Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 2

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[315^\circ .\frac{\pi }{{180^\circ }} = \frac{{7\pi }}{4}.\]

Số đo theo đơn vị radian của góc \[315^\circ \] là \[\frac{{7\pi }}{4}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[\sin x = \frac{1}{2}\] \[ \Leftrightarrow \sin x = \sin 30^\circ \] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 30^\circ + k360^\circ \\x = 150^\circ + k360^\circ \end{array} \right.\].

Vì \[90^\circ < x < 180^\circ \] nên \[x = 150^\circ .\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Theo công thức cộng, ta có: \[\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[y = \cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\].

Điều kiện xác định của hàm số \[y = \cot x\]là \[\sin x \ne 0\] \[ \Leftrightarrow x \ne k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}\].

Do đó, tập xác định \[T = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[\cot x + \sqrt 3 = 0\]\[ \Leftrightarrow \cot x = - \sqrt 3 \]

      \[ \Leftrightarrow \cot x = \cot \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\] \[ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[{u_5} = {u_1}.{q^4} \Leftrightarrow {q^4} = 81 \Leftrightarrow q = \pm 3.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}6{u_1} + 5{u_5} = 28\\{S_4} = 14\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11{u_1} + 20d = 28\\\frac{{\left[ {2{u_1} + 3d} \right].4}}{2} = 14\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11{u_1} + 20d = 28\\2{u_1} + 3d = 7\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8\\d = - 3\end{array} \right.\].

Vậy \[{u_1} = 8.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\left( {ABC} \right) \cap \left( {CDA} \right) = CA\].

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] và \[\left( {CDA} \right)\] là đường thẳng \[AC.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[BA,BC\].

Do đó, \[MN\] là đường trung bình trong tam giác \[ABC.\]

Nên \[MN\parallel AC.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi \[G = AN \cap DM\]. Xét tam giác \[ACD\], có: \[AN,DM\] là các đường trung tuyến của tam giác. Mà \[G = AN \cap DM\] nên \[G\] là trọng tâm tam giác \[ACD\]. Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}BG \subset \left( {MBD} \right)\\BG \subset \left( {ABN} \right)\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow \left( {MBD} \right) \cap \left( {ABN} \right) = BG.\]

Hướng dẫn giải

a) S

b) S

c) Đ

d) Đ

 

Ta có: \[\sin 2x = - \frac{1}{2}\] \[ \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Xét trên khoảng \[\left( {0;\pi } \right)\], ta có:

Với \[0 < - \frac{\pi }{{12}} + k\pi < \pi \]\[ \Leftrightarrow \frac{1}{{12}} < k < \frac{{13}}{{12}}\] .

Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k = 1\] và \[x = \frac{{11\pi }}{{12}}\].

Với \[0 < \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi < \pi \] \[ \Leftrightarrow - \frac{7}{{12}} < k < \frac{5}{{12}}\].

Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k = 0\] và \[x = \frac{{7\pi }}{{12}}\].

Vậy trong khoảng \[\left( {0;\pi } \right)\] phương trình có 2 nghiệm.

Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \[\left( {0;\pi } \right)\] bằng \[\frac{{11\pi }}{{12}} + \frac{{7\pi }}{{12}} = \frac{{3\pi }}{2}\].

Trong khoảng \[\left( {0;\pi } \right)\] phương trình có nghiệm lớn nhất bằng \[\frac{{11\pi }}{{12}}\].

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

 

a) Ta có: \[ - 1 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] \le 1\]

\[ \Leftrightarrow - 3 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] \le 3\]

\[ \Leftrightarrow 9 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 \le 15\].

Do đó, tập giá trị của hàm số \[d\left( t \right)\] là \[\left[ {9;15} \right].\]

b) Để thành phố có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

\[3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 12\]

\[ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = k\pi \]

\[ \Leftrightarrow t - 80 = 182k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow t = 80 + 182k{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Do \[t \in \mathbb{Z}\] và \[0 < t \le 365\] nên ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\0 < 80 + 182k \le 365\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\ - \frac{{40}}{{91}} < k \le \frac{{285}}{{182}}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\]

Với \[k = 0\] thì \[t = 80 + 182.0 = 80;\]

Với \[k = 1\] thì \[t = 80 + 182.1 = 262.\]

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 trong năm.

c) Để thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì

\[3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 9\]

\[ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1\]

\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow t - 80 = - 91 + 364k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow t = - 11 + 364k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Do \[t \in \mathbb{Z}\] và \[0 < t \le 365\] nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\0 < - 11 + 364k \le 365\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\\frac{{11}}{{364}} < k \le \frac{{94}}{{91}}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow k = 1\].

