Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 4
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?
Đi ngủ đi!
Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới.
Bạn học ở trường nào?
Không được làm việc riêng trong giờ học.
Đáp án đúng là: B
Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới là mệnh đề.
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(2x - 5y + 3z \le 0\).
\(2x + 3y < 5\).
\(3{x^2} + 2x - 4 > 0\).
\(2{x^2} + 5y > 3\).
Đáp án đúng là: B
Bất phương trình \(2x + 3y < 5\) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Cho hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 2 \ge 0\\2x + y + 1 > 0\end{array} \right.\]. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?
\(N\left( { - 1\,;1} \right)\).
\(Q\left( { - 1\,;0} \right)\).
\(P\left( {1\,; - 3} \right)\).
\(M\left( {0\,;1} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Thay tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình ta thấy tọa độ điểm M thỏa mãn hệ bất phương trình.
Vậy M thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Góc nào dưới đây có côsin là một số âm?
\(75^\circ \).
\(23^\circ \).
\(125^\circ \).
\(82^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Để \(\cos \alpha < 0\) thì \(90^\circ < \alpha < 180^\circ \). Do đó chọn C.
Cho tam giác ABC có \(BC = a;AB = c;AC = b\) và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Hệ thức nào sau đây là sai?
\(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\).
\(\sin A = \frac{a}{{2R}}\).
\(b.\sin B = 2R\).
\(\sin C = \frac{{c.\sin A}}{a}.\)
Đáp án đúng là: C
Theo định lí sin trong tam giác \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).
Nên suy ra đáp án C sai.
Cho tam giác ABC tùy ý có \(BC = a,AC = b,AB = c\), \(\widehat A = 120^\circ \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 3bc\).
\({a^2} = {b^2} + {c^2} + bc\).
\({a^2} = {b^2} + {c^2} + 3bc\).
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - bc\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)\( = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos 120^\circ \)\( = {b^2} + {c^2} + bc\).
Cho các tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\,\left| {\,\,{x^2} - 9 \ge 0} \right.} \right\}\) và \(B = \left( {0\,;\,3} \right)\). Biết rằng \(A \cup B = \left( { - \infty \,;\,a} \right] \cup \left( {b\,;\, + \infty } \right)\). Tính giá trị của biểu thức \(a + b\).
\(a + b = 0\).
\(a + b = - 3\).
\(a + b = 3\).
\(a + b = 6\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\,\left| {\,\,{x^2} - 9 \ge 0} \right.} \right\}\). Suy ra \(A = \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\).
Khi đó \(A \cup B = \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left( {0; + \infty } \right)\). Suy ra \(a = - 3;b = 0\). Do đó \(a + b = - 3\).
Cho hai tập hợp \[A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}\,\,\left| {\,\,{x^2} - x - 6 = 0} \right.} \right\}\] và \[B = \left\{ {3\,;\,m} \right\}\]. Tìm tham số \(m\) để \(A\, = \,B.\)
\(m = 3\).
\(m = - 2\).
\(m = 3\) hoặc \(m = - 2\).
\(m = 2\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \[A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}\,\,\left| {\,\,{x^2} - x - 6 = 0} \right.} \right\}\]. Suy ra \(A = \left\{ { - 2;3} \right\}\).
Để \(A\, = \,B\) thì \(m = - 2\).
Miền nghiệm của bất phương trình \[x - 2 + 2\left( {y - 1} \right) > 2x + 4\] chứa điểm nào sau đây?
\(A\left( {1\,\,;\,\,1} \right).\)
\(B\left( {1\,\,;\,\,5} \right).\)
\(C\left( {4\,\,;\,\,3} \right).\)
\(D\left( {0\,\,;\,\,4} \right).\)
Đáp án đúng là: B
Ta có \[x - 2 + 2\left( {y - 1} \right) > 2x + 4\]\[ \Leftrightarrow x - 2 + 2y - 2 > 2x + 4\]\[ \Leftrightarrow x - 2y + 8 < 0\].
Thay tọa độ các điểm vào bất phương trình ta thấy tọa độ điểm B thỏa mãn.
Miền tam giác \[ABC\] kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ bất phương trình dưới đây?
\[\left\{ \begin{array}{l}y \ge 0\\5x - 4y \ge 10\\5x + 4y \le 10\end{array} \right.\].
