Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 5
38 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (7,0 điểm)
Hãy khoanh tròn vào phương án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây:
Một bánh xe có \[72\] răng. Số đo góc (tính theo đơn vị radian) mà bánh xe đã quay được khi di chuyển \[10\] răng là
\(\frac{\pi }{6}\);
\[\frac{\pi }{{36}}\];
\(\frac{{5\pi }}{{18}}\);
\(\frac{\pi }{3}\).
Đáp án đúng là: C
72 bánh răng tương ứng với \(2\pi \)
\( \Rightarrow 10\) bánh răng tương ứng với \[\frac{{10}}{{72}}.2\pi = \frac{{5\pi }}{{18}}\].
Thứ II;
Thứ IV;
Thứ II hoặc IV;
Thứ I hoặc III.
Đáp án đúng là: D
Nếu \(\sin \alpha ,\cos \alpha \) cùng dấu thì
• \(\sin \alpha ,\cos \alpha \) cùng dương Þ điểm cuối của góc lượng giác \(\alpha \) ở góc phần tư thứ I;
• \(\sin \alpha ,\cos \alpha \) cùng âm Þ điểm cuối của góc lượng giác \(\alpha \) ở góc phần tư thứ III.
Vậy ta chọn phương án D.
Giả sử các biểu thức đều có nghĩa, công thức nào sau đây là sai?
\[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\];
\(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\);
\(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\);
\(\tan \alpha + \cot \alpha = 1\).
Đáp án đúng là: D
Khi các biểu thức có nghĩa thì \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\). Do đó D là phương án sai.
\( - \frac{\pi }{3}\);
\(\frac{{2\pi }}{3}\);
\(\frac{\pi }{6}\);
\(\frac{{4\pi }}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Điểm \[N\] là điểm biểu diễn của góc \(\beta \) trên đường tròn lượng giác, do điểm \(N\) đối xứng với \(M\) qua trục \(Oy\) nên \[\beta = \pi - \alpha = \pi - \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3}\].
\(P = 1\);
\(P = 2\);
\(P = 3\);
\(P = 4\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(P = {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{t}}^2}\alpha = {\left( {{\rm{tan}}\alpha + {\rm{cot}}\alpha } \right)^2} - 2{\rm{tan}}\alpha .{\rm{cot}}\alpha = {2^2} - 2.1 = 2\).
\(M = 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}b\);
\(M = 1 + 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}b\);
\(M = 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a\);
\(M = 1 + 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a\).
Đáp án đúng là: A
Áp dụng công thức \({\rm{cos}}x{\rm{cos}}y + {\rm{sin}}x{\rm{sin}}y = {\rm{cos}}\left( {x - y} \right)\), ta được
\(\;M = {\rm{cos}}\left( {a + b} \right){\rm{cos}}\left( {a - b} \right) + {\rm{sin}}\left( {a + b} \right){\rm{sin}}\left( {a - b} \right)\)
\(\; = {\rm{cos}}\left[ {a + b - \left( {a - b} \right)} \right] = {\rm{cos}}2b = 1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}b.\)
\[f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\];
\[f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\];
\[f\left( { - x} \right) = f\left( {\pi x} \right)\];
\[f\left( { - x} \right) = - f\left( {\pi x} \right)\].
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) (có tập xác định \(D\)) là hàm số lẻ nếu với \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \[f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\].
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: B
Các hàm số \(y = \sin x\), \(y = \cos x\) tuần hoàn chu kì \(2\pi \).
Các hàm số \(y = \tan x\), \(y = \cot x\) tuần hoàn chu kì \(\pi \).
Vậy có 2 hàm số tuần hoàn chu kì \(2\pi \).
Hàm số \(y = \cot x\) có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số \(y = \cot x\) nghịch biến trên khoảng hay đoạn nào dưới đây?
\(\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right)\);
\(\left[ { - \frac{\pi }{2};0} \right]\);
\(\left( {0;\pi } \right)\);
\(\mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: C
Từ đồ thị nhận thấy hàm số \(y = \cot x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\).
\(D = \emptyset \);
\(D = \mathbb{R}\);
\(D = \left[ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi } \right],k \in \mathbb{Z}\);
\(D = \left[ {\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{13\pi }}{6} + k2\pi } \right],k \in \mathbb{Z}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \( - 1 \le {\rm{sin}}2x \le 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + {\rm{sin}}2x \ge 0}\\{1 - {\rm{sin}}2x \ge 0}\end{array},\forall x \in \mathbb{R}} \right.\).
Vậy tập xác định \({\rm{D}} = \mathbb{R}\).
\( - 20\);
\( - 8\);
0;
9.
