Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc \[\frac{{7\pi }}{4}\]?
\[\frac{{3\pi }}{4}\].
\[ - \frac{\pi }{4}\].
\[\frac{\pi }{4}\].
\[ - \frac{{3\pi }}{4}\].
Ta có \( - \frac{\pi }{4} = \frac{{7\pi }}{4} - 2\pi \). Chọn B.
Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).
\(\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).
\[\tan \left( {a--b} \right) = \tan a - \tan b\].
\[\tan \left( {a + b} \right) = \tan a + \tan b\].
Ta có \(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\) là công thức đúng. Chọn A.
Cho các hàm số: \(y = \sin 2x\), \(y = \cos x\), \(y = \tan x\), \(y = \cot x\). Có bao nhiêu hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(T = \pi \)?
\[1\].
\[3\].
\[2\].
\[4\].
Các hàm số: \(y = \sin 2x\), \(y = \tan x\), \(y = \cot x\)tuần hoàn với chu kỳ \(T = \pi \). Chọn B.
Phương trình lượng giác \[\cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}}\] có nghiệm là
\(x = \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = - \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Ta có \[\cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{{15}} + k2\pi \\3x = - \frac{\pi }{{15}} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]. Chọn A.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \frac{n}{{{3^n} - 1}}\). Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?
\(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8}.\)
\(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{26}}.\)
\(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{{16}}.\)
\(\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4}.\)
Ta có \({u_1} = \frac{1}{{{3^1} - 1}} = \frac{1}{2};{u_2} = \frac{2}{{{3^2} - 1}} = \frac{1}{4};{u_3} = \frac{3}{{{3^3} - 1}} = \frac{3}{{26}}.\) Chọn B.
Cho một cấp số cộng có \[{u_1} = - 3;\,\,d = 5\]. Tính \[{u_2}\]?
\[{u_2} = 8\].
\[{u_2} = - 10\].
\[{u_2} = - 8\].
\[{u_2} = 2\].
Ta có \[{u_2} = {u_1} + d = - 3 + 5 = 2\]. Chọn D.
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = 4;\,\,{u_2} = 8\]. Tìm công bội \[q\] của cấp số nhân.
\[q = 12\].
\[q = 4\].
\[q = 2\].
\[q = \frac{1}{2}\].
Ta có \[{u_2} = {u_1} \cdot q \Rightarrow q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = 2.\]Chọn C.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) với \(ABCD\) là hình bình hành.
Khi đó, điểm S và A cùng thuộc hai mặt phẳng là
\(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
\(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\)
\(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\).
\(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
Ta có \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\). Chọn B.
Trong không gian, phát biểu nào sau đây là đúng?
Hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung thì song song với nhau.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì song song.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song hoặc chéo nhau.
Hơn nữa, hai đường thẳng chéo nhau thì không thể đồng phẳng, mà hai đường thẳng song song thì đồng phẳng. Vậy hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung thì song song với nhau. Do đó, đáp án A đúng và đáp án B, D sai.
Lại có hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì có thể song song hoặc chéo nhau nên đáp án C sai. Chọn A.
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) và \(\sin \alpha - 2\cos \alpha = 1\). Tính \(P = 2\tan \alpha - \cot \alpha .\)
\(P = \frac{1}{2}.\)
\(P = \frac{1}{4}.\)
\(P = \frac{1}{6}.\)
\(P = \frac{1}{8}.\)
Với \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha < 0\\\cos \alpha < 0\end{array} \right.\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha - 2\cos \alpha = 1\\{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {1 + 2\cos \alpha } \right)^2} + {\cos ^2}\alpha = 1\)\( \Leftrightarrow 5{\cos ^2}\alpha + 4\cos \alpha = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = 0{\rm{ }}\,\left( {{\rm{loai}}} \right)\\\cos \alpha = - \frac{4}{5}\end{array} \right.\).
