Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 10
14 câu hỏi
Chọn khẳng định đúng.
Với điều kiện các tỉ số đều có nghĩa thì
\[\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{{x + y}}{{a + b}}\];
\[\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{{x.y}}{{a.b}}\];
\[\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{{x.y}}{{a + b}}\];
\[\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{{x - y}}{{a + b}}\].
Đáp án đúng là: A
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\[\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{{x + y}}{{a + b}} = \frac{{x - y}}{{a - b}}\] nên A đúng.
Cho \[x\] và \[y\] là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ \[k \ne 0\]. Khi \[x = 12\] thì \[y = - 3\]. Hệ số tỉ lệ là
\[k = - \frac{1}{4}\];
\(k = - 4\);
\(k = \frac{1}{4}\);
\(k = - \frac{1}{4}\).
Đáp án đúng là: B
Vì \[x\] và \[y\] là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số tỉ lệ \[k \ne 0\] nên \[x = ky\].
Khi \[x = 12\]thì \[y = - 3\] ta có: \[12 = k.\left( { - 3} \right)\]
Do đó \[k = - 4\].
Cho biểu thức \(B = {x^3} + 6y - 35\). Giá trị của biểu thức \(B\) tại \(x = 3\); \(y = - 4\) là
\( - 32\);
\( - 28\);
\(16\);
\(86\)
Đáp án đúng là: A
Thay \(x = 3\); \(y = - 4\) vào biểu thức \(B\) ta có: \(B = {3^3} + 6.\left( { - 4} \right) - 35 = 27 - 24 - 35 = - 32\).
Một hộp bút màu có nhiều màu: màu xanh, màu vàng, màu đỏ, màu đen, màu hồng, màu cam. Rút bất kỳ một chiếc bút trong hộp đó.
Biến cố nào dưới đây có xác suất bằng 1?
“Rút được bút màu trắng”;
“Rút được một chiếc bút”;
“Rút được bút màu xanh”;
“Rút được bút màu nâu”.
Đáp án đúng là: B
Vì trong hộp có bút màu xanh, vàng, đỏ, đen, hồng, cam nên khi rút một chiếc bút bất kỳ trong hộp đó thì:
• không thể rút được bút màu trắng, nâu.
• chắc chắn rút được một chiếc bút.
• rút được bút màu xanh là kết quả xảy ra ngẫu nhiên (có thể rút được hoặc không) ta không thể đoán trước được.
Vậy biến cố “Rút được một chiếc bút” là biến cố chắc chắn, có xác suất bằng 1.
Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat B = 95^\circ ,\;\widehat A = 40^\circ \). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(BC < AB < AC\);
\(AC < AB < BC\);
\(AC < BC < AB\);
\(AB < BC < AC\).
Đáp án đúng là: A
Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác cho \(\Delta ABC\) ta được: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \)
Suy ra \(\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {40^\circ + 95^\circ } \right) = 45^\circ \).
Do đó \(\widehat A < \widehat C < \widehat B\) nên \(BC < AB < AC.\)
Điểm \[D\] nằm trên tia phân giác góc \[A\] của tam giác \[ABC\] ta có
\[D\] nằm trên tia phân giác góc \[B\];
\[D\] cách đều hai cạnh \[AB,AC\];
\[D\] nằm trên tia phân giác góc \[C\];
\[DB = DC\].
Đáp án đúng là: B
Điểm \[D\] nằm trên tia phân giác góc \[A\] của tam giác \[ABC\] nên ta có \[D\]cách đều hai cạnh \[AB,AC\].
Hình lập phương có bao nhiêu mặt là hình vuông?
2;
4;
6;
8.
Đáp án đúng là: C
Hình lập phương có 6 mặt là hình vuông.
Một xưởng sản xuất đồ nội thất muốn sản xuất tủ quần áo có kích thước như hình vẽ bên. Diện tích gỗ xưởng cần dùng để làm một chiếc tủ như thiết kế đó (giả sử độ dày của gỗ không đáng kể) là:
\(5,58\,\,{{\rm{m}}^2}\);
\(6,13\,\,{{\rm{m}}^2}\);
\(6,68\,\,{{\rm{m}}^2}\);
\(9,9\,\,{{\rm{m}}^2}\).
