Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 4
22 câu hỏi
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, học sinh chỉ chọn một phương án
Đổi số đo góc \(105^\circ \) sang radian bằng
\(\frac{{5\pi }}{{12}}.\)
\(\frac{{7\pi }}{{12}}.\)
\(\frac{{9\pi }}{{12}}.\)
\(\frac{{5\pi }}{8}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(105^\circ .\frac{\pi }{{180^\circ }} = \frac{{7\pi }}{{12}}\).
Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?
\({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1.\)
\(\sin {x^2} + \cos {x^2} = 1.\)
\(\sin 2x + \cos 2x = 1.\)
\({\sin ^2}x + \cos 2x = 1.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Theo công thức lượng giác, ta có: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1.\)
Tập xác định của hàm số \(y = \tan x\) là
\(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\)
\(x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\)
\(x \ne - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\)
\(x \ne k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có tập xác định của hàm số \(y = \tan x\) là \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\)
Nghiệm của phương trình \(2\cos x + \sqrt 3 = 0\) là
\(x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(2\cos x + \sqrt 3 = 0\) \[ \Leftrightarrow \cos x = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right)\]\[ \Leftrightarrow x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\]
Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\sqrt 3 \cos x + m - 1 = 0\) có nghiệm là
\(1.\)
\(2.\)
\(3.\)
\(4.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\sqrt 3 \cos x + m - 1 = 0\) \[ \Leftrightarrow \cos x = \frac{{1 - m}}{{\sqrt 3 }}\]
Để phương trình có nghiệm thì \[ - 1 \le \frac{{1 - m}}{{\sqrt 3 }} \le 1\] hay \[ - \sqrt 3 \le 1 - m \le \sqrt 3 \].
Suy ra \[1 - \sqrt 3 \le m \le \sqrt 3 + 1\].
Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \[m \in \left\{ {0;1;2} \right\}\].
Vậy có 3 giá trị nguyên \(m\) thỏa mãn.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n - 1}}.\) Tính \({u_8}\).
\({u_8} = \frac{{17}}{7}.\)
\({u_8} = 2.\)
\({u_8} = \frac{{15}}{7}.\)
\({u_8} = \frac{{16}}{7}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({u_8} = \frac{{2.8 + 1}}{{8 - 1}} = \frac{{17}}{7}.\)
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 0,1\) và công sai \(d = 4\). Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là
\(24.\)
\(24,1.\)
\(23,9.\)
\( - 23,9.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({u_7} = - 0,1 + \left( {7 - 1} \right).4 = 23,9.\)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = - 2;{\rm{ q}} = - 5\). Viết bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân này ta được
\( - 2;10;50; - 250.\)
\( - 2;10; - 50;250.\)
\( - 2; - 10; - 50; - 250.\)
\( - 2;10;50;250.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({u_1} = - 2;\)
\({u_2} = - 2.\left( { - 5} \right) = 10;\)
\({u_3} = - 2.{\left( { - 5} \right)^2} = - 50;\)
\({u_4} = - 2.{\left( { - 5} \right)^3} = 250.\)
Vậy bốn số hạng đầu tiên của cấp số nhân là \( - 2;10; - 50;250.\)
Cho cấp số nhân có \({u_1} = - 8;{\rm{ q}} = \frac{3}{2}\). Số \( - \frac{{2187}}{{16}}\) là số hạng thứ mấy của cấp số này?
Thứ 8.
Thứ 9.
Thứ 7.
Không phải số hạng của cấp số nhân trên.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \( - \frac{{2187}}{{16}} = - 8.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{n - 1}}\)\( \Leftrightarrow \frac{{2187}}{{128}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{n - 1}}\)\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^7} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{n - 1}}.\)
Suy ra \[n - 1 = 7 \Leftrightarrow n = 8\].
Vậy \( - \frac{{2187}}{{16}}\) là số hạng thứ 8 của cấp số.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = - 6;{\rm{ }}d = 4\). Tổng 14 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là
\({S_{14}} = 46.\)
\({S_{14}} = 308.\)
\({S_{14}} = 644.\)
\({S_{14}} = 280.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[{S_{14}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2}\]\[ = \frac{{\left[ {2.\left( { - 6} \right) + 13.4} \right].14}}{2} = 280.\]
Vậy \({S_{14}} = 280.\)
Điều tra về chiều cao của học sinh khối lớp 11, ta được mẫu số liệu sau:
Mẫu số liệu ghép nhóm đã cho có tất cả bao nhiêu nhóm?
