Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Đề 1
22 câu hỏi
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, học sinh chỉ chọn một phương án
Góc có số đo \[108^\circ \] đổi sang radian là
\[\frac{{3\pi }}{2}.\]
\[\frac{{5\pi }}{2}.\]
\[\frac{{5\pi }}{3}.\]
\[\frac{{3\pi }}{5}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[108^\circ .\frac{\pi }{{180^\circ }} = \frac{{3\pi }}{5}.\]
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\[\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = \tan \alpha .\]
\[\cot \left( {\pi - \alpha } \right) = \cot \alpha .\]
\[\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \alpha .\]
\[\sin \left( {\pi - \alpha } \right) = - \sin \alpha .\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Theo công thức về cung liên kết, ta có \[\cos \left( {\pi - \alpha } \right) = - \cos \alpha .\]
Tập xác định của hàm số \[y = \frac{{2025}}{{\sin x}}\] là
\[D = \mathbb{R}.\]
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\]
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
Đáp án đúng là: D
Điều kiện xác định: \[\sin x \ne 0\] \[ \Leftrightarrow x \ne k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Do đó, \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
Nếu \[\sin x + \cos x = \frac{1}{2}\] thì \[\sin 2x\] bằng
\[\frac{3}{4}.\]
\[\frac{3}{8}.\]
\[\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]
\[ - \frac{3}{4}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \[\sin x + \cos x = \frac{1}{2}\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = \frac{1}{4}\]
\[ \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x = \frac{1}{4}\]
\[ \Leftrightarrow 1 + \sin 2x = \frac{1}{4}\]
\[ \Leftrightarrow \sin 2x = - \frac{3}{4}\].
Vậy \[\sin 2x = - \frac{3}{4}.\]
Nghiệm của phương trình \[2\sin x + 1 = 0\] là
\[\left[ \begin{array}{l}x = 30^\circ + k360^\circ \\x = 210^\circ + k360^\circ \end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[\left[ \begin{array}{l}x = - 30^\circ + k360^\circ \\x = 210^\circ + k360^\circ \end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[\left[ \begin{array}{l}x = 180^\circ + k360^\circ \\x = 45^\circ + k360^\circ \end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[\left[ \begin{array}{l}x = - 30^\circ + k360^\circ \\x = 150^\circ + k360^\circ \end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[2\sin x + 1 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \sin x = - \frac{1}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - 30^\circ } \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 30^\circ + k360^\circ \\x = 210^\circ + k360^\circ \end{array} \right.,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là dãy số tăng khi và chỉ khi
\[{u_n} < {u_{n + 1}},{\rm{ }}\forall n \in {\mathbb{N}^ * }.\]
\[{u_n} > {u_{n + 1}},{\rm{ }}\forall n \in {\mathbb{N}^ * }.\]
\[{u_n} \ge {u_{n + 1}},{\rm{ }}\forall n \in {\mathbb{N}^ * }.\]
\[{u_n} \le {u_{n + 1}},{\rm{ }}\forall n \in {\mathbb{N}^ * }.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là dãy số tăng khi và chỉ khi \[{u_n} < {u_{n + 1}},{\rm{ }}\forall n \in {\mathbb{N}^ * }.\]
Trong các dãy số sau, dãy nào là một cấp số cộng?
\[1; - 3; - 6; - 9; - 12.\]
\[1; - 3; - 7; - 11; - 15.\]
\[1; - 3; - 5; - 7; - 9.\]
\[1; - 2; - 4; - 6; - 8.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Nhận thấy dãy số ở đáp án B, các số liền sau đều cách số liền trước nó \[ - 4\] đơn vị.
Vậy \[1; - 3; - 7; - 11; - 15\] là một cấp số cộng có công sai \[d = - 4\].
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = 1\] và công sai \[d = 3\]. Tổng 4 số hạng đầu của \[\left( {{u_n}} \right)\] là:
\[{S_4} = 9.\]
\[{S_4} = 12.\]
\[{S_4} = 22.\]
\[{S_4} = 14.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Tổng 4 số hạng đầu của dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] là: \[{S_4} = \frac{{4.\left[ {2.1 + \left( {4 - 1} \right).3} \right]}}{2} = 22.\]
Vậy \[{S_4} = 22.\]
Phát biểu nào dưới đây là sai?
\[\lim {q^n} = 0{\rm{ }}\left( {\left| q \right| > 1} \right).\]
\[\lim C = C\](\[C\]là hằng số).
\[\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\] (\(k\) nguyên dương).
\[\lim {n^k} = 0{\rm{ }}\left( {k < 0,k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\lim {q^n} = 0{\rm{ }}\left( {\left| q \right| < 1} \right)\].
Giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \[{u_n} = \frac{{\sqrt {9{n^2} - n + 1} }}{{4n}}\] là
\[\frac{3}{4}.\]
\[ - \frac{3}{4}.\]
\[\frac{9}{4}.\]
\[ - \frac{9}{4}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\lim \frac{{\sqrt {9{n^2} - n + 1} }}{{4n}} = \lim \frac{{\sqrt {9{n^2} - n + 1} }}{{\sqrt {16{n^2}} }}\] \[ = \lim \sqrt {\frac{{9 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\frac{{16{n^2}}}{{{n^2}}}}}} = \lim \sqrt {\frac{9}{{16}}} = \frac{3}{4}.\]
Cho hình chóp \[S.ABCD\]. Giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SBC} \right)\] là
\[SA.\]
\[SB.\]
\[SC.\]
\[AC.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB.\] Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SBC} \right)\] là \[SB.\]
|
|
Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[M,N\] lần lượt là trung điểm \[AD\] và \[AC\]. Gọi \[G\] là trọng tâm tam giác \[BCD\]. Giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {GMN} \right)\] và \[\left( {BCD} \right)\] là đường thẳng:
qua \[M\] và song song với \[AB.\]
qua \[N\] và song song với \[BD.\]
qua \[G\] và song song với \[CD.\]
qua \[G\] và song song với \[BC.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}G \in \left( {GMN} \right) \cap \left( {BCD} \right)\\MN \subset \left( {GMN} \right)\\CD \subset \left( {BCD} \right)\\MN\parallel CD\end{array} \right.\] Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {GMN} \right)\] và \[\left( {BCD} \right)\] là đường thẳng qua \[G\] và song song với \[CD.\] |
|
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu hỏi, học sinh chọn Đúng hoặc Sai.
Trong hình vẽ bên, ta xem hình ảnh đường tròn trên một bánh lái tàu thủy tương ứng với một đường tròn lượng giác.
a) Công thức tổng quát biểu diễn góc lượng giác \[\left( {OA,OB} \right)\] theo đơn vị radian là
\[\left( {OA,OB} \right) = \frac{\pi }{4} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
b) Công thức tổng quát biểu diễn góc lượng giác tương ứng với bốn điểm biểu diễn là \[A,C,E,G\] theo đơn vị radian là \[\frac{{k\pi }}{3},{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
c) Công thức tổng quát biểu diễn góc lượng giác tương ứng với hai điểm biểu diễn là \[A,E\] theo đơn vị đo độ là \[k180^\circ {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
d) Công thức tổng quát biểu diễn góc lượng giác \[\left( {OA,OC} \right) + \left( {OC,OH} \right)\] theo đơn vị radian là \[\frac{\pi }{4} + k2\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
a) Đ | b) S | c) Đ | d) S |
a) Ta có: \[\left( {OA,OB} \right) = \frac{{2\pi }}{8} + k2\pi {\rm{ }} = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
b) Ta thấy \[A,C,E,G\] lần lượt biểu diễn cho các góc lượng giác \[0rad,{\rm{ }}\frac{\pi }{2}rad,\] \[\frac{{2\pi }}{2}rad,{\rm{ }}\frac{{3\pi }}{2}rad\],…. Tất cả các góc này theo thứ tự chênh lệch nhau \[\frac{\pi }{2}rad\]. Vì vậy công thức duy nhất biểu diễn cho các góc lượng giác ấy là \[\frac{{k\pi }}{2}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
c) Ta thấy hai điểm \[A,E\] lần lượt biểu diễn cho các góc lượng giác \[0^\circ ,180^\circ ,360^\circ ,\]\[540^\circ ,...\]Tất cả các góc này theo thứ tự chênh lệch nhau \[180^\circ \]. Vì vậy công thức duy nhất cho các góc lượng giác ấy là \[k180^\circ {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
d) Theo hệ thức Chasles, ta có:
\[\left( {OA,OB} \right) + \left( {OB,OC} \right) = \left( {OA,OC} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
\[\left( {OA,OC} \right) + \left( {OC,OH} \right) = \left( {OA,OH} \right) = - \frac{\pi }{4} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ \[t\] (ở đây \[t\] là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng) của một năm không nhuận được mô hình hóa bởi hàm số
\[L\left( t \right) = 12 + 2,83\sin \left[ {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right],{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{Z},{\rm{ }}0 < t \le 365} \right).\]
a) Tập giá trị của hàm số \[L\left( t \right)\] là \[\left[ {9,17;14,83} \right].\]
b) Ngày thành phố A có ít ánh sáng mặt trời nhất tương ứng với \[\sin \left[ {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1.\]
c) Ngày thành phố A có ít ánh sáng mặt trời nhất là vào ngày thứ 352 của năm.
d) Ngày thành phố A có nhiều ánh sáng mặt trời nhất là ngày thứ 171, tức là khoảng ngày 20 tháng 6.
