Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 1
21 câu hỏi
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho \(\frac{{7\pi }}{4} < \alpha < 2\pi \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(\cos \alpha > 0\).
\(\sin \alpha > 0\).
\(\tan \alpha > 0\).
\(\cot \alpha > 0\).
Ta có \(\frac{{7\pi }}{4} < \alpha < 2\pi \Leftrightarrow \frac{{3\pi }}{2} + \frac{\pi }{4} < \alpha < 2\pi \Rightarrow \)điểm cuối của góc lượng giác \(\alpha \)ở góc phần tư thứ IV.
Do đó \(\cos \alpha > 0,\,\sin \alpha < 0,\,\tan \alpha < 0,\,\cot \alpha < 0\).Chọn A.
Khẳng định nào dưới đây sai?
\(\cos 2a = 2\cos a - 1\).
\(2{\sin ^2}a = 1 - \cos 2a\).
\(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \sin b\cos a\).
\(\sin 2a = 2\sin a \cdot \cos a\).
Ta có \(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1\) nên khẳng định ở phương án \({\rm{A}}\) sai. Chọn A.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = \sin x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn.
Các hàm số \(y = \sin x\), \(y = \tan x\), \(y = \cot x\) là các hàm số lẻ. Chọn D.
Tìm nghiệm của phương trình \(\cos x = - \frac{1}{2}.\)
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)
Ta có \(\cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)Chọn B.
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = \frac{1}{3}\left( {{u_n} + 1} \right)\end{array} \right..\) Tìm số hạng \({u_3}.\)
\({u_3} = \frac{5}{9}.\)
\({u_3} = 1.\)
\({u_3} = \frac{2}{3}.\)
\({u_3} = \frac{{14}}{{27}}.\)
\({u_2} = \frac{1}{3}\left( {{u_1} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {2 + 1} \right) = 1\).
\({u_3} = \frac{1}{3}\left( {{u_2} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {1 + 1} \right) = \frac{2}{3}\). Chọn C.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = 2,{u_2} = 8\). Công sai của cấp số cộng là
\(d = 10\).
\(d = 6.\)
\(d = 4.\)
\(d = 16.\)
Ta có \({u_2} = {u_1} + d \Leftrightarrow 8 = 2 + d \Leftrightarrow d = 6.\)Chọn B.
Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?
\(1\), \( - 2\), \(4\), \( - 8\), \( - 16\).
\(2\), \(22\), \(222\), \(22222\).
\(3\), \(6\), \(12\), \(24\).
\(x\), \(2x\), \(3x\), \(4x\) với \(x \ne 0\).
Dãy đáp án A có \(\frac{{ - 8}}{4} \ne \frac{{ - 16}}{{ - 8}} \Rightarrow \)Không là cấp số nhân.
Dãy đáp án B có \(\frac{{22}}{2} \ne \frac{{222}}{{22}} \Rightarrow \)Không là cấp số nhân.
Dãy đáp án C có \(\frac{6}{3} = \frac{{12}}{6} = \frac{{24}}{{12}} = 2 \Rightarrow \)Dãy này là cấp số nhân. Chọn C.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Tứ diện có 4 mặt và 6 cạnh.
Tứ diện có 4 mặt và 4 cạnh.
Tứ diện có 4 mặt và 5 cạnh.
Tứ diện có 4 cạnh và 6 mặt.
Tứ diện có 4 mặt và 6 cạnh. Chọn A.
Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Mệnh đề nào sau đây sai?
\(BG\) và \(HD\) chéo nhau.
\(BF\) và \(AD\) chéo nhau.
\(AB\) song song với \(HG\).
\(CG\) cắt \(HE\).
Ta có \(CG\) và \(HE\) chéo nhau nên đáp án D sai. Chọn D.