Với \[k = 1\] thì \[t = - 11 + 364 = 353.\]

Vậy thành phố A có đúng 9 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm.

d) Thay \[t = 107\] vào \[d\left( t \right)\], ta được \[d\left( {107} \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {107 - 80} \right)} \right] + 12 \approx 13,3\] giờ.

Do đó, vào ngày thứ 107 trong năm thành phố A không có 15 giờ có ánh sáng mặt trời.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) Đ

d) Đ

 

a) Do theo đề bài, ô thứ nhất nhận 1 hạt tóc, ô thứ hai thì gấp đôi ô thứ nhất, ô thứ 3 thì gấp đôi ô thứ hai, … cứ như vậy ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô trước và nhận 64 ô.

Do đó số hạt thóc ở 64 ô lập thành một cấp số nhân với \[{u_1} = 1;{\rm{ }}q = 2.\]

b) Số hạt thóc ở ô thứ 8 sẽ là \[{u_8} = {1.2^7} = {2^7} = 128.\]

c) Tổng số hạt thóc của 64 ô là:

\[S = 1 + 2 + {2^2} + .... + {2^{63}}\]\[ \Rightarrow S = 1.\frac{{1 - {2^{64}}}}{{1 - 2}} = {2^{64}} - 1\] hạt thóc.

Do đó, tổng khối lượng của số hạt thóc trên 64 ô trên bàn cờ là:

\[\left( {{2^{64}} - 1} \right).\frac{{20}}{{100}} \approx 3,{689.10^{18}}\left( g \right)\].

Đổi \[3,{689.10^{18}}{\rm{ }}g = 3,{689.10^{12}}\] (tấn) \[ \approx 369\] (tỉ tấn).

Tương tự, ta có khối lượng thóc ở 32 ô đầu tiên là:

\[\left( {{2^{32}} - 1} \right).\frac{{20}}{{100}} = 858993459\] (g) \[ \approx 859\] tấn.

Vậy cần số chuyến là: \[859:10 = 85,9\] (chuyến).

Vậy cần ít nhất 86 chuyến.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) Đ

d) Đ

a) Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\AB\parallel CD\end{array} \right.\].

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\] là đường thẳng qua \[S\] và song song với \[AB\].

b) Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\).

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\\S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\].

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] và \[\left( {SBD} \right)\] là đường thẳng \[SO.\]

c) Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}G \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {JIG} \right)\\AB\parallel JI\end{array} \right.\]

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {IGJ} \right)\] là đường thẳng qua \[G\] và song song với \[AB\].

Lại có \(AB||CD\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {IGJ} \right)\] là đường thẳng qua \[G\] và song song với \[CD\].

d) Theo đề, ta có: \[NA = \frac{1}{3}SA \Rightarrow SN = \frac{2}{3}SA \Rightarrow \frac{{SN}}{{SA}} = \frac{2}{3}\].

Lại có: \[SM = \frac{2}{3}SD \Rightarrow \frac{{SM}}{{SD}} = \frac{2}{3}\] nên \[\frac{{SN}}{{SA}} = \frac{{SM}}{{SD}} = \frac{2}{3}\]. Suy ra \[MN\parallel AD\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}G \in \left( {GBC} \right) \cap \left( {GMN} \right)\\MN\parallel AD\\BC\parallel AD\end{array} \right.\]

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {GMN} \right)\] và \[\left( {GBC} \right)\] là đường thẳng qua \[G\] và song song với \[AD.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: \[ - 1,5\]

Ta có: \[\sin \alpha = \frac{2}{3}\] và \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \] do đó \[\alpha \] thuộc góc phần tư thứ hai.

Suy ra \[\cos \alpha < 0\] và \[\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\].