Hướng dẫn giải
a) Đ | b) Đ | c) S | d) Đ |
Vì \[ - 1 \le \sin \left[ {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right] \le 1\] nên \[ - 2,83 \le 2,83\sin \left[ {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right] \le 2,83.\]
Do đó, \[9,17 \le 12 + 2,83\sin \left[ {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right] \le 14,83{\rm{ }}\forall t \in \mathbb{R}.\]
Vậy tập giá trị của hàm số \[L\left( t \right)\] là \[\left[ {9,17;14,83} \right].\]
Ngày thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất ứng với
\[\sin \left[ {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1\] \[ \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \] \[ \Leftrightarrow t = - \frac{{45}}{4} + 365k{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Vì \[0 < t \le 365\] nên \[k = 1\] suy ra \[t = - \frac{{45}}{4} + 365 = 353,75\].
Do đó, vào ngày thứ 353 của năm thì thành phố sẽ có ít giờ ánh sáng nhất.
Ngày thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất ứng với
\[\sin \left[ {\frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 1\]\[ \Leftrightarrow \frac{{2\pi }}{{365}}\left( {t - 80} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \] \[ \Leftrightarrow t = 171,25 + 365k{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Vì \[0 < t \le 365\] nên \[k = 0\] suy ra \[t = 171,25.\]
Như vậy, vào ngày thứ 171 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 6 thì thành phố A sẽ có nhiều ánh sáng mặt trời nhất.
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] có công bội nguyên và các số hạng thỏa mãn:
\[\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_2} = 54\\{u_5} - {u_3} = 108\end{array} \right.\]
a) Số hạng đầu là \[{u_1} = 9.\]
b) Công bội của cấp số nhân là \[q = 3.\]
c) Tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng \[4599.\]
d) Số \[576\] là số hạng thứ 6 của cấp số nhân.
Hướng dẫn giải
a) Đ | b) S | c) Đ | d) S |
a) Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_4} - {u_2} = 54\\{u_5} - {u_3} = 108\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 54\\{u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 108\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {{q^3} - q} \right) = 54\\{u_1}.\left( {{q^4} - {q^2}} \right) = 108\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {{q^3} - q} \right) = 54\\\frac{{{q^4} - {q^2}}}{{{q^3} - q}} = 2\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.\left( {{q^3} - q} \right) = 54\\q = 2\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 9\\q = 2\end{array} \right.\].
Vậy số hạng đầu của cấp số nhân là \[{u_1} = 9.\]
b) Công bội của cấp số nhân là \[q = 2.\]
c) Ta có: \[{S_n} = 4599\] \[ \Leftrightarrow \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = 4599\] \[ \Leftrightarrow \frac{{9.\left( {1 - {2^n}} \right)}}{{1 - 2}} = 4599\].
\[ \Leftrightarrow - 9.\left( {1 - {2^n}} \right) = 4599\] \[ \Leftrightarrow 1 - {2^n} = - 511\] \[ \Leftrightarrow {2^n} = 512\] \[ \Leftrightarrow n = 9\].
Vậy tổng của 9 số hạng đầu tiên bằng \[4599\].
d) Ta có: \[{u_k} = 576\] \[ \Leftrightarrow {u_1}.{q^{k - 1}} = 576\] \[ \Leftrightarrow {9.2^{k - 1}} = 576\] \[ \Leftrightarrow {2^{k - 1}} = 64\] \[ \Leftrightarrow k = 7.\]
Vậy số \[576\] là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.
Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[I,J\] lần lượt là trung điểm của \[AD,BC\], \[M\] là một điểm trên cạnh \[AB\], \[N\] là một điểm trên cạnh \[AC\]. Khi đó:
a) \[IJ\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {IBC} \right),\left( {JAD} \right).\]
b) \[ND\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {NMD} \right),\left( {ADC} \right).\]
c) \[BI\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {BIC} \right),\left( {ABD} \right).\]
d) Giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {IBC} \right),\left( {DMN} \right)\] song song với đường thẳng \[IJ.\]
a) Đ | b) Đ | c) Đ | d) S |
![Cho tứ diện \[ABCD\]. Gọi \[I,J\] lần l (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/11-1760796334.png)
a) Ta có: \[I \in AD,\]\[AD \subset \left( {JAD} \right)\]\[ \Rightarrow I \in \left( {JAD} \right)\] \[ \Rightarrow IJ \subset \left( {JAD} \right);\]
\[J \in BC,\] \[BC \subset \left( {IBC} \right)\] \[ \Rightarrow J \in \left( {IBC} \right)\]\[ \Rightarrow IJ \subset \left( {IBC} \right)\].
Vậy \[IJ = \left( {IBC} \right) \cap \left( {JAD} \right).\]
b) Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {NMD} \right) \cap \left( {ADC} \right)\\D \in \left( {NMD} \right) \cap \left( {ADC} \right)\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow ND = \left( {NMD} \right) \cap \left( {ADC} \right).\]
Vậy \[ND\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {NMD} \right),\left( {ADC} \right).\]
c) Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}B \in \left( {BIC} \right) \cap \left( {ADB} \right)\\I \in \left( {BIC} \right) \cap \left( {ADB} \right)\end{array} \right.\].
Vậy \[BI\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {BIC} \right),\left( {ABD} \right).\]
d) Gọi \[E = DN \cap CI\] nằm trong mặt phẳng \[\left( {ACD} \right)\] và \[F = DM \cap BI\] nằm trong mặt phẳng \[\left( {ABD} \right)\].
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}E \in DN,{\rm{ }}DN \subset \left( {DMN} \right)\\E \in IC,{\rm{ }}IC \subset \left( {BCI} \right)\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow E \in \left( {DMN} \right) \cap \left( {IBC} \right)\] (1).
Tương tự: \[\left\{ \begin{array}{l}F \in DM,{\rm{ }}DM \subset \left( {DMN} \right)\\F \in IB,{\rm{ }}IB \subset \left( {BCI} \right)\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow F \in \left( {DMN} \right) \cap \left( {IBC} \right)\] (2).
Từ (1) và (2) suy ra \[EF = \left( {DMN} \right) \cap \left( {IBC} \right)\]. Ta có \[EF\] cắt \[IJ.\]
Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Tính giá trị lớn nhất của hàm số \[y = 2{\cos ^2}x - \sqrt 3 \sin 2x + 2018\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: 2021
Ta có: \[y = 2{\cos ^2}x - \sqrt 3 \sin 2x + 2018\]
\[ = 1 + \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x + 2018\]
\[ = \cos 2x - \sqrt 3 \sin 2x + 2019\]
\[ = 2\left( {\frac{1}{2}\cos 2x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x} \right) + 2019\]
\[ = 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + 2019\]
Ta thấy: \[ - 1 \le \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\]
\[ \Leftrightarrow - 2 \le 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 2\]
\[ \Leftrightarrow 2017 \le 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + 2019 \le 2021\].
Vậy giá trị lớn nhất của \[y = 2{\cos ^2}x - \sqrt 3 \sin 2x + 2018\] là \[2021\].
Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \[h\] (mét) của mực nước trong kênh được tính tại thời điểm \[t\] (giờ) trong một ngày bởi công thức \[h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) + 12\]. Mực nước của kênh cao nhất khi \[t\] bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: 14
Ta có: \[ - 1 \le \cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\] \[ \Leftrightarrow 9 \le 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) + 12 \le 15\].
Mực nước của con kênh cao nhất khi độ sâu của mực nước trong kênh lớn nhất.
Do đó mực nước của con kênh cao nhất bằng \[15{\rm{ }}\left( m \right)\] khi
\[\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) = 1\]\[ \Leftrightarrow t = - 2 + 16k\], \[k \in \mathbb{Z}\].
Vì trong một ngày có 24 giờ nên \[0 \le - 2 + 16k \le 24 \Leftrightarrow \frac{1}{8} \le k \le \frac{{26}}{{16}}\].
Vì \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k = 1\]\[ \Rightarrow t = 14\]giờ.
Vậy mực nước của con kênh cao nhất khi \[t\] bằng \[14\] giờ.
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = 3\] và \[15{u_1} - 4{u_2} + {u_3}\] đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ 11 của cấp số nhân đã cho.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: 3072
Gọi \[q\] là công bội của cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\].
