Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 8
14 câu hỏi
Biết rằng \(ab = 12\), ta có thể thiết lập các tỉ lệ thức với \(a,\,\,b \ne 0\) . Hỏi tỉ lệ thức nào sau đây là sai?
\[\frac{a}{3} = \frac{4}{b}\];
\[\frac{a}{b} = \frac{3}{4}\];
\[\frac{b}{2} = \frac{6}{a}\];
\[\frac{a}{{ - 4}} = \frac{{ - 3}}{b}\].
Đáp án đúng là: B
• Từ \[\frac{a}{3} = \frac{4}{b}\]ta có \(ab = 12\) nên A đúng.
• Từ \[\frac{a}{b} = \frac{3}{4}\] ta có \(4a = 3b\) nên B sai.
• Từ \[\frac{b}{2} = \frac{6}{a}\] ta có \(ab = 12\) nên C đúng.
• Từ \[\frac{a}{{ - 4}} = \frac{{ - 3}}{b}\] ta có \(ab = 12\) nên D đúng.
Cho \(x,\;y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch (theo hệ số tỉ lệ \(a \ne 0\)). Công thức biểu thị mối quan hệ giữa \(y\) và \(x\) là
\[y = ax;\;a \ne 0\];
\[y = \frac{a}{x},\;a \ne 0\];
\[x = ay,\;a \ne 0\];
\[x = \frac{y}{a},\;a \ne 0\].
Đáp án đúng là: B
Nếu đại lượng \(y\)liên hệ với đại lượng \(x\) theo công thức \(y = \frac{a}{x}\) hay \(xy = a\) (\(a\) là một hằng số khác \(0\)) thì ta nói \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(a\).
Giá trị của biểu thức \({x^2}y - x + 1\) tại \(x = - 1\) và \(y = \frac{1}{2}\) là
\(\frac{1}{2}\);
\(\frac{3}{2}\);
\( - \frac{3}{2}\);
\(\frac{5}{2}\).
Đáp án đúng là: D
Thay \(x = - 1\) và \(y = \frac{1}{2}\) vào biểu thức \({x^2}y - x + 1\) ta được:
\({\left( { - 1} \right)^2}.\frac{1}{2} - \left( { - 1} \right) + 1 = \frac{1}{2} + 1 + 1 = \frac{5}{2}\).
Trong các biến cố sau, biến cố nào có xác suất bằng \(1\)?
“Khi gieo một đồng xu đồng chất và cân đối, đồng xu xuất hiện mặt ngửa”;
“Khi gieo một đồng xu đồng chất và cân đối, đồng xu xuất hiện mặt sấp”.
“Khi gieo ba con xúc xắc đồng chất và cân đối, tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc nhỏ hơn \(19\)” ;
“Khi gieo ba con xúc xắc đồng chất và cân đối, tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc bằng \(2\)”;
Đáp án đúng là: C
Biến cố: “Khi gieo ba con xúc xắc đồng chất và cân đối, tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc nhỏ hơn \(19\)” là biến cố chắc chắn do số chấm lớn nhất xuất hiện trên mỗi con xúc xắc là 6, tổng số chấm lớn nhất xuất hiện trên ba con xúc xắc là \(6.3 = 18\), luôn nhỏ hơn 19.
Do đó xác suất của biến cố trên bằng \(1\).
Trong các bộ ba độ dài đoạn thẳng dưới đây, bộ ba nào có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác?
\[17\,\,{\rm{cm}};\,13\,\,{\rm{cm}};\,27\,\,{\rm{cm}}\];
\(4\,\,{\rm{cm}};\,5\,\,{\rm{cm}};\,9\,\,{\rm{cm}}\);
\(8\,\,{\rm{cm}};\,17\,\,{\rm{cm}};\,5\,\,{\rm{cm}}\);
\(1\,\,{\rm{cm}};\,2\,\,{\rm{cm}};\,3\,\,{\rm{cm}}\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(17 + 13 > 27\) thỏa mãn bất đẳng thức của tam giác nên bộ ba độ dài \[17\,\,{\rm{cm}}\]; \[13\,\,{\rm{cm}}\]; \[27\,\,{\rm{cm}}\] có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Cho tam giác \(ABC\) có trung tuyến \(AM = 9\,\,{\rm{cm}}\) và trọng tâm \(G\). Độ dài đoạn thẳng \(GM\) bằng
\(2\,\,{\rm{cm}}\);
\(3\,\,{\rm{cm}}\);
\(4,5\,\,{\rm{cm}}\);
\(6\,\,{\rm{cm}}\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên ta có \(GM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}.9 = 3\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có ba kích thước đôi một khác nhau. Cạnh có độ dài bằng cạnh \(A'B'\) là
\(DD'\);
\(BC\);
\(A'D'\);
\(C'D'\).