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(y = {\cos ^2}x - 4\cos x - 5 = {\left( {\cos x - 2} \right)^2} - 9\)
Khi đó \( - 1 \le \cos x \le 1\) \( \Leftrightarrow - 3 \le \cos x - 2 \le - 1 \Rightarrow 1 \le {\left( {{{\cos }^2}x - 2} \right)^2} \le 9\)
Do đó \(y = {\left( {\cos x - 2} \right)^2} - 9 \ge 1 - 9 = - 8\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - 8\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\);
\(x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\);
\(x = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\);
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\);
\(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\);
\(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\);
\(x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\cot x = - 1\)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \]; \[x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\];
\[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \]; \[x = \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\];
\[x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\];
\[x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3};x = \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[\cos 2x = \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = - \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\] với \(k \in \mathbb{Z}\).
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(3\tan x - \sqrt 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \tan x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vì \(x \in \left[ {0;3\pi } \right]\) nên \(0 \le \frac{\pi }{6} + k\pi \le 3\pi \)
\( \Leftrightarrow - \frac{1}{6} \le k \le \frac{{17}}{6}\), mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).
Vậy có 3 giá trị của \(x\) thỏa mãn.
\( - 1;0;3;8;16\);
\[1;4;9;16;25\];
\(0;3;8;15;24\);
\(0;3;6;9;12\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \[{u_1} = {1^2} - 1 = 0\]; \[{u_2} = {2^2} - 1 = 3\]; \[{u_3} = {3^2} - 1 = 8\]; \[{u_4} = {4^2} - 1 = 15\]; \[{u_5} = {5^2} - 1 = 24\]; … Suy ra năm số hạng đầu tiên của dãy số là \[0\], \[3\], \[8\], \[15\], \[24\].
\[{u_{n + 1}} = {2^n}.2\];
\[{u_{n + 1}} = {2^n} + 1\];
\[{u_{n + 1}} = 2\left( {n + 1} \right)\];
\[{u_{n + 1}} = {2^n} + 2\].
Đáp án đúng là: A
\({u_{n + 1}} = {2^{n + 1}} = {2.2^n}\).
Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới?
\[\left( {{u_n}} \right):{u_n} = 4 - n\];
\[\left( {{v_n}} \right):{v_n} = {n^2} - 4n + 5\];
\[\left( {{k_n}} \right):{k_n} = - {n^2} + 3\];
\[\left( {{a_n}} \right):{a_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\].
Đáp án đúng là: B
\[{u_n} = {n^2} - 4n + 5 = {\left( {n - 2} \right)^2} + 1 \ge 1\].
Vậy đây là dãy số bị chặn dưới.
\({u_n} = {u_1} + nd\);
\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\);
\({u_n} = {u_1} + \left( {n + 1} \right)d\);
\({u_n} = {u_1} + \left( {1 - n} \right)d\).
Đáp án đúng là: B
Công thức số hạng tổng quát \({u_n}\) là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).
Dãy số nào sau đây là cấp số cộng?
\(1;3;6;9;12\);
\(1;4;7;10;14\);
\(1;2;4;8;16\);
\(0;4;8;12;16\).
Đáp án đúng là: D
Dãy số \(0;4;5;12;16\) là cấp số cộng với \({u_1} = 0\) và \(d = 4\).
\(570\);
\(600\);
\(630\);
\(800\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({u_3} + {u_{13}} = 80 \Leftrightarrow ({u_1} + 2d) + ({u_1} + 12d) = 80\)\( \Leftrightarrow 2{u_1} + 14d = 80\)
Vậy \({S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left( {2{u_1} + 14d} \right) = \frac{{15}}{2}.80 = 600\).
0;
1;
2;
vô số.
Đáp án đúng là: B
Trong không gian, hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau thì chỉ có duy nhất một mặt phẳng đi qua \(a\) và song song với \(b\).
\(\left( {ABC} \right)\);
\(\left( {SAB} \right)\);
\(\left( {AMNB} \right)\);
\(\left( {SAC} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(I \in MN,MN \subset \left( {SAB} \right),MN \subset \left( {AMNB} \right)\) nên \(I \in \left( {SAB} \right),I \in \left( {AMNB} \right)\)
\(I \in AB,AB \subset \left( {ABC} \right)\) nên \(I \in \left( {ABC} \right)\).
Vậy ta chọn phương án D.
7;
8;
9;
10.
Đáp án đúng là: C
Hình chóp \(S.{A_1}{A_2}...{A_n}\left( {n \ge 3} \right)\) có \(n\) cạnh bên và \(n\) cạnh đáy nên có \(2n\) cạnh.
Khi đó \(2n = 16 \Leftrightarrow n = 8\).
Vậy hình chóp đó có 8 mặt bên và 1 mặt đáy nên có tất cả 9 mặt.