Đáp án đúng là: C
Đổi \(55\,\,{\rm{cm}} = 0,55\,\,{\rm{m}}\).
Diện tích xung quanh của chiếc tủ hình hộp chữ nhật là: \(2.\left( {1 + 0,55} \right).1,8 = 5,58\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Diện tích một mặt đáy của chiếc tủ là: \[0,55.1 = 0,55\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\]
Tổng diện tích gỗ xưởng cần dùng để làm một chiếc tủ là: \(5,58 + 2.0,55 = 6,68\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Vậy diện tích gỗ cần dùng là \(6,68\,\,{{\rm{m}}^2}\).
(1,0 điểm) Tìm \(x\), biết:
(a) \(\frac{{3x - 7}}{8} = \frac{5}{2}\);
(b) \(\left( {4{x^4} - 3{x^3} + {x^2}} \right):\left( { - {x^2}} \right) + 4{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\).
a) \(\frac{{3x - 7}}{8} = \frac{5}{2}\)
\(2.\left( {3x - 7} \right) = 8.5\)
\(6x - 14 = 40\)
\(6x = 54\)
\(x = 9\)
Vậy \(x = 9\).
b) \(\left( {4{x^4} - 3{x^3} + {x^2}} \right):\left( { - {x^2}} \right) + 4{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\)
\(\left( {4{x^4}} \right):\left( { - {x^2}} \right) - \left( {3{x^3}} \right):\left( { - {x^2}} \right) + \left( {{x^2}} \right):\left( { - {x^2}} \right) + 4\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)
\( - 4{x^2} + 3x - 1 + 4\left( {{x^2} - x - x + 1} \right) = 0\)
\( - 4{x^2} + 3x - 1 + 4{x^2} - 8x + 4 = 0\)
\( - 5x + 3 = 0\)
\(x = \frac{3}{5}\)
Vậy \(x = \frac{3}{5}\).
(2,0 điểm) Cho hai đa thức:
\(M\left( x \right) = 2{x^4} - 3{x^3} - x + 7{x^3} - 5x + 1\);
\(N\left( x \right) = - 2{x^3} + {x^2} + 3{x^4} + 5x - 2{x^4} - 6 + x\).
(a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.
(b) Xác định bậc và hệ số cao nhất của hai đa thức \(N\left( x \right)\).
(c) Tìm đa thức \(Q\left( x \right)\) sao cho \(Q\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right)\). Tìm \(x\) để \(Q\left( x \right) = 3{x^4} + 2{x^3} + 4\).
a) \(M\left( x \right) = 2{x^4} - 3{x^3} - x + 7{x^3} - 5x + 1\)
\[ = 2{x^4} + \left( { - 3{x^3} + 7{x^3}} \right) + \left( { - x - 5x} \right) + 1\]
\[ = 2{x^4} + 4{x^3} - 6x + 1\].
\(N\left( x \right) = - 2{x^3} + {x^2} + 3{x^4} + 5x - 2{x^4} - 6 + x\)
\( = \left( {3{x^4} - 2{x^4}} \right) - 2{x^3} + {x^2} + \left( {5x + x} \right) - 6\)
\( = {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 6x - 6\)
b) Đa thức \(N\left( x \right)\) có bậc là 4, hệ số cao nhất là 1.
c) Ta có \(Q\left( x \right) = M\left( x \right) + N\left( x \right)\)
\(Q\left( x \right) = \left( {2{x^4} + 4{x^3} - 6x + 1} \right) + \left( {{x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 6x - 6} \right)\)
\( = 2{x^4} + 4{x^3} - 6x + 1 + {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 6x - 6\)
\( = 3{x^4} + 2{x^3} + {x^2} - 5\).
Ta có \(Q\left( x \right) = 3{x^4} + 2{x^3} + 4\)
Suy ra \(3{x^4} + 2{x^3} + {x^2} - 5 = 3{x^4} + 2{x^3} + 4\)
\({x^2} = 9\)
\(x = 3\) hoặc \(x = - 3\).