Biết \(\cos a = \frac{1}{3}\), \(\cos b = \frac{1}{4}\). Giá trị \[\cos \left( {a + b} \right) \cdot \cos \left( {a - b} \right)\] bằng
\[ - \frac{{113}}{{144}}.\]
\[ - \frac{{115}}{{144}}.\]
\[ - \frac{{117}}{{144}}.\]
\[ - \frac{{119}}{{144}}.\]
Ta có \[\cos \left( {a + b} \right) \cdot \cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos 2a + \cos 2b} \right]\].
\(\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = - \frac{7}{9}\); \(\cos 2b = 2{\cos ^2}b - 1 = - \frac{7}{8}\).
Do đó \[\cos \left( {a + b} \right) \cdot \cos \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos 2a + \cos 2b} \right] = \frac{1}{2}\left( { - \frac{7}{9} - \frac{7}{8}} \right) = - \frac{{119}}{{144}}\]. Chọn D.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 4\) và \(d = 3\). Tổng \(S\) của \(20\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng bao nhiêu?
\({S_2}_0 = 750\).
\({S_2}_0 = 650\).
\({S_{20}} = 460\).
\({S_{20}} = 860\).
Ta có \({S_{20}} = \frac{{20}}{2}\left( {2{u_1} + 19d} \right) = 10\left( {2 \cdot 4 + 19 \cdot 3} \right) = 650\).Chọn B.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành (xem hình vẽ). Khẳng định nào sau đây sai?
\(BC{\rm{//}}\left( {SAD} \right)\).
\(CD{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\).
\(SA{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).
\(AD{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).
Ta có \(BC\,{\rm{//}}\,AD\) nên \(BC{\rm{//}}\left( {SAD} \right)\) và \(AD{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\), vậy đáp án A và đáp án D đúng.
Lại có \(CD\,{\rm{//}}\,AB\) nên \(CD{\rm{//}}\left( {SAB} \right)\), vậy đáp án B đúng.
Vì \[\left\{ \begin{array}{l}S \in SA\\S \in \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SA \cap \left( {SCD} \right) = S\], vậy đáp án C sai.Chọn C.
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right)\).
a) Tập xác định của hàm số đã cho là \(\left[ { - 1;1} \right]\).
b) Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
c) Hàm số đã cho là hàm tuần hoàn với chu kì \(T = \pi \).
d) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{8};\frac{\pi }{3}} \right]\) bằng \(1\).
a) Sai. Tập xác định của hàm số đã cho là \(\mathbb{R}\).
b) Sai. Ta có \(y = \sin \left( {2x - \frac{\pi }{2}} \right) = - \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = - \cos 2x\).
Do đó \(y\left( { - x} \right) = - \cos \left( { - 2x} \right) = - \cos 2x = y\left( x \right)\). Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
c) Đúng. Ta có \(y = - \cos 2x\) nên hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{2} = \pi \).
d) Sai. Đặt \(t = 2x\). Hàm số đã cho trở thành \(f\left( t \right) = - \cos t\).
Vì \(x \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{8};\frac{\pi }{3}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{4};\frac{{2\pi }}{3}} \right]\).
Ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( t \right) = - \cos t\):
Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{1}{2}\).
Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó).
a)Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng.
b) Số hạng đầu của dãy số là \(18\).
c) Cấp số cộng có công sai \(d = 3\).
d) Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu 15 hàng ghế.
a) Đúng. Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng.
b) Sai. Hàng thứ nhất có 15 ghế ngồi nên số hạng đầu của dãy số là 15.
c) Đúng. Cấp số cộng có công sai \(d = 3\).
d) Sai. Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = 15\) và công sai\(d = 3\).
Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng trên là \({S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2 \cdot 15 + \left( {n - 1} \right) \cdot 3} \right] = \frac{n}{2}\left( {27 + 3n} \right)\).
Muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì \({S_n} = 870\), tức là \(\frac{n}{2}\left( {27 + 3n} \right) = 870\).
Do đó,\(27n + 3{n^2} - 1740 = 0\), suy ra \(n = 20,n = - 29\) (loại).
Vậy cần phải thiết kế 20 hàng ghế.
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 4.
