Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 2
38 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (7,0 điểm)
Hãy khoanh tròn vào phương án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây:
Nếu một góc lượng giác có số đo bằng radian là \(\frac{{5\pi }}{4}\) thì số đo bằng độ của góc lượng giác đó là
\({5^{\rm{o}}}\);
\({15^{\rm{o}}}\);
\({172^{\rm{o}}}\);
\({225^{\rm{o}}}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\frac{{5\pi }}{4}\left( {rad} \right) = \frac{{{{180}^{\rm{o}}}}}{\pi } \cdot \frac{{5\pi }}{4} = {225^{\rm{o}}}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\)cho đường tròn lượng giác như hình vẽ bên dưới.
Hỏi góc lượng giác nào sau đây có số đo là \( - 90^\circ \)?
\(\left( {OA,OB} \right)\);
\(\left( {OA,OA'} \right)\);
\(\left( {OA,OB'} \right)\);
\(\left( {OA,OA} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Chiều âm là chiều kim đồng hồ nên ta có số đo góc lượng giác \(\left( {OA,OB'} \right) = - {90^{\rm{o}}}\).
Mệnh đề nào sau đây là sai?
\( - 1 \le {\rm{sin}}\alpha \le 1; - 1 \le {\rm{cos}}\alpha \le 1\);
\({\rm{tan}}\alpha = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }}\left( {{\rm{cos}}\alpha \ne 0} \right)\);
\({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\left( {2\alpha } \right) + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {2\alpha } \right) = 2\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\left( {2\alpha } \right) + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {2\alpha } \right) = 1\) nên phương án D là sai.
\( - \frac{2}{3}\);
\( - \frac{1}{3}\);
\(\frac{1}{3}\);
\(\frac{2}{3}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \[{\rm{sin}}\left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha + \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {2\pi - \alpha } \right) = \cos \left( { - \alpha } \right) = {\rm{cos}}\alpha = \frac{1}{3}\].
\({\rm{cos}}\alpha = \frac{1}{{13}}\);
\({\rm{cos}}\alpha = \frac{5}{{13}}\);
\({\rm{cos}}\alpha = - \frac{5}{{13}}\);
\({\rm{cos}}\alpha = - \frac{1}{{13}}\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha < 0\).
Ta có \[{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{25}}{{169}} \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha = - \frac{5}{{13}}\].
Khẳng định nào sau đây đúng?
\({\rm{sin}}\left( {2030a} \right) = 2030{\rm{sin}}a.{\rm{cos}}a\);
\({\rm{sin}}\left( {2030a} \right) = 2030{\rm{sin}}\left( {1015a} \right){\rm{.cos}}\left( {1015a} \right)\);
\({\rm{sin}}\left( {2030a} \right) = 2{\rm{sin}}a{\rm{cos}}a\);
\({\rm{sin}}\left( {2030a} \right) = 2{\rm{sin}}\left( {1015a} \right){\rm{.cos}}\left( {1015a} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Áp dụng công thức \({\rm{sin}}2\alpha = 2{\rm{sin}}\alpha .{\rm{cos}}\alpha \) ta được
\({\rm{sin}}\left( {2030a} \right) = 2{\rm{sin}}\left( {1015a} \right) \cdot {\rm{cos}}\left( {1015a} \right)\).
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: D
Các hàm số \(y = \sin x\), \(y = \tan x\), \(y = \cot x\) là các hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục tung.
Vậy có 3 hàm số có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
\(\pi \);
\(2\pi \);
\(\frac{1}{2}\pi \);
\(3\pi \).
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).
Cho hàm số \(y = \cos x\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Hàm số \(y = \cos x\) đồng biến trên khoảng nào?
\(\left( {0;\pi } \right)\);
\(\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right)\);
\(\left( { - 3\pi ; - 2\pi } \right)\);
\(\left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Từ đồ thị nhận thấy hàm số \[y = \cos x\]đồng biến trên \(\left( { - 3\pi ; - 2\pi } \right)\).
\(D = \mathbb{R}\);
\(D = \left[ { - 2; + \infty } \right)\);
\(D = \left[ {0;2\pi } \right]\);
\(D = \emptyset \).
Đáp án đúng là: A
Ta có \( - 1 \le {\rm{sin}}x \le 1 \Leftrightarrow 1 \le {\rm{sin}}x + 2 \le 3,\forall x \in \mathbb{R}\).
