Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Đề 5
22 câu hỏi
Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, học sinh chỉ chọn một phương án
Chu kì của hàm số \[y = \cos x\] là
\[\frac{\pi }{2}.\]
\[\pi .\]
\[2\pi .\]
\[k2\pi .\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Cho \[\sin x = \frac{4}{5}\] với \[\frac{\pi }{2} < x < \pi \]. Giá trị của \[\cos x\] bằng
\[\frac{1}{5}.\]
\[\frac{3}{5}.\]
\[ - \frac{3}{5}.\]
\[\frac{4}{5}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\frac{\pi }{2} < x < \pi \] nên góc nằm ở góc phần tư thứ hai.
Do đó, \[\cos x < 0\].
Suy ra, \[\cos x = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^2}} = - \frac{3}{5}.\]
Cho góc lượng giác \[a\]. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
\[\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a.\]
\[\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a.\]
\[\cos 2a = 1 - 2{\cos ^2}a.\]
\[\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\].
Nghiệm của phương trình \[2\sin x - \sqrt 3 = 0\] là
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\]
\[\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\]
\[x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\]
\[x = \pm \frac{\pi }{2} + k2\pi ,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[2\sin x - \sqrt 3 = 0\]\[ \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] \[ \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{3}\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.,{\rm{ }}k \in \mathbb{Z}.\]
Cho dãy số \[\left( {{u_n}} \right):{u_n} = \frac{1}{n}\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[{u_2} = 7.\]
\[\left( {{u_n}} \right)\] tăng.
\[{u_1} = 3.\]
\[\left( {{u_n}} \right)\] giảm.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Có \({u_1} = 1;\,{u_2} = \frac{1}{2}\).
Ta có: \[{u_{n + 1}} = \frac{1}{{n + 1}}\], \[{u_n} = \frac{1}{n}\].
Xét \[{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = - \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 0,\forall n.\]
Do đó dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là dãy giảm.
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] biết \[{u_1} = 2\] và \[{u_2} = 5\]. Công sai của cấp số cộng đó là
\[d = 10.\]
\[d = \frac{5}{2}.\]
\[d = 3.\]
\[d = 7.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Công sai của cấp số cộng đó là: \[d = {u_2} - {u_1} = 5 - 2 = 3.\]
Cho cấp số nhân \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_2} = 6\] và \[{u_5} = 162\]. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
\[3.\]
\[ - 3.\]
\[\frac{1}{3}.\]
\[2.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[{u_5} = {u_1}.{q^4} = {u_2}.{q^3} = 6.{q^3}\] \[ \Leftrightarrow {q^3} = 27 \Leftrightarrow q = 3\].
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có \[{u_1} = 1\] và công sai \[d = 2\]. Tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy là
\[{S_{10}} = 110.\]
\[{S_{10}} = 100.\]
\[{S_{10}} = 21.\]
\[{S_{10}} = 19.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[{S_{10}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + 9d} \right].10}}{2} = \frac{{\left[ {2.1 + 9.2} \right].10}}{2} = 100\].
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
Nếu \[\lim {u_n} = + \infty \]và \[\lim {v_n} = a > 0\] thì \[\lim {u_n}{v_n} = + \infty .\]
Nếu \[\lim {u_n} = a \ne 0\] và \[\lim {v_n} = \pm \infty \] thì \[\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0.\]
Nếu \[\lim {u_n} = a > 0\] và \[\lim {v_n} = 0\] thì \[\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = + \infty .\]
Nếu \[\lim {u_n} = a < 0\] và \[\lim {v_n} = 0\] và \[{v_n} > 0\] với mọi \[n\] thì \[\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = - \infty .\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Do ta chưa xác định được dấu của \[{v_n}\] nên ta chưa thể kết luận rằng: “Nếu \[\lim {u_n} = a > 0\] và \[\lim {v_n} = 0\] thì \[\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = + \infty \]”.
Dãy số nào sau đây có giới hạn khác \[0\]?
\[\frac{1}{n}.\]
\[\frac{1}{{\sqrt n }}.\]
\[\frac{{n + 1}}{n}.\]
\[\frac{2}{{2n + 1}}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\lim \frac{{n + 1}}{n} = 1.\]
Tính giới hạn \[L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{x + 3}}\]
\[L = - \infty .\]
\[L = 0.\]
\[L = + \infty .\]
\[L = 1.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{x + 3}} = \frac{{3 - 3}}{{3 + 3}} = 0.\]
Giá trị \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 12x + 35}}{{25 - 5x}}\] bằng
\[ - \frac{2}{5}.\]
\[ + \infty .\]
\[\frac{2}{5}.\]
\[ - \infty .\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 12x + 35}}{{25 - 5x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{\left( {x - 7} \right)\left( {x - 5} \right)}}{{5\left( {5 - x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{x - 7}}{{ - 5}} = \frac{2}{5}.\]
Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu hỏi, học sinh chọn Đúng hoặc Sai.
