Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2n + 1}}{{1 - 3n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{\frac{1}{n} - 3}} = - \frac{2}{3}\) (do \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0\)). Chọn D.

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^4} + {x^2} - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^4}}}} \right) = + \infty \]. Chọn B.

Với \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha < 0\\\cos \alpha < 0\end{array} \right.\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha - 2\cos \alpha = 1\\{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {1 + 2\cos \alpha } \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow 5{\cos ^2}\alpha + 4\cos \alpha = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = 0{\rm{ }}\,\left( {{\rm{loai}}} \right)\\\cos \alpha = - \frac{4}{5}\end{array} \right.\).

Từ hệ thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\), suy ra \(\sin \alpha = - \frac{3}{5}\) (do \(\sin \alpha < 0\))

và \[\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{4}{3}.\]

Thay \[\tan \alpha = \frac{3}{4}\] và \[\cot \alpha = \frac{4}{3}\]vào \(P\), ta được \[P = \frac{1}{6}.\] Chọn C.

Điều kiện xác định: \(\sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\). Chọn B.

Ta có \(\frac{{2n + 1}}{{n + 1}} \ge \frac{3}{2}\,,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

\[{u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{n + 1}} = 2 - \frac{1}{{n + 1}} < 2,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\].

 Suy ra dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] có số hạng tổng quát \[{u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}}\] là dãy số bị chặn. Chọn D.

a) Sai. Số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{3}{2} + \left( {n - 1} \right) \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{n}{2}\) với mọi \(n \ge 1\).

b) Đúng. Xét \(5 = 1 + \frac{n}{2} \Rightarrow n = 8 \in {\mathbb{N}^*}\); suy ra 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho.

c) Sai. Xét \(\frac{{15}}{4} = 1 + \frac{n}{2} \Rightarrow n = \frac{{11}}{2} \notin {\mathbb{N}^*};\) suy ra \(\frac{{15}}{4}\) không là một số hạng của cấp số cộng đã cho.

d) Sai. Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng là: \({S_{100}} = \frac{{100\left[ {2 \cdot \frac{3}{2} + \left( {100 - 1} \right) \cdot \frac{1}{2}} \right]}}{2} = 2625.\)

Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y = 5 + 4\sin 2x\cos 2x = 5 + 2\sin 4x\).

Do \( - 1 \le \sin 4x \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin 4x \le 2 \Leftrightarrow 3 \le 5 + 2\sin 4x \le 7 \Leftrightarrow 3 \le y \le 7\).

Suy ra tập giá trị của hàm số là \(T = \left[ {3\,;7} \right]\).

Vậy \(a + b = 3 + 7 = 10\).

Đáp án: 10.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = - 12\\{u_{14}} = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 12\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10d = 30\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 3\\{u_1} = - 21\end{array} \right.\).

Tổng của 16 số hạng đầu tiên là \({S_{16}} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{{16}}{2}\left[ {2 \cdot \left( { - 21} \right) + \left( {16 - 1} \right) \cdot 3} \right] = 24\).

Đáp án: 24.

Cách 1.

Gọi độ cao của quả bóng nảy lên lần thứ nhất là \({u_1}\). Ta có \({u_1} = \frac{3}{4} \cdot 10 = \frac{{15}}{2}\) (m).

Theo bài ra, ta có độ cao của quả bóng trong các lần nảy tiếp theo lần lượt là:

\({u_2} = \frac{3}{4}{u_1};\,{u_3} = \frac{3}{4}{u_2};\,...;\,{u_n} = \frac{3}{4}{u_{n - 1}};\,...\).

Như vậy, độ cao mỗi lần nảy lên của quả bóng tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = \frac{{15}}{2}\) và công bội \(q = \frac{3}{4}\).

Khi đó, tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn là:

\(S = 10 + 2{u_1} + 2{u_2} + ... + 2{u_n} + ....\)\( = 10 + 2\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ...} \right)\)\( = 10 + 2 \cdot \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 10 + 2 \cdot \frac{{\frac{{15}}{2}}}{{1 - \frac{3}{4}}} = 70\) (m).

