Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 4
6 câu hỏi
1.1. Tìm \(x,\) biết:
a) \[\frac{{ - 6}}{x} = \frac{9}{{ - 15}};\] b) \[\frac{{2x + 3}}{{24}} = \frac{{3x - 1}}{{32}}\].
1.2. Ba đội công nhân cùng làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 5 ngày, đội thứ hai hoàn thành công việc trong 6 ngày, đội thứ ba hoàn thành công việc trong 4 ngày. Tính số người của mỗi đội, biết rằng năng suất của mỗi người là như nhau và đội thứ ba nhiều hơn đội thứ hai là 20 người.
1.1.
a) \[\frac{{ - 6}}{x} = \frac{9}{{ - 15}}\] \[9x = - 6.\left( { - 15} \right)\] \[9x = 90\] \[x = 10\] Vậy \[x = 10\], | b) \[\frac{{2x + 3}}{{24}} = \frac{{3x - 1}}{{32}}\] \[32.\left( {2x + 3} \right) = 24.\left( {3x - 1} \right)\] \[64x + 96 = 72x - 24\] \[72x - 64x = 96 + 24\] \[8x = 120\] \[x = 15\] Vậy \[x = 15\]. |
1.2. Gọi số người của đội một, đội hai, đội ba lần lượt là \(x,y,z\) (công nhân) với \(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\).
Đội thứ ba nhiều hơn đội thứ hai là 20 người nên ta có: \(z - y = 20\).
Vì khối lượng công việc như nhau, số công nhân và số ngày tỉ lệ nghịch với nhau nên:
\(5x = 6y = 4z\) hay \(\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{10}} = \frac{z}{{15}}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{10}} = \frac{z}{{15}} = \frac{{z - y}}{{15 - 10}} = \frac{{20}}{5} = 4\).
Do đó, \(x = 4.12 = 48;{\rm{ }}y = 10.4 = 40;{\rm{ }}z = 15.4 = 60\).
Vậy số người của ba đội lần lượt là 48; 40; 60 người.
2.1. Tính giá trị của biểu thức \(B = 3{x^2}y + 6{x^2}{y^2} + 3x{y^2}\) tại \(x = - 1,y = 3.\)
2.2. Cho hai đa thức: \(A\left( x \right) = - {x^4} - {x^3} + 2{x^2} + 2{x^3} - x - 3\);
\(B\left( x \right) = {x^4} + 2{x^3} - 2x + 12 + 3{x^2} - {x^3} - {x^4}\).
a) Thu gọn và sắp xếp theo luỹ thừa giảm dần của biến của hai đa thức trên.
b) Xác định bậc và hệ số tự do của đa thức \(B\left( x \right)\).
c) Tính \(M\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
Tìm nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\) biết: \(N\left( x \right) - \left( {{x^4} + 15} \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
2.1. Thay \(x = - 1,y = 3\) vào biểu thức \(B = 3{x^2}y + 6{x^2}{y^2} + 3x{y^2}\), ta được:
\(B = 3.{\left( { - 1} \right)^2}.3 + 6{\left( { - 1} \right)^2}{.3^2} + 3.\left( { - 1} \right){.3^2} = 36\).
Vậy giá trị của biểu thức \(B = 36\).
2.2. a) \(A\left( x \right) = - {x^4} - {x^3} + 2{x^2} + 2{x^3} - x - 3\)
\( = - {x^4} + \left( { - {x^3} + 2{x^3}} \right) + 2{x^2} - x - 3\)
\( = - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3\)
\(B\left( x \right) = {x^4} + 2{x^3} - 2x + 12 + 3{x^2} - {x^3} - {x^4}\)
\( = \left( {{x^4} - {x^4}} \right) + \left( {2{x^3} - {x^3}} \right) + 3{x^2} - 2x + 12\)
\( = {x^3} + 3{x^2} - 2x + 12\)
b) Đa thức \(B\left( x \right)\) có bậc là 3 và hệ số tự do là 12.
c) Ta có \(M\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\)
Suy ra \[M\left( x \right) = \left( { - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3} \right) - \left( {{x^3} + 3{x^2} - 2x + 12} \right)\]
\[M\left( x \right) = - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3 - {x^3} - 3{x^2} + 2x - 12\]
\[ = - {x^4} + \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {2{x^2} - 3{x^2}} \right) + \left( { - x + 2x} \right) + \left( { - 3 - 12} \right)\]
\( = - {x^4} - {x^2} + x - 15\)
Ta có \(N\left( x \right) - \left( {{x^4} + 15} \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\)
Suy ra \(N\left( x \right) = M\left( x \right) + \left( {{x^4} + 15} \right)\)
Do đó \(N\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + x - 15 + {x^4} + 15\)\( = - {x^2} + x\).
Để tìm nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\), ta cho \(N\left( x \right) = 0\)
Tức là \( - {x^2} + x = 0\)
\( - x\left( {x - 1} \right) = 0\)
Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 1\).
Vậy nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\) là \(x \in \left\{ {0;1} \right\}\).
Một hộp có 7 quả bóng có kích thước giống nhau và được đánh số lần lượt là \(1;2;3;\)\(4;5;6;7\). Rút ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp.
a) Viết tập hợp \(M\) gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên quả bóng được rút ra.
b) Tính xác suất của biến cố \(A\): “Rút được thẻ ghi số là số chẵn”.
c) Tính xác suất của biến cố \(B\): “Rút được thẻ ghi số là số chia cho 5 dư 2”.
a) Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên quả bóng được rút ra là:
\(M = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\).