Do đó luôn tồn tại căn bậc hai của \({\rm{sin}}x + 2\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Vậy tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
\(T = \left[ { - 1;1} \right]\);
\(T = \left[ { - 3;3} \right]\);
\(T = \left[ {2;8} \right]\);
\(T = \left[ {5;8} \right]\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1 \Leftrightarrow 3 \ge - 3\sin x \ge - 3\)
\( \Leftrightarrow 8 \ge 5 - 3\sin x \ge 2 \Leftrightarrow 2 \le y \le 8 \Rightarrow T = \left[ {2;8} \right].\)
\(x = \frac{\pi }{{11}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\);
\(x = \frac{\pi }{{11}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\);
\(x = - \frac{\pi }{{11}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\);
\(x = - \frac{\pi }{{11}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: B
\(\tan x = \tan \frac{\pi }{{11}}\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{{11}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\);
\(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\);
\(x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\);
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\cos \frac{x}{2} = 1\)\( \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\);
\(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\);
\(m \in \left[ { - 1;1} \right]\);
\(m \in \left( { - 1;1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Phương trình \[\sin x - m = 0 \Leftrightarrow \sin x = m\] có nghiệm khi \[\left| m \right| \le 1\], tức \(m \in \left[ { - 1;1} \right]\).
\(x = - \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\);
\(x = - \pi + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\);
\(x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\);
\(x = - \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\cot \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = - \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = - \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Dãy số nào dưới đây là dãy số nguyên tố nhỏ hơn \[10\] theo thứ tự tăng dần?
\(0;1;2;3;5;7\);
\(1;2;3;5;7\);
\(2;3;5;7\);
\(1;3;5;7\).
Đáp án đúng là: C
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn \[1\] và chỉ có hai ước số là \[1\] và chính nó.
Vậy dãy số nguyên tố nhỏ hơn \[10\] là \[2\], \[3\], \[5\], \[7\].
\[{u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}\];
\[{u_n} = \frac{3}{n}\];
\[{u_n} = {2^n}\];
\[{u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\].
Đáp án đúng là: C
Do \({2^n};n\) là các dãy dương và tăng nên \(\frac{1}{{{2^n}}};\frac{1}{n}\) là các dãy giảm, do đó loại các phương án A, B.
Xét phương án C: \[{u_n} = {2^n} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = {2^{n + 1}} - {2^n} = {2^n} > 0\]. Do đó dãy số \({u_n} = {2^n}\) là dãy số tăng.
Xét phương án D: \({u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\) có \({u_2} = 4;{u_5} = - 8\) nên \({u_2} > {u_5}\), do đó \({u_n}\) không là dãy số tăng.
4;
5;
6;
7.
Đáp án đúng là: B
Giả sử \({u_n} = - 19\), \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Suy ra \( - {n^2} + n + 1 = - 19\)\( \Leftrightarrow - {n^2} + n + 20 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 4{\rm{ }}\left( l \right)\end{array} \right.\).
Vậy số \( - 19\) là số hạng thứ \[5\] của dãy số.
\(1; - 2; - 4; - 6; - 8\);
\(1; - 3; - 6; - 9; - 12\);
\(1; - 3; - 7; - 11; - 15\);
\(1; - 3; - 5; - 7; - 9\).
Đáp án đúng là: C
Ta thấy dãy số \(1; - 3; - 7; - 11; - 15\) là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai là \( - 4\).
\(0,5\);
\(0,6\);
\(1,6\);
\(6\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({u_7} = {u_1} + 6d = - 0,1 + 6.0,1 = 0,5\).
98;
99;
100;
101.
Đáp án đúng là: C
\[{S_n} = \frac{{n.\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \Leftrightarrow - 9800 = \frac{{n.\left[ {2.1 + \left( {n - 1} \right)\left( { - 2} \right)} \right]}}{2}\]
\( \Leftrightarrow 2{n^2} - 4n - 19600 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 100\,\,\left( {tm} \right)}\\{n = - 98\,\,\left( {ktm} \right)}\end{array}} \right.\)
Vậy tổng của 100 số hạng đầu của cấp số cộng bằng \( - 9800\).
\[\left( {BCD} \right)\];
\[\left( {ABD} \right)\];
\[\left( {CMN} \right)\];
\[\left( {ACD} \right)\].
Đáp án đúng là: D
\(I \in BD \Rightarrow I \in \left( {BCD} \right),\,\left( {ABD} \right)\).
\(I \in MN \Rightarrow I \in \left( {CMN} \right)\).
Vậy điểm \(I\) không thuộc mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\).
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: C
Có nhiều nhất 3 mặt phẳng được tạo là \(\left( {a,b} \right)\), \(\left( {A,a} \right)\) và \(\left( {A,b} \right)\).
4;
5;
6;
7.
Đáp án đúng là: C
Quan sát hình vẽ ta thấy hình chóp lục giác đều có 6 mặt bên.
