Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 9
14 câu hỏi
Cho 4 số \( - 3{;_{}}7{;_{}}x{;_{}}y\) với \(x;y \ne 0\) và \( - 3x = 7y\), một tỉ lệ thức đúng được thiết lập từ \(4\) số trên là
\[\frac{{ - 3}}{y} = \frac{x}{7}\];
\[\frac{{ - 3}}{x} = \frac{7}{y}\];
\[\frac{y}{7} = \frac{{ - 3}}{x}\];
\[\frac{7}{{ - 3}} = \frac{x}{y}\].
Đáp án đúng là: D
Từ \( - 3x = 7y\) với \(x;y \ne 0\) ta có tỉ lệ thức \(\frac{{ - 3}}{y} = \frac{7}{x}\), \(\frac{{ - 3}}{7} = \frac{y}{x}\), \(\frac{x}{7} = \frac{y}{{ - 3}}\), \(\frac{x}{y} = \frac{7}{{ - 3}}\).
Vậy D đúng; A, B, C sai.
Cho hai đại lượng \(x\) và \(y\) có bảng giá trị sau:
\(x\) và \[y\] là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số \(\frac{1}{{36}}\);
\(x\) và \[y\] là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số \(36\);
\(x\) và \[y\] là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số \(36\);
\(x\) và \[y\] là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số \(\frac{1}{{36}}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(7,2.5 = \left( { - 3} \right).\left( { - 12} \right) = \left( { - 9} \right).\left( { - 4} \right) = \left( { - 6} \right).\left( { - 6} \right) = 4.9 = 36\).
Do đó \(x.y = 36\) nên \(x\) và \[y\] là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số \(36\).
Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{4xy}}{{{x^2} - {y^2}}}\,\,\left( {x \ne \pm y} \right)\) tại \(x = - 1\) và \(y = 2\) là
\( - 8\);
\( - \frac{8}{3}\);
\(\frac{8}{3}\);
\(8\).
Đáp án đúng là: C
Thay \(x = - 1\) và \(y = 2\) vào biểu thức \(A\) ta được: \(A = \frac{{4.\left( { - 1} \right).2}}{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - {2^2}}} = \frac{{ - 8}}{{ - 3}} = \frac{8}{3}\).
Trong các cặp biến cố sau, cặp biến cố nào là hai biến cố đồng khả năng?
“Lượng mưa tháng 1 tại Hà Nội là \(100\,\,{\rm{mm}}\)” và “Lượng mưa tháng 2 tại Hà Nội là \(600\,\,{\rm{mm}}\)”;
“Tung 1 đồng xu xuất hiện mặt sấp” và “Tung 1 đồng xu xuất hiện mặt ngửa”;
Viết 1 số tự nhiên bất kì. Hai biến cố: “Viết được số nguyên tố” và “Viết được hợp số”;
Lớp 7 có 15 học sinh nam, 30 học sinh nữ. Cô giáo gọi ngẫu nhiên 1 bạn lên làm bài tập. Hai biến cố: “Cô gọi được bạn nam” và “Cô gọi được bạn nữ”.
Đáp án đúng là: B
“Tung 1 đồng xu xuất hiện mặt sấp” và “Tung 1 đồng xu xuất hiện mặt ngửa” là hai biến cố đồng khả năng.
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \(A\), có \(\widehat B = 30^\circ \). Kết luận nào sau đây đúng?
\(AC > AB\);
\(AC > BC\);
\(AB > AC\);
\(AB > BC\).
Đáp án đúng là: C
Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \(A\), có: \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
Do đó \(\widehat B < \widehat C < \widehat A\) nên \(AC < AB < BC\).
Vậy ta chọn phương án C.
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), có \(AK\) là đường phân giác (\(K\) thuộc cạnh \(BC\)). Nhận định nào sau đây là sai?
\(KB = KC\);
\(AK \bot BC\);
\(AK = KC\);
\[AK\] là đường trung trực ứng với \(BC.\)
Đáp án đúng là: C
Xét \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), có \(AK\) là đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến, đường cao và đường trung trực ứng với \(BC\) của tam giác.
Do đó \(KB = KC\), \(AK \bot BC\).
Vậy ta chọn phương án C.
Hình chữ nhật và hình lập phương không có chung đặc điểm nào dưới đây?
có 6 mặt đều là hình vuông;
có 8 đỉnh và 12 cạnh;
có 4 cạnh bên bằng nhau;
có 3 góc vuông ở mỗi đỉnh.
Đáp án đúng là: A
Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật, hình lập phương có 6 mặt là hình vuông.
Do đó A sai.
Một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật dài \(8,5\,\,{\rm{m}}\), rộng \(6,4\,\,{\rm{m}}\) và cao \(4\,\,{\rm{m}}\). Người ta muốn quét vôi trần nhà và bốn bức tường. Biết rằng tổng diện tích các cửa là \[10,8{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\]. Diện tích cần quét vôi là
\(162,8\,\,{{\rm{m}}^2}\);
\[119,2\,\,{{\rm{m}}^2}\];
\(173,6\,\,{{\rm{m}}^2}\);
\[217,2\,\,{{\rm{m}}^2}\].