Vậy \(x \in \left\{ { - 3;3} \right\}\) thì \(Q\left( x \right) = 3{x^4} + 2{x^3} + 4\).
(1,0 điểm) Đoạn đường \(AB\) dài \(275\,\,{\mkern 1mu} {\rm{km}}\). Cùng một lúc, một ô tô chạy từ \(A\) và một xe máy chạy từ \(B\), đi ngược chiều để gặp nhau. Vận tốc ô tô là \(60{\mkern 1mu} \,\,{\rm{km/h}}\); vận tốc của xe máy là \(50{\mkern 1mu} \,\,{\rm{km/h}}\). Đến khi gặp nhau thì mỗi xe đã đi được một quãng đường là bao nhiêu?
Gọi \[x,y\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\] lần lượt là quãng đường xe ô tô và xe máy đi được.
Vì hai xe đi ngược chiều trên đoạn đường \(AB\) dài \(275\,\,{\mkern 1mu} {\rm{km}}\) để gặp nhau nên \(x + y = 275\)
Do hai xe di chuyển trong cùng một khoảng thời gian nên vận tốc và quãng đường đi được của mỗi xe là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Do đó ta có: \(\frac{x}{{60}} = \frac{y}{{50}}\) hay \(\frac{x}{6} = \frac{y}{5}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x}{6} = \frac{y}{5} = \frac{{x + y}}{{6 + 5}} = \frac{{275}}{{11}} = 25\)
Suy ra \(x = 25.6 = 150\); \(y = 25.5 = 125\).
Vậy đến khi gặp nhau thì xe ô tô và xe máy đi được lần lượt là \(150\,\,{\rm{km}}\) và \(125\,\,{\rm{km}}\).
(1,0 điểm) Với mỗi hóa đơn trên \(50\,\,000\) đồng được thanh toán tại một cửa hàng tiện lợi, khách hàng sẽ được tham gia quay “Vòng quay may mắn” (hình bên) một lần.
Vòng quay được chia thành 8 phần có diện tích bằng nhau và ứng với một phần thưởng là voucher để sử dụng cho hóa đơn mua sắm lần sau. Chẳng hạn khi mũi tên chỉ vào ô “\( + 10K\)” ứng với khách hàng được voucher trị giá \(10\,\,000\) đồng. Xét các biến cố sau:
A: “Khách hàng quay vào ô \( + 30K\)”.
B: “Khách hàng quay vào ô \( + 50K\)”.
C: “Khách hàng quay vào ô \( + 20K\) hoặc \( + 30K\)”.
D: “Khách hàng quay vào ô nhận được voucher trị giá nhỏ hơn \(50\,\,000\) đồng”.
(a) Trong các biến cố trên, hãy chỉ ra biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố nào là biến cố không thể.
(b) Tính xác suất của mỗi biến cố ngẫu nhiên có trong các biến cố trên.
a) Biến cố \(D\) là biến cố chắc chắn, vì trên “Vòng quay may mắn” tất cả các ô đều ứng với voucher có trị giá nhỏ hơn \(50\,\,000\) đồng.
Biến cố \(B\) là biến cố không thể, vì trên “Vòng quay may mắn” ta thấy không có ô nào “\( + 50K\)”.
b) Biến cố ngẫu nhiên là biến cố \(A\) và \(C\).
Trên “Vòng quay may mắn” có 2 ô “\( + 30K\)” trong tổng số 8 ô nên xác suất của biến cố \(A\) là \(\frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).
Trên “Vòng quay may mắn” có 3 ô “\( + 20K\)” và 2 ô “\( + 30K\)” trong tổng số 8 ô nên xác suất của biến cố \(B\) là \(\frac{{2 + 3}}{8} = \frac{5}{8}\).
(2,5 điểm) Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \(\widehat C = 60^\circ \). Tia phân giác góc \(C\) cắt \[AB\] tại \[E\]. Kẻ \[EK\] vuông góc với \(BC\) tại \(K\).
(a) Chứng minh rằng \(\Delta ACE = \Delta KCE\) và \[AK \bot CE\].
(b) Chứng minh rằng \[BC = 2AC\] và \(EB > AC\).
