Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 6
39 câu hỏi
\(\frac{{13\pi }}{9}\).
\(\frac{{10\pi }}{9}\).
\( - \frac{{13\pi }}{9}\).
\( - 14\,\,896\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Vì \(1^\circ = \frac{\pi }{{180}}rad\) nên \( - 260^\circ = - 260.\frac{\pi }{{180}} = - \frac{{13\pi }}{9}\).
\[\sqrt 3 \].
\[ - \sqrt 3 \].
\[ - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\].
\[\frac{1}{{\sqrt 3 }}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[\tan \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) = - \sqrt 3 .\]
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).
\(\sin \alpha + \cos \alpha = 1\).
\(\tan \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\).
\(\cot \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) và \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\,\,\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\)
\({\rm{cos }}\alpha < 0.\)
\(\sin \alpha > 0.\)
\(\tan \alpha > 0.\)
\[{\rm{cot }}\alpha > 0.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có \( - \pi < \alpha < - \frac{\pi }{2} \Rightarrow \sin \alpha < 0,\cos \alpha < 0,\tan \alpha > 0,\cot \alpha > 0\).
\[\beta \] và \[\gamma \]; \[\alpha \] và \[\delta \].
\[\alpha ,\beta ,\gamma \].
\[\beta ,\gamma ,\delta \].
\[\alpha \]và \[\beta \]; \[\gamma \] và \[\delta \].
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Cách 1: Ta có: \[\delta - \alpha = 4\pi \Rightarrow \]\[2\] cung \[\alpha \] và \[\delta \] có điểm cuối trùng nhau.
\[\gamma - \beta = 8\pi \Rightarrow \] hai cung \[\beta \] và \[\gamma \] có điểm cuối trùng nhau.
Cách 2: Gọi \(A,B,C,D\) lần lượt là điểm cuối của các cung \[\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \]
Biểu diễn các cung trên đường tròn lượng giác ta có \[B \equiv C,A \equiv D\].
\[ - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\].
\[\frac{1}{2}\].
\[\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].
\[\frac{{\sqrt 5 }}{5}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \[\cot \alpha = 4\tan \alpha \]\[ \Leftrightarrow \frac{{\cot \alpha }}{{\tan \alpha }} = 4 \Leftrightarrow {\cot ^2}\alpha = 4 \Leftrightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha = 5\]
\[ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 5 \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \sin \alpha = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{5}\].
Vì \[\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\] nên \(\sin \alpha > 0\), do đó \[\sin \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\].
\[ - \frac{1}{3}\].
\[1\].
\[\frac{2}{3}\].
\[\frac{1}{3}\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \[\tan \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\tan \alpha - \tan \frac{\pi }{4}}}{{1 + \tan \alpha \tan \frac{\pi }{4}}} = \frac{{2 - 1}}{{1 + 2}} = \frac{1}{3}\].
\[\sin 2a\].
\[\cos 2a\].
\[ - \frac{1}{2}\].
\[\frac{1}{2}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
Khẳng định nào dưới đây là sai?
Hàm số \[y = \cos x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \cot x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \sin x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \tan x\] là hàm số lẻ.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có các kết quả sau:
Hàm số \[y = \cos x\] là hàm số chẵn.
Hàm số \[y = \cot x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \sin x\] là hàm số lẻ.
Hàm số \[y = \tan x\] là hàm số lẻ.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{k\pi }}{2}\left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Điều kiện xác định: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.\)
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(4\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = \sin x\); \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(T = 2\pi .\)
Khẳng định nào sau đây sai?
\(y = \tan x\) nghịch biến trong \(\left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right)\).
\(y = \cos x\) đồng biến trong \(\left( { - \frac{\pi }{2};\;0} \right)\).
\(y = \sin x\) đồng biến trong \(\left( { - \frac{\pi }{2};\;0} \right)\).
\(y = \cot x\) nghịch biến trong \(\left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right)\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Trên khoảng \(\left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right)\) thì hàm số \(y = \tan x\) đồng biến.
\(2\).
\(4\).
\(3\).
\( - 1\).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(y = 2\sin 2x + 1\).
Do \( - 1 \le \sin 2x \le 1 \Rightarrow - 2 \le 2\sin 2x \le 2 \Rightarrow - 1 \le 2\sin 2x + 1 \le 3\).
\( \Rightarrow - 1 \le y \le 3\).
* \(y = - 1 \Leftrightarrow \sin 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \).
* \(y = 3 \Leftrightarrow \sin 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \).
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(M = 3\), giá trị nhỏ nhất bằng \(m = - 1\).