Đáp án đúng là: D
Cạnh có độ dài bằng cạnh \(A'B'\) là cạnh \(AB,DC,D'C'\).
Một hình lập phương khi tăng độ dài cạnh của nó thêm \(2\,\,{\rm{cm}}\) thì thể tích của nó bằng \(216\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\). Độ dài cạnh của hình lập phương đó lúc đầu là
\(4\,\,{\rm{cm}}\);
\(6\,\,{\rm{cm}}\);
\(8\,\,{\rm{cm}}\);
\(9\,\,{\rm{cm}}\).
Đáp án đúng là: A
Giả sử độ dài cạnh của hình lập phương sau khi tăng độ dài là \[a\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\left( {a > 0} \right)\].
Khi đó thể tích của hình lập phương lúc sau là \({a^3}\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Theo bài ta có: \({a^3} = 216 = {6^3}\), do đó \[a = 6\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\]
Suy ra độ dài cạnh của hình lập phương đó lúc đầu là \(6 - 2 = 4\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
(1,0 điểm) Tìm \(x\), biết:
(a) \(\frac{{0,25}}{{x + 2}} = \frac{{x + 2}}{4}\) (với \(x \ne - 2\));
(b) \(\left( {42{x^3} - 12x} \right):\left( { - 6x} \right) + 7x\left( {x + 2} \right) = 8\).
a) \(\frac{{0,25}}{{x + 2}} = \frac{{x + 2}}{4}\)
\({\left( {x + 2} \right)^2} = 1\)
\(x + 2 = 1\) hoặc \(x + 2 = - 1\)
\(x = - 1\) (thỏa mãn) hoặc \(x = - 3\)(thỏa mãn)
Vậy \(x \in \left\{ { - 1; - 3} \right\}\).
b) \(\left( {42{x^3} - 12x} \right):\left( { - 6x} \right) + 7x\left( {x + 2} \right) = 8\).
\( - 7{x^2} + 2 + 7{x^2} + 14x = 8\)
\(14x = 6\)
\(x = \frac{3}{7}\)
Vậy \(x = \frac{3}{7}\).
(2,0 điểm) Cho hai đa thức:
\(A\left( x \right) = - {x^4} - {x^3} + 2{x^2} + 2{x^3} - x - 3\);
\(B\left( x \right) = {x^4} + 2{x^3} - 2x + 12 + 3{x^2} - {x^3} - {x^4}\).
(a) Thu gọn và sắp xếp theo luỹ thừa giảm dần của biến của hai đa thức trên.
(b) Xác định bậc và hệ số tự do của đa thức \(B\left( x \right)\).
(c) Tính \(M\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
Tìm nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\) biết: \(N\left( x \right) - \left( {{x^4} + 15} \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\).
a) \(A\left( x \right) = - {x^4} - {x^3} + 2{x^2} + 2{x^3} - x - 3\)
\( = - {x^4} + \left( { - {x^3} + 2{x^3}} \right) + 2{x^2} - x - 3\)
\( = - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3\)
\(B\left( x \right) = {x^4} + 2{x^3} - 2x + 12 + 3{x^2} - {x^3} - {x^4}\)
\( = \left( {{x^4} - {x^4}} \right) + \left( {2{x^3} - {x^3}} \right) + 3{x^2} - 2x + 12\)
\( = {x^3} + 3{x^2} - 2x + 12\)
b) Đa thức \(B\left( x \right)\) có bậc là 3 và hệ số tự do là 12.