Cách 2.

Mỗi quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có \({u_1} = 10\) và \(q = \frac{3}{4}\).

Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)\( = \frac{{10}}{{1 - \frac{3}{4}}}\) \( = 40\) (m).

Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn \(2S - 10 = 70\) (m).

Đáp án: 70.

Ta có \[{x^5} - 5{x^3} + 2{x^2} + 6x - 4 = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2} \right).\]

\[{x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\].

Khi đó, \[M = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^5} - 5{x^3} + 2{x^2} + 6x - 4}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}} = \frac{0}{2} = 0\].

Đáp án: 0.

Ta có \(h\left( t \right) = 45 \Rightarrow 90\cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) = 45 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}t = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{\pi }{3}t = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + 6k\\t = - 1 + 6k\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì \(0 \le t \le 9 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le 1 + 6k \le 9\\0 \le - 1 + 6k \le 9\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{6} \le k \le \frac{4}{3} \Rightarrow \left[ \begin{array}{r}k = 0 \Rightarrow t = 1\,{\rm{s}}\\k = 1 \Rightarrow t = 7\,{\rm{s}}\end{array} \right.\\\frac{1}{6} \le k \le \frac{5}{3} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow t = 5\,{\rm{s}}\end{array} \right.\) (do \(k \in \mathbb{Z}\)).

Vậy \[t = 1\,{\rm{s}}\], \[t = 5\,{\rm{s}}\], \[t = 7\,{\rm{s}}\] là các thời điểm cần tìm.

Từ đề bài ta suy ra được mỗi tháng bạn Vân trích ra \(4 \cdot 30\% = 1,2\) triệu đồng để gửi tiết kiệm.

Tháng 9/2023 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: \({u_{24}} = 1,2{\left( {1 + 0,004} \right)^{24}}\).

Tháng 10/2023 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: \({u_{23}} = 1,2{\left( {1 + 0,004} \right)^{23}}\).

…

Tháng 8/2025 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: \[{u_1} = 1,2\left( {1 + 0,004} \right) = 1,2048\].

Số tiền bạn Vân nhận được khi gửi tiết kiệm như thế tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = 1,2\left( {1 + 0,004} \right) = 1,2048\) và công bội \(q = 1,004\).

Vậy tổng số tiền bạn Vân nhận được chính là tổng 24 số hạng đầu của một cấp số nhân ở trên.

\({S_{24}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{24}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1,2048\left( {1 - 1,{{004}^{24}}} \right)}}{{1 - 1,004}} \approx 30,285148\) (triệu đồng).

Vậy số tiền bạn Vân nhận được đến hết tháng 8/2025 là 30 285 148 đồng.

Với \(0 \le t < 70\), ta có hàm số \(T\left( t \right) = 20 + 4t\) là hàm đa thức nên hàm số này liên tục trên \(\left[ {0;\,70} \right)\).

Với \(70 < t \le 120\), ta có hàm số \(T\left( t \right) = a - 2t\) (\(a\) là hằng số) là hàm đa thức nên hàm số này liên tục trên \(\left[ {0;\,70} \right)\).

Xét tính liên tục của hàm số tại \({t_0} = 70\):

Tại \[{t_0} = 70\], ta có: \[T\left( {70} \right) = 300\].

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{70}^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{70}^ - }} \left( {20 + 4t} \right) = 300;\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{70}^ + }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{70}^ + }} \left( {a - 2t} \right) = a - 140\].

Hàm số \(T\left( t \right)\) liên tục trên tập xác định khi và chỉ khi hàm số liên tục tại \({t_0} = 70\), điều này xảy ra khi và chỉ khi \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{70}^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{70}^ + }} T\left( x \right) = T\left( {70} \right) \Leftrightarrow a - 140 = 300 \Leftrightarrow a = 440\].

Vậy giá trị của \(a = 440\).