do đó không phải là cấp số nhân.

 Dãy số \({u_n} = {2^n} + 1\) có \[{u_1} = 3;{u_2} = 5;{u_3} = 9;...\] nên \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\), do đó không phải là cấp số nhân.

 Dãy số \({u_n} = {2^n}\) có \[\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2\] không đổi với mọi n, nên đây là cấp số nhân với công bội \[q = 2\].

Chọn D.

Số học sinh được khảo sát là: \(5 + 7 + 8 + 4 + 1 = 25\) (học sinh). Chọn A.

Nhóm có tần số lớn nhất là \[\left[ {20;30} \right)\] nên nhóm này chứa mốt.

Giá trị nhỏ nhất của nhóm đó là \[20\].

Độ dài của nhóm đó là \[30 - 20 = 10\].

Tần số của nhóm đó là \[7\].

Tần số của nhóm liền trước và liền sau của nhóm đó lần lượt là \[6\]; \[5\].

Do đó \[{M_o} = 20 + \frac{{7 - 6}}{{\left( {7 - 6} \right) + \left( {7 - 5} \right)}} \cdot 10 = \frac{{70}}{3}\]. Chọn B.

Ta có \({\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\) \( \Rightarrow \sin x = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\) \(\left( {{\rm{do}}\,\, - \frac{\pi }{2} < x < 0 \Rightarrow \sin x < 0} \right)\)\( \Rightarrow \tan x = - 2\sqrt 2 \).

Vậy \(\tan 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \frac{{ - 4\sqrt 2 }}{{ - 7}} = \frac{{4\sqrt 2 }}{7}.\) Chọn A.

Một hàm số có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ khi nó là hàm số lẻ.

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \cos 3x \cdot \sin x\).

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Do đó nếu \(x\) thuộc tập xác định \(D\) thì \( - x\) cũng thuộc tập xác định \(D\).

Ta có \(f\left( { - x} \right) = \cos \left( { - 3x} \right) \cdot \sin \left( { - x} \right) = \cos 3x \cdot \left( { - \sin x} \right) = - \cos 3x \cdot \sin x = - f\left( x \right),\,\,\forall x \in D\).

Vậy hàm số \(y = \cos 3x \cdot \sin x\) là hàm số lẻ nên đồ thị của nó đối xứng qua gốc tọa độ. Chọn B.

Ta có \({u_n} = \frac{7}{{12}} \Leftrightarrow \frac{{2n + 5}}{{5n - 4}} = \frac{7}{{12}} \Leftrightarrow 12\left( {2n + 5} \right) = 7\left( {5n - 4} \right)\)\( \Leftrightarrow 11n = 88 \Leftrightarrow n = 8\). Chọn A.

a) Đúng. Ta có \({v_1} = {u_1} - 3 = 8 - 3 = 5\).

b) Sai. Có \({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - 3 = 4{u_n} - 9 - 3 = 4{u_n} - 12 = 4\left( {{u_n} - 3} \right) = 4{v_n} \Rightarrow \frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = 4\) không đổi với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\)là một cấp số nhân có số hạng đầu \({v_1} = 5\), công bội \({q_1} = 4\).

c) Sai. Số hạng tổng quát của cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) là \({v_n} = {v_1} \cdot q_1^{n - 1} = 5 \cdot {4^{n - 1}}\).

d) Sai. Ta có \({v_n} = {u_n} - 3\), suy ra \({u_n} = 3 + {v_n} = 3 + 5 \cdot {4^{n - 1}}\).

a) Đúng. Giá trị đại diện nhóm \(\left[ {150;155} \right)\) là \(\frac{{150 + 155}}{2} = 152,5\).

b) Sai. Ở mẫu số liệu của lô hàng \(A\), ta thấy nhóm \(\left[ {160;165} \right)\) có tần số lớn nhất nên nhóm chứa mốt của số liệu ở lô hàng \(A\) là \(\left[ {160;165} \right)\).

c) Sai. Ở mẫu số liệu của lô hàng \(B\), ta thấy nhóm \(\left[ {165;170} \right)\) có tần số lớn nhất nên nhóm chứa mốt của số liệu ở lô hàng \(B\) là \(\left[ {165;170} \right)\).

d) Đúng. Bảng thống kê số lượng cam theo giá trị đại diện:

Cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô \(A\) là:

_{\({\bar x_A} = \frac{{152,5 \cdot 2 + 157,5 \cdot 6 + 162,5 \cdot 12 + 167,5 \cdot 4 + 172,5 \cdot 1}}{{25}} = 161,7{\rm{ (gam)}}{\rm{. }}\)}

Cân nặng trung bình của mỗi quả cam ở lô \(B\) là:

_{\({\bar x_B} = \frac{{152,5 \cdot 1 + 157,5 \cdot 3 + 162,5 \cdot 7 + 167,5 \cdot 10 + 172,5 \cdot 4}}{{25}} = 165,1{\rm{ (gam)}}{\rm{. }}\)}

Ta thấy \({\bar x_A} < {\bar x_B}\). Vậy nếu so sánh theo số trung bình thì cam ở lô hàng \(B\) nặng hơn cam ở lô hàng \(A\).

Ta có \[2\tan a - \cot a = 1 \Leftrightarrow 2\tan a - \frac{1}{{\tan a}} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan a = 1\\\tan a = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\].

Vì \[ - \frac{\pi }{2} < a < 0\] nên \[\tan a < 0\], suy ra \[\tan a = - \frac{1}{2}\], \[\cot a = - 2\].