\(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\5x - 4y \le 10\\4x + 5y \le 10\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4x - 5y \le 10\\5x + 4y \le 10\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\5x - 4y \le 10\\4x + 5y \le 10\end{array} \right.\).
Đáp án đúng là: D
Dựa vào hình vẽ ta thấy phương trình của ba đường thẳng là \({d_1}:x = 0;{d_2}:5x - 4y = 10;{d_3}:4x + 5y = 10\).
Miền nghiệm gồm phần mặt phẳng nhận giá trị \(x\) dương (kể cả bờ)
Lại có điểm \(O\left( {0;0} \right)\) là nghiệm của bất phương trình \(5x - 4y \le 10\) và \(4x + 5y \le 10\).
Do đó miền nghiệm là nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\5x - 4y \le 10\\4x + 5y \le 10\end{array} \right.\).
Biết rằng \[\cos \alpha = \frac{1}{3}\]. Giá trị của biểu thức \(P = {\sin ^2}\alpha + 3{\cos ^2}\alpha \) là
\[\frac{1}{3}\].
\[\frac{{10}}{9}\].
\[\frac{{11}}{9}\].
\[\frac{4}{3}\].
Đáp án đúng là: C
Ta có \(P = {\sin ^2}\alpha + 3{\cos ^2}\alpha \)\( = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha + 2{\cos ^2}\alpha \)\( = 1 + 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{{11}}{9}\).
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 12 và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 1. Diện tích tam giác ABC bằng
\[12\].
\[3\].
\[6\].
\[24\].
Đáp án đúng là: C
Nửa chu vi tam giác là \(12:2 = 6\).
Diện tích tam giác là \(S = pr = 6.1 = 6\).
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:
a) A: “Năm 2010 là năm nhuận”.
b) B: “31 là số nguyên tố”.
c) P: “Mùa xuân bắt đầu từ tháng 6 và kết thúc vào tháng 9”.
d) Q: “Hình thoi là hình có bốn cạnh bằng nhau”.
a) S, b) Đ, c) S, d) Đ
a) 2010 không chia hết cho 4 nên mệnh đề A sai.
b) 31 là số nguyên tố nên mệnh đề B đúng.
c) mệnh đề P sai.
d) Hình thoi là hình có 4 cạnh bằng nhau nên mệnh đề Q đúng.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {n \in \mathbb{N}|2n + 1 \le 17} \right\}\), \(B = \left\{ {n \in \mathbb{N}|{n^2} \le 25} \right\}\). Xét tính đúng sai của các câu sau
a) \(A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\).
b) Tập B có 5 phần tử.
c) Tập hợp \(A \cap B\) có 6 phần tử.
d) \(B\backslash A = \left\{ {6;7;8} \right\}\).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Có \(2n + 1 \le 17\) \( \Leftrightarrow n \le 8\).
Mà \(n \in \mathbb{N}\) nên \(n \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\). Do đó \(A = \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\).
b) Ta có \(B = \left\{ {n \in \mathbb{N}|{n^2} \le 25} \right\}\) nên \(B = \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\).
Do đó B có 6 phần tử.
c) Có \(A \cap B = \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\). Có 6 phần tử.
d) \(B\backslash A = \emptyset \).
Bác An dự định trồng hai loại cây ăn trái là mít và xoài trong nông trại rộng 100 hecta. Biết mỗi hecta trồng mít cần 20 công chăm sóc và thu lại lợi nhuận 150 triệu đồng, mỗi hecta trồng xoài cần 40 công chăm sóc và thu lại lợi nhuận 180 triệu đồng. Biết rằng tổng số công cần dùng không được vượt quá 2 800 công. Gọi \(x,y\) (hecta) lần lượt là diện tích đất dùng để trồng mít và xoài. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau.
a) \(x + y \le 100\).
b) \(x + 2y \le 140\).
c) Tổng lợi nhuận thu được là \(E = 150x + 180y\) (triệu đồng).
d) Lợi nhuận thu được lớn nhất là 16 tỷ đồng.
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Gọi \(x,y,\left( {x,y \ge 0} \right)\) (hecta) lần lượt là diện tích đất dùng để trồng mít và xoài.
