Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 5

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Do \[0 < x < \frac{\pi }{2}\] nên \[x\] nằm ở góc phần tư thứ nhất.

Vậy nên \[\tan x > 0,\cot x > 0.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hàm số \[y = \cot x\] tuần hoàn với chu kì \[\pi \].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: −1≤sin3x≤1 ⇔−7≤3sin3x−4≤−1

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \[y = 3\sin 3x - 4\] là \[ - 1\] và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \[ - 7.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}}\] \[ \Leftrightarrow 3x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] \[ \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3},{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\sqrt 3 \cot \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1\]

      \[ \Leftrightarrow \cot \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]

     \[ \Leftrightarrow \cot \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) = \cot \frac{\pi }{3}\]

     \[ \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{3} + k\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

     \[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2},{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Vậy nghiệm của phương trình là \[x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{{k\pi }}{2},{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy 5 số hạng đầu tiên của dãy là \[\frac{1}{3};\frac{1}{{{3^2}}};\frac{1}{{{3^3}}};\frac{1}{{{3^4}}};\frac{1}{{{3^5}}}\] nên số hạng tổng quát của dãy là \[{u_n} = \frac{1}{{{3^n}}}.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét các đáp án, ta nhận thấy khoảng cách giữa các số hạng ở đáp án D là khác nhau.

Do đó, dãy số ở đáp án D không là cấp số cộng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Công bội \[q\] của cấp số nhân đã cho là: \[q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{8}{2} = 4.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{10}}{{{3^{n + 1}}}} - \frac{{10}}{{{3^n}}} = \frac{{10}}{{{3^n}}}\left( {\frac{1}{3} - 1} \right) = \frac{{ - 20}}{{{3^{n + 1}}}} < 0.\]

Do đó \[{u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {N^*}\].

Vậy dãy số giảm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[{u_{99}} = 11 + \left( {99 - 1} \right).4 = 403.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Cỡ mẫu là: \[n = 20 + 45 + 34 + 27 + 15 + 4 = 145.\]

Vậy mẫu số liệu trên có 145 số liệu và 6 nhóm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Giá trị đại diện của nhóm \[\left[ {15;20} \right)\] là \[\frac{{15 + 20}}{2} = 17,5\].

Hướng dẫn giải

a) S

b) Đ

c) S

d) S

 

a) Ta có hàm số \[y = \cot x\] là hàm lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

b) Đồ thị hàm số \[y = \cot x\] có dạng:

c) Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số \[y = \cot x\] cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ trong \[\left( {0;2\pi } \right)\] là \[\frac{\pi }{2}\] và \[\frac{{3\pi }}{2}\].

d) Ta có phương trình: \[\cot x = \sqrt 3 \]\[ \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{\pi }{6}\]\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Xét trong khoảng \[\left( {0;2\pi } \right)\], ta có: \[0 < \frac{\pi }{6} + k\pi < 2\pi \]\[ \Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{{11}}{6}\].

Mà \[k \in \mathbb{Z}\], nên \[k = \left\{ {0;1} \right\}\].

Suy ra \[x = \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{7\pi }}{6}} \right\}\].

Tổng các nghiệm của phương trình \[\cot x = \sqrt 3 \] trong khoảng \[\left( {0;2\pi } \right)\] là \[\frac{\pi }{6} + \frac{{7\pi }}{6} = \frac{{4\pi }}{3}.\]

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) Đ

c) Đ

d) Đ

 

Ta có: \[h = \left| x \right| = \left| {1,5\cos \left( {\frac{{\pi t}}{4}} \right)} \right| \le 1,5.\]

a) Vậy ở xa vị trí cân bằng nhất nghĩa là \[h = 1,5{\rm{ m}}\].

Khi đó \[\cos \left( {\frac{{\pi t}}{4}} \right) = \pm 1\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{t\pi }}{4} = k2\pi \\\frac{{t\pi }}{4} = \pi + k2\pi \end{array} \right.{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 8k\\t = 4 + 8k\end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

b) Trong 10 giây đầu tiên thì vật ở xa vị trí cân bằng nhất tại các thời điểm \[t = 0;\]

\[t = 4;t = 8\] giây.

c) Khi vật ở vị trí cân bằng thì \[x = 0 \Leftrightarrow 1,5\cos \left( {\frac{{\pi t}}{4}} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{4}} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow t = 2 + 4k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

d) Ta có: \[0 < t < 20 \Leftrightarrow 0 < 2 + 4k < 20\]\[ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < k < \frac{{18}}{4}.\]

Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\]. Do đó, \[t \in \left\{ {2;6;10;14;18} \right\}\].

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 giây thì vật ở vị trí cân bằng tại các thời điểm \[t = 2;{\rm{ }}t = 6;{\rm{ }}t = 10;{\rm{ }}t = 14;{\rm{ }}t = 18\] giây; tức là có 5 lần vật qua vị trí cân bằng.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) S

d) S

Ta thấy, số tiền lương năm sau hơn năm trước \[20\] triệu đồng nên \[\left( {{u_n}} \right)\] là cấp số cộng có \[{u_1} = 100\] và công sai \[d = 20\].

Do đó, \[{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 100 + \left( {n - 1} \right).20 = 20n + 80\].

Số tiền lương sinh viên nhận được ở năm thứ hai là

\[{u_2} = 100 + \left( {2 - 1} \right).20 = 120\] (triệu đồng).

Số tiền lương sinh viên nhận được ở năm thứ 10 là

\[{u_{10}} = 100 + \left( {10 - 1} \right).20 = 280\] (triệu đồng).