\(5.\)
\(6.\)
\(7.\)
\(12.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Mẫu số liệu đã cho có 6 nhóm.
Tìm hiểu thời gian xem tivi trong tuần trước của một số học sinh thu được kết quả như sau (đơn vị: giờ):
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {20;25} \right)\) là
\(22,5.\)
\(23.\)
\(20.\)
\(5.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {20;25} \right)\) là \[\frac{{20 + 25}}{2} = 22,5\].
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu hỏi, học sinh chọn Đúng hoặc Sai.
Hằng ngày, mặt trời chiếu vào bóng của một tòa chung cư cao \[40{\rm{ m}}\] in trên mặt đất, độ dài bóng của tòa nhà này được tính bằng công thức \[S\left( t \right) = 40\left| {\cot \frac{\pi }{{12}}t} \right|\], ở đó \[S\] được tính bằng mét, còn \[t\] là số giờ tính từ \[6\] giờ sáng.
a) Thời điểm \[8\] giờ sáng thì độ dài bóng của tòa nhà là \[40\sqrt 3 {\rm{ m}}\].
b) Thời điểm \[12\] giờ trưa thì độ dài bóng của tòa nhà là \[\frac{{20\sqrt 3 }}{3}{\rm{ m}}\].
c) Thời điểm \[3\] giờ \[45\] chiều thì độ dài bóng của tòa nhà lớn hơn độ dài tòa nhà khoảng \[10{\rm{ m}}{\rm{.}}\]
d) Thời điểm \[9\] giờ sáng hoặc \[3\] giờ chiều thì bóng của tòa nhà có độ dài bằng tòa nhà đó.
Hướng dẫn giải
a) Đ | b) S | c) S | d) Đ |
a) Tại thời điểm \[8\] giờ sáng thì ta có: \[t = 8 - 6 = 2.\]
Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm \[8\] giờ sáng là:
\[S\left( 2 \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.2} \right)} \right| = 40\sqrt 3 {\rm{ m}}{\rm{.}}\]
b) Tại thời điểm \[12\] giờ sáng thì ta có: \[t = 12 - 6 = 6.\]
Tại thời điểm \[12\] giờ trưa thì độ dài bóng của tòa nhà là:
\[S\left( 6 \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.6} \right)} \right| = 0{\rm{ m}}{\rm{.}}\]
c) Tại thời điểm \[3\] giờ \[45\] chiều thì ta có: \[t = \left( {15 + \frac{3}{4}} \right) - 6 = \frac{{39}}{4}.\]
Do đó, độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm \[3\] giờ \[45\] chiều là
\[S\left( {\frac{{39}}{4}} \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.\frac{{39}}{4}} \right)} \right| \approx 59,86{\rm{ m}}{\rm{.}}\]
Vậy tại thời điểm \[3\] giờ \[45\] chiều thì độ dài bóng của tòa nhà lớn hơn độ dài tòa nhà là
\[59,86 - 40 = 19,86{\rm{ m}}\].
d) Độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà khi
\[S\left( t \right) = 40 \Leftrightarrow 40\left| {\cot \frac{\pi }{{12}}t} \right| = 40\]\[ \Leftrightarrow \cot \frac{\pi }{{12}}t = \pm 1\]
\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi \] \[ \Leftrightarrow t = \pm 3 + 12k{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Vì \[0 \le t \le 12\] nên \[t = 3\] hoặc \[t = 9\], tức là tại thời điểm \[9\] giờ sáng hoặc \[3\] giờ chiều thì bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà.
Cho hàm số \[y = 3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\]. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Hàm số có tập xác định \[D = \mathbb{R}.\]
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \[2\].
c) Giá trị lớn nhất của hàm số bằng \[4\].
d) Để phương trình \[3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 m}}{2}\] có nghiệm thì \[m \in \left[ {a;b} \right]\]. Khi đó, giá trị \[T = a.b = \frac{{32}}{3}.\]
Hướng dẫn giải
a) Đ | b) Đ | c) Đ | d) Đ |
Hàm số có tập xác định \[D = \mathbb{R}.\]
Ta có: \[ - 1 \le \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\]\[ \Leftrightarrow 2 \le 3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 4.\]
Do đó, tập giá trị của hàm số là \[T = \left[ {2;4} \right]\].
