Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 7
38 câu hỏi
\(\frac{{3\pi }}{2}\).
\(\frac{{3\pi }}{4}\).
\(\frac{{5\pi }}{6}\).
\(\frac{{3\pi }}{5}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\pi {\rm{ }}rad = 180^\circ \) nên \(135^\circ = \frac{\pi }{{180}} \cdot 135 = \frac{{3\pi }}{4}{\rm{ }}rad.\)
\(1\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{1}{2}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
\[\cos 2a = {\cos ^2}a--{\sin ^2}a.\]
\[\cos 2a = {\cos ^2}a + {\sin ^2}a.\]
\[\cos 2a = 2{\cos ^2}a--1.\]
\[\cos 2a = 1--2{\sin ^2}a.\]
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \[\cos 2a = {\cos ^2}a--{\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\].
\[\sin a > 0\], \[\cos a > 0\].
\[\sin a < 0\], \[cosa < 0\].
\[\sin a > 0\], \[cosa < 0\].
\[\sin a < 0\], \[cosa > 0\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Vì \[\frac{\pi }{2} < a < \pi \]\[ \Rightarrow \sin a > 0\], \[\cos a < 0\].
\( - \frac{3}{2}\cos 2a\).
\(\frac{1}{2}\cos 2a\).
\( - \frac{2}{3}\cos 2a\).
\( - \frac{1}{2}\cos 2a\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \frac{\pi }{2} - \cos 2a} \right] = - \frac{1}{2}\cos 2a\).
\[{m^3} + 3m\].
\[3{m^3} + m\].
\[3{m^3} - m\].
\[{m^3} - 3m\].
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có:
\[{\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha = \left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)\left( {{{\tan }^2}\alpha - \tan \alpha .\cot \alpha + {{\cot }^2}\alpha } \right)\]
\[ = \left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)\left[ {{{\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)}^2} - 3\tan \alpha .\cot \alpha } \right]\]
\[ = \left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)\left[ {{{\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)}^2} - 3} \right]\]\[ = m\left( {{m^2} - 3} \right) = {m^3} - 3m\].
\[ - \frac{{17}}{7}\].
\[\frac{7}{{17}}\].
\[\frac{{17}}{7}\].
\[ - \frac{7}{{17}}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Theo giả thiết \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) và \(\cos x = \frac{5}{{13}} > 0\) suy ra \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) nên \(\tan x > 0\).
Do đó \(\tan x = \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} = \sqrt {\frac{{169}}{{25}} - 1} = \frac{{12}}{5}\).
Ta có \(\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan x + 1}}{{1 - \tan x}} = \frac{{\tan x + \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 - \tan x\tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\frac{{12}}{5} + 1}}{{1 - \frac{{12}}{5}}} = - \frac{{17}}{7}\).
\(\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
\(\cos \alpha = \frac{8}{9}\).
\(\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(cos\alpha < 0\).
\[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\]
\[ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha \]
\[ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{8}{9}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = \sqrt {\frac{8}{9}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\left( {loai} \right)\\\cos \alpha = - \sqrt {\frac{8}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\]
Cho hàm số \(y = \tan x.\) Khẳng định sau đây là sai?
Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Tập xác định của hàm số đã cho là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\) với \(k \in \mathbb{Z}\).
Hàm số đã cho tuần hoàn theo chu kì \(\pi .\)
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Cho các đồ thị hàm số sau :
Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
1.
2.
3.
\(4\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có hàm số \(y = \tan x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\) và hàm số \(y = \cot x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\) nên cả hai hàm số này đều không thỏa yêu cầu.
Xét hàm số \(y = \sin 2x\): Ta có \(\sin 2\left( {x + k\pi } \right) = \sin \left( {2x + k2\pi } \right) = \sin 2x\), \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi \) nên không thỏa yêu cầu.
\(\left( {\frac{{5\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4}} \right)\).
\(\left( {\frac{{9\pi }}{4};\frac{{11\pi }}{4}} \right)\).
\(\left( {\frac{{7\pi }}{4};3\pi } \right)\).
\(\left( {\frac{{7\pi }}{4};\frac{{9\pi }}{4}} \right)\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Dựa vào định nghĩa đường tròn lượng giác ta thấy hàm số lượng giác cơ bản \(y = \sin x\) đồng biến ở góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ tư.
