Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 6
39 câu hỏi
\(\frac{{13\pi }}{9}\).
\(\frac{{10\pi }}{9}\).
\( - \frac{{13\pi }}{9}\).
\( - 14\,\,896\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Vì \(1^\circ = \frac{\pi }{{180}}rad\) nên \( - 260^\circ = - 260.\frac{\pi }{{180}} = - \frac{{13\pi }}{9}\).
\[\sqrt 3 \].
\[ - \sqrt 3 \].
\[ - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\].
\[\frac{1}{{\sqrt 3 }}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\tan \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = - \sqrt 3 .\]
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
\(\sin \alpha + \cos \alpha = 1\).
\(\tan \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\) .
\(\cot \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\,\,\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\)
\({\rm{cos }}\alpha < 0.\)
\(\sin \alpha > 0.\)
\(\tan \alpha > 0.\)
\[{\rm{cot }}\alpha > 0.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có \( - \pi < \alpha < - \frac{\pi }{2} \Rightarrow \sin \alpha < 0,\cos \alpha < 0,\tan \alpha > 0,\cot \alpha > 0\).
\[\beta \] và \[\gamma \]; \[\alpha \] và \[\delta \].
\[\alpha ,\beta ,\gamma \].
\[\beta ,\gamma ,\delta \].
\[\alpha \] và \[\beta \]; \[\gamma \] và \[\delta \].
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Cách 1: Ta có: \[\delta - \alpha = 4\pi \Rightarrow \] \[2\] cung \[\alpha \] và \[\delta \] có điểm cuối trùng nhau.
\[\gamma - \beta = 8\pi \Rightarrow \] hai cung \[\beta \] và \[\gamma \] có điểm cuối trùng nhau.
Cách 2: Gọi \(A,B,C,D\) lần lượt là điểm cuối của các cung \[\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \]
Biểu diễn các cung trên đường tròn lượng giác ta có \[B \equiv C,A \equiv D\].
\[ - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\].
\[\frac{1}{2}\].
\[\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].
\[\frac{{\sqrt 5 }}{5}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \[\cot \alpha = 4\tan \alpha \]\[ \Leftrightarrow \frac{{\cot \alpha }}{{\tan \alpha }} = 4 \Leftrightarrow {\cot ^2}\alpha = 4 \Leftrightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha = 5\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 5 \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \sin \alpha = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{5}\].
Vì \[\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\] nên \(\sin \alpha > 0\), do đó \[\sin \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\].
\[ - \frac{1}{3}\].
\[1\].
\[\frac{2}{3}\].
\[\frac{1}{3}\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \[\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \alpha - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan \alpha \tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{2 - 1}}{{1 + 2}} = \frac{1}{3}\].
\[\sin 2a\].
\[\cos 2a\].
\[ - \frac{1}{2}\].
\[\frac{1}{2}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
Hàm số \[y = \cos x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \cot x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \sin x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \tan x\] là hàm số lẻ.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có các kết quả sau:
Hàm số \[y = \cos x\] là hàm số chẵn.
Hàm số \[y = \cot x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \sin x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \tan x\] là hàm số lẻ.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 39 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Điều kiện xác định: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\)
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(4\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = \sin x\); \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi .\)
\(y = \tan x\) nghịch biến trong \(\left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(y = \cos x\) đồng biến trong \(\left( { - \frac{\pi }{2};\;0} \right)\).
\(y = \sin x\) đồng biến trong \(\left( { - \frac{\pi }{2};\;0} \right)\).
\(y = \cot x\) nghịch biến trong \(\left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Trên khoảng \(\left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right)\) thì hàm số \(y = \tan x\) đồng biến.
\(2\).
\(4\).
\(3\).
\( - 1\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(y = 2\sin 2x + 1\).
Do \( - 1 \le \sin 2x \le 1 \Rightarrow - 2 \le 2\sin 2x \le 2 \Rightarrow - 1 \le 2\sin 2x + 1 \le 3\).
\( \Rightarrow - 1 \le y \le 3\).