Ta có: \[2 \le 3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 4\] mà \[3 - \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 m}}{2}\].
Suy ra \[2 \le \frac{{\sqrt 3 m}}{2} \le 4\] hay \[\frac{{4\sqrt 3 }}{3} \le m \le \frac{{8\sqrt 3 }}{3}.\]
Suy ra \[m \in \left[ {\frac{{4\sqrt 3 }}{3};\frac{{8\sqrt 3 }}{3}} \right]\].
Do đó, \[a = \frac{{4\sqrt 3 }}{3};b = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}\].
Vậy \[T = ab = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}.\frac{{8\sqrt 3 }}{3} = \frac{{32}}{3}.\]
Giá của một chiếc ô tô lúc mới mua là \[680\] triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm \[50\] triệu đồng. Gọi \[{u_n}\] (triệu đồng) là giá của chiếc ô tô trong năm thứ \[n\] sử dụng.
a) \[{u_2} = 630.\]
b) Giá tiền của chiếc ô tô qua các năm lập thành một cấp số cộng với công sai \[d = 50.\]
c) Giá của chiếc ô tô sau 3 năm sử dụng lớn hơn \[500\] triệu đồng.
d) Sau ít nhất 8 năm sử dụng thì giá của chiếc ô tô nhỏ hơn một nửa giá ban đầu của nó.
Hướng dẫn giải
a) Đ | b) S | c) Đ | d) S |
Theo đề bài, cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm \[50\] triệu đồng.
Vậy giá của chiếc ô tô sau các năm lập thành cấp số cộng với \[{u_1} = 680;d = - 50.\]
Do đó, \[{u_2} = {u_1} + d = 680 + \left( { - 50} \right) = 630.\]
Giá của chiếc ô tô sau 3 năm sử dụng là \[{u_4} = {u_1} + 3d = 680 + 3.\left( { - 50} \right) = 530 > 500.\]
Ta có: \[{u_n} = 680 + \left( {n - 1} \right).\left( { - 50} \right) < \frac{{680}}{2}\] \[ \Leftrightarrow 630 - 50n < 340\]\[ \Leftrightarrow n > 5,8.\]
Vậy sau ít nhất 6 năm sử dụng thì giá của chiếc ô tô nhỏ hơn một nửa giá ban đầu của nó.
Khảo sát thời gian chơi điện tử trong một ngày của một số học sinh lớp 11 thu được mẫu số liệu sau:
a) Giá trị đại diện của nhóm \[\left[ {60;80} \right)\] là \[70\].
b) Nhóm \[\left[ {20;40} \right)\] có tần số là \[14.\]
c) Nhóm chứa trung vị là \[\left[ {40;60} \right).\]
d) Thời gian trung bình chơi điện tử của các em học sinh lớp 11 là \[50\] phút.
Hướng dẫn giải
a) Đ | b) S | c) Đ | d) S |
a) Giá trị đại diện của nhóm \[\left[ {60;80} \right)\] là \[\frac{{60 + 80}}{2} = 70\].
b) Quan sát mẫu số liệu, nhóm \[\left[ {20;40} \right)\] có tần số là \[9.\]
c) Cỡ mẫu của mẫu số liệu này là: \[5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42\].
Gọi \[{x_1};{x_2};....;{x_{42}}\] là thời gian chơi điện tử một ngày của 42 học sinh được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
Khi đó, trung vị là \[\frac{{{x_{21}} + {x_{22}}}}{2}\].
Do hai giá trị \[{x_{21}};{x_{22}}\] thuộc nhóm \[\left[ {40;60} \right)\] nên nhóm này chứa trung vị.
d) Ta tính được giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là: \[10;30;50;70;90.\]
Thời gian chơi điện tử trung bình của các em học sinh là:
\[\frac{{10.5 + 30.9 + 50.12 + 70.10 + 90.6}}{{42}} = \frac{{435}}{7} > 50.\]
Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\]có \[{u_1} = 3\] và \[q = 2\].
Tính tổng \[{S_{10}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{10}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: 3069
Ta có: \[{S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3\left( {1 - {2^{10}}} \right)}}{{1 - 2}} = 3069.\]
Tập giá trị của hàm số \[y = \sin x + \sqrt 3 \cos x + 3\] có dạng \[\left[ {m;M} \right]\]. Tính giá trị \[m.M\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: 5
Ta có: \[y = \sin x + \sqrt 3 \cos x + 3\]
\[y = 2\left( {\frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right) + 3\]
\[y = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3\].
