Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 9

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Hàm số \(y = \cos x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {2\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right).\) Vậy khẳng định D là sai.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

⦁ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(D\) được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số \(T\) khác \(0\) sao cho với mọi \(x \in D\) ta có \(x + T \in D;\,\,x - T \in T\) và \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right).\) Do đó (1) sai.

⦁ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(D\) được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\). Do đó (2) sai.

(3) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(D\) được gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right).\) Do đó (3) sai.

Vậy không có khẳng định nào đúng.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Lấy đối xứng đồ thị hàm số \(y = \cos x\) qua trục \(Ox\) ta được đồ thị:

Vậy đường cong trong hình vẽ trên là đồ thị hàm số \(y = - \cos x\).

Lời giải

Đáp án đúng là: B

⦁ Xét hàm số \[f\left( x \right) = \sin 2x.\]

TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\). Do đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)

Ta có \[f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - 2x} \right) = - \sin 2x = - f\left( x \right)\] là hàm số lẻ.

⦁ Xét hàm số \[g\left( x \right) = {\tan ^2}x.\]

TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}.\) Do đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)

Ta có \[g\left( { - x} \right) = {\left[ {\tan \left( { - x} \right)} \right]^2} = {\left( { - \tan x} \right)^2} = {\tan ^2}x = g\left( x \right)\] là hàm số chẵn.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \(y = 5 + 4\sin 2x\cos 2x = 5 + 2\sin 4x\).

Mà $-1\le \sin 4x\le 1\stackrel{}{\to }-2\le 2\sin 4x\le 2\stackrel{}{\to }3\le 5+2\sin 4x\le 7$

$\stackrel{}{\to }3\le \mathrm{y}\le 7\stackrel{\mathrm{y}\in \mathrm{\mathbb{Z}}}{\to }\mathrm{y}\in \left\{3;4;5;6;7\right\}$  nên \(y\) có \(5\) giá trị nguyên.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

\(\sin x = \sin \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1\) nên \(\sin x + 5 = 0 \Leftrightarrow \sin x = - 5\) là phương trình vô nghiệm.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\sin 4x\cos 2x = \sin x\cos 5x\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\sin 6x + \sin 2x} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\sin 6x + \sin \left( { - 4x} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - 4x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \sin 2x = - \sin 4x \Leftrightarrow \sin 2x + \sin 4x = 0.\)

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có : \[\cos \left( {a + b} \right) = 0 \Leftrightarrow a + b = \frac{\pi }{2} + k\pi \to a = - b + \frac{\pi }{2} + k\pi \].

\( \Rightarrow \left| {\sin \left( {a + 2b} \right)} \right| = \left| {\sin \left( { - b + 2b + \frac{\pi }{2} + k\pi } \right)} \right| = \left| {\cos \left( {b + k\pi } \right)} \right| = \left| {\cos b} \right|\).

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Do đó khi biểu diễn họ nghiệm của phương trình \(\sin 2x = 1\) trên đường tròn đơn vị ta được \(2\) điểm.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

\(2\cos \frac{x}{2} + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{{5\pi }}{3} + k4\pi \).

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \({u_1} = - 1;\,\,{u_2} = {u_1} + 3 = 2;\,\,{u_3} = {u_2} + 3 = 5.\)

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có ${\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}=3^{\mathrm{n}}\stackrel{\mathrm{n}\leftrightarrow 2\mathrm{n}-1}{\to }{\mathrm{u}}_{2\mathrm{n}-1}=3^{2\mathrm{n}-1}=3^{\mathrm{n}}{.3}^{\mathrm{n}-1}.$

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Kiểm tra \({u_1} = 2\) ta loại các đáp án B và C

Ta có \({u_2} = {u_1} + 2.1 - 1 = 3.\)

Xét đáp án A: $u_n=2+{\left(n-1\right)}^2\stackrel{}{\to }{u}_2=3$

Hoặc kiểm tra: \({u_{n + 1}} - {u_n} = {n^2} - {\left( {n - 1} \right)^2} = 2n - 1.\)