Hình chóp tam giác đều;
Hình tứ diện;
Hình chóp tứ giác;
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án đúng là: B
Hình chóp \[S.ABC\] gọi là hình chóp tam giác hay hình tứ diện.
Hình chóp tam giác (hình tứ diện) này có \[SA = SB = SC\] chưa đủ dữ kiện để gọi là hình chóp tam giác đều (hình tứ diện đều) do chưa có dữ kiện tất cả các cạnh bằng nhau.
Đường thẳng \(MN\);
Đường thẳng \(AC\);
Đường thẳng \(BG\) (\(G\)là trọng tâm tam giác \(ACD\));
Đường thẳng \(AH\)(\(H\)là trực tâm tam giác \(ACD\)).
Đáp án đúng là: C
![Đáp án đúng là: B Hình chóp \[S.ABC\] g (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/3-1762249032.png)
Ta có \(B \in \left( {ABN} \right)\left( {MBD} \right)\).
Trong mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\)gọi \(G = MD \cap AN\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}G \in MD \subset \left( {MBD} \right)\\G \in AN \subset \left( {ABN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow G \in \left( {ABN} \right) \cap \left( {MBD} \right)\)
Do đó \(BG = \left( {ABN} \right) \cap \left( {MBD} \right)\).
\(K,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J\);
\(M,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J\);
\(N,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J\);
\(M,{\rm{ }}K,{\rm{ }}J\).
Đáp án đúng là: B
Ta có:
• \(M \in SB\) suy \(M\) là điểm chung của \(\left( {LMN} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).
• \(I\) là điểm chung của \(\left( {LMN} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).
• \(J\) là điểm chung của \(\left( {LMN} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).
Vậy \(M,{\rm{ }}I,{\rm{ }}J\) thẳng hàng vì cùng thuộc giao tuyến của \(\left( {LMN} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).
\(AB\) và \(CD\);
\(AC\) và \[BD\];
\(SB\) và \(CD\);
\(SD\) và \(BD\).
Đáp án đúng là: C
\(AB\,{\rm{//}}\,CD\), \(AC\) cắt \(BD\), \(SB\) và \(CD\) chéo nhau, \(SD\) cắt \(BD\).
1;
2;
3;
4.
Đáp án đúng là: B
Do \(a\) và \(b\) phân biệt và đồng phẳng nên chỉ có hai vị trí tương đối có thể xảy ra là \(a\) song song với \(b\) hoặc \(a\) cắt \(b.\)
Khẳng định nào sau đây là sai?
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song vơi đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau;
Có đúng một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song;
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song;
Nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến nếu có của chúng sẽ song song với hai đường thẳng đó.
Đáp án đúng là: C
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.
\(GE\) và \(CD\) chéo nhau;
\(GE\,{\rm{//}}\,CD\);
\(GE\) và \(AD\)cắt nhau;
\(GE\) và \(CD\) cắt nhau.
Đáp án đúng là: B
Gọi \(F\) là trung điểm
Xét tam giác \(FDC\) vì \[\frac{{FE}}{{FC}} = \frac{{FG}}{{FD}} = \frac{1}{3}\] nên \(EG\,{\rm{//}}\,CD.\)
\(a,d\) trùng nhau;
\(a,d\) chéo nhau;
\(a\) song song \(d\);
\(a,d\) cắt nhau.
Đáp án đúng là: C
Sử dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Một mặt phẳng;
Hai mặt phẳng;
Vô số mặt phẳng;
Không có mặt phẳng nào.
Đáp án đúng là: C
Có vô số mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \(b\) (đó là tất cả các mặt phẳng chứa \(a\) nhưng không chứa \(b\)).
\(a\;{\rm{//}}\;b\) và \(b \subset \left( \alpha \right)\);
\(a\;{\rm{//}}\;b\) và \(b\; \cap \;\left( \alpha \right) = \emptyset \);
\(a\;{\rm{//}}\;b\) và \(b\;{\rm{//}}\;\left( \alpha \right)\);
\(a \cap \left( \alpha \right) = \emptyset \).
Đáp án đúng là: D
Theo định nghĩa đường thẳng song song mặt phẳng.
Đường thẳng \(IO\) song song với mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\);
Đường thẳng \(IO\) song song với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\);
Mặt phẳng \(\left( {IBD} \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) theo giao tuyến \(OI\);
Mặt phẳng \(\left( {IBD} \right)\) cắt hình chóp \(S.ABCD\) theo một thiết diện là tứ giác.