2;
3;
4;
6.
Đáp án đúng là: B
Vì \(4\) điểm không đồng phẳng tạo thành một tứ diện mà tứ diện có \(4\) mặt.
giao điểm của \(MG\) và \(BC\);
giao điểm của \(MG\) và \(AC\);
giao điểm của \(MG\) và \(AN\);
giao điểm của \(MG\) và \(AB\).
Đáp án đúng là: C
Ta thấy \(MG \subset \left( {ADN} \right)\) và \(\frac{{DM}}{{MA}} \ne \frac{{DG}}{{GN}}\) nên \(MG\,,\,\,AN\) cùng thuộc một mặt phẳng và không song song với nhau.
Gọi \(I\) là giao điểm của \(MG\) và \(AN\).
Do \(I \in AN \Rightarrow I \in \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow \)\(I\) là giao điểm của \(MG\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
\(MI\);
\(MK\);
\(IK\);
\(SI\).
Đáp án đúng là: A
Trong \[\left( {ABCD} \right)\], \(AB\)cắt \[CD\] tại \(I\)
\[\left\{ \begin{array}{l}I \in AB \subset \left( {SAB} \right)\\I \in CD \subset \left( {MCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MCD} \right)\,\,\left( 1 \right)\]
Lại có:\[\left\{ \begin{array}{l}M \in AB \subset \left( {SAB} \right)\\M \in \left( {MCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MCD} \right)\,\,\left( 2 \right)\].
Từ (1) và (2); suy ra \(MI\) là giao tuyến của \[\left( {SAB} \right)\] và \(\left( {MCD} \right)\).
\[SA;\,AB\];
\[SA;\,SB\];
\[SB;AB\];
\[SB;\,AD\].
Đáp án đúng là: B
![Đáp án đúng là: B Theo hình vẽ ta có \[CD\] chéo với \[SA;\,SB\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/26-1762246773.png)
Theo hình vẽ ta có \[CD\] chéo với \[SA;\,SB\].
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau thì chéo nhau;
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau thì chéo nhau;
Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau;
Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì không chéo nhau.
Đáp án đúng là: D
Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng đồng phẳng nên không chéo nhau.
\[IJ\] song song với \(CD\);
\[IJ\] song song với \(AB\);
\[IJ\] chéo \(CD\);
\[IJ\] cắt \(AB\).
Đáp án đúng là: A
Gọi \[M,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[BC,\,BD\], ta có \[MN\,{\rm{//}}\,CD\]\[\left( 1 \right)\]
Xét \[\Delta AMN\] có \[\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}\]\[ \Rightarrow IJ\,{\rm{//}}\,MN\]\[\left( 2 \right)\]
\(d\) qua \(S\) và song song với \(BC\);
\(d\) qua \(S\) và song song với \(DC\);
\(d\) qua \(S\) và song song với \(AB\);
\(d\) qua \(S\) và song song với \(BD\).
Đáp án đúng là: A
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = d\\AD\,{\rm{//}}\,BC\end{array} \right. \Rightarrow d\,{\rm{//}}\,BC\) .
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: C
Có \(3\) vị trí tương đối của \(a\) và \(\left( P \right)\), đó là:
\(a\) nằm trong \(\left( P \right)\), \(a\) song song với \(\left( P \right)\) và \(a\) cắt \(\left( P \right)\).
\(d\,{\rm{//}}\,d'\);
\(d\) cắt \(d'\);
\(d\) và \(d'\) chéo nhau;
\(d \equiv d'\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(d' = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right)\). Do \(d\) và \(d'\) cùng thuộc \(\left( \beta \right)\) nên \(d\) cắt \(d'\) hoặc \(d\,{\rm{//}}\,d'\).
Nếu \(d\) cắt \(d'\), khi đó \(d\) cắt \(\left( \alpha \right)\) (mâu thuẫn với giả thiết). Vậy \(d\,{\rm{//}}\,d'\).
\(PQ\) cắt \(\left( {ABCD} \right)\);
\(PQ \subset \left( {ABCD} \right)\);
\(PQ\,{\rm{//}}\,\left( {ABCD} \right)\);
\(PQ\) và \(CD\) chéo nhau.
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác \(SAB\) có \(\frac{{SP}}{{SA}} = \frac{{SQ}}{{SB}} = \frac{1}{3}\)nên \(PQ\,{\rm{//}}\,AB\) (theo định lý Thalès đảo).
\(\left\{ \begin{array}{l}PQ\,{\rm{//}}\,AB\\AB \subset \left( {ABCD} \right)\\PQ \not\subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow PQ\,{\rm{//}}\,\left( {ABCD} \right)\).