* \(y = - 1 \Leftrightarrow \sin 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \).
* \(y = 3 \Leftrightarrow \sin 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(M = 3\), giá trị nhỏ nhất bằng \(m = - 1\).
Suy ra: \(M + m = 2\).
\[D = \left[ {3; + \infty } \right)\].
\[D = \left( { - \infty ;3} \right]\].
\[D = \left[ {0;3} \right]\].
\[D = \left[ {0; + \infty } \right)\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}9 - {x^2} \ge 0\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le x \le 3\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le 3\).
Vậy tập xác định của hàm số là \[D = \left[ {0;3} \right]\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \\x = - \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Lời giải
Đáp án đúng là: D
\[\sin 2x = - \frac{1}{2}\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\cos x = 2\].
\[\cos x = - 3\].
\[2\cos x = - \sqrt 5 \].
\[2\cos x = - 2\].
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Xét phương trình \[\cos x = 2\]. Phương trình vô nghiệm vì \(2 > 1.\)
Xét phương trình \[\cos x = - 3\]. Phương trình vô nghiệm vì \( - 3 < - 1\).
Xét phương trình \[2\cos x = - \sqrt 5 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\]. Phương trình vô nghiệm vì \( - \frac{{\sqrt 5 }}{2} < - 1\)
Xét phương trình \[2\cos x = - 2 \Leftrightarrow \cos x = - 1\]\( \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi .\)
\(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi .\)
\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi .\)
\(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k2\pi .\)
\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi .\)
Lời giải
Đáp án đúng là: B
\(x = \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\sqrt {\rm{3}} \tan 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \tan 2x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\[x = \frac{\pi }{3}\].
\[x = \frac{{13\pi }}{3}\].
\[x = \frac{\pi }{6}\].
\[x = \frac{{7\pi }}{3}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(3\cot x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot \left( {\frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(\frac{\pi }{3}\).
\[x = \frac{\pi }{3} + k\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1\]\[ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \]\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[{u_5} = \frac{{23}}{9}\].
\[{u_5} = \frac{{73}}{{27}}\].
\[{u_5} = \frac{{53}}{{19}}\].
\[{u_5} = \frac{{25}}{{11}}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[{u_5} = \frac{{3 \cdot {5^2} - 2}}{{{5^2} + 2}} = \frac{{73}}{{27}}\].
\[8\].
\[11\].
\[9\].
\[10\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({u_n} = \frac{7}{{11}}\)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{3n + 1}}{{5n - 1}} = \frac{7}{{11}}\)\( \Leftrightarrow \)\(33n + 11 = 35n - 7\)\( \Leftrightarrow \)\(n = 9\).
\({u_n} = 5n - 5\).
\({u_n} = 5n\).
\({u_n} = n + 5\).
\({u_n} = 5n - 1\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Do \(5 = 5.1\,;\,10 = 5.2\,;\,15 = 5.3\,;\,20 = 5.4\,;\,...\) nên số hạng tổng quát của dãy số này là \({u_n} = 5n\).
Dãy số tăng, bị chặn.
Dãy số giảm, bị chặn.
Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn.
Cả A, B, C đều sai.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n - 11}}{{3n + 1}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \frac{{35}}{{(3n + 1)(3n - 2)}} > 0\) với mọi \(n \ge 1\).
Suy ra \({u_{n + 1}} > {u_n}{\rm{ }}\forall n \ge 1 \Rightarrow \) dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng.
Mặt khác: \({u_n} = \frac{2}{3} - \frac{{35}}{{3(3n - 2)}} \Rightarrow - 11 \le {u_n} < \frac{2}{3}{\rm{ }}\forall n \ge 1\)
Vậy dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy bị chặn.
\({u_n} = \frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}\).
\({u_n} = 5 + \frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}\).
\({u_n} = 5 + \frac{{\left( {n + 1} \right)n}}{2}\).
\({u_n} = 5 + \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({u_1} = 5,{u_2} = 5 + 1\), \({u_3} = 5 + 1 + 2\),…
\({u_n} = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 = 5 + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\).
