Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Đề 3

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đồ thị đối xứng qua trục \[Oy\] nên đó là hàm số \[y = \cos x.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[\sin x = \frac{4}{5}\] với \[\frac{\pi }{2} < x < \pi \] thì \[x\] thuộc góc phần tư thứ II.

Do đó, \[\cos x < 0\].

Vậy \[\cos x = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}x} = - \frac{3}{5}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\left( {Ou,Ov} \right) = - \left( {360^\circ - 60^\circ } \right) = - 300^\circ \].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: \[1 - \cos x \ne 0\] \[ \Leftrightarrow \cos x \ne 1\]\[ \Leftrightarrow x \ne k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\]

Vậy tập xác định của hàm số \[y = \frac{{\sin x}}{{1 - \cos x}}\] là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[2\sin x - \sqrt 3 = 0\]

   \[ \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] \[ \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right)\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy dãy số ở đáp án C, các số liền sau đều cách số liền trước nó \[ - 4\] đơn vị.

Vậy \[1; - 3; - 7; - 11; - 15\]là một cấp số cộng có công sai \[d = - 4\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[{u_2} = {u_1}q = \left( { - 2} \right) \cdot 3 = - 6\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tổng 10 số hạng đầu tiên là: \[{S_{10}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + 9d} \right].10}}{2} = \frac{{\left[ {2.1 + 9.2} \right].10}}{2} = 100.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hình chóp tứ giác có 4 mặt là tam giác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[\left( {SAB} \right) \cap \left( {IBC} \right) = IB.\]            \[\left( {SBD} \right) \cap \left( {JCD} \right) = JD.\]             \[\left( {IAC} \right) \cap \left( {IBD} \right) = IO\]             (\[O\] là tâm \[ABCD\]). Có \[I,J\] lần lượt là trung điểm của \[SA\] và \[SB\] nên \[IJ\parallel AB.\] Mà \[CD\parallel AB\] suy ra \[IJ\parallel CD\]. Do đó, \[CDIJ\] là hình thang.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Dễ thấy \[S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SMN} \right)\]. Gọi \[O\] là tâm của hình bình hành. Khi đó, \[O = AC \cap MN\] \[ \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SMN} \right)\]. Vậy \[\left( {SAC} \right) \cap \left( {SMN} \right) = SO.\]

Hướng dẫn giải

a) S

b) Đ

c) S

d) Đ

 

a) Ta có: \[\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\]

          \[ \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\]

          \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{3} = \pi - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\]

          \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}.\]

b) Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình, ta có:

Với \[ - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3} < 0\] khi \[k < \frac{1}{3}\], mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[{k_{\max }} = 0\]. Khi đó, \[x = - \frac{{2\pi }}{9}\] (1)

Với \[\frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3} < 0\] khi \[k < - \frac{1}{2}\] mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[{k_{\max }} = - 1\]. Khi đó, \[x = - \frac{\pi }{3}\] (2)

So sánh (1) và (2), ta suy ra \[x = - \frac{{2\pi }}{9}\] là nghiệm âm lớn nhất của phương trình.

c) Với \[0 < - \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3} < \frac{\pi }{2}\] thì \[\frac{1}{3} < k < \frac{{13}}{{12}}\]. Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k = 1\].

Do đó, \[x = \frac{{4\pi }}{9}\].

Với \[0 < \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3} < \frac{\pi }{2}\] thì \[ - \frac{1}{2} < k < \frac{1}{4}\]. Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k = 0.\]

Do đó, \[x = \frac{\pi }{3}\].

Vậy phương trình có 2 nghiệm trong khoảng \[\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\].

d) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \[\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\] là \[\frac{{4\pi }}{9} + \frac{\pi }{3} = \frac{{7\pi }}{9}.\]

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) Đ

c) S

d) S

 

Chiều cao của sóng tại thời điểm 5 giây là \[h\left( 5 \right) = 75\sin \left( {\frac{{\pi .5}}{8}} \right) \approx 69,3{\rm{ }}\left( {cm} \right).\]

Chiều cao của sóng tại thời điểm 20 giây là \[h\left( {20} \right) = 75\sin \left( {\frac{{\pi .20}}{8}} \right) = 75{\rm{ }}\left( {cm} \right).\]

Ta thấy \[ - 75 \le 75\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) \le 75\].

