Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 9
38 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (7,0 điểm)
Hãy khoanh tròn vào phương án đúng duy nhất trong mỗi câu dưới đây:
Góc có số đo \[{108^{\rm{o}}}\]đổi ra radian là\[\frac{{3\pi }}{5}.\]
\[\frac{\pi }{{10}}.\]
\[\frac{{3\pi }}{2}.\]
\[\frac{\pi }{4}.\]
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Cách 1: áp dụng công thức đổi độ ra rad \[\alpha = \frac{{n.\pi }}{{180}}\].
Cách 2: \[\frac{{3\pi }}{5}\] tương ứng \[108^\circ ;\]\[\frac{\pi }{{10}}\] tương ứng \[18^\circ \].
\[\frac{{3\pi }}{2}\] tương ứng \[270^\circ ;\]\[\frac{\pi }{4}\]tương ứng \[45^\circ \].
Chọn công thức sai trong các công thức sau:
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
\(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{1 - {{\sin }^2}\alpha }}\).
\({\sin ^2}2\alpha + {\cos ^2}2\alpha = 1\)
\(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Theo công thức lượng giác cơ bản thì \(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }}\).
Với mọi góc lượng giác \(a\), \(b\), trong các công thức sau, công thức nào đúng (giả sử rằng tất cả các đẳng thức đều có nghĩa)?
\(\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).
\[\tan \left( {a--b} \right) = \tan a - \tan b\].
\(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).
\[\tan \left( {a + b} \right) = \tan a + \tan b\].
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Công thức cộng: \(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).
\( - \frac{2}{3}.\)
\[ - \frac{1}{3}.\]
\(\frac{1}{3}.\)
\(\frac{2}{3}.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha = \frac{1}{3}.\]
\( - \frac{{29\pi }}{7};\,\,\,\frac{{41\pi }}{7}\).
\( - \frac{{29\pi }}{7};\,\,\, - \frac{{22\pi }}{7}\).
\( - \frac{{22\pi }}{7};\,\,\,\frac{{41\pi }}{7}\).
\(\frac{{6\pi }}{7};\,\,\,\frac{{41\pi }}{7}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Công thức cộng: \(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\).
\(\frac{4}{5}\).
\( - \frac{4}{5}\).
\( \pm \frac{4}{5}\).
\(\frac{{16}}{{25}}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]\[ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha {\rm{ = 1}} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\]\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = \frac{4}{5}\\\cos \alpha = - \frac{4}{5}\end{array} \right.\).
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \)\( \Rightarrow {\rm{cos}}\alpha = - \frac{4}{5}\).
\[\left( {\frac{\pi }{2},\frac{{2\pi }}{3}} \right)\].
\[\left( {\frac{{8\pi }}{3},\frac{{17\pi }}{6}} \right)\].
\[\left( {\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}} \right)\].
\[\left( { - \pi ; - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Vì \[\cos \alpha = \frac{2}{3}\] nên \[\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\] với \[k \in \mathbb{Z}\].
Do đó, ta chọn đáp án C.
\(P = - \frac{4}{9}.\)
\(P = \frac{4}{9}.\)
\(P = - \frac{4}{{19}}.\)
\(P = \frac{4}{{19}}.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Chia cả tử và mẫu của \(P\) cho \(\cos \alpha \) ta được \(P = \frac{{3\tan \alpha - 2}}{{5 + 7\tan \alpha }} = \frac{{3.2 - 2}}{{5 + 7.2}} = \frac{4}{{19}}.\)
Hàm số \(y = \tan x\) có tập xác định là \[\mathbb{R}.\]
Hàm số \(y = \tan x\) có tập giá trị là \[\left[ { - 1;1} \right].\]
Hàm số \(y = \tan x\) có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
Hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi .\)
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = \tan x\) có tập xác định là \[\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\]
Hàm số \(y = \tan x\) có tập giá trị là \[\mathbb{R}.\]
Hàm số \(y = \tan x\) có đồ thị đối xứng qua trục tung.
Hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi .\)
Vậy phương án D là đúng.
Khẳng định nào sau đây là sai?
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên khoảng \[\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\]
Hàm số \(y = \sin x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 3\pi ; - \frac{{5\pi }}{2}} \right).\)
Hàm số \(y = \cos x\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \pi ;0} \right).\)
Hàm số \(y = \cos x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right).\)
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = \cos x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {2\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right).\) Vậy khẳng định D là sai.
Cho các khẳng định sau:
(1) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(D\) được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số \(T\) khác \(0\) sao cho với mọi \(x \in D\) ta có \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right).\)
(2) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(D\) được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\).
(3) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(D\) được gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right).\)
Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?
0.
1.
2.
3.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
⦁ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(D\) được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số \(T\) khác \(0\) sao cho với mọi \(x \in D\) ta có \(x + T \in D;\,\,x - T \in T\) và \(f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right).\) Do đó (1) sai.
⦁ Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(D\) được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\). Do đó (2) sai.
(3) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có tập xác định \(D\) được gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right).\) Do đó (3) sai.
Vậy không có khẳng định nào đúng.
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D:
Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\(y = \cos x\).
\(y = - \cos x\).
\(y = \cos \left| x \right|\).
\(y = \left| {\cos x} \right|\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Lấy đối xứng đồ thị hàm số \(y = \cos x\) qua trục \(Ox\) ta được đồ thị:
Vậy đường cong trong hình vẽ trên là đồ thị hàm số \(y = - \cos x\).
\(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(g\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
\(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ, \(g\left( x \right)\) là hàm số chẵn.
\(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(g\left( x \right)\) là hàm số chẵn.
\(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) đều là hàm số lẻ.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
⦁Xét hàm số \[f\left( x \right) = \sin 2x.\]
TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\). Do đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)
Ta có \[f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - 2x} \right) = - \sin 2x = - f\left( x \right)\] là hàm số lẻ.
⦁Xét hàm số \[g\left( x \right) = {\tan ^2}x.\]
TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}.\) Do đó \(\forall x \in {\rm{D}} \Rightarrow - x \in {\rm{D}}{\rm{.}}\)
Ta có \[g\left( { - x} \right) = {\left[ {\tan \left( { - x} \right)} \right]^2} = {\left( { - \tan x} \right)^2} = {\tan ^2}x = g\left( x \right)\] là hàm số chẵn.
\(3.\)
\(4.\)
\(5.\)
\(6.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(y = 5 + 4\sin 2x\cos 2x = 5 + 2\sin 4x\).
Mà
nên \(y\) có \(5\) giá trị nguyên.
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(x = \frac{\pi }{3} + 2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Lời giải
Đáp án đúng là: B
\(\sin x = \sin \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
\(\sin x + 5 = 0.\)
\(2\sin x - \sin x - 1 = 0.\)
\(\tan x + 5 = 0\).
\(3\cos x - 1 = 0.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1\) nên \(\sin x + 5 = 0 \Leftrightarrow \sin x = - 5\) là phương trình vô nghiệm.
\(\sin 4x + \sin 2x = 0.\)
\(\sin 4x = \sin 2x.\)
\(\sin 4x = \sin 5x.\)
\(\sin 4x = \sin x.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\sin 4x\cos 2x = \sin x\cos 5x\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\sin 6x + \sin 2x} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\sin 6x + \sin \left( { - 4x} \right)} \right]\)
\( \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - 4x} \right)\)
\( \Leftrightarrow \sin 2x = - \sin 4x \Leftrightarrow \sin 2x + \sin 4x = 0.\)
\[\left| {\sin \left( {a + 2b} \right)} \right| = \left| {\sin a} \right|.\]
\[\left| {\sin \left( {a + 2b} \right)} \right| = \left| {\sin b} \right|.\]
\[\left| {\sin \left( {a + 2b} \right)} \right| = \left| {\cos a} \right|.\]
\[\left| {\sin \left( {a + 2b} \right)} \right| = \left| {\cos b} \right|.\]
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có : \[\cos \left( {a + b} \right) = 0 \Leftrightarrow a + b = \frac{\pi }{2} + k\pi \to a = - b + \frac{\pi }{2} + k\pi \].