Suy ra: \(M + m = 2\).
\[D = \left[ {3; + \infty } \right)\].
\[D = \left( { - \infty ;3} \right]\].
\[D = \left[ {0;3} \right]\].
\[D = \left[ {0; + \infty } \right)\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}9 - {x^2} \ge 0\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le x \le 3\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le 3\).
Vậy tập xác định của hàm số là \[D = \left[ {0;3} \right]\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \\x = - \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\x = - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Lời giải
Đáp án đúng là: D
\[\sin 2x = - \frac{1}{2}\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm?
\[\cos x = 2\].
\[\cos x = - 3\].
\[2\cos x = - \sqrt 5 \].
\[2\cos x = - 2\].
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Xét phương trình \[\cos x = 2\]. Phương trình vô nghiệm vì \(2 > 1.\)
Xét phương trình \[\cos x = - 3\]. Phương trình vô nghiệm vì \( - 3 < - 1\).
Xét phương trình \[2\cos x = - \sqrt 5 \Leftrightarrow \cos x = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\]. Phương trình vô nghiệm vì \( - \frac{{\sqrt 5 }}{2} < - 1\)
Xét phương trình \[2\cos x = - 2 \Leftrightarrow \cos x = - 1\]\( \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi .\)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi .\)
\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi .\)
\(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k2\pi .\)
\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi .\)
Lời giải
Đáp án đúng là: B
\(x = \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\sqrt {\rm{3}} \tan 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \tan 2x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\[x = \frac{\pi }{3}\].
\[x = \frac{{13\pi }}{3}\].
\[x = \frac{\pi }{6}\].
\[x = \frac{{7\pi }}{3}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(3\cot x - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \cot x = \cot \left( {\frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(\frac{\pi }{3}\).
\[x = \frac{\pi }{3} + k\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = 1\]\[ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \]\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \]\[\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
\[{u_5} = \frac{{23}}{9}\].
\[{u_5} = \frac{{73}}{{27}}\].
\[{u_5} = \frac{{53}}{{19}}\].
\[{u_5} = \frac{{25}}{{11}}\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[{u_5} = \frac{{3 \cdot {5^2} - 2}}{{{5^2} + 2}} = \frac{{73}}{{27}}\].
\[8\].
\[11\].
\[9\].
\[10\].
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({u_n} = \frac{7}{{11}}\)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{3n + 1}}{{5n - 1}} = \frac{7}{{11}}\)\( \Leftrightarrow \)\(33n + 11 = 35n - 7\)\( \Leftrightarrow \)\(n = 9\).
\({u_n} = 5n - 5\).
\({u_n} = 5n\).
\({u_n} = n + 5\).
\({u_n} = 5n - 1\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Do\(5 = 5.1\,;\,10 = 5.2\,;\,15 = 5.3\,;\,20 = 5.4\,;\,...\) nên số hạng tổng quát của dãy số này là \({u_n} = 5n\).
Dãy số tăng, bị chặn.
Dãy số giảm, bị chặn.
Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn.
Cả A, B, C đều sai.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n - 11}}{{3n + 1}} - \frac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \frac{{35}}{{(3n + 1)(3n - 2)}} > 0\) với mọi \(n \ge 1\).
Suy ra \({u_{n + 1}} > {u_n}{\rm{ }}\forall n \ge 1 \Rightarrow \) dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng.
Mặt khác: \({u_n} = \frac{2}{3} - \frac{{35}}{{3(3n - 2)}} \Rightarrow - 11 \le {u_n} < \frac{2}{3}{\rm{ }}\forall n \ge 1\)
Vậy dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy bị chặn.
\({u_n} = \frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}\).
\({u_n} = 5 + \frac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}\).
\({u_n} = 5 + \frac{{\left( {n + 1} \right)n}}{2}\).
\({u_n} = 5 + \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \({u_1} = 5,{u_2} = 5 + 1\), \({u_3} = 5 + 1 + 2\),…
\({u_n} = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 = 5 + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\).
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Qua 2 điểm phân biệt, có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm phân biệt bất kì, có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
Qua 4 điểm phân biệt bất kì có duy nhất một mặt phẳng.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Qua 3 điểm không thẳng hàng có duy nhất một mặt phẳng.
Cho tứ diện\[ABCD\]. Chọn khẳng định đúng.
\(AC\) và \(BD\) cắt nhau.
\(AC\) và \(BD\) không có điểm chung.
Tồn tại một mặt phẳng chứa \(AD\) và \(BC\).
\(AB\) và \(CD\) cắt nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Vì \[ABCD\] là tứ diện nên \[AC\] và \[BD\] không cùng nằm trên một mặt phẳng.
\[SK\] (\[K\] là trung điểm của \[AB\]).
\[SO\] (\[O\] là tâm của hình bình hành \[ABCD\]).
\[SF\] (\[F\] là trung điểm của \[CD\]).
\[SD\].