Sóng đạt chiều cao lớn nhất là \[75{\rm{ }}\left( m \right)\] khi \[\sin \left( {\frac{{\pi t}}{8}} \right) = 1\]\[ \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{8} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \]\[ \Leftrightarrow t = 4 + 16k.\]

Có \[0 \le t = 4 + 16k \le 30\]\[ \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \le k \le \frac{{26}}{{16}}\].

Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k = 0,k = 1\] và khi đó \[t = 4\], \[t = 20\] giây.

Trong 30 giây đầu tiên (kể từ mốc \[t = 0\] giây), các thời điểm để sóng đạt chiều cao lớn nhất là 4 giây và 20 giây.

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) Đ

d) Đ

 

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_7} = 26\\u_2^2 + u_6^2 = 466\end{array} \right.\]

      \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1} + 6d = 26\\{\left( {{u_1} + d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 5d} \right)^2} = 466\end{array} \right.\]

      \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 6d = 26\\2u_1^2 + 12{u_1}d + 26{d^2} = 466\end{array} \right.\]

      \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 13 - 3d\\u_1^2 + 6{u_1}d + 13{d^2} = 233\end{array} \right.\]

Thay \[{u_1} = 13 - 3d\] vào phương trình \[u_1^2 + 6{u_1}d + 13{d^2} = 233\], ta được:

\[{\left( {13 - 3d} \right)^2} + 6\left( {13 - 3d} \right)d + 13{d^2} = 233\]

\[ \Leftrightarrow 169 - 78d + 9{d^2} + 78d - 18{d^2} + 13{d^2} - 233 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 4{d^2} - 64 = 0\]\[ \Leftrightarrow {d^2} = 16\]

Do \[d < 0\] nên \[d = - 4\].

Suy ra \[{u_1} = 13 - 3 \cdot \left( { - 4} \right) = 13 + 12 = 25\].

Vậy cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có số hạng \[{u_1} = 25\] và công sai \[d = - 4\].

Ta có: \[{u_{10}} = {u_1} + 9d = 25 + 9.\left( { - 4} \right) = - 11.\]

           \[{u_{2024}} = {u_1} + 2023d = 25 + 2023.\left( { - 4} \right) = - 8067.\]

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) Đ

c) S

d) Đ

 

a) Ta có: \[E = AB \cap CD\]\[ \Rightarrow E \in AB,AB \subset \left( {ABCD} \right)\] \[ \Rightarrow E \in \left( {ABCD} \right).\]

Tương tự: \[F = AC \cap BD\]\[ \Rightarrow F \in AC,AC \subset \left( {ABCD} \right)\]\[ \Rightarrow F \in \left( {ABCD} \right).\]

Do đó, \[FE \subset \left( {ABCD} \right).\]

b) Dễ thấy \[\left\{ \begin{array}{l}A \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\\B \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow AB = \left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right)\].

Vậy \[AB\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right).\]

c) Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}E \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\\S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow SE = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right).\]

               \[\left\{ \begin{array}{l}F \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\\S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow SF = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right).\]

Do đó, \[SE\] là giao điểm của hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\], \[SF\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] và \[\left( {SBD} \right).\]

d) Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}G \in FE,{\rm{ }}FE \subset \left( {SEF} \right)\\G \in AD,AD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow G \in \left( {SEF} \right) \cap \left( {SAD} \right).\]

Mà \[S \in \left( {SEF} \right) \cap \left( {SAD} \right).\]

Vậy \[SG = \left( {SEF} \right) \cap \left( {SAD} \right).\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 7

Ta có: \[3\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) - m + 5 = 0\]

      \[ \Leftrightarrow 3\cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = m - 5\]

      \[ \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{m - 5}}{3}\].