Dễ thấy khoảng \(\left( {\frac{{7\pi }}{4};\frac{{9\pi }}{4}} \right)\) là phần thuộc góc phần tư thứ tư và thứ nhất nên hàm số đồng biến.
\(\left( { - 2;\, + \infty } \right)\)
\(\left( {2;\, + \infty } \right)\)
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
\(\mathbb{R}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \( - 1 \le \sin x \le 1,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\,.\) Do đó \(\sin x - 2 \ne 0,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Vậy tập xác định \(D = \mathbb{R}\)
\(y = \cot 4x.\)
\(y = \frac{{\sin x + 1}}{{\cos x}}.\)
\(y = {\tan ^2}x.\)
\(y = \left| {\cot x} \right|.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: A
\(x = \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pi + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
\[x = k\pi \], \(k \in \mathbb{Z}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình \(\cos x = - 1\)\( \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
\(\cos x = \frac{1}{2}\).
\(\sin x = \sqrt 2 \).
\(\tan x = \pi \).
\(\cot 2x - 3 = 0\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
\(x = \pi + k4\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
\(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \[\sin \frac{x}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pi + k4\pi ,k \in \mathbb{Z}\]
\(\left[ \begin{array}{l}4x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\4x = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}.\)
\(\left[ \begin{array}{l}4x = x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\4x = x + \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}.\)
\(\left[ \begin{array}{l}4x = x + k2\pi \\4x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}.\)
\(4x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: A
\(\sin 4x = \cos x \Leftrightarrow \sin 4x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\4x = \frac{\pi }{2} + x + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}\)
\(10\).
\(20\).
\(11\).
\(21\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(2023\cos x + \cos 90^\circ = m \Leftrightarrow \cos x = \frac{m}{{2023}}\)\(\left( * \right)\)
Để phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm thì \( - 1 \le \frac{m}{{2023}} \le 1 \Leftrightarrow - 2023 \le m \le 2023\).
Vì \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) và \(m \in \mathbb{Z}\) nên tập \(S\) có \(11\) phần tử.
\[5\].
\[ - 3\].
\[ - 5\].
\[3\].
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cot \frac{\pi }{6}\)
\( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \),\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}m = 6\\n = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow m - n = 5\).
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8}.\]
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{{26}}.\]
\[\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{{16}}.\]
\[\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4}.\]
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có:
\[{u_n} = 5\left( {n - 1} \right)\].
\[{u_n} = 5n\].
\[{u_n} = 5 + n\].
\[{u_n} = 5n + 1\].
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có:\[{u_1} = 5.1,\]\[{u_2} = 10 = 5.2,\]\[{u_3} = 15 = 5.3,\]\[{u_4} = 5.4,\]\[{u_5} = 5.5\]\[ \Rightarrow {u_n} = 5.n\].
Bị chặn.
Bị chặn trên, không bị chặn dưới.
Không bị chặn.
Bị chặn dưới, không bị chặn trên.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(0 < {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} < \frac{{2n + 4}}{{n + 2}} = \frac{{2(n + 2)}}{{n + 2}} = 2{\rm{ }}\forall n\) nên dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn.
8.
6.
5.
7.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \({u_n} = \frac{8}{{15}} \Leftrightarrow \frac{{n + 1}}{{2n + 1}} = \frac{8}{{15}}\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right) \Leftrightarrow 15n + 15 = 16n + 8 \Leftrightarrow n = 7\).
Vậy \(\frac{8}{{15}}\) là số hạng thứ 7 của dãy số \(\left( {{u_n}} \right).\)
\[{u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\].
\[{u_n} = \frac{1}{n}\].
\[{u_n} = \frac{{n + 5}}{{3n + 1}}\].
\[{u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Vì \({2^n};\,n\) là các dãy dương và tăng nên \(\frac{1}{{{2^n}}};\,\,\frac{1}{n}\) là các dãy giảm, do đó loại A,B
Xét đáp án C: loại C
Xét đáp án D: \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {\frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}}} \right) > 0\).
\(2\).
3.
Vô số.
Một và chỉ một.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
\(\left( {ABD} \right)\).
