Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc \[\frac{{7\pi }}{4}\]?
\[\frac{{3\pi }}{4}\].
\[ - \frac{\pi }{4}\].
\[\frac{\pi }{4}\].
\[ - \frac{{3\pi }}{4}\].
Ta có \( - \frac{\pi }{4} = \frac{{7\pi }}{4} - 2\pi \). Chọn B.
\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).
\(\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).
\[\tan \left( {a--b} \right) = \tan a - \tan b\].
\[\tan \left( {a + b} \right) = \tan a + \tan b\].
Ta có \(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\) là công thức đúng. Chọn A.
\[1\].
\[3\].
\[2\].
\[4\].
Các hàm số: \(y = \sin 2x\), \(y = \tan x\), \(y = \cot x\)tuần hoàn với chu kỳ \(T = \pi \). Chọn B.
\(x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = - \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Ta có \[\cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{{15}} + k2\pi \\3x = - \frac{\pi }{{15}} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]. Chọn A.
\(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8}.\)
\(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{26}}.\)
\(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{{16}}.\)
\(\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4}.\)
Ta có \({u_1} = \frac{1}{{{3^1} - 1}} = \frac{1}{2};{u_2} = \frac{2}{{{3^2} - 1}} = \frac{1}{4};{u_3} = \frac{3}{{{3^3} - 1}} = \frac{3}{{26}}.\)Chọn B.
\[{u_2} = 8\].
\[{u_2} = - 10\].
\[{u_2} = - 8\].
\[{u_2} = 2\].
\[q = 12\].
\[q = 4\].
\[q = 2\].
\[q = \frac{1}{2}\].
Ta có \[{u_2} = {u_1} \cdot q \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2.\]Chọn C.
\( + \infty \).
\(\frac{{ - 1}}{3}\).
\(2\).
\(\frac{{ - 2}}{3}\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2n + 1}}{{1 - 3n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{n}}}{{\frac{1}{n} - 3}} = - \frac{2}{3}\) (do \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0\)).Chọn D.
\( - \infty \).
\( + \infty \).
\(1\).
\( - 1\).
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^4} + {x^2} - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^4}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^4}}}} \right) = + \infty \]. Chọn B.
\(P = \frac{1}{2}.\)
\(P = \frac{1}{4}.\)
\(P = \frac{1}{6}.\)
\(P = \frac{1}{8}.\)
Với \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha < 0\\\cos \alpha < 0\end{array} \right.\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha - 2\cos \alpha = 1\\{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {1 + 2\cos \alpha } \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow 5{\cos ^2}\alpha + 4\cos \alpha = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = 0{\rm{ }}\,\left( {{\rm{loai}}} \right)\\\cos \alpha = - \frac{4}{5}\end{array} \right.\).
Từ hệ thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\), suy ra \(\sin \alpha = - \frac{3}{5}\) (do \(\sin \alpha < 0\))
và \[\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{4}{3}.\]
Thay \[\tan \alpha = \frac{3}{4}\]và \[\cot \alpha = \frac{4}{3}\]vào \(P\), ta được \[P = \frac{1}{6}.\]Chọn C.
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
Điều kiện xác định: \(\sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\). Chọn B.
Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số bị chặn?
\[{u_n} = {n^2}\].
\[{u_n} = {n^3} - 1\].
\[{u_n} = 2n + \sin \left( n \right)\].
\[{u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}}\].
Ta có \(\frac{{2n + 1}}{{n + 1}} \ge \frac{3}{2}\,,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
\[{u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{n + 1}} = 2 - \frac{1}{{n + 1}} < 2,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\].
Suy ra dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\]có số hạng tổng quát \[{u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}}\]là dãy số bị chặn. Chọn D.
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho \(\sin a = \frac{1}{3},0 \le a \le \frac{\pi }{2}\).
a) Giá trị \(\tan a = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
b) Giá trị \(\sin 2a = \frac{{2\sqrt 2 }}{9}\).
c) \(\sin \left( {\frac{\pi }{3} + a} \right) = \frac{{2\sqrt 6 + 1}}{6}\).
d) \(\tan \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{9 + 4\sqrt 2 }}{8}\).
a) Đúng. Vì \(0 \le a \le \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos a \ge 0\).