Do đó, có \(7\) kết quả có thể xảy ra.
b) Kết quả thuận lợi của biến cố: “Rút được thẻ ghi số là số chẵn” là: \(2;4;6\).
Xác suất của biến cố \(A\) là \(\frac{3}{7}\).
c) Kết quả thuận lợi của biến cố: “Rút được thẻ ghi số là số chia 5 dư 2” là \(2;7\).
Xác suất của biến cố \(B\) là \(\frac{2}{7}\).Một bể bơi được xây dựng thành hai khu vực với độ sâu khác nhau cho người lớn và trẻ em. Các kích thước của lòng bể được cho như hình vẽ bên.
a) Tính thể tích của bể bơi.
b) Người ta dùng một máy bơm để bơm đầy nước vào bể. Biết cứ sau mỗi phút máy bơm bơm được \(500\) lít nước. Hỏi sau bao lâu bể bơi được bơm đầy?
Chia bể bơi thành hai khối hộp hình hộp chữa nhật và hình lăng trụ đứng có đáy là hình thang như sau:
a) Thể tích phần bể bơi hình hộp chữ nhật là: \(10.25.1,2 = 300\) (m3).
Thể tích phần bể bơi hình lăng trụ đứng hình thang là: \(\frac{{\left( {8 + 15} \right).1,3}}{2}.10 = 149,5\) (m3)
Thể tích của bể bơi là: \(300 + 149,5 = 449,5\) (m3).
b) Đổi \(500l = 500{\rm{ d}}{{\rm{m}}^3} = 0,5{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\).
Thời gian bơm đầy bể là: \(449,5:0,5 = 889\) phút = 14 giờ 59 phút.
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \(A\) có \(\widehat B = 60^\circ \), đường cao \(AH\). Trên tia đối của tia \(HB\) lấy điểm \(M\) sao cho \(HM = HB\).
a) Chứng minh rằng \(HB < HC\).
b) Chứng minh rằng \(\Delta AHB = \Delta AHM\). Từ đó suy ra \(\Delta ABM\) là tam giác đều.
c) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\) và \(O\) là giao điểm của \(AM\) và \(BN\). Biết \(AB = 6\,\,{\rm{cm}}{\rm{,}}\) tính độ dài đoạn thẳng \(AO\).
![Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \(A\) có \(\widehat B = 60^\circ \), đường cao \(AH\). Trên tia đối của tia \(HB\) lấy điểm \(M\) sao cho \(HM = HB\). a) Chứng minh rằng \(HB < HC\). b) Chứng minh rằng \(\Delta AHB = \Delta AHM\). Từ đó suy ra \(\Delta ABM\) là tam giác đều. c) Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\) và \(O\) là giao điểm của \(AM\) và \(BN\). Biết \(AB = 6\,\,{\rm{cm}}{\rm{,}}\) tính độ dài đoạn thẳng \(AO\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/06/blobid4-1751272911.png)
a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat B = 60^\circ \)
Suy ra \(\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 30^\circ \).
Do đó \(\widehat C < \widehat B\) nên \(AB < AC\) nên \(M\) nằm giữa \(H\) và \(C\)
Hay \(HM < HC\)
Mà \(HM = HB\), suy ra \(HB < HC\).
b) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHM\) có:
\(\widehat {AHB} = \widehat {AHM} = 90^\circ \);
\(AH\) là cạnh chung;
\(HM = HB\) (giả thiết).
Do đó \(\Delta AHB = \Delta AHM\) (hai cạnh góc vuông)
Suy ra \(AB = AM\) (hai cạnh tương ứng)
\(\Delta ABM\) có \(AB = AM\) nên là tam giác cân tại \(A\).
Lại có \(\widehat B = 60^\circ \) (giả thiết) nên \(\Delta ABM\) là tam giác đều.
c) Do \(\Delta ABM\) là tam giác đều nên \(\widehat {MAB} = 60^\circ \).
Suy ra \(\widehat {MAC} = 90^\circ - \widehat {MAB} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \)
Tam giác \(MAC\) có \(\widehat {MAC} = \widehat {MCA} = 30^\circ \) nên là tam giác cân tại \(M\).
Suy ra \(MA = MC\).
Lại có \(MA = MB\) (do \(\Delta ABM\) đều)
Do đó \(MB = MC\) hay \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Xét \(\Delta ABC\) có \(AM,BN\) là hai đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại \(O\) nên \(O\) là trọng tâm của tam giác.
Suy ra \(AO = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}.6 = 4\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Gọi số tiền thưởng của Tài, Trí, Đức lần lượt là \(x,y,z\) (\(x,y,z > 0,\) đồng).
Theo bài ra ta có: \(\frac{x}{5} = \frac{y}{3}\) và \(z = 25\% \left( {x + y} \right)\) suy ra \(x + y = 4z\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{5} = \frac{y}{3} = \frac{{x + y}}{8} = \frac{{4z}}{8} = \frac{z}{2}\).
Suy ra \(\frac{x}{5} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2}\).
Mà, theo đề \(x + y + z = 100{\rm{ }}000\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{5} = \frac{y}{3} = \frac{z}{2} = \frac{{x + y + z}}{{5 + 3 + 2}} = \frac{{100{\rm{ }}000}}{{10}} = 10{\rm{ }}000\).
Suy ra \(x = 50{\rm{ }}000;{\rm{ }}y = 30{\rm{ }}000;{\rm{ }}z = 20{\rm{ }}000\).
Vậy số tiền thưởng của ba bạn Tài, Trí, Đức lần lượt là \(50{\rm{ }}000\) đồng, \(30{\rm{ }}000\) đồng và \(20{\rm{ }}000\) đồng.