Cho phương trình lượng giác \[2\sin x - \sqrt 2 = 0\]. Khi đó:
a) Phương trình tương đương với phương trình \[\sin x = \sin \frac{\pi }{4}.\]
b) Phương trình có nghiệm là \[x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
c) Phương trình có nghiệm âm lớn nhất là \[ - \frac{\pi }{4}\].
d) Số nghiệm của phương trình trong khoảng \[\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\] là hai nghiệm.
Hướng dẫn giải
a) Đ | b) Đ | c) S | d) S |
Ta có: \[2\sin x - \sqrt 2 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Với \[k = - 1\] ta có: \[\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{7\pi }}{4}\\x = - \frac{{5\pi }}{4}\end{array} \right.\].
Do đó, nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \[x = - \frac{{5\pi }}{4}\].
Với \[ - \frac{\pi }{2} < \frac{\pi }{4} + k2\pi < \frac{\pi }{2}\] \[ \Leftrightarrow - \frac{{3\pi }}{4} < k2\pi < \frac{\pi }{4}\]\[ \Leftrightarrow - \frac{3}{8} < k < \frac{1}{8}\].
Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k = 0\] và \[x = \frac{\pi }{4}\].
Với \[ - \frac{\pi }{2} < \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi < \frac{\pi }{2}\]\[ \Leftrightarrow - \frac{{5\pi }}{4} < k2\pi < - \frac{\pi }{4}\]\[ \Leftrightarrow - \frac{5}{8} < k < - \frac{1}{8}\].
Mà \[k \in \mathbb{Z}\] nên không có giá trị \[k\] thỏa mãn.
Do đó, số nghiệm của phương trình trong khoảng \[\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\] là một nghiệm.
Hằng ngày, mặt trời chiếu vào bóng của một tòa chung cư cao \[40{\rm{ m}}\] in trên mặt đất, độ dài bóng của tòa nhà này được tính bằng công thức \[S\left( t \right) = 40\left| {\cot \frac{\pi }{{12}}t} \right|\], ở đó \[S\] được tính bằng mét, còn \[t\] là số giờ tính từ \[6\] giờ sáng.
a) Thời điểm \[8\] giờ sáng thì độ dài bóng của tòa nhà là \[40\sqrt 3 {\rm{ m}}\].
b) Thời điểm \[12\] giờ trưa thì độ dài bóng của tòa nhà là \[\frac{{20\sqrt 3 }}{3}{\rm{ m}}\].
c) Thời điểm \[3\] giờ \[45\] chiều thì độ dài bóng của tòa nhà lớn hơn độ dài tòa nhà khoảng \[10{\rm{ m}}{\rm{.}}\]
d) Thời điểm \[9\] giờ sáng hoặc \[3\] giờ chiều thì bóng của tòa nhà có độ dài bằng tòa nhà đó.
Hướng dẫn giải
a) Đ | b) S | c) S | d) Đ |
a) Tại thời điểm \[8\] giờ sáng thì ta có: \[t = 8 - 6 = 2.\]
Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm \[8\] giờ sáng là:
\[S\left( 2 \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.2} \right)} \right| = 40\sqrt 3 {\rm{ m}}{\rm{.}}\]
b) Tại thời điểm \[12\] giờ sáng thì ta có: \[t = 12 - 6 = 6.\]
Tại thời điểm \[12\] giờ trưa thì độ dài bóng của tòa nhà là:
\[S\left( 6 \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.6} \right)} \right| = 0{\rm{ m}}{\rm{.}}\]
c) Tại thời điểm \[3\] giờ \[45\] chiều thì ta có: \[t = \left( {15 + \frac{3}{4}} \right) - 6 = \frac{{39}}{4}.\]
Do đó, độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm \[3\] giờ \[45\] chiều là
\[S\left( {\frac{{39}}{4}} \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.\frac{{39}}{4}} \right)} \right| \approx 59,86{\rm{ m}}{\rm{.}}\]
Vậy tại thời điểm \[3\] giờ \[45\] chiều thì độ dài bóng của tòa nhà lớn hơn độ dài tòa nhà là
\[59,86 - 40 = 19,86{\rm{ m}}\].
d) Độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà khi
\[S\left( t \right) = 40 \Leftrightarrow 40\left| {\cot \frac{\pi }{{12}}t} \right| = 40\]\[ \Leftrightarrow \cot \frac{\pi }{{12}}t = \pm 1\]
\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi \] \[ \Leftrightarrow t = \pm 3 + 12k{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
Vì \[0 \le t \le 12\] nên \[t = 3\] hoặc \[t = 9\], tức là tại thời điểm \[9\] giờ sáng hoặc \[3\] giờ chiều thì bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà.