Để phương trình có nghiệm thì \[ - 1 \le \frac{{m - 5}}{3} \le 1\] hay \[2 \le m \le 8\].

Theo đề, \[m \in \mathbb{Z}\] nên \[m \in \left\{ {2;3;4;5;6;7;8} \right\}\].

Vậy có 7 giá trị nguyên \[m\] thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 70

Ta có: \[x = \frac{{5 + 15}}{2} = 10\].

Nhận thấy \[d = 10 - 5 = 5\].

Do đó, \[y = 15 + 5 = 20.\]

Suy ra \[T = 3x + 2y = 3.10 + 2.20 = 70.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2

Gọi \[O\] là tâm hình bình hành \[ABCD.\] Ta có: \[I = AM \cap \left( {SBD} \right) = AM \cap SO.\] Xét tam giác \[SAC\], có \[AM\] và \[SO\] là hai đường trung tuyến của tam giác. Mà \[AM \cap SO = I\] nên \[I\] là trọng tâm của tam giác \[SAC\]. Do đó, \[\frac{{IA}}{{IM}} = 2.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 15,7

Giải phương trình \[y = 0\], ta có:

\[4,8\sin \frac{x}{5} = 0\]\[ \Leftrightarrow \sin \frac{x}{5} = 0\]\[ \Leftrightarrow \frac{x}{5} = k\pi \Leftrightarrow x = k5\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Do đó đồ thị cắt trục \[Ox\] tại các điểm có hoành độ \[0;{\rm{ }}5\pi ;{\rm{ }}10\pi ,...\]

Vì thế ta có tọa độ điểm \[A\left( {5\pi ;0} \right)\] nên chiều rộng của con sông là \[OA = 5\pi \approx 15,7{\rm{ }}\left( m \right).\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 250

Số lượng vi khuẩn ban đầu là \[{S_0} = {4.10^6}\].

Sau 6 giờ số lượng vi khuẩn còn lại bằng một nửa so với trước đó.

Do đó, sau \[6t\] giờ số lượng vi khuẩn còn lại là số hạng thứ \[t\] của một cấp số nhân với \[{u_1} = {S_0} = {4.10^6}\] và công bội là \[q = \frac{1}{2}\].

Vậy sau 24 giờ ta được \[t = 4\], suy ra \[S = {4.10^6}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = 250\] (nghìn con).

Vậy sau 24 giờ số lượng vi khuẩn còn lại là \[250\] nghìn con.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 0,5

Gọi \[O = AC \cap BD\], \[I = AM \cap SO\]. Trong mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\], kéo dài \[GI\] cắt \[SD\] tại  \[K\]. Suy ra \[K = SD \cap \left( {AMG} \right)\]. Trong tam giác \[SAC\], có \[SO,AM\] là hai đường trung tuyến nên \[I\] là trọng tâm tam giác \[SAC\]. Suy ra \[\frac{{OI}}{{OS}} = \frac{1}{3}\]. Ta lại có \[\frac{{OG}}{{OB}} = \frac{1}{3}\].

\[ \Rightarrow \frac{{OI}}{{OS}} = \frac{{OG}}{{OB}} = \frac{1}{3}\] \[ \Rightarrow GI\parallel SB\] \[ \Rightarrow GK\parallel SB\]\[ \Rightarrow \frac{{KD}}{{KS}} = \frac{{GD}}{{GB}}.\]

Ta có: \[DO = BO = 3GO\]\[ \Rightarrow GD = 4GO;GB = 2GO.\]

Vậy \[\frac{{KD}}{{KS}} = \frac{{GD}}{{GB}} = \frac{{4GO}}{{2GO}} = 2\]\[ \Rightarrow \frac{{KS}}{{KD}} = \frac{1}{2} = 0,5.\]