Xét đáp án D: $u_n=2-{\left(n-1\right)}^2\stackrel{}{\to }{u}_2=1\stackrel{}{\to }$ loại D

Hoặc kiểm tra: \({u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( {n - 1} \right)^2} - {n^2} = - 2n + 1\not = 2n - 1.\)

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Xét đáp án A: $u_n=\frac{1}{n}-2\stackrel{}{\to }{u}_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}<0\stackrel{}{\to }$ loại A

Xét đáp án B: \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {{2^n} + 1} \right)\) là dãy có dấu thay đổi nên không giảm nên loại B

Xét đáp án C: $u_n=\frac{n-1}{n+1}=1-\frac{2}{n+1}\stackrel{}{\to }{u}_{n+1}-u_n=2\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)>0\underset{}{\to }$ loại C

Xét đáp án D: $u_n=2n+\cos \frac{1}{n}\underset{}{\to }{u}_{n+1}-u_n=\left(2-\cos \frac{1}{n+1}\right)+\cos \frac{1}{n+2}>0$ nên D đúng.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Các dãy số \({n^2};\,\,n;\,\,{3^n}\) dương và tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi \(n\) tăng lên vô hạn nên các dãy \({n^2};\,\,\sqrt {n + 1} ;\,\,{3^n}\) cũng tăng lên vô hạn (dương vô cùng), suy ra các dãy này không bị chặn trên, do đó chúng không bị chặn.

Nhận xét: \(0 < {u_n} = \frac{1}{{{2^n}}} \le \frac{1}{2}.\)

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định.

Khi đó, với 4 điểm không đồng phẳng ta tạo được tối đa \(C_4^3 = 4\) mặt phẳng.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Hai mặt phẳng phân biệt không song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao tuyến.

A sai. Nếu \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vô số điểm chung. Khi đó, chưa đủ điều kiện để kết luận \(A,\;B,\;C\) thẳng hàng\(.\)

B sai. Có vô số đường thẳng đi qua \(A\), khi đó \(B,\;C\) chưa chắc đã thuộc giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\)

C sai. Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3 điểm \(A,\;B,\;C\) là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng thì \(A,\;B,\;C\) cùng thuộc giao tuyến.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \(A\) là điểm chung thứ nhất của \(\left( {ADM} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\). Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), gọi \(E = SI \cap DM\). Ta có: ● \(E \in SI\) mà \(SI \subset \left( {SAC} \right)\) suy ra \(E \in \left( {SAC} \right)\). ● \(E \in DM\) mà \(DM \subset \left( {ADM} \right)\) suy ra \(E \in \left( {ADM} \right)\).

Do đó \(E\) là điểm chung thứ hai của \(\left( {ADM} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).

Vậy \[AE\] là giao tuyến của \(\left( {ADM} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).

Đáp án đúng là: D

● Chọn mặt phẳng phụ \(\left( {ABC} \right)\) chứa \(BC\). ● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(DH \bot MN\) và \({S_{\Delta MND}} = \frac{1}{2}MN.DH = \frac{1}{2}MN.\sqrt {D{M^2} - M{H^2}} = \frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}\) Ta có \(H\) là điểm chung thứ nhất của \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {IHK} \right)\). Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), do \(IK\) không song song với \(AC\) nên gọi \(F = IK \cap AC\). Ta có ▪ \(F \in AC\) mà \(AC \subset \left( {ABC} \right)\) suy ra \(F \in \left( {ABC} \right)\). ▪ \(F \in IK\) mà \(IK \subset \left( {IHK} \right)\) suy ra \(F \in \left( {IHK} \right)\).

Suy ra \(F\) là điểm chung thứ hai của \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {IHK} \right)\).

Do đó \[\left( {ABC} \right) \cap \left( {IHK} \right) = HF\].

● Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), gọi \(E = HF \cap BC\). Ta có

▪ \(E \in HF\) mà \(HF \subset \left( {IHK} \right)\) suy ra \(E \in \left( {IHK} \right)\).

▪ \(E \in BC\).

Vậy \(E = BC \cap \left( {IHK} \right)\).

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Theo giả thiết, \(a\) và \(b\) chéo nhau \( \Rightarrow \) \(a\) và \(b\) không đồng phẳng. Giả sử \(AD\) và \(BC\) đồng phẳng. Nếu \(AD \cap BC = I\) \( \Rightarrow I \in \left( {ABCD} \right) \Rightarrow I \in \left( {a;b} \right)\). Mà \(a\) và \(b\) không đồng phẳng, do đó, không tồn tại điểm \(I\).

Nếu \(AD\,\,{\rm{//}}\,BC\)\( \Rightarrow \) \(a\) và \(b\) đồng phẳng (Mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy điều giả sử là sai. Do đó \(AD\) và \(BC\) chéo nhau.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Nếu \(c\) cắt \(a\) thì \(c\) cắt \(b\) hoặc \(c\) chéo \(b\).

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Gọi \(E = AD \cap BC,{\rm{ }}P = NE \cap SC\). Suy ra \(P = SC \cap \left( {AND} \right)\). Ta có \( \bullet \) \(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\); \( \bullet \) \(I = DP \cap AN \Rightarrow I\) là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right).\)

Suy ra \(SI = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\). Mà \(AB\,{\rm{//}}\,CD \Rightarrow SI\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD.\)

Vì \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\) và chứng minh được cũng là đường trung bình của tam giác \(SAI\) nên suy ra \(SI = AB\).

Vậy \(SAB\) là hình bình hành.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Gọi \[E\] là trọng tâm của tam giác \[ACD,\,\,\,M\] là trung điểm của \[CD\,.\] Nối \[BE\] cắt \(AA'\) tại \(G\) suy ra \(G\) là trọng tâm tứ diện. Xét \(\Delta MAB\) có \[\frac{{ME}}{{MA}} = \frac{{MA'}}{{MB}} = \frac{1}{3}\] Suy ra \[A'E\,\,{\rm{//}}\,AB\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{A'E}}{{AB}} = \frac{1}{3}\,.\]

Khi đó, theo định lí Talet suy ra \[\frac{{A'E}}{{AB}} = \frac{{A'G}}{{AG}} = \frac{1}{3}\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{GA}}{{GA'}} = 3\,.\]

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác \[ACE\] có \[O,\,\,{O_1}\] lần lượt là trung điểm của \[AC,\,\,AE\,.\] Suy ra \[O{O_1}\] là đường trung bình trong tam giác \[ACE\] \[ \Rightarrow \,\,O{O_1}\,{\rm{//}}\,EC\,.\] Tương tự, \[O{O_1}\] là đường trung bình của tam giác \[BFD\] nên \[O{O_1}\,{\rm{//}}\,FD\,.\]

Vậy \[O{O_1}\,{\rm{//}}\,\left( {BEC} \right),\] \[O{O_1}\,{\rm{//}}\,\left( {AFD} \right)\] và \[O{O_1}\,{\rm{//}}\,\left( {EFC} \right).\]

Chú ý rằng: \[\left( {EFC} \right) = \left( {EFM} \right)\,.\]

a) Ta có \[P = \sin \frac{\alpha }{2}.\cos \frac{{3\alpha }}{2} = \frac{1}{2}\left( {\sin 2\alpha  - \sin \alpha } \right) = \frac{1}{2}\sin \alpha \left( {2\cos \alpha  - 1} \right)\].

Từ hệ thức \[{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\], suy ra \[\sin \alpha  =  \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  =  \pm \frac{3}{5}\].

Do \[\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}\] nên ta chọn \[\sin \alpha  =  - \frac{3}{5}\].