Qua 2 điểm phân biệt, có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm phân biệt bất kì, có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
\(AC\) và \(BD\) cắt nhau.
\(AC\) và \(BD\) không có điểm chung.
Tồn tại một mặt phẳng chứa \(AD\) và \(BC\).
\(AB\) và \(CD\) cắt nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Vì \[ABCD\] là tứ diện nên \[AC\] và \[BD\] không cùng nằm trên một mặt phẳng.
\[SK\] (\[K\] là trung điểm của \[AB\]).
\[SO\] (\[O\] là tâm của hình bình hành \[ABCD\]).
\[SF\] (\[F\] là trung điểm của \[CD\]).
\[SD\].
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \[ABCD\]\( \Rightarrow O = AC \cap MN\)\( \Rightarrow SO = \left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right)\).
giao điểm của \(SD\) và \(BK\).
giao điểm của \(SD\) và \(AM\).
giao điểm của \(SD\) và \(AB\).
giao điểm của \(SD\) và \(MK\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\): Gọi \(SO \cap AM = K\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), kéo dài \(BK\) cắt \(SD\) tại \(N\).
\( \Rightarrow \)\(N\) là giao điểm của \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\)
\( \Rightarrow \)Giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\) là giao điểm của \(SD\) và \(BK\).
Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song với nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng.
Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Chéo nhau.
Cắt nhau.
Song song.
trùng nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.
\(MP\) và \(RT\).
\(MQ\) và \(RT\).
\(MN\) và \(RT\).
\(PQ\) và \(RT\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[M\]; \[Q\] lần lượt là trung điểm của \[AC\]; \[CD\].
\( \Rightarrow MQ\) là đường trung bình của tam giác \(CAD \Rightarrow MQ\,{\rm{//}}\,AD\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Ta có: \[R\]; \[T\] lần lượt là trung điểm của \[SA\]; \[SD\].
\( \Rightarrow RT\) là đường trung bình của tam giác \[SAD \Rightarrow RT\,{\rm{//}}\,AD\,\,\,\left( 2 \right)\].
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra: \(MQ\,{\rm{//}}\,RT\).
\(d\) qua \(S\) và song song với \(BC.\)
\(d\) qua \(S\) và song song với \(DC.\)
\(d\) qua \(S\) và song song với \(AB.\)
\(d\) qua \(S\) và song song với \(BD.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) có điểm chung là \(S\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \subset \left( {SAD} \right),BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD\,{\rm{//}}\,BC\end{array} \right.\) \[ \Rightarrow \] \(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = Sx\,{\rm{//}}\,AD\,{\rm{//}}\,BC\)
\(d\) và \(\left( \alpha \right)\) có ít nhất hai điểm chung.
\(d\) và \(\left( \alpha \right)\) có một điểm chung duy nhất.
\(d\) song song với \(\left( \alpha \right)\).
\(d'\) song song với \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Theo định lý ta có: “Nếu đường thẳng \(d\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(d\) song song với đường thẳng \(d'\) nằm trong \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) song song với \(\left( \alpha \right)\)”.
\(\frac{{QC}}{{QA}} = \frac{3}{2}\).
\(\frac{{QC}}{{QA}} = \frac{5}{2}\).
\(\frac{{QC}}{{QA}} = 2\).
\(\frac{{QC}}{{QA}} = \frac{1}{2}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(NP\;{\rm{//}}\;AB \Rightarrow AB\;{\rm{//}}\;\left( {MNP} \right)\).
Mặt khác \(AB \subset \left( {ABC} \right)\), \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\) có điểm \(M\) chung nên giao tuyến của \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\) là đường thẳng \(MQ\;{\rm{//}}\;AB\)\(\left( {Q \in AC} \right)\).
Ta có: \(\frac{{QC}}{{QA}} = \frac{{MC}}{{MB}} = 2\).
a) Vì \[\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \] nên \[\cos \alpha > 0\].
Ta có: \[{\sin ^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\].
Suy ra: \[\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{5}{{13}}\].