\(\left( {MND} \right)\).
\(\left( {BCD} \right)\).
\(\left( {ACD} \right)\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(E \in BC \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow E \in \left( {BCD} \right)\).
\[CP\].
\[NE\].
\[MF\].
\[CE\].
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \[C \in \left( {BCD} \right) \cap \left( {CMP} \right)\]\[\left( 1 \right)\].
Lại có \[BD \cap MP = E \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}E \in BD \Rightarrow E \in \left( {BCD} \right)\\E \in MP \Rightarrow E \in \left( {CMP} \right)\end{array} \right.\]\[\left( 2 \right)\].
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\]\[ \Rightarrow \left( {BCD} \right) \cap \left( {CMP} \right) = CE\].
Giao điểm của \(MN\) và \(\left( {SBD} \right)\) là giao điểm của \(MN\) và \(SB\,.\)
Đường thẳng \(MN\) không cắt mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
Giao điểm của \(MN\) và \(\left( {SBD} \right)\) là giao điểm của \(MN\) và \(SI\), trong đó \(I\) là giao điểm của \(CM\) và \(BD\).
Giao điểm của \(MN\) và \(\left( {SBD} \right)\) là giao điểm của \(MN\) và \(BD\,.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(\left\{ I \right\} = BD \cap CM \Rightarrow SI = \left( {SCM} \right) \cap \left( {SBD} \right).\)
Trong mặt phẳng \(\left( {SCM} \right)\) gọi \(\left\{ J \right\} = MN \cap SI \Rightarrow \left\{ J \right\} = MN \cap \left( {SBD} \right).\)
Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung đúng, vì hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong mặt phẳng nên chúng không có điểm chung.
\(AN\) và \(BC\) cắt nhau.
\(AN\) và \(BC\) chéo nhau.
\(AN\) và \(CM\) song song với nhau.
\(AC\) và \(BD\) cắt nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
\(AN\) và \(BC\) là hai đường thẳng chéo nhau.
Không có giao điểm.
Giao điểm của đường thẳng \(SB\) và \(MC.\)
Trung điểm của đoạn thẳng \(SB\).
Giao điểm của đường thẳng \(SB\) và \(MD.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Vì \(M\) là điểm chung của \(SA\) và \(\left( {CMD} \right)\), nên giao điểm của đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {CMD} \right)\) (nếu có) sẽ thuộc giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {CMD} \right)\).
Ta có \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {CMD} \right)\) có điểm chung là \(M\) và \(AB//CD\) nên giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {CMD} \right)\) là đường thẳng \(d\) qua \(M\) và song song \(AB,CD\).
Gọi \(N = d \cap SB\), khi đó, \(MN//AB\), mà \(M\) là trung điểm \(SA\), suy ra, \(N\) là trung điểm \(SB\).
Vậy giao điểm của đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {CMD} \right)\) là trung điểm \(SB\).
\(MQ\) cắt \(NP\).
\(MQ\,{\rm{//}}\,NP\).
\(MQ \equiv NP\).
\(MQ,\,\,NP\) chéo nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Xét mặt phẳng \(\left( {ABP} \right).\) Ta có: \(M,N\) thuộc \(AB \Rightarrow M,N\) thuộc mặt phẳng \(\left( {ABP} \right).\) Mặt khác: \(CD \cap \left( {ABP} \right) = P.\) Mà: \(Q \in CD \Rightarrow Q \notin \left( {ABP} \right) \Rightarrow M,N,P,Q\) không đồng phẳng\( \Rightarrow \,\,MQ\) và \(NP\) chéo nhau. |  |
0.
1.
2.
vô số.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
\(MN\,{\rm{//}}\,\left( {BCD} \right)\).
\(MN\) cắt \(BD\).
\(MN\,{\rm{//}}\,CD\).