Do bác An dự định trồng hai loại cây ăn trái là mít và xoài trong nông trại rộng 100 hecta nên \(x + y \le 100\).
b) Vì mỗi hecta trồng mít cần 20 công chăm sóc và mỗi hecta trồng xoài cần 40 công chăm sóc mà công cần dùng không được vượt quá 2 800 công nên ta có \(20x + 40y \le 2800\) hay \(x + 2y \le 140\).
c) Tổng lợi nhuận thu được là \(E = 150x + 180y\)(triệu đồng).
d) Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của \(E = 150x + 180y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 100\\x + 2y \le 140\end{array} \right.\).
Ta có miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC (phần tô màu).
Ta có \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;70} \right),B\left( {60;40} \right),C\left( {100;0} \right)\).
Ta có \(E\left( {0;0} \right) = 150.0 + 180.0 = 0\); \(E\left( {0;70} \right) = 150.0 + 180.70 = 12600\);
\(E\left( {60;40} \right) = 150.60 + 180.40 = 16200\); \(E\left( {100;0} \right) = 150.100 + 180.0 = 15000\).
Vậy lợi nhuận thu được lớn nhất là 16,2 tỷ đồng.
Cho tam giác ABC có \(AB = 8,AC = 5,\widehat A = 60^\circ \). Các câu sau đúng hay sai?
a) Diện tích tam giác ABC bằng \(S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A\).
b) Độ dài cạnh \(BC = 4\sqrt 3 \).
c) Khoảng cách từ B đến AC bằng \(4\sqrt 3 \).
d) Điểm M thuộc cạnh BC sao cho \(BM = 5\), khi đó \(AM\) bằng \(\sqrt {46} \).
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) \(S = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A\).
b) \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\)\( = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.\cos 60^\circ \)\( = 49\). Suy ra \(BC = 7\).
c) Có khoảng cách từ B đến AC bằng \(\frac{{2S}}{{AC}} = \frac{{2.\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A}}{{AC}} = AB.\sin A = 8.\sin 60^\circ = 4\sqrt 3 \).
d) Xét tam giác ABC có \(\cos B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2.AB.BC}} = \frac{{{8^2} + {7^2} - {5^2}}}{{2.8.7}} = \frac{{11}}{{14}}\).
Xét tam giác ABM có \(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2.AB.BM.\cos B\)\( = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.\frac{{11}}{{14}} = \frac{{183}}{7}\).
Suy ra \(AM \approx 5,11\).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.Thí sinh trả lời câu 1 đến câu 6.
Bạn A Súa thống kê số ngày có mưa, có sương mù ở bản mình trong tháng 3 vào một thời điểm nhất định và được kết quả như sau: 14 ngày có mưa, 15 ngày có sương mù, trong đó 10 ngày có cả mưa và sương mù. Hỏi trong tháng 3 đó có bao nhiêu ngày không có mưa và không có sương mù.
Trả lời: 12
Gọi A, B lần lượt là tập hợp các ngày có mưa, có sương mù. Khi đó, \(A \cap B\) là tập hợp các ngày có cả mưa và sương mù, \(A \cup B\) là tập hợp các ngày hoặc có mưa hoặc có sương mù.
Ta có \(n\left( A \right) = 14,n\left( B \right) = 15,n\left( {A \cap B} \right) = 10\).
Số ngày hoặc có mưa hoặc có sương mù là:
\(n\left( {A \cup B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cap B} \right) = 14 + 15 - 10 = 19\) (ngày).
Tháng 3 có 31 ngày nên số ngày không có mưa và không có sương mù trong tháng 3 đó là:
\(31 - 19 = 12\) (ngày).
Một gian hàng trưng bày bàn và ghế rộng 60 m2. Diện tích để kê một chiếc ghế là 0,5 m2, một chiếc bàn là 1,2 m2. Gọi \(x\) là số chiếc ghế, \(y\) là số chiếc bàn được kê. Biết diện tích mặt sàn dành cho lưu thông tối thiểu là 12 m2. Giả sử gian hàng đã kê 10 chiếc bàn thì phần diện tích cho phép còn lại có thể kê được nhiều nhất bao nhiêu chiếc ghế?
Trả lời: 72
Tổng diện tích để kê \(x\) chiếc ghế, \(y\) chiếc bàn là \(0,5x + 1,2y\).
Vì diện tích mặt sàn dành cho lưu thông tối thiểu là 12 m2 nên diện tích diện tích cho gian hàng trưng bày là \(0,5x + 1,2y \le 48\).
Vì đã kê 10 chiếc bàn nên \(0,5x + 1,2.10 \le 48\)\( \Leftrightarrow x \le 72\).