Ta có: \[P = \frac{{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\]

        \[P = \frac{{1 + 2\sin \alpha \cos \alpha + {{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\]

        \[P = \frac{{{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)}^2} + \left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)}}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\]

        \[P = \frac{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\left( {\cos \alpha + \sin \alpha + \cos \alpha - \sin \alpha } \right)}}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\]

        \[P = 2\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 5 }}{3} \approx - 1,5.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 11,3

Ta có: \[{S_3} - {S_2} = {u_3}\]\[ \Rightarrow {u_3} = 13 - 4 = 9\]\[ \Rightarrow {u_1}.{q^2} = 9\]\[ \Rightarrow {u_1} = \frac{9}{{{q^2}}}.\]

Vì \[{S_2} = 4\] nên \[{u_1} + {u_1}.q = 4\].

Do đó, \[\frac{9}{{{q^2}}} + \frac{9}{{{q^4}}} = 4\] \[ \Leftrightarrow 4{q^2} - 9q - 9 = 0\] \[ \Leftrightarrow q = 3\] hoặc \[q = - \frac{3}{4}\].

Do \[q < 0\] nên \[q = - \frac{3}{4}\] thỏa mãn.

Suy ra \[{u_1} = \frac{9}{{{q^2}}} = 16\].

Do đó \[{S_5} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{181}}{{16}} \approx 11,3\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 0,5

Gọi \[F = AB \cap CD\]. Nối \[F\] với \[M\], \[FM \cap SC = N\]. Khi đó, \[N\] là giao điểm của \[\left( {ABM} \right)\] và \[SC\].

Theo giả thiết, ta có \[AD = 2BC\] và \[AD\parallel BC\] do đó \[BC\] là đường trung bình của tam giác \[FAD\].

Suy ra \[C\] là trung điểm của \[FD\].

Trong mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] kẻ \[CE\parallel NM,{\rm{ }}\left( {E \in SD} \right)\].

Do \[C\] là trung điểm \[FD\] nên suy ra \[E\] là trung điểm \[MD\] và \[M\] là trung điểm \[SE\].

Do \[MN\parallel CE\] và \[M\] là trung điểm \[SE\] nên \[MN\] là đường trung bình của tam giác \[SCE.\]

Từ đó suy ra \[N\] là trung điểm \[SC\] và \[\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{1}{2} = 0,5.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 12,5

Để cabin đạt độ cao \[40{\rm{ }}m\] thì \[h\left( t \right) = 40\]

\[ \Leftrightarrow 30 + 20\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3}} \right) = 40\] \[ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\]\[ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{{25}}{6} + 50k\\t = \frac{{25}}{2} + 50k\end{array} \right.,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\]

Dễ thấy, giá trị \[t > 0\] nhỏ nhất thỏa mãn là \[t = 12,5\] giây.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2190

Gọi \[{u_1};{u_2};.....;{u_{30}}\] lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,…. Và dãy ghế số ba mươi.

Ta có công thức truy hồi, ta có: \[{u_n} = {u_{n - 1}} + 4{\rm{ }}\left( {n = 2;3;...;30} \right)\].

Ký hiệu: \[{S_{30}} = {u_1} + {u_2} + ..... + {u_{30}}\], theo công thức tổng các số hạng của số cấp số cộng, ta được: \[{S_{30}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right].n}}{2} = \frac{{\left[ {2.15 + 29.4} \right].30}}{2} = 2190\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2

Trong mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\], gọi \[I = RQ \cap BD.\]

Trong \[\left( {ABD} \right)\], gọi \[S = PI \cap AD \Rightarrow S = AD \cap \left( {PQR} \right).\]

Gọi E là trung điểm BR ⇒ R là trung điểm đoạn EC.

Mà Q là trung điểm CD ⇒ RQ là đường trung bình tam giác DEC.

⇒ RQ // DE ⇒ RI // DE.

Xét tam giác BRI có: RI // DE và E là trung điểm BR ⇒ D là trung điểm BI.

Xét tam giác ABI có: AD là đường trung tuyến tương ứng với cạnh BI và IP là đường trung tuyến tương ứng cạnh AB.

Mà IP ∩ AD = {S} ⇒ S là trọng tâm tam giác ABI. Vậy \[\frac{{SA}}{{SD}} = 2\].