Thay \[\sin \alpha  =  - \frac{3}{5}\] và \[\cos \alpha  =  - \frac{4}{5}\] vào \(P\), ta được \(P = \frac{{39}}{{50}}.\)

b) \[\cos 2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{5}{2}\]

⦁ Ta có: \[\cos 2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\]

⦁ Phương trình đã cho trở thành:

\[ - \,2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \frac{3}{2} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{1}{2}\\\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{3}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{1}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{6} - x =  \pm \,\frac{\pi }{3} + k2\pi \]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}.\]

⦁ Vậy phương trình có hai họ nghiệm là \[x =  - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi ;x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\]

c) Sóng thứ nhất có phương trình \({u_1}\left( {x,t} \right) = 10\cos \left[ {\omega \left( {t - \frac{x}{v}} \right)} \right] = 10\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x} \right)\)

Sóng thứ hai có phương trình \({u_2}\left( {x,t} \right) = 10\cos \left[ {\omega \left( {t - \frac{x}{v}} \right) + \frac{\pi }{2}} \right] = 10\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x + \frac{\pi }{2}} \right)\)

Sóng tổng hợp có phương trình \(u\left( {x,t} \right) = 10\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x} \right) + 10\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x + \frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow u\left( {x,t} \right) = 10.2.\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x + \frac{\pi }{4}} \right).\cos \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow u\left( {x,t} \right) = 10\sqrt 2 \cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x + \frac{\pi }{4}} \right)\) (mm).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} \)

Ta có: \({u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1}  = \frac{{{n^2} - \left( {{n^2} - 1} \right)}}{{n + \sqrt {{n^2} - 1} }} = \frac{1}{{n + \sqrt {{n^2} - 1} }}\)

Dễ dàng ta có: \(\left( {n + 1} \right) + \sqrt {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 1}  > n + \sqrt {{n^2} - 1} \)

\( \Rightarrow \frac{1}{{\left( {n + 1} \right) + \sqrt {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 1} }} < \frac{1}{{n + \sqrt {{n^2} - 1} }} \Leftrightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\)

Từ đó suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

a) Gọi \(K\) là trung điểm của \(SB\) suy ra \(G,\) \(G'\) thuộc mặt phẳng\(\left( {KAC} \right)\). Ta có: \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAB\) nên \(\frac{{KG}}{{KA}} = \frac{1}{3}\); Và \(G'\) là trọng tâm tam giác \(SBC\) nên \(\frac{{KG'}}{{KC}} = \frac{1}{3}\) Khi đó \(\frac{{KG}}{{KA}} = \frac{{KG'}}{{KC}}\), suy ra \(GG'{\rm{//}}AC\). Vì \(\left\{ \begin{array}{l}GG'{\rm{//}}AC\\GG' \not\subset \left( {SAC} \right)\\AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow GG'{\rm{//}}\left( {SAC} \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(AD.\) Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) giả sử \(IE\) và \(BC\) cắt nhau tại điểm \(Q\). Dễ thấy \(SQ = \left( {IGE} \right) \cap \left( {SBC} \right)\). Do đó: \(GE\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)\)\( \Leftrightarrow GE{\rm{//}}SQ\) \( \Leftrightarrow \frac{{IE}}{{IQ}} = \frac{{IG}}{{IS}}\) \( \Rightarrow \frac{{IE}}{{IQ}} = \frac{1}{3}\)  (1)

Mặt khác  nên \(\frac{{EI}}{{EQ}} = \frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{EA}}{{xEA}} = \frac{1}{x}\) suy ra \(EQ = x.EI\).

\( \Rightarrow \frac{{IE}}{{IQ}} = \frac{{IE}}{{IE + EQ}} = \frac{{IE}}{{IE + x.IE}} = \frac{1}{{1 + x}}\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{1}{{1 + x}} = \frac{1}{3}\) \( \Leftrightarrow x = 2\).

Vậy \(GE\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)\) \( \Leftrightarrow x = 2\).