\(AC\) cắt \(BD\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Gọi \(E\) là trung điểm \(BC\). Trong \(\Delta AED\), có \[\frac{{AM}}{{AE}} = \frac{{AN}}{{AD}} = \frac{2}{3}\] \[ \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,ED \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,\left( {BCD} \right)\].
|  |
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,5 điểm)
a) Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(\sin x = m - 2\) có hai nghiệm phân biệt trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\)?
b) Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \[\frac{{\tan x - \sqrt 3 }}{{2\sin x - \sqrt 3 }} = 0\].
c) Số giờ có ánh mặt trời của một thành phố \(X\) ở vĩ độ \(40^\circ \) bắc trong ngày thứ \(t\) của một năm không nhuận được cho bởi hàm số \(d\left( t \right) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10\), với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\). Hỏi vào ngày nào trong năm thì thành phố \(X\) có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất?
a) Xét hàm số \(y = \sin x\) trên \(\left( {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\)
Từ bảng biến thiên của hàm số \(y = \sin x\) trên \(\left( {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\), dễ thấy để phương trình có hai nghiệm phân biệt trên \(\left( {\frac{\pi }{6};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) thì \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} < m < 1\).
b) Điều kiện: \(\sin x \ne \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x \ne \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.;k \in \mathbb{Z}\)
Với điều kiện trên, phương trình trở thành \[\tan x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\;\,\,k \in \mathbb{Z}\].
Kết hợp điều kiện, ta được các nghiệm là \(x = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z}\)
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \({x_0} = \frac{{4\pi }}{3}\).
c) Ta có: \(7 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10 \le 13,\,\,\forall t \in \mathbb{Z}\,\,v\`a \,\,\;0 < t \le 365\)
Theo đề bài ta có:
\(\sin \left[ {\frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right)} \right] = - 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = - 21 + k324\).
Với \(t \in \mathbb{Z}\) và \(0 < t \le 365\), ta được \(t = 303\).
Vậy vào ngày thứ \(303\), thành phố \(X\) có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất.
(0,5 điểm) Xét tính tăng giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}.\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}} = \frac{1}{2} + \frac{{n + \frac{3}{2}}}{{2{n^2} + 1}}\)
Với mọi \(n \in \mathbb{N}*,\) xét hiệu số:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{2} + \frac{{n + 1 + \frac{3}{2}}}{{2{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} - \left( {\frac{1}{2} + \frac{{n + \frac{3}{2}}}{{2{n^2} + 1}}} \right)\) \( = \frac{{n + \frac{5}{2}}}{{2{n^2} + 2n + 3}} - \frac{{n + \frac{3}{2}}}{{2{n^2} + 1}}\)
\( = \frac{{\left( {n + \frac{5}{2}} \right)\left( {2{n^2} + 1} \right) - \left( {n + \frac{3}{2}} \right)\left( {2{n^2} + 2n + 3} \right)}}{{\left( {2{n^2} + 2n + 3} \right)\left( {2{n^2} + 1} \right)}}\) \( = \frac{{ - 5n - 2}}{{\left( {2{n^2} + 2n + 3} \right)\left( {2{n^2} + 1} \right)}} < 0{\rm{ }}\forall n \ge 1.\)
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(SD\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ACD\) và \(I\) là trung điểm của đoạn \(SG\).
a) Chứng minh rằng \(MI\,{\rm{//}}\,BD\).
b) Xác định giao điểm \(F\) của \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {CMI} \right)\) và tính tỉ số \(\frac{{FS}}{{FA}}\).
a) Do \(M,I\) lần lượt là trung điểm của \(SD,SG\) nên \(MI\) là đường trung bình của tam giác \(SDG\).
Do đó \(MI\,{\rm{//}}\,DG\) hay \(MI\,{\rm{//}}\,BD\).
b) Trong \(\left( {SBD} \right)\) kẻ \(MI\) cắt \(SO\) tại \(E\) (với \(O\) là tâm hình bình hành \(ABCD\))
Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(CE\) cắt \(SA\) tại \(F\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}F \in SA\\F \in \left( {CMI} \right)\end{array} \right.\) hay \(F = SA \cap \left( {CMI} \right)\)
Kẻ \(ON\,{\rm{//}}\,CF\) với \(N \in SA\).
Do \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(N\) là trung điểm của \[FA\].
Vì \(FE\,{\rm{//}}\,NO\) và \(E\) là trung điểm của \(SO\) nên \(F\) là trung điểm của \(SN\).
Vậy \(\frac{{FS}}{{FA}} = \frac{1}{2}.\)