Ta có \[\tan \left( {6\pi - a} \right) = - \tan a\]; \[\cot \left( {3\pi + a} \right) = \cot a\]; \[\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} + a} \right) = - \cot a\].

Vậy \[P = \frac{{\tan \left( {6\pi - a} \right) - 2\cot \left( {3\pi + a} \right)}}{{3\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} + a} \right)}} = \frac{{ - \tan a - 2\cot a}}{{ - 3\cot a}}\]\[ = \frac{{\frac{1}{2} + 4}}{6} = \frac{3}{4} = 0,75\].

Đáp án:\(0,75\).

Ta có \(4\sin 3x\sin 2x\cos x = 4\left( {\sin 3x\cos x} \right)\sin 2x = 4 \cdot \frac{1}{2}\left( {\sin 4x + \sin 2x} \right)\sin 2x\)

\( = 2\sin 4x\sin 2x + 2{\sin ^2}2x = \left( {\cos 2x - \cos 6x} \right) + 2\left( {\frac{{1 - \cos 4x}}{2}} \right)\)\( = \cos 2x - \cos 4x - \cos 6x + 1\).

Vậy \(a + b + c + d = 0\).

Đáp án:0.

Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{m\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} - \frac{{mn - 1}}{{n + 1}} = \frac{{mn + m - 1}}{{n + 2}} - \frac{{mn - 1}}{{n + 1}}\)

\( = \frac{{m{n^2} + 2mn + m - n - 1 - \left( {m{n^2} + 2mn - n - 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{m + 1}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\).

Dãy số đã cho là dãy giảm \( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0 \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Leftrightarrow m < - 1\)

\(\left( {{\rm{do }}\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right) > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right){\rm{. }}\)

Với \(m\) là số nguyên lớn nhất và \(m < - 1\) suy ra \(m = - 2\).

Đáp án:−2.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân, ta có:

_{\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 2\\{u_1} = 3\end{array} \right.\)}.

Giả sử số \(12288\) là số hạng thứ\(n\) của cấp số nhân, khi đó ta có

\({u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}} \Leftrightarrow 12288 = 3 \cdot {2^{n - 1}} \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = 4096 \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = {2^{12}} \Leftrightarrow n - 1 = 12 \Leftrightarrow n = 13.\)

Vậy số \(12288\) là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.

Đáp án:13.

a) Nhiệt độ ngoài trời lúc 19 giờ là \(h\left( {19} \right) = 31 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {19 - 9} \right)\)\( = 31 + 3\sin \frac{{5\pi }}{6} = 32,5\)℃.

b) Ta có \( - 1 \le \sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 1 \Rightarrow - 3 \le 3\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 3 \Rightarrow 28 \le 31 + 3\sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) \le 34\,\,\forall t.\)

Do đó \(\max h\left( t \right) = 34 \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}\left( {t - 9} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 15 + 24k,k \in \mathbb{Z}.\)

Vì \(0 < t \le 24 \Rightarrow 0 \le 15 + 24k \le 24 \Leftrightarrow - \frac{{15}}{{24}} \le k \le \frac{3}{8}\).

Do \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0\) nên \(t = 15.\)

Vậy vào thời điểm 15 giờ thì nhiệt độ ở thành phố đó lớn nhất.

Số ngày bạn An để dành tiền (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày \[01\] tháng \[01\] năm \[2025\] đến ngày \[30\] tháng \[4\] năm\[2025\]) là \[31 + 28 + 31 + 30 = 120\] ngày.

Số tiền bỏ ống heo ngày đầu tiên là: \[{u_1} = 100\] đồng.

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ hai là: \[{u_2} = 100 + 100 = 100 + 1 \cdot 100\] đồng.

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ ba là: \[{u_3} = 100 + 100 + 100 = 100 + 2 \cdot 100\] đồng.

…

Như vậy, số tiền bỏ ống heo mỗi ngày của bạn An lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 100\), công sai \(d = 100\).

Sau \[120\] ngày thì số tiền An tích lũy được là tổng của \[120\] số hạng đầu của cấp số cộng trên.

Vậy số tiền An tích lũy được là \({S_{120}} = \frac{{120}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {120 - 1} \right)d} \right]\)\( = \frac{{120}}{2}\left( {2 \cdot 100 + 119 \cdot 100} \right)\)\( = 726\,000\) đồng.

Cỡ mẫu là\(n = 5 + 12 + 32 + 45 + 30 = 124\).

Gọi \({x_1},....,{x_{124}}\) là thời gian chạy của \(124\) vận động viên tham gia hội thao và giả sử dãy này được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó, trung vị là \(\frac{{{x_{62}} + {x_{63}}}}{2}\). Do hai giá trị \({x_{62}},\,{x_{63}}\) thuộc nhóm \(\left[ {22,5\,;\,23} \right)\) nên nhóm này chứa trung vị.

Suy ra \(p = 4;\,{a_4} = 22,5;\,\,{m_4} = 45;\,{m_1} + {m_2} + {m_3} = 5 + 12 + 32 = 49;\,\,{a_5} - {a_4} = 23 - 22,5 = 0,5\).

Ta có trung vị \({M_e} = 22,5 + \frac{{\frac{{124}}{2} - 49}}{{45}} \cdot 0,5 \approx 22,64\).

Vậy ban tổ chức nên chọn vận động viên có thời gian chạy không quá \(22,64\)giây.