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Gọi \(O\) là tâm hình bình hành \[ABCD\]\( \Rightarrow O = AC \cap MN\)\( \Rightarrow SO = \left( {SMN} \right) \cap \left( {SAC} \right)\).
giao điểm của \(SD\) và \(BK\).
giao điểm của \(SD\) và \(AM\).
giao điểm của \(SD\) và \(AB\).
giao điểm của \(SD\) và \(MK\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\): Gọi \(SO \cap AM = K\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), kéo dài \(BK\) cắt \(SD\) tại \(N\).
\( \Rightarrow \)\(N\) là giao điểm của \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\)
\( \Rightarrow \)Giao điểm của đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\) là giao điểm của \(SD\) và \(BK\).
Khẳng định nào sau đây đúng?
Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song với nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng.
Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng chéo nhau.
Hai đường thẳng không có điểm chung là hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Chéo nhau.
Cắt nhau.
Song song.
trùng nhau.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.
\(MP\) và \(RT\).
\(MQ\) và \(RT\).
\(MN\) và \(RT\).
\(PQ\) và \(RT\).
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[M\]; \[Q\] lần lượt là trung điểm của \[AC\]; \[CD\].
\( \Rightarrow MQ\) là đường trung bình của tam giác \(CAD \Rightarrow MQ\,{\rm{//}}\,AD\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Ta có: \[R\]; \[T\] lần lượt là trung điểm của \[SA\]; \[SD\].
\( \Rightarrow RT\) là đường trung bình của tam giác \[SAD \Rightarrow RT\,{\rm{//}}\,AD\,\,\,\left( 2 \right)\].
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra: \(MQ\,{\rm{//}}\,RT\).
\(d\)qua \(S\)và song song với \(BC.\)
\(d\)qua \(S\)và song song với \(DC.\)
\(d\)qua \(S\)và song song với \(AB.\)
\(d\)qua \(S\)và song song với \(BD.\)
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) có điểm chung là \(S\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \subset \left( {SAD} \right),BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD\,{\rm{//}}\,BC\end{array} \right.\)\[ \Rightarrow \]\(\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = Sx\,{\rm{//}}\,AD\,{\rm{//}}\,BC\)
\(d\)và \(\left( \alpha \right)\)có ít nhất hai điểm chung.
\(d\)và \(\left( \alpha \right)\)có một điểm chung duy nhất.
\(d\) song song với \(\left( \alpha \right)\).
\(d'\)song song với \(\left( \alpha \right)\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Theo định lý ta có: “Nếu đường thẳng \(d\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(d\) song song với đường thẳng \(d'\)nằm trong \(\left( \alpha \right)\)thì\(d\) song song với \(\left( \alpha \right)\)”.
\(\frac{{QC}}{{QA}} = \frac{3}{2}\).
\(\frac{{QC}}{{QA}} = \frac{5}{2}\).
\(\frac{{QC}}{{QA}} = 2\).
\(\frac{{QC}}{{QA}} = \frac{1}{2}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(NP\;{\rm{//}}\;AB \Rightarrow AB\;{\rm{//}}\;\left( {MNP} \right)\).
Mặt khác \(AB \subset \left( {ABC} \right)\), \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\) có điểm \(M\) chung nên giao tuyến của \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\) là đường thẳng \(MQ\;{\rm{//}}\;AB\)\(\left( {Q \in AC} \right)\).
Ta có: \(\frac{{QC}}{{QA}} = \frac{{MC}}{{MB}} = 2\).
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm)
a) Tính giá trị lượng giác \[\cos \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right)\] biết \[\sin \alpha = - \frac{{12}}{{13}},\,\,\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \].
b) Giải phương trình \(\sin \left( {4x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{{7\pi }}{{10}} - x} \right).\)
a) Vì \[\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \] nên \[\cos \alpha > 0\].
Ta có: \[{\sin ^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\].
Suy ra: \[\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{5}{{13}}\].