Ta có: \[{u_2} = {u_1}.q = 3q;{\rm{ }}{u_3} = {u_1}.{q^2} = 3{q^2}.\]
Suy ra \[15{u_1} - 4{u_2} + {u_3} = 45 - 12q + 3{q^2}\]\[ = 3{\left( {q - 2} \right)^2} + 33 \ge 33,\forall q \in \mathbb{R}.\]
Ta có: \[15{u_1} - 4{u_2} + {u_3}\] đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[33\] khi và chỉ khi \[3{\left( {q - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow q = 2.\]
Khi đó, \[{u_{11}} = {u_1}.{q^{10}} = 3072.\]
Nếu anh Nam nhận được lời mời làm việc cho một công ty nước ngoài với mức lương khởi điểm là \[35000\] đô la mỗi năm và được tăng thêm \[1400\] đô la lương mỗi năm, thì sẽ mất bao nhiêu năm làm việc để tổng lương mà anh Nam nhận được là \[319200\] đô la?
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: 8
Gọi \[{u_n}\] là lương anh Nam nhận được ở năm thứ \[n\].
Ta có lương khởi điểm là \[35000\] đô la mỗi năm nên \[{u_1} = 35000\].
Mỗi năm được tăng thêm \[1400\] đô la nên \[{u_n} = {u_{n - 1}} + 1400,{\rm{ }}n \ge 2,n \in {\mathbb{N}^ * }.\]
Như vậy dãy số tiền lương mà anh Nam nhận được qua các năm là \[{u_1};{u_2};.....;{u_n}\] là một cấp số cộng với \[{u_1} = 35000\]; \[d = 1400\].
Áp dụng công thức tính tổng \[n\] số hạng đầu của cấp số cộng với \[{S_n} = 319200\]; \[{u_1} = 35000\]; \[d = 1400\].
Ta có: \[319200 = {S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)1400} \right]}}{2}\]
\[ \Leftrightarrow 1400{n^2} + 68600n - 638400 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8\left( {TM} \right)\\n = - 57\left( L \right).\end{array} \right.\]
Vậy sau 8 năm làm việc thì tổng lương mà anh Nam nhận được là \[319200\] đô la.
Tính giới hạn \[\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{2.4}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right]\] (viết kết quả dưới dạng số thập phân).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: 0,75
Ta có: \[\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{2.4}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}}\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {\frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{2.4}} + .... + \frac{2}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right]\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + .... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 2}}} \right]\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {1 + \frac{1}{2} + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{3}} \right) + .... + \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{n}} \right) - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}}} \right]\]
\[ = \frac{1}{2}\left[ {1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}}} \right]\]
\[ = \frac{1}{2}\left( {\frac{3}{2} - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}}} \right)\].
Do đó, \[\lim \left[ {\frac{1}{{1.3}} + \frac{1}{{2.4}} + .... + \frac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}}} \right] = \lim \frac{1}{2}\left( {\frac{3}{2} - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} = 0,75\].
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình thang với \[AD\parallel BC\] và \[AD = 2BC\]. Gọi \[M\] là điểm trên cạnh \[SD\] thỏa mãn \[SM = \frac{1}{3}SD.\] Mặt phẳng \[\left( {ABM} \right)\] cắt cạnh bên \[SC\] tại điểm \[N\]. Tính tỉ số \[\frac{{SN}}{{SC}}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: 0,5
![Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/12-1760796442.png)
Gọi \[F = AB \cap CD\]. Nối \[F\] với \[M\], \[FM \cap SC = N\]. Khi đó, \[N\] là giao điểm của mặt phẳng \[\left( {ABM} \right)\] và đường thẳng \[SC\].
Theo giả thiết, ta có \[AD = 2BC\] và \[AD\parallel BC\] do đó \[BC\] là đường trung bình của tam giác \[FAD\].
Suy ra \[C\] là trung điểm của \[FD\].
Trong mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] kẻ \[CE\parallel NM,{\rm{ }}\left( {E \in SD} \right)\].
Do \[C\] là trung điểm \[FD\] nên suy ra \[E\] là trung điểm \[MD\] và \[M\] là trung điểm \[SE\].
Do \[MN\parallel CE\] và \[M\] là trung điểm \[SE\] nên \[MN\] là đường trung bình của tam giác \[SCE.\]
Từ đó suy ra \[N\] là trung điểm \[SC\] và \[\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{1}{2} = 0,5.\]