Rút gọn biểu thức
\[A = \cos \left( {\alpha + 26\pi } \right) - 2\sin \left( {\alpha - 7\pi } \right) - \cos 1,5\pi - \cos \left( {\alpha + \frac{{2003\pi }}{2}} \right) + \cos \left( {\alpha - 1,5\pi } \right) \cdot \cot \left( {\alpha - 8\pi } \right)\]
ta được kết quả là \(a\sin \alpha + b\cos \alpha \)\(\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)\). Khi đó \(3a + b\) bằng bao nhiêu?
Ta có \[A = \cos \left( {\alpha + 26\pi } \right) - 2\sin \left( {\alpha - 7\pi } \right) - \cos \left( {1,5\pi } \right) - \cos \left( {\alpha + 2003\frac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {\alpha - 1,5\pi } \right) \cdot \cot \left( {\alpha - 8\pi } \right)\]
\[ = \cos \alpha - 2\sin \left( {\alpha - \pi } \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) - \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) + \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) \cdot \cot \alpha \]\[ = \cos \alpha + 2\sin \alpha - 0 - \sin \alpha - \sin \alpha \cdot \cot \alpha = \cos \alpha + \sin \alpha - \cos \alpha = \sin \alpha \].
Mà \(A = a\sin \alpha + b\cos \alpha \) nên \(a = 1,\,\,b = 0\). Từ đó ta có \(3a + b = 3\).
Đáp án: 3.
Có bao nhiêu nghiệm của phương trình \(\sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\)thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\)?
Ta có \(\sqrt 2 \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow \cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos \frac{\pi }{4}\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{x = - \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}\quad \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\).
Vì \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) nên chọn \(k = 1\) hay \(x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + 2\pi = \frac{{23\pi }}{{12}};\,\,x = - \frac{{7\pi }}{{12}} + 2\pi = \frac{{17\pi }}{{12}}\).
Vậyphương trình \(\sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\)có 2 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\).
Đáp án: 2.
Một công ty phần mềm tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu tiên là \(300\) triệu đồng và cam kết tăng thêm \(5\% \) lương mỗi năm so với năm liền kề nếu hoàn thành tốt công việc được giao. Tính tổng số tiền lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty \(10\) năm biết rằng người đó luôn hoàn thành tốt công việc (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị triệu đồng).
Lương hằng năm (triệu đồng) của chuyên gia lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 300\) và công bội \(q = 1 + 5\% = 1,05\).
Tổng số tiền lương của chuyên gia đó sau \(10\) năm bằng tổng của \(10\) số hạng đầu của cấp số nhân trên.
Vậy \({S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{300\left[ {1 - {{\left( {1,05} \right)}^{10}}} \right]}}{{1 - 1,05}} \approx 3773\) (triệu đồng).
Đáp án: 3773.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\)là hình bình hành. Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(BC,CD,SA\). Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) với các mặt của hình chóp \(S.ABCD\) là một đa giác có bao nhiêu cạnh?
Gọi \(I,J\) lần lượt là giao điểm của \(MN\) với \(AB\) và \(AD\). Gọi \(Q\) là giao điểm của \(SB\) và \(IP\); gọi \(R\) là giao điểm của \(SD\) và \(JP\).
Khi đó, thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là ngũ giác \(MNRPQ\).
Đáp án:\(5\).
PHẦN II. TỰ LUẬN
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thuỷ triều. Độ sâu \(h\,\,{\rm{(m)}}\) của mực nước trong kênh tính theo thời gian \(t\) (giờ) trong một ngày \((0 \le t < 24)\) cho bởi công thức \(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\). Tìm \(t\) để độ sâu của mực nước là \(15{\rm{\;m}}\).
Để độ sâu của mực nước là \(15{\rm{\;m}}\) thì:
\(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12 = 15 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} + 1 = k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow t = - \frac{6}{\pi } + 12k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Do \(0 \le t < 24{\rm{ n\^e n }}0 \le - \frac{6}{\pi } + 12k < 24\)\( \Leftrightarrow \frac{6}{\pi } \le 12k < 24 + \frac{6}{\pi } \Leftrightarrow \frac{1}{{2\pi }} \le k < 2 + \frac{1}{{2\pi }}\).