Số tiền bạn sinh viên tiết kiệm được sau \[n\] năm là

\[S = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] - 70n\]

   \[ = \frac{n}{2}\left[ {2.100 + \left( {n - 1} \right).20} \right] - 70n\]

   \[ = 10{n^2} + 20n\] (triệu đồng).

Ta có: \[S \ge 2000 \Leftrightarrow 10{n^2} + 20n \ge 2000\]

\[ \Leftrightarrow 10{n^2} + 20n - 2000 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n \ge 13,1{\rm{ }}\left( {TM} \right)\\n \le - 15,1{\rm{ }}\left( L \right)\end{array} \right.\].

Do đó, sau ít nhất 14 năm thì sinh viên có thể mua được chung cử 2 tỉ đồng.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) Đ

c) S

d) S

Số sinh viên được điều tra là: \[n = 12 + 20 + 37 + 21 + 10 = 100\].

Ta tính được giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là: \[3;5;7;9;11.\]

Số giờ làm trung bình của mỗi sinh viên trường đại học X là

\[\frac{{3.12 + 5.20 + 7.37 + 9.21 + 11.10}}{{100}} = 6,94.\]

Số giờ làm thêm trung bình của mỗi sinh viên trường đại học X nhiều hơn 6 giờ.

Gọi \[{x_1};{x_2};.....{x_{100}}\] là số giờ làm thêm của 100 sinh viên và giả sử dãy số này được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó, trung vị là \[\frac{{{x_{50}} + {x_{51}}}}{2}\].

Hai giá trị \[{x_{50}};{x_{51}}\] thuộc nhóm \[\left[ {6;8} \right)\] nên nhóm này chữa trung vị.

Do đó trung vị của mẫu số liệu là \[{M_0} = 6 + \frac{{\frac{{100}}{2} - \left( {12 + 20} \right)}}{{37}}.2 \approx 6,97.\]

Ta có: \[\frac{n}{4} = 25\]. Do đó tứ phân vị thứ nhất là \[\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}\], mà \[{x_{25}},{x_{26}}\] đều thuộc nhóm \[\left[ {4;6} \right)\].

Vậy \[{Q_1} = 4 + \frac{{25 - 12}}{{20}}.2 = 5,3.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 6

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}.{q^4} = 51\\{u_1}.q + {u_1}.{q^5} = 102\end{array} \right.\]

      \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51\\{u_1}q.\left( {1 + {q^4}} \right) = 102\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\q = 2\end{array} \right.\].

Khi đó, tích của số hạng đầu \[{u_1}\] và công bội \[q\] là \[3.2 = 6\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 7

Ta có: \[\sin 2x + 2 = m\] \[ \Leftrightarrow \sin 2x = m - 2\].

Có \[ - 1 \le \sin 2x \le 1\] nên điều kiện để phương trình có nghiệm là

\[ - 1 \le m - 2 \le 1\] \[ \Leftrightarrow 1 \le m \le 3\] hay \[m \in \left[ {1;3} \right].\]

Suy ra \[a = 1;b = 3\].

Vậy \[T = a + 2b = 1 + 2.3 = 7\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 5

Vị trí cân bằng của vật dao động điều hòa là vị trí vật đứng yên khi đó \[x = 0\] ta có:

\[2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\] \[ \Leftrightarrow \cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow 5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi \] \[ \Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k\pi }}{5},k \in \mathbb{Z}.\]

Trong khoảng thời gian 3 giây đầu tiên, tức là \[0 \le t \le 3\] hay \[0 \le \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5} \le 3\]

\[ \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \le k \le \frac{{45 - 2\pi }}{{3\pi }}\].

Vì \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\].

Vậy trong khoảng thời gian 3 giây đầu tiên, vật qua vị trí cân bằng 5 lần.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 10

Số lượng vi khuẩn tăng lên gấp đôi là cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] với công bội \[q = 2\].

Ta có: \[{u_6} = 64000\] \[ \Rightarrow {u_1}.{q^5} = 64000\] \[ \Rightarrow {u_1} = 2000\].

Sau \[n\] phút thì số lượng vi khuẩn là \[{u_{n + 1}}\].

\[{u_{n + 1}} = 2048000\] \[ \Rightarrow {u_1}.{q^n} = 2048000\]\[ \Rightarrow {2000.2^n} = 2048000\]\[ \Rightarrow n = 10\].

Vậy sau 10 phút thì có được \[2048000\] con.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 4

Gọi \[{u_i}\left( {1 \le i \le n} \right)\] là độ dài cạnh thứ \[i\] trong cấp số cộng tạo bởi độ dài các cạnh của đa giác.

Ta có \[{u_n} = 44,d = 3\] nên \[{u_1} = {u_n} - \left( {n - 1} \right)d = 44 - \left( {n - 1} \right).3 = 47 - 3n.\]

Chu vi của đa giác là tổng các cạnh của đa giác và bằng \[158{\rm{ cm}}\]

\[ \Rightarrow \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = 158\]\[ \Leftrightarrow n\left( {91 - 3n} \right) = 316\] \[ \Leftrightarrow 3{n^2} - 91n + 316 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = \frac{{79}}{3}\\n = 4.\end{array} \right.\]

Do \[n\] là cạnh của đa giác nên \[n \in {N^ * }\] và \[n > 2.\]

Vậy \[n = 4\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 45,9.

Cỡ mẫu là \[n = 10 + 7 + 16 + 4 + 2 + 3 = 42\].

Ta có: \[\frac{n}{4} = \frac{{42}}{4} = 10,5.\] Do đó, nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là \[\left[ {45,5;50,5} \right)\].

Suy ra \[{Q_1} = 45,5 + \frac{{10,5 - 10}}{7}.\left( {50,5 - 45,5} \right) \approx 45,9\].

Vậy tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu đó là \[45,9.\]