Do đó có thể kê nhiều nhất 72 chiếc ghế.
Tính giá trị biểu thức
\(A = {\cos ^2}15^\circ + {\cos ^2}25^\circ + {\cos ^2}35^\circ + {\cos ^2}45^\circ + {\sin ^2}15^\circ + {\sin ^2}25^\circ + {\sin ^2}35^\circ \).
Trả lời: 3,5
\(A = {\cos ^2}15^\circ + {\cos ^2}25^\circ + {\cos ^2}35^\circ + {\cos ^2}45^\circ + {\sin ^2}15^\circ + {\sin ^2}25^\circ + {\sin ^2}35^\circ \)
\(A = \left( {{{\cos }^2}15^\circ + {{\sin }^2}15^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}25^\circ + {{\sin }^2}25^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}35^\circ + {{\sin }^2}35^\circ } \right) + {\cos ^2}45^\circ \)
\(A = 1 + 1 + 1 + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 3,5\).
Bác Ba có một mảnh đất rộng \[6\] ha. Bác dự tính trồng cà chua và ngô cho mùa vụ sắp tới. Nếu trồng cà chua thì bác Ba cần \[20\] ngày để trồng một ha. Nếu trồng ngô thì bác Ba cần \[10\] ngày để trồng một ha. Biết rằng mỗi ha cà chua sau thu hoạch bán được \[50\] triệu đồng, mỗi ha ngô sau thu hoạch bán được \[30\] triệu đồng và bác Ba chỉ còn \[100\] ngày để canh tác cho kịp mùa vụ. Giả sử bác Ba trồng \[x\] ha cà chua và \[y\] ha ngô. Số tiền nhiều nhất mà bác Ba có thể thu được sau mùa vụ này là bao nhiêu triệu đồng?
Trả lời: 260
Theo đề bài ta có: hệ bất phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 6\\20x + 10y \le 100\end{array} \right.\] (I).
Số tiền mà bác Ba thu được sau mà vụ là \[T = 50x + 30y.\]
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của \[T = 50x + 30y\] trên miền nghiệm của bất phương trình (I).
Ta có miền nghiệm của bất phương trình (I) là miền tứ giác OABC (phần tô màu) như hình vẽ.
Tứ giác \[OABC\] có \[O\left( {0;0} \right),A\left( {0;6} \right),B\left( {4;2} \right),C\left( {5;0} \right).\]
Ta có \(T\left( {0;0} \right) = 0,T\left( {0;6} \right) = 180,T\left( {4;2} \right) = 260,T\left( {5;0} \right) = 250\).
Do đó số tiền nhiều nhất mà bác Ba có thể thu được sau mùa vụ này 260 triệu đồng.
Trên sườn đồi có một cái cây thẳng đứng (tham khảo hình vẽ) đổ bóng dài \(AB = 39,5\;{\rm{m}}\) xuống đồi. Biết góc nghiêng của sườn đồi là \(\alpha = 26^\circ \) so với phương ngang và góc nâng của mặt trời là \(\beta = 50^\circ \). Tính chiều cao \(BC\) của cây (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Trả lời: 25
Xét tam giác \(ABO\) có \(\left\{ \begin{array}{l}BO = AB.\sin 26^\circ \\AO = AB.\cos 26^\circ \end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BO = 39,5.\sin 26^\circ \approx 17,3\\AO = 39,5.\cos 26^\circ \approx 35,5\end{array} \right.\).
Xét tam giác AOC có \(OC = AO.\tan 50^\circ = 35,5.\tan 50^\circ \approx 42,3\).
Suy ra \(BC = OC - OB = 42,3 - 17,3 = 25\).
Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ so với A sao cho từ A và B có thể n\(AB = 40\;{\rm{m}}\)hìn thấy điểm C. Ta đo được khoảng cách , \(\widehat {CAB} = 45^\circ \), \(\widehat {CBA} = 70^\circ \). Vậy sau khi đo đạc và tính toán khoảng cách AC bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Trả lời: 41,47
Ta có \(\widehat C = 180^\circ - \widehat A - \widehat B = 65^\circ \).
Áp dụng định lí sin vào tam giác \(ABC\) ta có:
\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow AC = \frac{{AB.\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{40.\sin 70^\circ }}{{\sin 65^\circ }} \approx 41,47\).