Từ hệ thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\), suy ra \(\sin \alpha = - \frac{3}{5}\) (do \(\sin \alpha < 0\))
và \[\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{4}{3}.\]
Thay \[\tan \alpha = \frac{3}{4}\]và \[\cot \alpha = \frac{4}{3}\]vào \(P\), ta được \[P = \frac{1}{6}.\]Chọn C.
Tập xác định của hàm số \[y = \frac{{\cos x}}{{\sin x - 1}}\] là:
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
Điều kiện xác định: \(\sin x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\). Chọn B.
Trong các dãy số sau, dãy nào là dãy số bị chặn?
\[{u_n} = {n^2}\].
\[{u_n} = {n^3} - 1\].
\[{u_n} = 2n + \sin \left( n \right)\].
\[{u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}}\].
Ta có \(\frac{{2n + 1}}{{n + 1}} \ge \frac{3}{2}\,,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
\[{u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{n + 1}} = 2 - \frac{1}{{n + 1}} < 2,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\].
Suy ra dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\]có số hạng tổng quát \[{u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 1}}\]là dãy số bị chặn. Chọn D.
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho \(\sin a = \frac{1}{3},0 \le a \le \frac{\pi }{2}\).
a) Giá trị \(\tan a = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
b) Giá trị \(\sin 2a = \frac{{2\sqrt 2 }}{9}\).
c) \(\sin \left( {\frac{\pi }{3} + a} \right) = \frac{{2\sqrt 6 + 1}}{6}\).
d) \(\tan \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{9 + 4\sqrt 2 }}{8}\).
a) Đúng. Vì \(0 \le a \le \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos a \ge 0\).
Ta có \({\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = \frac{8}{9} \Rightarrow \cos a = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Suy ra \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
b) Sai. Ta có \(\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{{2\sqrt 2 }}{3} = \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\).
c) Đúng. Ta có \(\sin \left( {\frac{\pi }{3} + a} \right) = \sin \frac{\pi }{3}\cos a + \cos \frac{\pi }{3}\sin a = \frac{{2\sqrt 6 + 1}}{6}\).
d)Sai.Ta có \(\tan \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan a + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan a \cdot \tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{9 + 4\sqrt 2 }}{7}\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = \frac{3}{2}\), công sai \(d = \frac{1}{2}\).
a) Công thức cho số hạng tổng quát \({u_n} = 1 + \frac{n}{3}\).
b) 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho.
c)\(\frac{{15}}{4}\) một số hạng của cấp số cộng đã cho.
d) Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng \(2620\).
a) Sai. Số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{3}{2} + \left( {n - 1} \right) \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{n}{2}\) với mọi \(n \ge 1\).
b) Đúng. Xét \(5 = 1 + \frac{n}{2} \Rightarrow n = 8 \in {\mathbb{N}^*}\); suy ra 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho.
c) Sai. Xét \(\frac{{15}}{4} = 1 + \frac{n}{2} \Rightarrow n = \frac{{11}}{2} \notin {\mathbb{N}^*};\) suy ra \(\frac{{15}}{4}\) không là một số hạng của cấp số cộng đã cho.
d) Sai. Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng là: \({S_{100}} = \frac{{100\left[ {2 \cdot \frac{3}{2} + \left( {100 - 1} \right) \cdot \frac{1}{2}} \right]}}{2} = 2625.\)
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.
Biết tập giá trị của hàm số \(y = 5 + 4\sin 2x\cos 2x\)là \(T = \left[ {a\,;b} \right]\). Tính \(a + b\).
Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Ta có \(y = 5 + 4\sin 2x\cos 2x = 5 + 2\sin 4x\).
Do \( - 1 \le \sin 4x \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin 4x \le 2 \Leftrightarrow 3 \le 5 + 2\sin 4x \le 7 \Leftrightarrow 3 \le y \le 7\).
Suy ra tập giá trị của hàm số là \(T = \left[ {3\,;7} \right]\).
Vậy \(a + b = 3 + 7 = 10\).