Đáp án đúng là: D
Trong tam giác \(SAC\) có \(O\) là trung điểm \(AC\), \(I\) là trung điểm \(SC\) nên \[IO\,{\rm{//}}\,SA\]
\( \Rightarrow IO\) song song với hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right).\)
Mặt phẳng \(\left( {IBD} \right)\) cắt \(\left( {SAC} \right)\) theo giao tuyến \(IO.\)
Mặt phẳng \(\left( {IBD} \right)\) cắt \(\left( {SBC} \right)\) theo giao tuyến \(BI\), cắt \(\left( {SCD} \right)\) theo giao tuyến \(ID\), cắt \(\left( {ABCD} \right)\) theo giao tuyến \(BD\) \( \Rightarrow \) thiết diện tạo bởi mặt phẳng \(\left( {IBD} \right)\) và hình chóp \(S.ABCD\) là tam giác \(IBD.\)
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm) Giải các phương trình lượng giác:
a) \(4{\sin ^2}x - 12\cos x - 9 = 0\);
b) \(3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + \left( {3 - \sqrt 3 } \right){\rm{sin}}x{\rm{cos}}x = \sqrt 3 {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x{\rm{\;}}\).
a) \(4{\sin ^2}x - 12\cos x - 9 = 0\)
\( \Leftrightarrow 4{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + 12{\rm{cos}}x + 5 = 0\)
Đặt \(\cos x = t,t \in \left[ { - 1;1} \right]\), khi đó phương trình trở thành
\(4{t^2} + 12t + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 1}}{2}\left( {tm} \right)\\t = - \frac{5}{2}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Với \(t = - \frac{1}{2}\) ta có
b) \(3{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + \left( {3 - \sqrt 3 } \right){\rm{sin}}x{\rm{cos}}x = \sqrt 3 {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x{\rm{\;\;}}\left( {\rm{*}} \right)\)
Xét \({\rm{cos}}x = 0\) suy ra \({\sin ^2}x = 1\), thay vào \(\left( {\rm{*}} \right)\) ta được
\(3{\sin ^2}x = 0 \Leftrightarrow 3 = 0\) (vô lí).
Khi đó \({\rm{cos}}x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Ta có \(\left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow 3{\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}x + \left( {3 - \sqrt 3 } \right){\rm{tan}}x - \sqrt 3 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\tan x = - 1}\\{\tan x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {{\rm{tm}}} \right)}\\{x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {{\rm{tm}}} \right)}\end{array}} \right.} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ;x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Lấy điểm \(M\) trên cạnh \(AD\) sao cho \(AD = 3AM\). Gọi \(G,N\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(SAB,ABC\). Chứng minh rằng \(MN\,{\rm{//}}\,\left( {SCD} \right)\) và \(NG\,{\rm{//}}\,\left( {SAC} \right)\).
• Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Khi đó \(\frac{{CN}}{{CI}} = \frac{2}{3}\) (do \(N\) là trọng tâm \(\Delta ABC\))
\( \Rightarrow \frac{{CN}}{{NI}} = \frac{2}{1}\).
Mà \(IB\,{\rm{//}}\,DC\) nên \(\frac{{DN}}{{NB}} = \frac{{CN}}{{NI}} = \frac{2}{1}\)
Lại có \(AD = 3AM \Rightarrow \frac{{DM}}{{MA}} = \frac{2}{1}\)
Do đó \[\frac{{CN}}{{NI}} = \frac{{DM}}{{MA}} = \frac{2}{1}\]\( \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,AB\)
Mà \(AB\,{\rm{//}}\,DC \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,DC \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,\left( {SCD} \right)\).
• Tương tự, \(\frac{{SG}}{{GI}} = \frac{{CN}}{{NI}} = \frac{2}{1}\) \( \Rightarrow GN\,{\rm{//}}\,SC\)\( \Rightarrow GN\,{\rm{//}}\,\left( {SAC} \right)\).
(1,0 điểm)Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình \(x = 3\cos \left( {4\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\), với \(t\) là thời gian tính bằng giây và \(x\) là quãng đường tính bằng \[{\rm{cm}}\]. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?
Yêu cầu bài toán ⇔ Tìm \(t\) sao cho \(x = 0\), với \[0 \le t \le 5\]
Ta có \(x = 0\)\( \Leftrightarrow 3\cos \left( {4\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0\).
\( \Leftrightarrow \cos \left( {4\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0\).
\( \Leftrightarrow 4\pi t - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\( \Leftrightarrow 4\pi t = \frac{{7\pi }}{6} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\( \Leftrightarrow t = \frac{7}{{24}} + \frac{1}{4}k\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Ta có 0 ≤ t ≤ 5.
\( \Leftrightarrow 0 \le \frac{7}{{24}} + \frac{1}{4}k \le 5\).
\( \Leftrightarrow - \frac{7}{{24}} \le \frac{1}{4}k \le \frac{{113}}{{24}}\).
\( \Leftrightarrow - \frac{7}{6} \le k \le \frac{{113}}{6}\).
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1;0;1;...;17;18} \right\}\), có 20 giá trị \(k\) thỏa mãn.
Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 20 lần.