\( \Rightarrow \left| {\sin \left( {a + 2b} \right)} \right| = \left| {\sin \left( { - b + 2b + \frac{\pi }{2} + k\pi } \right)} \right| = \left| {\cos \left( {b + k\pi } \right)} \right| = \left| {\cos b} \right|\).
\(1\).
\(8\).
\(4\).
\(2\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Do đó khi biểu diễn họ nghiệm của phương trình \(\sin 2x = 1\) trên đường tròn đơn vị ta được \(2\) điểm.
\(x = \pm \frac{{5\pi }}{3} + k2\pi \).
\(x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \).
\(x = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k4\pi \).
\(x = \pm \frac{{5\pi }}{3} + k4\pi \).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
\(2\cos \frac{x}{2} + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{{5\pi }}{3} + k4\pi \).
\( - 1;{\mkern 1mu} 2;{\mkern 1mu} 5.\)
\(1;{\mkern 1mu} 4;{\mkern 1mu} 7.\)
\(4;{\mkern 1mu} 7;{\mkern 1mu} 10.\)
\(\;\; - 1;3;7.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \({u_1} = - 1;\,\,{u_2} = {u_1} + 3 = 2;\,\,{u_3} = {u_2} + 3 = 5.\)
\({u_{2n - 1}} = {3^2}{.3^n} - 1.\)
\({u_{2n - 1}} = {3^n}{.3^{n - 1}}.\)
\({u_{2n - 1}} = {3^{2n}} - 1.\)
\({u_{2n - 1}} = {3^{2\left( {n - 1} \right)}}.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có
\[{u_n} = 2 + {\left( {n - 1} \right)^2}.\]
\[{u_n} = 2 + {n^2}.\]
\[{u_n} = 2 + {\left( {n + 1} \right)^2}.\]
\[{u_n} = 2 - {\left( {n - 1} \right)^2}.\]
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Kiểm tra \({u_1} = 2\) ta loại các đáp án B và C
Ta có \({u_2} = {u_1} + 2.1 - 1 = 3.\)
Xét đáp án A:
Hoặc kiểm tra: \({u_{n + 1}} - {u_n} = {n^2} - {\left( {n - 1} \right)^2} = 2n - 1.\)
Xét đáp án D: loại D
Hoặc kiểm tra:\({u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( {n - 1} \right)^2} - {n^2} = - 2n + 1\not = 2n - 1.\)
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Dãy số \({u_n} = \frac{1}{n} - 2\) là dãy tăng.
Dãy số \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {{2^n} + 1} \right)\) là dãy giảm.
Dãy số \({u_n} = \frac{{n - 1}}{{n + 1}}\) là dãy giảm.
Dãy số \({u_n} = 2n + \cos \frac{1}{n}\) là dãy tăng.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Xét đáp án A: loại A
Xét đáp án B: \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {{2^n} + 1} \right)\)là dãy có dấu thay đổi nên không giảm nên loạiB
Xét đáp án C: loại C
Xét đáp án D: nên D đúng.
\[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}.\]
\[{u_n} = {3^n}.\]
\[{u_n} = \sqrt {n + 1} .\]
\[{u_n} = {n^2}.\]
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Các dãy số \({n^2};\,\,n;\,\,{3^n}\) dương và tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi \(n\) tăng lên vô hạn nên các dãy \({n^2};\,\,\sqrt {n + 1} ;\,\,{3^n}\) cũng tăng lên vô hạn (dương vô cùng), suy ra các dãy này không bị chặn trên, do đó chúng không bị chặn.