Ta có \({\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = \frac{8}{9} \Rightarrow \cos a = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Suy ra \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
b) Sai. Ta có \(\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\).
c) Đúng. Ta có \(\sin \left( {\frac{\pi }{3} + a} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\cos a + \cos \frac{\pi }{3}\sin a = \frac{{2\sqrt 6 + 1}}{6}\).
d)Sai. Ta có \(\tan \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan a + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan a \cdot \tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{9 + 4\sqrt 2 }}{7}\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = \frac{3}{2}\), công sai \(d = \frac{1}{2}\).
a) Công thức cho số hạng tổng quát \({u_n} = 1 + \frac{n}{3}\).
b) 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho.
c)\(\frac{{15}}{4}\) một số hạng của cấp số cộng đã cho.
d) Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \(2620\).
a) Sai. Số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{3}{2} + \left( {n - 1} \right) \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{n}{2}\) với mọi \(n \ge 1\).
b) Đúng. Xét \(5 = 1 + \frac{n}{2} \Rightarrow n = 8 \in {\mathbb{N}^*}\); suy ra 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho.
c) Sai. Xét \(\frac{{15}}{4} = 1 + \frac{n}{2} \Rightarrow n = \frac{{11}}{2} \notin {\mathbb{N}^*};\) suy ra \(\frac{{15}}{4}\) không là một số hạng của cấp số cộng đã cho.
d) Sai. Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng là: \({S_{100}} = \frac{{100\left[ {2 \cdot \frac{3}{2} + \left( {100 - 1} \right) \cdot \frac{1}{2}} \right]}}{2} = 2625.\)
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.
Biết tập giá trị của hàm số \(y = 5 + 4\sin 2x\cos 2x\)là \(T = \left[ {a\,;b} \right]\). Tính \(a + b\).
Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có \(y = 5 + 4\sin 2x\cos 2x = 5 + 2\sin 4x\).
Do \( - 1 \le \sin 4x \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin 4x \le 2 \Leftrightarrow 3 \le 5 + 2\sin 4x \le 7 \Leftrightarrow 3 \le y \le 7\).
Suy ra tập giá trị của hàm số là \(T = \left[ {3\,;7} \right]\).
Vậy \(a + b = 3 + 7 = 10\).
Đáp án: 10.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_4} = - 12\); \({u_{14}} = 18\). Tính tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = - 12\\{u_{14}} = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 12\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10d = 30\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 3\\{u_1} = - 21\end{array} \right.\).
Tổng của 16 số hạng đầu tiên là \({S_{16}} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{{16}}{2}\left[ {2 \cdot \left( { - 21} \right) + \left( {16 - 1} \right) \cdot 3} \right] = 24\).
Đáp án: 24.
Bạn Hà thả quả bóng cao su từ độ cao \(10\)m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng \(\frac{3}{4}\) độ cao trước đó. Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn bằng bao nhiêu mét?
Cách 1.
Gọi độ cao của quả bóng nảy lên lần thứ nhất là \({u_1}\). Ta có \({u_1} = \frac{3}{4} \cdot 10 = \frac{{15}}{2}\) (m).
Theo bài ra, ta có độ cao của quả bóng trong các lần nảy tiếp theo lần lượt là:
\({u_2} = \frac{3}{4}{u_1};\,{u_3} = \frac{3}{4}{u_2};\,...;\,{u_n} = \frac{3}{4}{u_{n - 1}};\,...\).
Như vậy, độ cao mỗi lần nảy lên của quả bóng tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = \frac{{15}}{2}\) và công bội \(q = \frac{3}{4}\).
Khi đó, tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn là:
\(S = 10 + 2{u_1} + 2{u_2} + ... + 2{u_n} + ....\)\( = 10 + 2\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + ...} \right)\)\( = 10 + 2 \cdot \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 10 + 2 \cdot \frac{{\frac{{15}}{2}}}{{1 - \frac{3}{4}}} = 70\) (m).
Cách 2.
Mỗi quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có \({u_1} = 10\) và \(q = \frac{3}{4}\).
Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)\( = \frac{{10}}{{1 - \frac{3}{4}}}\)\( = 40\) (m).
Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn \(2S - 10 = 70\) (m).
Đáp án: 70.
Tính giá trị của biểu thức \[M = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^5} - 5{x^3} + 2{x^2} + 6x - 4}}{{{x^2} - 1}}\].
Ta có \[{x^5} - 5{x^3} + 2{x^2} + 6x - 4 = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2} \right).\]
\[{x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\].
Khi đó, \[M = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^5} - 5{x^3} + 2{x^2} + 6x - 4}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}} = \frac{0}{2} = 0\].
Đáp án: 0.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hoá bởi hàm số \(h\left( t \right) = 90{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{3}t} \right)\), trong đó \(h\left( t \right)\) là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm \(t\) giây \(\left( {t \ge 0} \right)\). Tìm tất cả các thời điểm trong khoảng 9 giây đầu tiên để chiều cao của sóng đạt 45 cm.