c) Ta có \(M\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\)
Suy ra \[M\left( x \right) = \left( { - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3} \right) - \left( {{x^3} + 3{x^2} - 2x + 12} \right)\]
\[M\left( x \right) = - {x^4} + {x^3} + 2{x^2} - x - 3 - {x^3} - 3{x^2} + 2x - 12\]
\[ = - {x^4} + \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {2{x^2} - 3{x^2}} \right) + \left( { - x + 2x} \right) + \left( { - 3 - 12} \right)\]
\( = - {x^4} - {x^2} + x - 15\)
Ta có \(N\left( x \right) - \left( {{x^4} + 15} \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\)
Suy ra \(N\left( x \right) = M\left( x \right) + \left( {{x^4} + 15} \right)\)
Do đó \(N\left( x \right) = - {x^4} - {x^2} + x - 15 + {x^4} + 15\)
\( = - {x^2} + x\)
Để tìm nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\), ta cho \(N\left( x \right) = 0\)
Tức là \( - {x^2} + x = 0\)
\( - x\left( {x - 1} \right) = 0\)
Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 1\).
Vậy nghiệm của đa thức \(N\left( x \right)\) là \(x \in \left\{ {0;1} \right\}\).
(1,0 điểm) Hai thanh kim loại đồng chất có thể tích lần lượt là \(5\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\) và \(7\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\). Tính khối lượng của mỗi thanh kim loại, biết rằng thanh thứ hai nặng hơn thanh thứ nhất \(15,6\,\,{\rm{g}}\).
Gọi \(x,y\,\,\left( {\rm{g}} \right)\) lần lượt là khối lượng của thanh kim loại thứ nhất và thanh kim loại thứ hai.
Thanh thứ hai nặng hơn thanh thứ nhất \(15,6\,\,{\rm{g}}\) nên \(y - x = 15,6\).
Vì hai thanh kim loại đồng chất nên khối lượng và thể tích của mỗi thanh kim loại là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Do đó, ta có \(\frac{x}{5} = \frac{y}{7}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{x}{5} = \frac{y}{7} = \frac{{y - x}}{{7 - 5}} = \frac{{15,6}}{2} = 7,8\).
Suy ra \(x = 7.8.5 = 39\); \(y = 7,8.7 = 54,6\).
Vậy khối lượng của thanh kim loại thứ nhất và thanh kim loại thứ hai lần lượt là \(39\,\,{\rm{g}}\) và \(54,6\,\,{\rm{g}}\).
(1,0 điểm) Bạn An tham gia trò chơi rút tiền lì xì. Có tất cả 5 bao lì xì bên ngoài giống hệt nhau, bên trong mỗi bao có 1 tờ tiền mệnh giá là \(20\,\,000\) đồng; \(50\,\,000\) đồng; \(100\,\,000\) đồng; \(200\,\,000\) đồng; \(500\,\,000\) đồng. Bạn An rút ngẫu nhiên 1 lần và nhận được số tiền trong bao lì xì tương ứng. Xét các biến cố sau:
A: “Bạn An nhận được tiền lì xì \(1\,\,000\,\,000\) đồng”;
B: “Bạn An nhận được tiền lì xì không nhiều hơn \(500\,\,000\) đồng”.
C: “Bạn An nhận được tiền lì xì \(200\,\,000\) đồng”.
D: “Bạn An nhận được tiền lì xì nhiều hơn \(100\,\,000\) đồng”.
(a) Trong các biến cố trên, hãy chỉ ra biến cố nào là biến cố chắc chắn, biến cố nào là biến cố không thể.
(b) Tính xác suất của mỗi biến cố ngẫu nhiên trong các biến cố đã cho.
a) Biến cố \(A\) là biến cố không thể, vì không có bao lì xì có tờ tiền nào mệnh giá \(1\,\,000\,\,000\) đồng.
Biến cố \(B\) là biến cố chắc chắn, vì tất cả các bao lì xì đều có tờ tiền mệnh giá không lớn hơn \(500\,\,000\) đồng.
b) Biến cố ngẫu nhiên có trong các biến cố đã cho là \(C,D\).
Trong 5 bao lì xì, có 1 bao lì xì có tờ tiền mệnh giá \(200\,\,000\) đồng” nên xác suất của biến cố \(C\) là \(\frac{1}{5}\).
Trong 5 bao lì xì, có 2 bao lì xì có tờ tiền mệnh giá nhiều hơn \(100\,\,000\) đồng là \(200\,\,000\) đồng và \(500\,\,000\) đồng. Vậy xác suất của biến cố \(D\) là \(\frac{2}{5}\).