Đáp án đúng là: A
Diện tích trần nhà là
Diện tích của bốn bức tường là: \({S_{xq}} = 2.\left( {8,5 + 6,4} \right).4 = 119,2\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Khi đó, diện tích cần quét vôi là:
(1,0 điểm) Tìm \(x\), biết:
(a) \(\frac{{2x + 7}}{3} = \frac{3}{2}\);
(b)\(5x\left( {12x - 7} \right) - \left( {15x + 1} \right)\left( {4x - 1} \right) = - 23\).
a) \(\frac{{2x + 7}}{3} = \frac{3}{2}\)
\(2.\left( {2x + 7} \right) = 3.3\)
\(4x + 14 = 9\)
\(4x = - 5\)
\(x = - \frac{5}{4}\)
Vậy \(x = - \frac{5}{4}\).
b) \(5x\left( {12x - 7} \right) - \left( {15x + 1} \right)\left( {4x - 1} \right) = - 23\)
\(60{x^2} - 35x - \left( {60{x^2} - 15x + 4x - 1} \right) = - 23\)
\(60{x^2} - 35x - 60{x^2} + 15x - 4x + 1 = - 23\)
\( - 24x = - 24\)
\(x = 1\)
Vậy \(x = 1\).
(2,0 điểm) Cho hai đa thức:
\(A\left( x \right) = 3{x^4} - 2{x^2} + 12 - 3{x^4} + {x^3} + 2x - 15\);
\(B\left( x \right) = - {x^3} - 5{x^4} - 2x + 3{x^2} + 2 + 5{x^4} - 12x - 3 - {x^2}\).
(a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử hai đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến.
(b) Xác định hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức \(A\left( x \right)\).
(c) Tìm đa thức \(M\left( x \right)\) sao cho \(A\left( x \right) = M\left( x \right) - B\left( x \right)\). Tìm nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\).
a) \(A\left( x \right) = 3{x^4} - 2{x^2} + 12 - 3{x^4} + {x^3} + 2x - 15\)
\( = \left( {3{x^4} - 3{x^4}} \right) + {x^3} - 2{x^2} + 2x + \left( {12 - 15} \right)\)
\( = {x^3} - 2{x^2} + 2x - 3\)
\(B\left( x \right) = - {x^3} - 5{x^4} - 2x + 3{x^2} + 2 + 5{x^4} - 12x - 3 - {x^2}\)
\( = \left( { - 5{x^4} + 5{x^4}} \right) - {x^3} + \left( {3{x^2} - {x^2}} \right) + \left( { - 2x - 12x} \right) + \left( {2 - 3} \right)\)
\( = - {x^3} + 2{x^2} - 14x - 1\)
b) Đa thức \(A\left( x \right)\) có hệ số cao nhất là \(1\) và hệ số tự do là \( - 3\).
c) Ta có \(M\left( x \right) = A\left( x \right) + B\left( x \right)\)
\(M\left( x \right) = \left( {{x^3} - 2{x^2} + 2x - 3} \right) + \left( { - {x^3} + 2{x^2} - 14x - 1} \right)\)
\( = {x^3} - 2{x^2} + 2x - 3 - {x^3} + 2{x^2} - 14x - 1\)
\( = - 12x - 4\)
Để tìm nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\), ta cho \(M\left( x \right) = 0\)
Do đó \( - 12x - 4 = 0\), suy ra \(x = - \frac{1}{3}\).
Vậy \(x = - \frac{1}{3}\) là nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\).
(1,0 điểm) Ba phân xưởng in có tổng cộng có 57 máy in (có cùng công suất in) và mỗi phân xưởng được giao in một số trang in bằng nhau. Phân xưởng thứ nhất hoàn thành công việc trong 2 ngày, phân xưởng thứ hai trong 4 ngày và phân xưởng thứ ba trong 5 ngày. Hỏi mỗi phân xưởng có bao nhiêu máy in?
Gọi \(x,y,z\) lần lượt là số máy in của các phân xưởng thứ nhất, thứ hai, thứ ba.
Tổng số máy của ba phân xưởng là \(x + y + z = 57\).
Vì số ngày hoàn thành công việc tỉ lệ nghịch với số máy in nên ta có:
\(2x = 4y = 5z\) suy ra \(\frac{{2x}}{{20}} = \frac{{4y}}{{20}} = \frac{{5z}}{{20}}\) hay \(\frac{x}{{10}} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{x}{{10}} = \frac{y}{5} = \frac{z}{4} = \frac{{x + y + z}}{{10 + 5 + 4}} = \frac{{57}}{{19}} = 3\)
Suy ra \(x = 3.10 = 30\); \(y = 3.5 = 15\); \(z = 3.4 = 12\).
Vậy số máy in của ba phân xưởng lần lượt là \(30;15;12\) (máy in).