Cho cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\], biết rằng \[{u_1} = 5\] và tổng của 50 số hạng đầu bằng \[5150,\]khi đó:
a) Công sai của cấp số cộng bằng \[6\].
b) Số hạng \[{u_{85}} = 341.\]
c) Số hạng \[{u_{10}} = 42.\]
d) Tổng của 85 số hạng đầu \[{S_{85}} = 14705\].
Hướng dẫn giải
a) S | b) Đ | c) S | d) Đ |
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\{S_{50}} = 5150\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\\frac{{\left[ {2.5 + 49d} \right].50}}{2} = 5150\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 5\\d = 4\end{array} \right.\].
Vậy cấp số cộng \[\left( {{u_n}} \right)\] có số hạng \[{u_1} = 5\] và công sai \[d = 4\].
Ta có: \[{u_{85}} = {u_1} + 84d = 5 + 84.4 = 341.\]
\[{u_{10}} = {u_1} + 9d = 5 + 9.4 = 41.\]
Tổng của 85 số hạng đầu \[{S_{85}} = \frac{{\left( {5 + 341} \right).85}}{2} = 14705\].
Một cái hồ chứa \[600l\] nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối \[30g/l\] vào hồ với tốc độ \[15l\]/ phút. Sau \[t\] phút bơm nước vào hồ thì lượng nước là \[600 + 15t\] (\[l\]) và lượng muối có được là \[30.15t\] (\[g\]).
a) Nồng độ muối của nước được tính là \[C\left( t \right) = \frac{{30t}}{{40 + t}}{\rm{ }}\left( {g/l} \right)\].
b) Nồng độ muối trong hồ khi \[t\] tiến tới 15 phút nhỏ hơn \[8{\rm{ }}\left( {g/l} \right)\].
c) Nồng độ muối trong hồ khi \[t\] tiến tới dương vô cùng lớn hơn \[{\rm{30 }}\left( {g/l} \right)\].
d) Nồng độ muối trong hồ không thể vượt quá \[{\rm{30 }}\left( {g/l} \right)\].
Hướng dẫn giải
a) Đ | b) S | c) S | d) Đ |
a) Theo đề, sau \[t\] phút bơm nước vào hồ thì lượng nước là \[600 + 15t\] (\[l\]) và lượng muối có được là \[30.15t\] (\[g\]).
Khi đó, nồng độ muối trong nước là: \[C\left( t \right) = \frac{{30.15t}}{{600 + 15t}} = \frac{{30t}}{{40 + t}}{\rm{ }}\left( {g/l} \right)\].
b) Khi \[t\] tiến tới 15 phút, ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{t \to 15} C\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 15} \frac{{30t}}{{40 + t}} = \frac{{30.15}}{{40 + 15}} = \frac{{90}}{{11}} > 8.\]
Do đó, nồng độ muối trong hồ khi \[t\] tiến tới 15 phút lớn hơn \[8{\rm{ }}\left( {g/l} \right)\].
c) Khi \[t\] tiến tới dương vô cùng, ta có:
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } C\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30t}}{{40 + t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{30t}}{{t\left( {\frac{{40}}{t} + 1} \right)}} = 30{\rm{ }}\left( {g/l} \right).\]
d) Do đó, nồng độ muối trong hồ không thể vượt quá \[{\rm{30 }}\left( {g/l} \right)\].
Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Gọi \[M\] và \[m\] lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = \sin x + \sqrt 3 \cos x + 3\]. Tính \[M + m.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: 6
Ta có: \[y = \sin x + \sqrt 3 \cos x + 3 = 2\left( {\frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x} \right) + 3 = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3\].