Đáp án: 10.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_4} = - 12\); \({u_{14}} = 18\). Tính tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = - 12\\{u_{14}} = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 12\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10d = 30\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 3\\{u_1} = - 21\end{array} \right.\).
Tổng của 16 số hạng đầu tiên là \({S_{16}} = \frac{n}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{{16}}{2}\left[ {2 \cdot \left( { - 21} \right) + \left( {16 - 1} \right) \cdot 3} \right] = 24\).
Đáp án: 24.
Phương trình \(\cos 2x - \cos \left( {\pi - x} \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\)?
Ta có \(\cos 2x - \cos \left( {\pi - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \left( {\pi - x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \pi - x + k2\pi \\2x = - \pi + x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \pi + k2\pi \\x = - \pi + k2\pi \end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = - \pi + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
+ Với \( - \pi < \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3} < \pi \Leftrightarrow \frac{{ - 4\pi }}{3} < k\frac{{2\pi }}{3} < \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow - 2 < k < 1\).
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 0,k = - 1\) thỏa mãn.
+ Với \( - \pi < - \pi + k2\pi < \pi \Leftrightarrow 0 < k2\pi < 2\pi \Leftrightarrow 0 < k < 1\). Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nênkhông có giá trị k nào thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\).
Đáp án: 2.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. Gọi \(M,N\) theo thứ tự là trọng tâm \(\Delta SAB,\,\,\Delta SCD\). Gọi I là giao điểm của các đường thẳng \(BM,\,CN\). Tính tỉ số \(\frac{{SI}}{{CD}}\).
Gọi E và F lần lượt là trung điểm AB và CD.
Ta có \(I = BM \cap CN\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in BM \subset \left( {SAB} \right)\\I \in CN \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right).\)
Mà \(S \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\). Do đó \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SI.\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AB{\rm{//}}CD\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SI\end{array} \right\} \Rightarrow SI\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD\).
Vì \(SI{\rm{//}}CD\) nên \(SI\,{\rm{//}}\,CF\).
Theo định lý Thalès ta có: \(\frac{{SI}}{{CF}} = \frac{{SN}}{{NF}} = 2\) (do \(N\) là trọng tâm tam giác \(SCD\)).
Suy ra \(SI = 2CF = CD\) (do F lần lượt là trung điểm của CD). Vậy \(\frac{{SI}}{{CD}} = 1\).
Đáp án: 1.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Giả sử khi một cơn sóng biển đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hoá bởi hàm số \(h\left( t \right) = 90{\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{3}t} \right)\), trong đó \(h\left( t \right)\) là độ cao tính bằng centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm \(t\) giây \(\left( {t \ge 0} \right)\). Tìm tất cả các thời điểm trong khoảng 9 giây đầu tiên để chiều cao của sóng đạt 45 cm.
Ta có \(h\left( t \right) = 45 \Rightarrow 90\cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) = 45 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{3}t} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}t = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{\pi }{3}t = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + 6k\\t = - 1 + 6k\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vì \(0 \le t \le 9 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le 1 + 6k \le 9\\0 \le - 1 + 6k \le 9\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{1}{6} \le k \le \frac{4}{3} \Rightarrow \left[ \begin{array}{r}k = 0 \Rightarrow t = 1\,{\rm{s}}\\k = 1 \Rightarrow t = 7\,{\rm{s}}\end{array} \right.\\\frac{1}{6} \le k \le \frac{5}{3} \Rightarrow k = 1 \Rightarrow t = 5\,{\rm{s}}\end{array} \right.\) (do \(k \in \mathbb{Z}\)).
Vậy \[t = 1\,{\rm{s}}\], \[t = 5\,{\rm{s}}\], \[t = 7\,{\rm{s}}\] là các thời điểm cần tìm.
