Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Đề 2

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[\sin x = \frac{1}{2}\]\[ \Leftrightarrow \sin x = \sin 30^\circ \] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 30^\circ + k360^\circ \\x = 150^\circ + k360^\circ \end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Mà \[90^\circ < x < 180^\circ \] do đó \[x = 150^\circ .\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Theo công thức lượng giác, ta có: \[\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tập xác định của hàm số \[y = \cot x\] là \[T = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[{\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{4}{{25}} = \frac{{21}}{{25}}\].

Suy ra \[\sin \alpha = \frac{{\sqrt {21} }}{5}{\rm{ }}\left( {90^\circ < \alpha < 180^\circ } \right).\]

Vậy \[\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{{\sqrt {21} }}{2}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[\cot x + \sqrt 3 = 0\]\[ \Leftrightarrow \cot x = - \sqrt 3 \]\[ \Leftrightarrow \cot x = \cot \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\] \[ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \({u_1} = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \ne 1\), \({u_2} = 2 \cdot 2 + 1 = 5 \ne 7\).

Ta có \[{u_n} = 2n + 1\], \[{u_{n + 1}} = 2\left( {n + 1} \right) + 1 = 2n + 3\].

Thấy \[{u_{n + 1}} - {u_n} = 2n + 3 - 2n - 1 = 2 > 0,{\rm{ }}\forall n.\]

Do đó, \[\left( {{u_n}} \right):{u_n} = 2n + 1\] là dãy tăng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Công sai của cấp số cộng trên là: \[d = {u_2} - {u_1} = 8 - 2 = 6.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[{S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\]\[ = \frac{{2.\left( {1 - {3^{10}}} \right)}}{{1 - 3}} = 59048.\]

Vậy \[{S_{10}} = 59048.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có \[\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\] với \[b \ne 0.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: \[\lim \frac{{1 - n}}{{5n + 3}} = \lim \frac{{ - n + 1}}{{5n + 3}} = - \frac{1}{5}.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\\O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\]         \[ \Rightarrow SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]. Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] và \[\left( {SBD} \right)\] là \[SO.\]

Hướng dẫn giải

a) S

b) S

c) Đ

d) Đ

Ta có: \[\sin 2x = - \frac{1}{2}\] \[ \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Xét trong khoảng \[\left( {0;\pi } \right)\] ta có:

 \[\left[ \begin{array}{l}0 < - \frac{\pi }{{12}} + k\pi < \pi \\0 < \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi < \pi \end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\\k = 0\end{array} \right.{\rm{ }}\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{11\pi }}{{12}}\\x = \frac{{7\pi }}{{12}}\end{array} \right.{\rm{ }}\].

Trong khoảng \[\left( {0;\pi } \right)\] phương trình có nghiệm lớn nhất bằng \[\frac{{11\pi }}{{12}}\].

Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng \[\left( {0;\pi } \right)\] bằng \[\frac{{11\pi }}{{12}} + \frac{{7\pi }}{{12}} = \frac{{3\pi }}{2}\].

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

 

a) Ta có: \[ - 1 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] \le 1\]

\[ \Leftrightarrow - 3 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] \le 3\]

\[ \Leftrightarrow 9 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 \le 15\].

Do đó, tập giá trị của hàm số \[d\left( t \right)\] là \[\left[ {9;15} \right].\]

b) Để thành phố có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

\[3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 12\]

\[ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 0\] \[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = k\pi \] \[ \Leftrightarrow t - 80 = 182k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Do \[t \in \mathbb{Z}\] và \[0 < t \le 365\] nên ta có:  \[\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\0 < 80 + 182k \le 365\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\ - \frac{{40}}{{91}} < k \le \frac{{285}}{{182}}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\]

Với \[k = 0\] thì \[t = 80 + 182.0 = 80;\]

Với \[k = 1\] thì \[t = 80 + 182.1 = 262.\]

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 trong năm.

c) Để thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì

\[3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 9\]

\[ \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1\]

\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow t - 80 = - 91 + 364k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow t = - 11 + 364k,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Do \[t \in \mathbb{Z}\] và \[0 < t \le 365\] nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\0 < - 11 + 364k \le 365\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\\frac{{11}}{{364}} < k \le \frac{{94}}{{91}}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow k = 1\].

Với \[k = 1\] thì \[t = - 11 + 364 = 353.\]

Vậy thành phố A có đúng 9 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm.

d) Thay \[t = 107\] vào \[d\left( t \right)\], ta được \[d\left( {107} \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {107 - 80} \right)} \right] + 12 \approx 13,3\] giờ.

Do đó, vào ngày thứ 107 trong năm thành phố A không có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời.

Hướng dẫn giải

a) S

b) S

c) S

d) Đ

 

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 168\\{u_4} + {u_5} + {u_6} = 21\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}.q + {u_1}.{q^2} = 168\\{u_1}.{q^3} + {u_1}.{q^4} + {u_1}.{q^5} = 21\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 168\\{u_1}.{q^3}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 21\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{{168}}{{1 + q + {q^2}}}\\{q^3} = \frac{1}{8}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 96\\q = \frac{1}{2}\end{array} \right.\].

Do đó, số hạng \[{u_1} = 96\] và công bội của cấp số nhân \[q = \frac{1}{2}\].

Ta có: \[{u_2} = 96.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2 - 1}} = 48\].

Do đó, 24 là không là số hạng thứ hai của cấp số nhân.

Ta có: \[{S_{10}} = \frac{{96\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - \frac{1}{2}}} = \frac{{3069}}{{16}}.\]

Vậy tổng của 10 số hạng đầu cấp số nhân đã cho bằng \[\frac{{3069}}{{16}}.\]

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) Đ

c) Đ

d) Đ

 

a) Trong mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\], gọi \[O = AC \cap BD\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\\S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\].