Vậy \[cos\left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right) = \cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha + \sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha = \frac{{5 - 12\sqrt 3 }}{{26}}\].
b) \(\sin \left( {4x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{{7\pi }}{{10}} - x} \right)\)
\[ \Leftrightarrow \sin \left( {4x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{{7\pi }}{{10}} - x} \right)} \right]\]\( \Leftrightarrow \sin \left( {4x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{5}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + \frac{\pi }{4} = x - \frac{\pi }{5} + k2\pi \\4x + \frac{\pi }{4} = \pi - x + \frac{\pi }{5} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \frac{{9\pi }}{{20}} + k2\pi \\5x = \frac{{19\pi }}{{20}} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{3\pi }}{{20}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{{19\pi }}{{100}} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = - \frac{{3\pi }}{{20}} + k\frac{{2\pi }}{3};\,\,x = \frac{{19\pi }}{{100}} + k\frac{{2\pi }}{5}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\): Với \({u_n} = \frac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}}\)
Ta có: \({u_n} = 3n - 5 + \frac{6}{{n + 1}}\)
Với mọi \(n \in \mathbb{N}*\) ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {3\left( {n + 1} \right) - 5 + \frac{6}{{n + 2}}} \right] - \left( {3n - 5 + \frac{6}{{n + 1}}} \right)\) \( = 3 + \frac{6}{{n + 2}} - \frac{6}{{n + 1}}\)
\( = 3\left[ {\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) + 2\left( {n + 1} \right) - 2\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}} \right]\) \( = \frac{{3\left( {{n^2} + 3n} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0.{\rm{ }}\forall n \ge 1.\)
Kết luận \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
a) Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\] (1)
Lại có \[S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]
b) Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right)\\\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = d\) qua \(I\) và \[d\,{\rm{//}}\,CD\].
Gọi \(P,\,\,Q\) lần lượt là giao điểm của \(d\) với \(AD,\,\,BC\).
Ta có:\[\left\{ \begin{array}{l}P \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right)\\\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,SA\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = {d_1}\] qua \(P\) và \({d_1}\,{\rm{//}}\,SA\).
Khi đó \(N\) là giao điểm của \({d_1}\) với \(SD\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right)\\\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = {d_2}\) qua \(N\) và \({d_2}\,{\rm{//}}\,CD\).
Khi đó \(M\) là giao điểm của \({d_2}\) với \(SC\).
Suy ra mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) tạo với hình chóp \(S.ABCD\) một thiết diện là hình thang \(MNPQ\)
Ta có \(MN\,{\rm{//}}\,CD \Rightarrow \frac{{MN}}{{CD}} = \frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{SM}}{{SC}}\)
Mà \(\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{AP}}{{AD}} = \frac{{BI}}{{BD}} = \frac{2}{3}\)
Suy ra \[\frac{{MN}}{{CD}} = \frac{2}{3}.\]
Ta có \( - 1 \le \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) \le 1\) với mọi \(0 \le t \le 24\)
\( - A + B \le A\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + B \le A + B\) với mọi \(0 \le t \le 24\)
Độ sâu của mực nước lớn nhất bằng \(A + B\) khi \(\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = 1\) và thấp nhất bằng \( - A + B\) khi \(\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = - 1\)
Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}A + B = 15\\ - A + B = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B = 12\\A = 3\end{array} \right.\)
Ta được \(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\)
Theo đề, ta tìm thời điểm mà độ sâu \(h = 13,5\)
\( \Leftrightarrow 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12 = 13,5\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{6} + 1 = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{6} + 1 = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \left( { - 1 + \frac{\pi }{3}} \right).\frac{6}{\pi } + 12k\\t = \left( { - 1 - \frac{\pi }{3}} \right).\frac{6}{\pi } + 12k\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Do \(0 \le t \le 24; k \in \mathbb{Z}\) nên \(t = 0,09\) (giờ); \(t = 12,09\) (giờ); \(t = 8,09\) (giờ);\(t = 20,09\) (giờ).
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