Do \[ - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 2\] \[ \Leftrightarrow 1 \le 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3 \le 5\].
Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \[M = 5\], giá trị nhỏ nhất của hàm số \[m = 1\].
Vậy \[m.M = 1.5 = 5\].
Chiều cao \[h\left( m \right)\] của một cano trên vòng quay vào thời điểm \[t\] giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức \[h\left( t \right) = 30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t - \frac{\pi }{3}} \right)\]. Sau bao nhiêu giây thì cano đạt độ cao \[50\] m lần đầu tiên? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: 20,8
Ta có: \[30 + 20\sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t - \frac{\pi }{3}} \right) = 50\]
\[ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{{25}}t - \frac{\pi }{3}} \right) = 1\]
\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{25}}t - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[ \Leftrightarrow t = \frac{{125}}{6} + 50k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Với \[k = 0\] thì \[ \Leftrightarrow t = \frac{{125}}{6} \approx 20,8\] giây.
Vậy sau \[20,8\] giây thì cano đạt độ cao \[50\] m lần đầu tiên.
Cho bốn số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng \[28\] và tổng các bình phương của chúng bằng \[276\]. Tìm tích của bốn số đó.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: 585
Gọi bốn số đó lần lượt là \[a;a + n;a + 2n;a + 3n\] với \[a\] là số hạng đầu tiên và \[n\] là công sai của cấp số cộng .
Theo đề, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}a + \left( {a + n} \right) + \left( {a + 2n} \right) + \left( {a + 3n} \right) = 28\\{a^2} + {\left( {a + n} \right)^2} + {\left( {a + 2n} \right)^2} + {\left( {a + 3n} \right)^2} = 276\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 6n = 28\\4{a^2} + 12an + 14{n^2} = 276\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7 - \frac{3}{2}n\\4{a^2} + 12an + 14{n^2} = 276\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7 - \frac{3}{2}n\\4{\left( {7 - \frac{3}{2}n} \right)^2} + 12\left( {7 - \frac{3}{2}n} \right)n + 14{n^2} = 276\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7 - \frac{3}{2}n\\5{n^2} = 80\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7 - \frac{3}{2}n\\n = \pm 4\end{array} \right.\].
Với \[n = 4\] và \[n = - 4\] ta đều có 4 số hạng là \[1;5;9;13\].
Vậy tích của 4 số này là \[1.5.9.13 = 585\].
Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo hình thức lãi kép như sau: lần đầu chị gửi \[100\] triệu đồng. Sau đó, cứ hết một tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng \[6\] triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là \[0,5\% \] một tháng. Gọi \[{P_n}\] (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau \[n\] tháng. Tính \[{P_5}\] (Kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: 133
Số tiền cả gốc và lãi chị Mai có được sau 1 tháng (khi chưa gửi thêm \[6\] triệu đồng) là
\[100 + 100.\frac{{0,5}}{{100}} = 100.1,005 = 100,5\] (triệu đồng).
Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng là \[100,5 + 6 = 106,5\] (triệu đồng).
Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 2 tháng là:
\[106,5.1,005 + 6 = 113,0325\] (triệu đồng).
Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 3 tháng là:
\[113,0325.1,005 + 6 = 119,5976625\] (triệu đồng).
Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 4 tháng là:
\[119,5976625.1,005 + 6 = 126,1956508\] (triệu đồng).
Số tiền chị Mai có trong ngân hàng sau 5 tháng là:
\[126,1956508.1,005 + 6 \approx 133\] (triệu đồng).
Vậy \[{P_5} = 133\] triều đồng.
Kết quả khảo sát hàm lượng vitamin C của một số loại trái cây cho bảng sau:
Hãy tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: 8,1
Cỡ mẫu là \[n = 3 + 4 + 5 + 2 + 1 = 15.\]
Gọi \[{x_1};{x_2}....{x_{15}}\] là hàm lượng vitamin C của 15 quả cam và giả sử dãy này được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị thuộc nhóm \[\left[ {8;9} \right)\].
Do đó, \[{M_0} = 8 + \frac{{\frac{{15}}{2} - 7}}{5}\left( {9 - 8} \right) = 8,1\].
Vậy trung vị của nhóm số liệu là \[8,1.\]