Nhận xét: \(0 < {u_n} = \frac{1}{{{2^n}}} \le \frac{1}{2}.\)
\[6.\]
\(4.\)
\(3.\)
\(2.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Với 3 điểm phân biệt không thẳng hàng, ta luôn tạo được 1 mặt phẳng xác định.
Khi đó, với 4 điểm không đồng phẳng ta tạo được tối đa \(C_4^3 = 4\) mặt phẳng.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Nếu 3 điểm \(A,\;B,\;C\) là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) thì \(A,\;B,\;C\) thẳng hàng\(.\)
Nếu \(A,\;B,\;C\) thẳng hàng và \(\left( P \right)\), \(\left( Q \right)\) có điểm chung là \(A\) thì \(B,\;C\) cũng là 2 điểm chung của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\)\(.\)
Nếu 3 điểm \(A,\;B,\;C\) là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) phân biệt thì \(A,\;B,\;C\) không thẳng hàng\(.\)
Nếu\(A,\;B,\;C\) thẳng hàng và\(A,\;B\) là 2 điểm chung của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) thì \(C\)cũng là điểm chung của \(\left( P \right)\)và \(\left( Q \right)\)\(.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Hai mặt phẳng phân biệt không song song với nhau thì chúng có duy nhất một giao tuyến.
A sai. Nếu \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) trùng nhau thì 2 mặt phẳng có vô số điểm chung. Khi đó, chưa đủ điều kiện để kết luận \(A,\;B,\;C\) thẳng hàng\(.\)
B sai. Có vô số đường thẳng đi qua \(A\), khi đó \(B,\;C\) chưa chắc đã thuộc giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\)
C sai. Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) phân biệt giao nhau tại 1 giao tuyến duy nhất, nếu 3 điểm \(A,\;B,\;C\) là 3 điểm chung của 2 mặt phẳng thì \(A,\;B,\;C\) cùng thuộc giao tuyến.
\(SI.\)
\(AE\) (\(E\) là giao điểm của \(DM\) và \(SI).\)
\(DM.\)
\(DE\) (\(E\) là giao điểm của \(DM\) và \(SI).\)
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(A\) là điểm chung thứ nhất của \(\left( {ADM} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\). Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), gọi \(E = SI \cap DM\). Ta có: ● \(E \in SI\) mà \(SI \subset \left( {SAC} \right)\) suy ra \(E \in \left( {SAC} \right)\). ● \(E \in DM\) mà \(DM \subset \left( {ADM} \right)\) suy ra \(E \in \left( {ADM} \right)\). |  |
Do đó \(E\) là điểm chung thứ hai của \(\left( {ADM} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).
Vậy \[AE\] là giao tuyến của \(\left( {ADM} \right)\) và \(\left( {SAC} \right)\).
\(E\) nằm ngoài đoạn \(BC\) về phía \(B.\)
\(E\) nằm ngoài đoạn \(BC\) về phía \(C.\)
\(E\) nằm trong đoạn \(BC.\)
\(E\) nằm trong đoạn \(BC\) và \(E \ne B,{\rm{ }}E \ne C.\)
Đáp án đúng là: D
● Chọn mặt phẳng phụ \(\left( {ABC} \right)\) chứa \(BC\). ● Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(DH \bot MN\) và \({S_{\Delta MND}} = \frac{1}{2}MN.DH = \frac{1}{2}MN.\sqrt {D{M^2} - M{H^2}} = \frac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}\) Ta có \(H\) là điểm chung thứ nhất của \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {IHK} \right)\). Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), do \(IK\) không song song với \(AC\) nên gọi \(F = IK \cap AC\). Ta có ▪ \(F \in AC\) mà \(AC \subset \left( {ABC} \right)\) suy ra \(F \in \left( {ABC} \right)\). ▪ \(F \in IK\) mà \(IK \subset \left( {IHK} \right)\) suy ra \(F \in \left( {IHK} \right)\). |  |
Suy ra \(F\) là điểm chung thứ hai của \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {IHK} \right)\).