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {1\,;2} \right\}\).
Với \[k = 1\] thì \(t = - \frac{6}{\pi } + 12 \cdot 1 \approx 10,09\) (giờ);
Với \[k = 2\] thì \(t = - \frac{6}{\pi } + 12 \cdot 2 \approx 22,09\) (giờ).
Vậy lúc 10,09 giờ và 22,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 15 m.
Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài \(150{\rm{\;m}}\). Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng \(60\% \) so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình vẽ).
Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 15 lần kéo lên và lại rơi xuống.
Gọi \({u_1}\left( {\rm{m}} \right)\) là quãng đường người chơi rơi xuống ở lần thứ nhất, ta có \({u_1} = 150\); \({v_1}\left( {\rm{m}} \right)\) là quãng đường người chơi được kéo lên ở lần thứ nhất, ta có:\({v_1} = 150 \cdot 0,6 = 90\).
\({u_2}\left( {\rm{m}} \right)\) là quãng đường người chơi rơi xuống ở lần thứ hai, ta có \({u_2} = {v_1} = 0,6{u_1}\); \({v_2}\left( {\rm{m}} \right)\) là quãng đường người chơi được kéo lên ở lần thứ hai, ta có:\({v_2} = 0,6{u_2} = 0,6{v_1}\).
Như vậy, ta có hai cấp số nhân đều có công bội \(0,6\) là: \({u_1},{u_2},..,{u_{15}}\) và \({v_1},{v_2},..,{v_{15}}\) với \({u_1} = 150\) và \({v_1} = 90.\)
Ta có \({u_1} + {u_2} + ... + {u_{15}} = 150 \cdot \left( {\frac{{1 - 0,{6^{15}}}}{{1 - 0,6}}} \right)\); \({v_1} + {v_2} + ... + {v_{15}} = 90 \cdot \left( {\frac{{1 - 0,{6^{15}}}}{{1 - 0,6}}} \right)\).
Vậy quãng đường người đó đi được sau 15 lần rơi xuống và lại được kéo lên (tính từ lúc bắt đầu nhảy) là:
\(\left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{15}}} \right) + \left( {{v_1} + {v_2} + ... + {v_{15}}} \right) = 240 \cdot \left( {\frac{{1 - 0,{6^{15}}}}{{1 - 0,6}}} \right) \approx 600\left( {\rm{m}} \right).\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \[O\]. Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA\) và \(SC\).
a) Chứng minh \[MN{\rm{//}}\left( {ABCD} \right).\]
b) Gọi \[P\] là trung điểm \[BO\]. Xác định giao điểm \(Q\) của cạnh \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\). Tính tỷ số \(\frac{{SQ}}{{SD}}\).
a) Ta có \[MN\] là đường trung bình tam giác \[SAC\].
Suy ra \[MN\,{\rm{//}}\,AC\].
Do đó: \[\left\{ \begin{array}{l}MN{\rm{//}}AC\\MN \not\subset \left( {ABCD} \right);AC \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN{\rm{//}}\left( {ABCD} \right).\]
b) Gọi \[I\] là giao điểm của \[MN\] và \[SO\].
\(Q\) là giao điểm của \[PI\] và \[SD\].
Ta có \[Q \in PI,PI \subset \left( {MNP} \right) \Rightarrow Q \in \left( {MNP} \right).\]
Mà \[Q \in SD\]. Suy ra \(Q\) là giao điểm của \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).
Chứng minh được \[I\]là trung điểm \[SO\] nên \[PI\] là đường trung bình tam giác \[SBO\].
Suy ra \[PI{\rm{//}}SB\] hay \[PQ{\rm{//}}SB\].
Xét tam giác SBD có \[PQ{\rm{//}}SB\] nên \(\frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{{BP}}{{BD}} = \frac{1}{4}\).