(c) Kẻ \[BD\] vuông góc với \(CE\) tại \(D\). Chứng minh ba đường thẳng \(AC,EK,BD\) đồng quy.
a) Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta KCE\) có:
\(\widehat {CAE} = \widehat {CKE} = 90^\circ \);
\(EC\) là cạnh chung;
\(\widehat {ACE} = \widehat {KCE}\) (do \(CE\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\)).
Do đó \(\Delta ACE = \Delta KCE\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra \(EA = EK\) và \(CA = CK\) (các cặp cạnh tương ứng).
Do đó \(CE\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AK\) nên \(CE \bot AK\).
b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \)
Suy ra \[\widehat {ABC} = 90^\circ - \widehat {ACB} = 30^\circ \].
Lại có \(CE\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ACE} = \widehat {KCE} = 30^\circ \).
\(\Delta BCE\) có \(\widehat {ABC} = \widehat {ECB} = 30^\circ \) nên là tam giác cân tại \(E\).
\(\Delta BCE\) cân tại \(E\) có \(EK\) là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, hay \(K\) là trung điểm của \(BC\).
Do đó \(BK = KC\) và \(BC = 2KC\)
Mà \(AC = KC\) (câu a) nên \(BC = 2AC\).
Xét \(\Delta BKE\) vuông tại \(K\) có \(BE\) là cạnh huyền nên là cạnh lớn nhất của tam giác
Do đó \(BE > BK\) mà \(BK = KC = AC\) nên \(BE > AC\).
c) Giả sử hai đường thẳng \(BD\) và \(AC\) cắt nhau tại \(I\).
Xét \(\Delta IBC\) có hai đường cao \(BA,CD\) cắt nhau tại \(E\) nên \(E\) là trực tâm của tam giác.
Suy ra \(IE \bot BC\).
Mà \(EK \bot BC\) nên ba điểm \(I,E,K\) thẳng hàng.
Vậy ba đường thẳng \(AC,EK,BD\) đồng quy.
(0,5 điểm) Tìm \(a,b\) sao cho đa thức \(A\left( x \right) = {x^3} + ax + b\) chia cho đa thức \[x + 1\] thì dư 7, chia cho đa thức \(x - 3\) thì dư \( - 5\).
Cách 1:
• \(A\left( x \right)\) chia cho đa thức \(x + 1\) thì dư 7 nên ta có:
\(A\left( x \right) = \left( {x + 1} \right).Q\left( x \right) + 7\), trong đó \(Q\left( x \right)\) là thương của phép chia \(A\left( x \right)\) chia cho \(x + 1\).
Khi đó ta có \(A\left( { - 1} \right) = \left( { - 1 + 1} \right).Q\left( { - 1} \right) + 7\) hay \(A\left( { - 1} \right) = 7\).
Do đó \[{\left( { - 1} \right)^3} + a.\left( { - 1} \right) + b = 7\], suy ra \( - a + b = 8\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
• Tương tự, \(A\left( x \right)\) chia cho đa thức \(x - 3\) thì dư \( - 5\) nên ta có: \(A\left( 3 \right) = - 5\)
Do đó \({3^3} + a.3 + b = - 5\), suy ra \(3a + b = - 32\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) ta có \(b = a + 8\) thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được: \(3a + \left( {a + 8} \right) = - 32\)
Suy ra \(4a = - 40\), nên \(a = - 10\).
Khi đó \(b = - 10 + 8 = - 2\).
Vậy \(a = - 10\), \(b = - 2\).
Cách 2: Thực hiện đặt tính chia đa thức:
• Thực hiện đặt tính chia đa thức \(A\left( x \right)\) cho \(x + 1\) như sau:
Để \(A\left( x \right)\) chia cho đa thức \(x + 1\) dư 7 thì \(b - a - 1 = 7\), hay \( - a + b = 8\,\,\,\left( 1 \right)\)
• Thực hiện đặt tính chia đa thức \(A\left( x \right)\) chia cho \(x - 3\) ta cũng được: \(3a + b = - 32\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Giải tương tự như Cách 1 ta có \(a = - 10\), \(b = - 2\).
Vậy \(a = - 10\), \(b = - 2\).