Do đó \[\left( {ABC} \right) \cap \left( {IHK} \right) = HF\].
● Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), gọi \(E = HF \cap BC\). Ta có
▪ \(E \in HF\) mà \(HF \subset \left( {IHK} \right)\) suy ra \(E \in \left( {IHK} \right)\).
▪ \(E \in BC\).
Vậy \(E = BC \cap \left( {IHK} \right)\).
Có thể song song hoặc cắt nhau.
Cắt nhau.
Song song với nhau.
Chéo nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Theo giả thiết, \(a\) và \(b\) chéo nhau \( \Rightarrow \)\(a\) và \(b\) không đồng phẳng. Giả sử \(AD\) và \(BC\) đồng phẳng. Nếu \(AD \cap BC = I\) \( \Rightarrow I \in \left( {ABCD} \right) \Rightarrow I \in \left( {a;b} \right)\). Mà \(a\) và \(b\) không đồng phẳng, do đó, không tồn tại điểm \(I\). |  |
Nếu \(AD\,\,{\rm{//}}\,BC\)\( \Rightarrow \)\(a\) và \(b\) đồng phẳng (Mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy điều giả sử là sai. Do đó \(AD\) và \(BC\) chéo nhau.
Nếu \[a\,{\rm{//}}\,c\] thì \[b\,\,{\rm{//}}\,c\].
Nếu \(c\) cắt \(a\) thì \(c\) cắt \(b\).
Nếu \(A \in a\) và \(B \in b\) thì ba đường thẳng \(a,\;b,\;AB\) cùng ở trên một mặt phẳng.
Tồn tại duy nhất một mặt phẳng qua \(a\) và \(b\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Nếu \(c\) cắt \(a\) thì \(c\) cắt \(b\) hoặc \(c\) chéo \(b\).
Hình bình hành.
Hình chữ nhật.
Hình vuông.
Hình thoi.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Gọi \(E = AD \cap BC,{\rm{ }}P = NE \cap SC\). Suy ra \(P = SC \cap \left( {AND} \right)\). Ta có \( \bullet \)\(S\) là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\); \( \bullet \)\(I = DP \cap AN \Rightarrow I\) là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right).\) |  |
Suy ra \(SI = \left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right)\). Mà \(AB\,{\rm{//}}\,CD \Rightarrow SI\,{\rm{//}}\,AB\,{\rm{//}}\,CD.\)
Vì \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\) và chứng minh được cũng là đường trung bình của tam giác \(SAI\) nên suy ra \(SI = AB\).
Vậy \(SAB\) là hình bình hành.
\(2\,.\)
\(3.\)
\(\frac{1}{3}.\)
\(\frac{1}{2}.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Gọi \[E\] là trọng tâm của tam giác \[ACD,\,\,\,M\] là trung điểm của \[CD\,.\] Nối \[BE\] cắt \(AA'\) tại \(G\) suy ra \(G\) là trọng tâm tứ diện. Xét \(\Delta MAB\) có \[\frac{{ME}}{{MA}} = \frac{{MA'}}{{MB}} = \frac{1}{3}\] Suy ra \[A'E\,\,{\rm{//}}\,AB\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{A'E}}{{AB}} = \frac{1}{3}\,.\] | ![Gọi \(G\) là trọng tâm tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(A'\) là trọng tâm của tam giác \[BCD\,.\] Tỉ số \[\frac{{GA}}{{GA'}}\] bằng A. \(2\,.\) B. \(3.\) C. \(\frac{1}{3}.\) D. \(\frac{1}{2}.\) (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/11/8-1762307760.png) |
Khi đó, theo định lí Talet suy ra \[\frac{{A'E}}{{AB}} = \frac{{A'G}}{{AG}} = \frac{1}{3}\,\, \Rightarrow \,\,\frac{{GA}}{{GA'}} = 3\,.\]
\[a\,\,{\rm{//}}\,\,\left( \alpha \right).\]
\[a \subset \left( \alpha \right).\]
\(a\) cắt \[\left( \alpha \right).\]
\[a\,\,{\rm{//}}\,\,\left( \alpha \right)\] hoặc \[a \subset \left( \alpha \right).\]
Lời giải
Đáp án đúng là: D
\(O{O_1}\,{\rm{//}}\,\left( {BEC} \right).\)
\[O{O_1}\,{\rm{//}}\,\left( {AFD} \right).\]
\[O{O_1}\,{\rm{//}}\,\left( {EFM} \right).\]
\[M{O_1}\] cắt \[\left( {BEC} \right).\]
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Xét tam giác \[ACE\] có \[O,\,\,{O_1}\] lần lượt là trung điểm của \[AC,\,\,AE\,.\] Suy ra \[O{O_1}\] là đường trung bình trong tam giác \[ACE\]\[ \Rightarrow \,\,O{O_1}\,{\rm{//}}\,EC\,.\] Tương tự, \[O{O_1}\] là đường trung bình của tam giác \[BFD\] nên \[O{O_1}\,{\rm{//}}\,FD\,.\] |  |