Do \[\forall x\]: \[ - 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 2\]\[ \Leftrightarrow 1 \le 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3 \le 5\]
\[ \Leftrightarrow 1 \le y \le 5.\]
Vậy \[m = 1\] và \[M = 5\]. Do đó, ta có: \[M + m = 5 + 1 = 6.\]
Số giờ ánh sáng của một thành phố A trong ngày thứ \[t\] của năm 2024 được cho bởi một hàm số \[y = 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10\] với \[t \in {\mathbb{N}^ * }\] và \[t \le 365\]. Vào ngày thứ bao nhiêu trong năm thì thành phố A có số giờ ánh sáng mặt trời chiếu nhiều nhất?
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: 149
Vì \[ - 1 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] \le 1\]
\[ \Leftrightarrow - 4 \le 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] \le 4\]
\[ \Leftrightarrow 6 \le 4\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10 \le 14\]
\[ \Leftrightarrow 6 \le y \le 14\].
Do đó, ngày có ánh sáng mặt trời chiếu nhiều nhất khi \[y = 14\].
Suy ra \[\sin \left[ {\frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right)} \right] = 1\]\[ \Leftrightarrow \frac{\pi }{{178}}\left( {t - 60} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
\[ \Leftrightarrow t - 60 = 89 + 356k\]\[ \Leftrightarrow t = 149 + 356k\].
Mà \[t \in {\mathbb{N}^ * }\] và \[t \le 365\] nên \[0 < 149 + 356k \le 365\]\[ \Leftrightarrow - \frac{{149}}{{356}} < k \le \frac{{54}}{{89}}\].
Vì \[k \in \mathbb{Z}\] nên \[k = 0\]. Do đó, \[k = 149\].
Vậy ngày thứ 149 trong năm thì thành phố A có số giờ ánh sáng chiếu nhiều nhất.
Một hội trường lớn có 35 ghế ở hàng đầu, 37 ghế ở hàng thứ hai, 39 ghế ở hàng thứ ba và cứ tiếp tục theo quy luật như vậy. Có tất cả 27 hàng ghế. Tính số ghế có ở hội trường đó.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: 1647
Gọi \[{u_n}\] là số ghế ở hàng thứ \[n.\]
Số ghế mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với \[{u_1} = 35\], công sai \[d = 2\].
Tổng số ghế của hội trường là \[{S_{27}} = \frac{{27\left( {2{u_1} + 26d} \right)}}{2} = 1647\] ghế.
Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh M là \[1,2\% \]. Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là 2 triệu người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh M sẽ là bao nhiêu (đơn vị: nghìn người)?
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: 2227
Đặt \[{P_0} = 2000000 = {2.10^6}\] và \[r = 1,2\% = 0,012\].
Gọi \[{P_n}\] là số dân của tỉnh M sau \[n\] năm nữa.
Ta có: \[{P_{n + 1}} = {P_n} + {P_n}r = {P_n}\left( {1 + r} \right).\]
Suy ra \[\left( {{P_n}} \right)\] là một cấp số nhân với số hạng đầu \[{P_0}\] và công bội \[q = 1 + r\].
Do đó, số dân của tỉnh M sau 10 năm nữa là
\[{P_9} = {M_0}{\left( {1 + r} \right)^9} = 2 \cdot {10^6} \cdot {\left( {1,012} \right)^9} \approx 2227\] (nghìn người).
Cho giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{a}{b}\] trong đó \[\frac{a}{b}\] là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \[S = {a^2} + {b^2}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: 17
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 1}}{{x + 2}} = \frac{1}{4}.\]
Suy ra \[a = 1,b = 4\].
Vậy \[S = {a^2} + {b^2} = {1^2} + {4^2} = 17.\]
Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{3x - 3 + \left| {x - 1} \right|\sqrt {5{x^2} + 4} }}{{{x^2} - 2x + 1}}\]. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: −1,7
Do \[x \to {1^ - }\] nên ta có \[\left| {x - 1} \right| = 1 - x\]
Do đó, ta được: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{3x - 3 + \left( {1 - x} \right)\sqrt {5{x^2} + 4} }}{{{x^2} - 2x + 1}}\]
\[\mathop { = \lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{3\left( {x - 1} \right) + \left( {1 - x} \right)\sqrt {5{x^2} + 4} }}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\]
\[\mathop { = \lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 - \sqrt {5{x^2} + 4} } \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\]
\[\mathop { = \lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{9 - 5{x^2} - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 + \sqrt {5{x^2} + 4} } \right)}}\]
\[\mathop { = \lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{5\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {3 + \sqrt {5{x^2} + 4} } \right)}}\]
\[\mathop { = \lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - 5\left( {x + 1} \right)}}{{3 + \sqrt {5{x^2} + 4} }} = - \frac{5}{3} \approx - 1,7.\]