(1,0 điểm) Danh sách đội dự thi trực tuyến về “An toàn giao thông” của học sinh lớp \(7A\) được đánh số thứ tự từ 1 đến 25, trong đó bạn Ngọc có số thứ tự là 15. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong đội đó. Xét các biến cố sau:
A: “Bạn Ngọc được chọn”.
B: “Bạn được chọn có số thứ tự nhỏ hơn 2 lần số thứ tự của bạn Ngọc”.
C: “Bạn được chọn có số thứ tự lớn hơn số thứ tự của bạn Ngọc”.
(a) Trong các biến cố trên, hãy chỉ ra biến cố nào là biến cố ngẫu nhiên, biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố nào là biến cố không thể.
(b) Tính xác suất của biến cố ngẫu nhiên tìm được ở câu a.
a) Biến cố \(A\) và \(C\) là biến cố ngẫu nhiên.
Biến cố \(B\) là biến cố chắc chắn.
Trong ba biến cố trên, không có biến cố nào là biến cố không thể.
b) Xác suất của biến cố \(A\) là: \(\frac{1}{{25}}\).
Trong 25 số, có 10 số lớn hơn số 15 là: \(16;17;...;24;25\). Vậy xác suất của biến cố \(C\) là: \(\frac{{10}}{{25}} = \frac{2}{5}\).
(2,5 điểm) Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] \(\left( {AB < AC} \right)\). Trên tia đối của tia \[AB\] lấy điểm \[D\] sao cho \[AD = AB\].
(a) Chứng minh rằng \[\Delta CBD\] là tam giác cân.
(b) Gọi \[M\] là trung điểm của \[CD\], đường thẳng qua \[D\] và song song với \[BC\] cắt đường thẳng \[BM\] tại \[E\]. Chứng minh rằng \[BC = DE\] và \[BC + BD > BE\].
(c) Gọi \[G\] là giao điểm của \[AE\] và \[DM\]. Chứng minh rằng \[DC = 6GM\].
a) Do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(CA \bot BD\).
Mà \(AD = AB\) nên \(A\) là trung điểm của \(BD\)
Ta có \(CA \bot BD\) tại trung điểm \[A\] của \(BD\) nên \(CA\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BD\).
Suy ra \[CB = CD\] nên \[\Delta BCD\] là tam giác cân tại \(C\).
b) Do \(BC\,{\rm{//}}\,DE\) nên \[\widehat {BCM} = \widehat {EDM}\](so le trong).
Xét \[\Delta BMC\]và \[\Delta EMD\] có:
\[\widehat {BMC} = \widehat {EMD}\] (đối đỉnh);
\[MD = MC\](giả thiết);
\[\widehat {BCM} = \widehat {EDM}\] (chứng minh trên).
Do đó \[\Delta BMC = \Delta EMD\,\,\,\left( {{\rm{g}}{\rm{.c}}{\rm{.g}}} \right)\]
Suy ra \[BC = ED\] (hai cạnh tương ứng).
Ta có \[BC + BD = BD + DE > BE\] (bất đẳng thức trong tam giác \(BDE\)).
d) Xét \(\Delta BDE\) có \[A\]là trung điểm \[BD\]; \[M\] là trung điểm \[BE\]
Suy ra \(G\) là trọng tâm \(\Delta BDE\)
Suy ra \[DM = 3GM\].
Do đó \[DC = 2DM = 6GM\].
(0,5 điểm) Cho đa thức \(A\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\). Biết \(A\left( x \right)\) nhận \( - 1\) làm nghiệm và \(A\left( x \right)\) chia hết cho đa thức \(x - 1\). Chứng minh \(a\) và \(c\) là hai số đối nhau.
Do \(A\left( x \right)\) nhận \( - 1\) làm nghiệm nên ta có \(A\left( { - 1} \right) = 0\)
Do đó \(a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = 0\), suy ra \(a - b + c = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Ta thực hiện đặt tính chia đa thức \(A\left( x \right)\) cho đa thức \(x - 1\) như sau:
Để \(A\left( x \right)\) chia hết cho đa thức \(x - 1\) thì \(c + b + a = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(a - b + c = c + b + a\)
Suy ra \(2b = 0\), nên \(b = 0\).
Thay \(b = 0\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được \(a + c = 0\), do đó \(a = - c\).
Vậy \(a\) và \(c\) là hai số đối nhau.
Lưu ý: Với dữ kiện \(A\left( x \right)\) chia hết cho đa thức \(x - 1\) ta có thể suy ra điều kiện \(\left( 2 \right)\) theo cách sau:
\(A\left( x \right)\) chia hết cho đa thức \(x - 1\) nên ta có:
\(A\left( x \right) = \left( {x - 1} \right).Q\left( x \right)\) với \(Q\left( x \right)\) là thương của phép chia đa thức \(A\left( x \right)\) cho đa thức \(x - 1\).
Khi đó \(A\left( 1 \right) = \left( {1 - 1} \right).Q\left( 1 \right) = 0\) hay \(A\left( 1 \right) = 0\).
Suy ra \(a + b + c = 0\) \(\left( 2 \right)\).