Vậy \[O{O_1}\,{\rm{//}}\,\left( {BEC} \right),\]\[O{O_1}\,{\rm{//}}\,\left( {AFD} \right)\] và \[O{O_1}\,{\rm{//}}\,\left( {EFC} \right).\]
Chú ý rằng: \[\left( {EFC} \right) = \left( {EFM} \right)\,.\]
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,5 điểm)
a) Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \[\cos \alpha = - \frac{4}{5}\] và \[\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}.\] Tính \[P = \sin \frac{\alpha }{2}.\cos \frac{{3\alpha }}{2}.\]
b) Giải phương trình \[\cos 2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{5}{2}.\]
c) Phương trình của một sóng cơ học có dạng \(u\left( {x,t} \right) = A\cos \left[ {\omega \left( {t - \frac{x}{v}} \right)} \right]\) trong đó \(A\) là biên độ sóng, \(\omega \) là tần số góc của sóng và \(v\) là tốc độ truyền sóng. Biết hai sóng lan truyền theo cùng một chiều trên cùng một sợi dây kéo căng có cùng tần số, cùng biên độ \(10\left( {mm} \right)\) và hiệu số pha là \(\frac{\pi }{2}\). Hãy lập phương trình của sóng tổng hợp?
a) Ta có \[P = \sin \frac{\alpha }{2}.\cos \frac{{3\alpha }}{2} = \frac{1}{2}\left( {\sin 2\alpha - \sin \alpha } \right) = \frac{1}{2}\sin \alpha \left( {2\cos \alpha - 1} \right)\].
Từ hệ thức \[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\], suy ra \[\sin \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \pm \frac{3}{5}\].
Do \[\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\] nên ta chọn \[\sin \alpha = - \frac{3}{5}\].
Thay \[\sin \alpha = - \frac{3}{5}\] và \[\cos \alpha = - \frac{4}{5}\] vào \(P\), ta được \(P = \frac{{39}}{{50}}.\)
b) \[\cos 2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{5}{2}\]
⦁ Ta có: \[\cos 2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 - 2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\]
⦁ Phương trình đã cho trở thành:
\[ - \,2{\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \frac{3}{2} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{1}{2}\\\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{3}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{1}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{6} - x = \pm \,\frac{\pi }{3} + k2\pi \]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}.\]
⦁ Vậy phương trình có hai họ nghiệm là \[x = - \,\frac{\pi }{6} + k2\pi ;x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\]
c) Sóng thứ nhất có phương trình \({u_1}\left( {x,t} \right) = 10\cos \left[ {\omega \left( {t - \frac{x}{v}} \right)} \right] = 10\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x} \right)\)
Sóng thứ hai có phương trình \({u_2}\left( {x,t} \right) = 10\cos \left[ {\omega \left( {t - \frac{x}{v}} \right) + \frac{\pi }{2}} \right] = 10\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x + \frac{\pi }{2}} \right)\)
Sóng tổng hợp có phương trình \(u\left( {x,t} \right) = 10\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x} \right) + 10\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x + \frac{\pi }{2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow u\left( {x,t} \right) = 10.2.\cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x + \frac{\pi }{4}} \right).\cos \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow u\left( {x,t} \right) = 10\sqrt 2 \cos \left( {\omega t - \frac{\omega }{v}x + \frac{\pi }{4}} \right)\)(mm).