Bạn Vân là học sinh giỏi của một trường THPT nên được hưởng học bổng hằng tháng là 4 triệu đồng. Học bổng được cấp vào đầu tháng. Vì muốn để dành tiền đóng học phí vào năm nhất đại học nên bắt đầu từ đầu tháng 9/2023 (đầu năm học lớp 11), cứ đầu tháng bạn Vân dành 30% số tiền học bổng nói trên để gửi tiết kiệm ở ngân hàng với lãi suất 0,4%/tháng và sẽ cố gắng giữ vững thành tích học tập để nhận học bổng đến hết tháng 8/2025. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu, học bổng được cấp đến hết tháng 8/2025. Hỏi đến hết tháng 8/2025 bạn Vân có bao nhiêu tiền để đóng học phí học đại học?
Từ đề bài ta suy ra được mỗi tháng bạn Vân trích ra \(4 \cdot 30\% = 1,2\)triệu đồng để gửi tiết kiệm.
Tháng 9/2023 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: \({u_{24}} = 1,2{\left( {1 + 0,004} \right)^{24}}\).
Tháng 10/2023 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: \({u_{23}} = 1,2{\left( {1 + 0,004} \right)^{23}}\).
…
Tháng 8/2025 bạn Vân gửi 1,2 triệu đồng với lãi suất 0,4% mỗi tháng thì đến hết tháng 8/2025 thì số tiền bạn nhận được là: \[{u_1} = 1,2\left( {1 + 0,004} \right) = 1,2048\].
Số tiền bạn Vân nhận được khi gửi tiết kiệm như thế tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = 1,2\left( {1 + 0,004} \right) = 1,2048\) và công bội \(q = 1,004\).
Vậy tổng số tiền bạn Vân nhận được chính là tổng 24 số hạng đầu của một cấp số nhân ở trên.
\({S_{24}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{24}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1,2048\left( {1 - 1,{{004}^{24}}} \right)}}{{1 - 1,004}} \approx 30,285148\) (triệu đồng).
Vậy số tiền bạn Vân nhận được đến hết tháng 8/2025 là 30 285 148 đồng.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông. Lấy điểm \(E\) trên cạnh \(BC\) và điểm \(F\) trên cạnh \(CD\) sao cho \(\widehat {EAF} = 45^\circ \). Gọi \(G\)là điểm trên cạnh \(SA\)sao cho \(FG{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\). Xác định vị trí điểm \(E\) sao cho \(\frac{{AG}}{{SG}} = \frac{1}{2}\).
Gọi \[H\] là giao của \[AF\] và \[BC\] trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}GF \subset \left( {SAH} \right)\\GF{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\\\left( {SAH} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SH\end{array} \right. \Rightarrow GF{\rm{//}}SH\).
Ta có \(\widehat {EAF} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {BAE} + \widehat {DAF} = 45^\circ \Rightarrow \tan \left( {\widehat {BAE} + \widehat {DAF}} \right) = \frac{{\tan \widehat {BAE} + \tan \widehat {DAF}}}{{1 - \tan \widehat {BAE} \cdot \tan \widehat {DAF}}} = 1\).
Không mất tính tổng quát, giả sử cạnh hình vuông \(ABCD\) có độ dài là 1.
Đặt \(BE = x \Rightarrow \tan \widehat {BAE} = x \Rightarrow \frac{{x + \tan \widehat {DAF}}}{{1 - x \cdot \tan \widehat {DAF}}} = 1 \Rightarrow \tan \widehat {DAF} = \frac{{1 - x}}{{1 + x}}\).
Mà \(\tan \widehat {DAF} = DF \Rightarrow DF = \frac{{1 - x}}{{1 + x}} \Rightarrow CF = 1 - DF = \frac{{2x}}{{1 + x}}\).
Lại có \(AD\,{\rm{//}}\,CH\) nên theo định lí Thalès, ta suy ra \[\frac{{AF}}{{HF}} = \frac{{DF}}{{CF}} = \frac{{1 - x}}{{2x}}\].
Mà \(\frac{{AF}}{{HF}} = \frac{{AG}}{{SG}} = \frac{1}{2}\) (do \(GF\,{\rm{//}}\,SH\)) nên \(\frac{{1 - x}}{{2x}} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}\).
Vậy E là trung điểm của BC.