Vậy \[cos\left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right) = \cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha + \sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha = \frac{{5 - 12\sqrt 3 }}{{26}}\].
b) \(\sin \left( {4x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{{7\pi }}{{10}} - x} \right)\)
\[ \Leftrightarrow \sin \left( {4x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{{7\pi }}{{10}} - x} \right)} \right]\]\( \Leftrightarrow \sin \left( {4x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{5}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + \frac{\pi }{4} = x - \frac{\pi }{5} + k2\pi \\4x + \frac{\pi }{4} = \pi - x + \frac{\pi }{5} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \frac{{9\pi }}{{20}} + k2\pi \\5x = \frac{{19\pi }}{{20}} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{3\pi }}{{20}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{{19\pi }}{{100}} + k\frac{{2\pi }}{5}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = - \frac{{3\pi }}{{20}} + k\frac{{2\pi }}{3};\,\,x = \frac{{19\pi }}{{100}} + k\frac{{2\pi }}{5}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)
(0,5 điểm) Xét tính tăng giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}}.\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\): Với \({u_n} = \frac{{3{n^2} - 2n + 1}}{{n + 1}}\)
Ta có: \({u_n} = 3n - 5 + \frac{6}{{n + 1}}\)
Với mọi \(n \in \mathbb{N}*\) ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {3\left( {n + 1} \right) - 5 + \frac{6}{{n + 2}}} \right] - \left( {3n - 5 + \frac{6}{{n + 1}}} \right)\) \( = 3 + \frac{6}{{n + 2}} - \frac{6}{{n + 1}}\)
\( = 3\left[ {\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) + 2\left( {n + 1} \right) - 2\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}} \right]\) \( = \frac{{3\left( {{n^2} + 3n} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0.{\rm{ }}\forall n \ge 1.\)
Kết luận \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Lấy điểm \(I \in BD\) sao cho \(BI = 2ID\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(I\) và song song với \(SA,\,\,CD\), \(\left( \alpha \right)\) cắt \(SC,\,\,SD\) lần lượt tại \(M,\,\,N\).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).
b) Tính tỉ số \(\frac{{MN}}{{CD}}\).
a) Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\] (1)
Lại có \[S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\] (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\]
b) Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right)\\\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ABCD} \right) = d\) qua \(I\) và \[d\,{\rm{//}}\,CD\].
Gọi \(P,\,\,Q\) lần lượt là giao điểm của \(d\) với \(AD,\,\,BC\).
Ta có:\[\left\{ \begin{array}{l}P \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right)\\\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,SA\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = {d_1}\] qua \(P\) và \({d_1}\,{\rm{//}}\,SA\).
Khi đó \(N\) là giao điểm của \({d_1}\) với \(SD\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right)\\\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = {d_2}\) qua \(N\) và \({d_2}\,{\rm{//}}\,CD\).
Khi đó \(M\) là giao điểm của \({d_2}\) với \(SC\).
Suy ra mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) tạo với hình chóp \(S.ABCD\) một thiết diện là hình thang \(MNPQ\)
Ta có \(MN\,{\rm{//}}\,CD \Rightarrow \frac{{MN}}{{CD}} = \frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{SM}}{{SC}}\)
Mà \(\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{{AP}}{{AD}} = \frac{{BI}}{{BD}} = \frac{2}{3}\)
Suy ra \[\frac{{MN}}{{CD}} = \frac{2}{3}.\]
(0,5 điểm) Hàng ngày mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \(h\) (mét) của mực nước trong kênh tính theo thời gian \(t\) (giờ) \(\left( {0 \le t \le 24} \right)\) được mô tả bởi công thức \(h = A\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + B\), với \(A, B\)là các số thực dương cho trước. Biết độ sâu của mực nước lớn nhất là \(15\) mét khi thủy triều lên cao và khi thủy triều xuống thấp thì độ sâu của mực nước thấp nhất là \(9\) mét. Tính thời điểm độ sâu của mực nước là \(13,5\) mét (tính chính xác đến \(\frac{1}{{100}}\) giờ).
Ta có \( - 1 \le \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) \le 1\) với mọi \(0 \le t \le 24\)
\( - A + B \le A\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + B \le A + B\) với mọi \(0 \le t \le 24\)
Độ sâu của mực nước lớn nhất bằng \(A + B\) khi \(\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = 1\) và thấp nhất bằng \( - A + B\) khi \(\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = - 1\)
Ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}A + B = 15\\ - A + B = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B = 12\\A = 3\end{array} \right.\)
Ta được \(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\)
Theo đề, ta tìm thời điểm mà độ sâu \(h = 13,5\)
\( \Leftrightarrow 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12 = 13,5\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\pi t}}{6} + 1 = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\\frac{{\pi t}}{6} + 1 = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \left( { - 1 + \frac{\pi }{3}} \right).\frac{6}{\pi } + 12k\\t = \left( { - 1 - \frac{\pi }{3}} \right).\frac{6}{\pi } + 12k\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Do \(0 \le t \le 24; k \in \mathbb{Z}\) nên \(t = 0,09\) (giờ); \(t = 12,09\) (giờ); \(t = 8,09\) (giờ);\(t = 20,09\) (giờ).