(2,5 điểm) Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn. Các điểm \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của cạnh \[BC,{\rm{ }}AB,{\rm{ }}AC\]. Gọi \(O\) là giao điểm các đường trung trực của tam giác \[ABC\]. Trên tia đối của tia \[MO\] lấy điểm \(D\) sao cho \[MD = MO\]. Trên tia đối của tia \[NO\] lấy điểm \(F\) sao cho \[NF = NO\]. Trên tia đối của tia \[PO\] lấy điểm \(E\) sao cho \[PE = PO\].
(a) Chứng minh \(\Delta ANO = \Delta BNF\), từ đó suy ra \[AO = BF\] và \[AO\,{\rm{//}}\,BF\].
(b) Chứng minh hình lục giác \[AFBDCE\] có 6 cạnh bằng nhau.
(c) Chứng minh \(\Delta ABC{\rm{ = }}\Delta DEF\).
a) Xét \(\Delta ANO\) và \(\Delta BNF\) có:
\(\widehat {ANO} = \widehat {BNF} = 90^\circ \);
\(NA = NB\) (do \(N\) là trung điểm của \(AB\));
\(NO = NF\) (giả thiết).
Do đó \(\Delta ANO = \Delta BNF\) (hai cạnh góc vuông)
Suy ra \[AO = BF\] (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {NAO} = \widehat {NBF}\) (hai góc tương ứng).
Lại có hai góc \(\widehat {NAO}\) và \(\widehat {NBF}\) ở vị trí so le trong nên \[AO\,{\rm{//}}\,BF\].
b) Chứng minh tương tự câu a, ta có \(\Delta APO = \Delta CPE\) (hai cạnh góc vuông).
Do đó \(AO = CE\) (hai cạnh tương ứng).
Mà \[AO = BF\] (câu a) nên \(BF = CE = AO\).
Tương tự, ta cũng chứng minh được:
• \(AE = BD = CO\);
• \(AF = CD = BO\).
Mặt khác, \(O\) là giao điểm ba đường trung trực của \(\Delta ABC\) nên \(O\) cách đều ba đỉnh của tam giác, hay \(OA = OB = OC\).
Do đó \[AF = FB = BD = DC = CE = EA = OA = OB = OC\] nên hình lục giác \[AFBDCE\] có 6 cạnh bằng nhau.
c) Ta có \(\Delta APO = \Delta CPE\) (câu b) nên \(\widehat {PAO} = \widehat {PCE}\) (hai góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AO\,{\rm{//}}\,CE\).
Lại có \(AO\,{\rm{//}}\,BF\) (câu a) nên \(BF\,{\rm{//}}\,CE\).
Suy ra \(\widehat {BFC} = \widehat {ECF}\) (hai góc so le trong).
Xét \[\Delta BCF\] và \(\Delta EFC\) có:
\(BF = EC\) (câu b);
\(\widehat {BFC} = \widehat {ECF}\) (chứng minh trên);
\(FC\) là cạnh chung.
Do đó \[\Delta BCF = \Delta EFC\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\]
Suy ra \(BC = EF\) (hai cạnh tương ứng).
Tương tự ta cũng chứng minh được \(AB = DE\) và \(AC = DF\).
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DEF\) có:
\(AB = DE;AC = DF;BC = EF\) (chứng minh trên).
Do đó \(\Delta ABC = \Delta DEF\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.c}}{\rm{.c}}} \right)\).
(0,5 điểm) Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để giá trị của đa thức \(A\left( x \right) = 6{x^3} + 15{x^2} - 4x - 8\) chia hết cho giá trị của đa thức \(B\left( x \right) = 2x + 5\).
Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:
Để đa thức \(A\left( x \right)\) chia hết cho đa thức \(B\left( x \right)\) thì \(2 \vdots \left( {2x + 5} \right)\)
Tức là \(\left( {2x + 5} \right) \in \)Ư\(\left( 2 \right) = \left\{ {1; - 1;2; - 2} \right\}\)
Với \(x\) là số nguyên thì \(2x + 5\) là số lẻ, nên \(\left( {2x + 5} \right) \in \left\{ { - 1;1} \right\}\).
Ta có bảng sau:
.
Vậy \(x \in \left\{ { - 3; - 2} \right\}\).