Vậy \[SO\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] và \[\left( {SBD} \right)\].

b) Trong mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\], gọi \[P = AM \cap SO\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}P \in AM\\P \in SO,{\rm{ }}SO \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow P = AM \cap \left( {SBD} \right).\]

c) Trong mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\], gọi \[K = AN \cap CD\].

Khi đó: \[\left\{ \begin{array}{l}K \in AN,{\rm{ }}AN \subset \left( {AMN} \right)\\K \in CD,{\rm{ }}CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow K \in \left( {AMN} \right) \cap \left( {SCD} \right).\]

Mặt khác, \[\left\{ \begin{array}{l}M \in SC,{\rm{ SC}} \subset \left( {SCD} \right)\\M \in \left( {AMN} \right)\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow M \in \left( {AMN} \right) \cap \left( {SCD} \right).\]

Vậy \[KM = \left( {AMN} \right) \cap \left( {SBD} \right).\]

d) Trong mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\], gọi \[H = KM \cap SD\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}H \in KM,\,\,KM \subset \left( {AMN} \right)\\H \in SD\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow H \in SD \cap \left( {ANM} \right)\].

Do đó, giao điểm của đường thẳng \[SD\] và mặt phẳng \[\left( {AMN} \right)\] là điểm nằm trên cạnh \[KM.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: −1,5

Ta có: \[\sin \alpha = \frac{2}{3}\] và \[\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \] do đó \[\alpha \] thuộc góc phần tư thứ hai.

Suy ra \[\cos \alpha < 0\] và \[\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\].

Ta có: \[P = \frac{{1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\]

           \[P = \frac{{1 + 2\sin \alpha \cos \alpha + {{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\]

           \[P = \frac{{{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)}^2} + \left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)\left( {\cos \alpha + \sin \alpha } \right)}}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\]

           \[P = \frac{{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\left( {\cos \alpha + \sin \alpha + \cos \alpha - \sin \alpha } \right)}}{{\sin \alpha + \cos \alpha }}\]

          \[P = 2\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 5 }}{3} \approx - 1,5.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 12,5

Để cabin đạt độ cao \[40{\rm{ m}}\] thì \[h\left( t \right) = 40\].

\[ \Leftrightarrow 30 + 20\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3}} \right) = 40\] \[ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}\]\[ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{{25}} + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{{25}}{6} + 50k\\t = \frac{{25}}{2} + 50k\end{array} \right.,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\]

Giá trị \[t > 0\] nhỏ nhất thỏa mãn là \[t = 12,5\] giây khi \[k = 0.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 2190

Gọi \[{u_1};{u_2};.....;{u_{30}}\] lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai, … và dãy ghế số ba mươi.

Ta có công thức truy hồi, ta có: \[{u_n} = {u_{n - 1}} + 4{\rm{ }}\left( {n = 2;3;...;30} \right)\].

Ký hiệu: \[{S_{30}} = {u_1} + {u_2} + ..... + {u_{30}}\], theo công thức tổng các số hạng của số cấp số cộng, ta được: \[{S_{30}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right].n}}{2} = \frac{{\left[ {2.15 + 29.4} \right].30}}{2} = 2190\].

Vậy khán phòng có tất cả \[2190\] ghế.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 6552

Gọi \[\left( {{u_n}} \right)\] là cấp số nhân cần tìm, \[q\] là công bội của cấp số nhân đó.

Ta có: \[{u_1} = 18,{u_2} = 54\] \[ \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{54}}{{18}} = 3\].

Xét số hạng cuối: \[{u_n} = 4374\]\[ \Rightarrow {u_1}.{q^{n - 1}} = 4374\] \[ \Leftrightarrow {18.3^{n - 1}} = 4374\] \[ \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = {3^5}\] \[ \Leftrightarrow n = 6.\]

Vậy tổng sáu số hạng của cấp số nhân là \[{S_6} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^6}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{18.\left( {1 - {3^6}} \right)}}{{1 - 3}} = 6552\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 1

Ta có: \[\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\]

        \[ = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\]

        \[ = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\]\[ = \frac{n}{{n + 1}}\].

Suy ra \[\lim \left[ {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}} \right] = \lim \frac{n}{{n + 1}} = 1\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 0,8

Trong mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\], gọi \[F = KN \cap SD\].

Trong mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\], gọi \[E = KM \cap SA\].

Lúc này, mặt phẳng \[\left( {KMN} \right)\] cắt hình chóp theo thiết diện là tứ giác \[MNFE\].

Ta có: \[AD = 2BC\] thì \[BC\] là đường trung bình của tam giác \[KAD.\]

Suy ra \[M\] là trọng tâm của tam giác \[SAK\] và \[E\] là trung điểm của \[SA.\]

Tương tự \[EF\] là đường trung bình của tam giác \[SAD\] \[ \Rightarrow EF = \frac{1}{2}AD.\]

Mặt khác theo giả thiết, ta có \[SM = 2MB;SN = 2NC\] \[ \Rightarrow MN = \frac{2}{3}BC = \frac{1}{3}AD.\]

Vì \[\frac{{MN}}{{EF}} = \frac{2}{3}\] nên \[\frac{{{S_{KMN}}}}{{{S_{KFE}}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}\]\[ \Leftrightarrow {S_{KMN}} = \frac{4}{9}{S_{KEF}};{S_{MNFE}} = \frac{5}{9}{S_{KEF}}\].

Vậy \[\frac{{{S_{KMN}}}}{{{S_{MNFE}}}} = \frac{4}{5} = 0,8.\]