(0,5 điểm) Xét tính tăng giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} .\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} \)
Ta có: \({u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} = \frac{{{n^2} - \left( {{n^2} - 1} \right)}}{{n + \sqrt {{n^2} - 1} }} = \frac{1}{{n + \sqrt {{n^2} - 1} }}\)
Dễ dàng ta có: \(\left( {n + 1} \right) + \sqrt {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 1} > n + \sqrt {{n^2} - 1} \)
\( \Rightarrow \frac{1}{{\left( {n + 1} \right) + \sqrt {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 1} }} < \frac{1}{{n + \sqrt {{n^2} - 1} }} \Leftrightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\)
Từ đó suy ra dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
(1,0 điểm)
a) Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC;\)\(G,\)\(G'\) lần lượt là trọng tâm các tam giác \(SAB\) và \(SBC\). Chứng minh \(GG'\,{\rm{//}}\,\left( {SAC} \right)\).
b) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang với \(AD\,{\rm{//}}\,BC\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAD;\)\(E\) là điểm thuộc đoạn \(AC\) sao cho \(EC = xEA,\,\,\left( {x > 0} \right)\). Tìm \(x\) để \(GE\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)\).
a) Gọi \(K\) là trung điểm của \(SB\) suy ra \(G,\) \(G'\) thuộc mặt phẳng\(\left( {KAC} \right)\). Ta có: \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAB\) nên \(\frac{{KG}}{{KA}} = \frac{1}{3}\); Và \(G'\) là trọng tâm tam giác \(SBC\) nên \(\frac{{KG'}}{{KC}} = \frac{1}{3}\) Khi đó \(\frac{{KG}}{{KA}} = \frac{{KG'}}{{KC}}\), suy ra \(GG'{\rm{//}}AC\). Vì \(\left\{ \begin{array}{l}GG'{\rm{//}}AC\\GG' \not\subset \left( {SAC} \right)\\AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow GG'{\rm{//}}\left( {SAC} \right)\). |  |
Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(AD.\) Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) giả sử \(IE\) và \(BC\) cắt nhau tại điểm \(Q\). Dễ thấy \(SQ = \left( {IGE} \right) \cap \left( {SBC} \right)\). Do đó: \(GE\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)\)\( \Leftrightarrow GE{\rm{//}}SQ\) \( \Leftrightarrow \frac{{IE}}{{IQ}} = \frac{{IG}}{{IS}}\) \( \Rightarrow \frac{{IE}}{{IQ}} = \frac{1}{3}\) (1) |  |
Mặt khác nên \(\frac{{EI}}{{EQ}} = \frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{EA}}{{xEA}} = \frac{1}{x}\) suy ra \(EQ = x.EI\).
\( \Rightarrow \frac{{IE}}{{IQ}} = \frac{{IE}}{{IE + EQ}} = \frac{{IE}}{{IE + x.IE}} = \frac{1}{{1 + x}}\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{1}{{1 + x}} = \frac{1}{3}\) \( \Leftrightarrow x = 2\).
Vậy \(GE\,{\rm{//}}\,\left( {SBC} \right)\) \( \Leftrightarrow x = 2\).