Ta có \(h\left( t \right) = 45 \Rightarrow 90\cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) = 45 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}t = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{\pi }{3}t = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + 6k\\t = - 1 + 6k\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vì \(0 \le t \le 9 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le 1 + 6k \le 9\\0 \le - 1 + 6k \le 9\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{6} \le k \le \frac{4}{3} \Rightarrow \left[ \begin{array}{r}k = 0 \Rightarrow t = 1\,{\rm{s}}\\k = 1 \Rightarrow t = 7\,{\rm{s}}\end{array} \right.\\\frac{1}{6} \le k \le \frac{5}{3} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow t = 5\,{\rm{s}}\end{array} \right.\) (do \(k \in \mathbb{Z}\)).
Vậy \[t = 1\,{\rm{s}}\], \[t = 5\,{\rm{s}}\], \[t = 7\,{\rm{s}}\] là các thời điểm cần tìm.
Bạn Vân là học sinh giỏi của một trường THPT nên được hưởng học bổng hằng tháng là 4 triệu đồng. Học bổng được cấp vào đầu tháng. Vì muốn để dành tiền đóng học phí vào năm nhất đại học nên bắt đầu từ đầu tháng 9/2023 (đầu năm học lớp 11), cứ đầu tháng bạn Vân dành 30% số tiền học bổng nói trên để gửi tiết kiệm ở ngân hàng với lãi suất 0,4%/tháng và sẽ cố gắng giữ vững thành tích học tập để nhận học bổng đến hết tháng 8/2025. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu, học bổng được cấp đến hết tháng 8/2025. Hỏi đến hết tháng 8/2025 bạn Vân có bao nhiêu tiền để đóng học phí học đại học?
Từ đề bài ta suy ra được mỗi tháng bạn Vân trích ra \(4 \cdot 30\% = 1,2\)triệu đồng để gửi tiết kiệm.
Tháng 9/2023 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: \({u_{24}} = 1,2{\left( {1 + 0,004} \right)^{24}}\).
Tháng 10/2023 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: \({u_{23}} = 1,2{\left( {1 + 0,004} \right)^{23}}\).
…
Tháng 8/2025 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: \[{u_1} = 1,2\left( {1 + 0,004} \right) = 1,2048\].
Số tiền bạn Vân nhận được khi gửi tiết kiệm như thế tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = 1,2\left( {1 + 0,004} \right) = 1,2048\) và công bội \(q = 1,004\).
Vậy tổng số tiền bạn Vân nhận được chính là tổng 24 số hạng đầu của một cấp số nhân ở trên.
\({S_{24}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{24}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1,2048\left( {1 - 1,{{004}^{24}}} \right)}}{{1 - 1,004}} \approx 30,285148\) (triệu đồng).
Vậy số tiền bạn Vân nhận được đến hết tháng 8/2025 là 30 285 148 đồng.
Biết rằng khi nung nóng một vật với nhiệt độ tăng từ \(20^\circ {\rm{C}}\), mỗi phút tăng \(4^\circ {\rm{C}}\) trong \(70\) phút, sau đó giảm mỗi phút \(2^\circ {\rm{C}}\) trong \[50\] phút. Hàm số biểu thị nhiệt độ \[\left( {^\circ {\rm{C}}} \right)\] trong tủ theo thời gian \(t\) (phút) có dạng:
\(T\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}20 + 4t\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,0 \le t \le 70\\a - 2t\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,70 < t \le 120\end{array} \right.\)(\(a\) là hằng số).
Biết rằng, \(T\left( t \right)\) là hàm liên tục trên tập xác định. Tìm giá trị của \(a\).
Với \(0 \le t < 70\), ta có hàm số \(T\left( t \right) = 20 + 4t\) là hàm đa thức nên hàm số này liên tục trên \(\left[ {0;\,70} \right)\).
Với \(70 < t \le 120\), ta có hàm số \(T\left( t \right) = a - 2t\)(\(a\) là hằng số) là hàm đa thức nên hàm số này liên tục trên \(\left[ {0;\,70} \right)\).
Xét tính liên tục của hàm số tại \({t_0} = 70\):
Tại \[{t_0} = 70\], ta có: \[T\left( {70} \right) = 300\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{70}^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{70}^ - }} \left( {20 + 4t} \right) = 300;\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{70}^ + }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{70}^ + }} \left( {a - 2t} \right) = a - 140\].
Hàm số \(T\left( t \right)\)liên tục trên tập xác định khi và chỉ khi hàm số liên tục tại \({t_0} = 70\), điều này xảy ra khi và chỉ khi \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{70}^ - }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{70}^ + }} T\left( x \right) = T\left( {70} \right) \Leftrightarrow a - 140 = 300 \Leftrightarrow a = 440\].
Vậy giá trị của \(a = 440\).