\({G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,\left( {ABD} \right)\);
Ba đường thẳng \(B{G_1},A{G_2}\) và \(CD\)đồng quy;
\({G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,\left( {ABC} \right)\);
\({G_1}{G_2} = \frac{2}{3}AB\).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\).
Xét \(\Delta ABM\) ta có: \(\frac{{M{G_1}}}{{MB}} = \frac{{M{G_2}}}{{MA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,AB\\{G_1}{G_2} = \frac{1}{3}AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) D sai.
Vì \({G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,AB \Rightarrow {G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,\left( {ABD} \right)\) \( \Rightarrow \) A đúng.
Vì \({G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,AB \Rightarrow {G_1}{G_2}\,{\rm{//}}\,\left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow \) C đúng.
Ba đường \(B{G_1},A{G_2},CD\), đồng quy tại \(M\) \( \Rightarrow \) B đúng.
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm)Giải các phương trình lượng giác:
a) \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos x = 0\); b) \(\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} - 2\sqrt 3 \tan x - 6 = 0\).
a) \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos x = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{4} = x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{4} = \pi - x + \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ;x = \frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{{k2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
b) \(\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} - 2\sqrt 3 \tan x - 6 = 0\) (Điều kiện: \[\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\])
\( \Leftrightarrow 3.\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - 2\sqrt 3 \tan x - 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x - 2\sqrt 3 \tan x - 3 = 0\)
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = \sqrt 3 \\\tan x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] (thỏa mãn điều kiện xác định).
Vậy phương trình có nghiệm là \[x = \frac{\pi }{3} + k\pi ;x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang (hai đáy \(AB > CD\)). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SB\).
a) Tìm giao điểm \(P\) của \(SC\) và mp\(\left( {ADN} \right)\).
b) Biết \(AN\) cắt \(DP\) tại \(I\). Chứng minh \(SI\,{\rm{//}}\,AB\). Tứ giác \(SABI\) là hình gì?
a) Ta có \(N\) là điểm chung thứ nhất; \(E = BC \cap AD \Rightarrow E\) là điểm chung thứ 2
\( \Rightarrow \left( {SBC} \right) \cap \left( {ADN} \right) = NE\).
Gọi \(P = SC \cap NE\). Khi đó \(P = SC \cap \left( {ADN} \right)\).
b) Ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SI = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)}\\{AB \subset \left( {SAB} \right)}\\{CD \subset \left( {SCD} \right)}\\{AB\,{\rm{//}}\,CD}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow SI\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD\).
Mà \(MN\,{\rm{//}}\,AB\) (do \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta SAB\))
\( \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,SI\), lại có \(M\) là trung điểm của \(SA\)
\( \Rightarrow N\) là trung điểm của \(AI\)
Tứ giác \(SABI\) có \(N\) là trung điểm của \(SB,AI\) nên \(SABI\) là hình bình hành.
(1,0 điểm)Cho phương trình \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {3\cos 2x + 2\sin x - m} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).
Ta có: \(\left( {2{\rm{sin}}x - 1} \right)\left( {3{\rm{cos}}2x + 2{\rm{sin}}x - m} \right) = 3 - 4{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\)
\( \Leftrightarrow \left( {2{\rm{sin}}x - 1} \right)\left( {3{\rm{cos}}2x + 2{\rm{sin}}x - m} \right) = 4{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - 1\)
\( \Leftrightarrow \left( {2{\rm{sin}}x - 1} \right)\left( {3{\rm{cos}}2x + 2{\rm{sin}}x - m} \right) = \left( {2{\rm{sin}}x - 1} \right)\left( {2{\rm{sin}}x + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {2{\rm{sin}}x - 1} \right)\left( {3{\rm{cos}}2x - m - 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}x = \frac{1}{2}}\\{{\rm{cos}}2x = \frac{{m + 1}}{2}}\end{array}} \right.\)
Xét \({\rm{sin}}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\), vì \(x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) nên phương trình đã cho có một nghiệm là \(x = \frac{\pi }{6}\).
Do đó để thoả mãn yêu cầu bài toán thì phương trình \({\rm{cos}}2x = \frac{{m + 1}}{2}\) phải có đúng hai nghiệm phân biệt khác \(\frac{\pi }{6}\) trên \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).
Xét hàm số \(y = {\rm{cos}}2x\) có bảng biến thiên trên \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) như sau:
Từ BBT suy ra yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le \frac{{m + 1}}{2} < 1}\\{\frac{{m + 1}}{2} \ne \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 \le m < 1}\\{m \ne 0}\end{array}} \right.\).
Vậy \(m \in \left[ { - 1;1} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).
