Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 4
17 câu hỏi
Cho \[\frac{x}{3} = \frac{y}{8}\]. Với điều kiện các tỉ số có nghĩa, kết luận nào sau đây sai?
\[\frac{x}{y} = \frac{3}{8}\];
\[8x = 3y\];
\[\frac{x}{6} = \frac{y}{{16}}\];
\[x = \frac{8}{3}y\].
Đáp án đúng là: D
Từ tỉ lệ thức \[\frac{x}{3} = \frac{y}{8}\], ta có: \[\frac{x}{y} = \frac{3}{8}\]; \[8x = 3y\] và \[x = \frac{3}{8}y\].
Từ tỉ lệ thức \[\frac{x}{3} = \frac{y}{8}\] ta có \[\frac{x}{{3.2}} = \frac{y}{{8.2}}\] hay \[\frac{x}{6} = \frac{y}{{16}}\].
Vậy phương án A, B, C đúng, phương án D sai.
Cho hai đại lượng \[x\] và \(y\) liên hệ với nhau bởi công thức \(y = \frac{{ - 1}}{{5x}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(y\) tỉ lệ thuận với \[x\] theo hệ số tỉ lệ \( - 5\);
\(y\) tỉ lệ nghịch với \[x\] theo hệ số tỉ lệ \( - 5\);
\(y\) tỉ lệ thuận với \[x\] theo hệ số tỉ lệ \(\frac{{ - 1}}{5}\);
\(y\) tỉ lệ nghịch với \[x\] theo hệ số tỉ lệ \(\frac{{ - 1}}{5}\).
Đáp án đúng là: D
Từ công thức \(y = \frac{{ - 1}}{{5x}}\), suy ra \(y\) tỉ lệ nghịch với \[x\] theo hệ số tỉ lệ \(\frac{{ - 1}}{5}\).
Biểu thức nào sau đây là biểu thức số?
0;
\({x^3} - 8y + z\);
\(\sqrt {a - 2b + 1} \);
\(m + 2\).
Đáp án đúng là: A
0 là biểu thức số.
\({x^3} - 8y + z\), \(\sqrt {a - 2b + 1} \), \(m + 2\) là các biểu thức đại số.
Biến cố nào sau đây là biến cố ngẫu nhiên?
“Tung hai con xúc xắc thì tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn 1”;
“Lấy \(2\) quả bóng trong một chiếc túi đựng 10 quả bóng gồm 2 quả màu xanh, 3 quả màu đỏ, 4 quả màu tím, 1 quả màu vàng được cả hai quả bóng màu xanh”;
“Tung một đồng xu thì xuất hiện mặt sấp hoặc mặt ngửa”;
“Rút một chiếc thẻ từ trong hộp 2 thẻ ghi số \(5;10\) thì được thẻ ghi số chia hết cho 3 ”.
Đáp án đúng là: B
Các biến cố ở phương án A, C đều là biến cố chắc chắn.
Biến cố ở phương án D là biến cố không thể.
Biến cố ở phương án B là biến cố ngẫu nhiên.
Tung hai đồng xu và ghi lại kết quả. Biến cố nào sau đây là biến cố không thể?
“Có ít nhất một đồng xu xuất hiện mặt ngửa”;
“Số đồng xu xuất hiện mặt sấp luôn lớn hơn 2”;
“Hai đồng xu có kết quả khác nhau”;
“Cả hai đồng xu đều xuất hiện mặt sấp”.
Đáp án đúng là: B
Do chỉ tung hai đồng xu và ghi lại kết quả nên số đồng xu xuất hiện mặt sấp luôn nhỏ hơn hoặc bằng 2.
Trong một trò chơi hay thí nghiệm, nếu có \(a\) biến cố có khả năng xảy ra như nhau và luôn xảy ra duy nhất một biến cố trong \(a\) biến cố này thì xác suất của mỗi biến cố đó đều bằng:
\(\frac{1}{a}\);
\(\frac{1}{{2a}}\);
\(\frac{1}{{a + 1}}\);
\(a\).
Đáp án đúng là: A
Trong một trò chơi hay thí nghiệm, nếu có \(a\) biến cố có khả năng xảy ra như nhau và luôn xảy ra duy nhất một biến cố trong \(a\) biến cố này thì xác suất của mỗi biến cố đó đều bằng \(\frac{1}{a}\).
Một bình thủy tinh chứa 2 ngôi sao màu xanh, 3 ngôi sao màu vàng và 4 ngôi sao màu đỏ, các ngôi sao có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một ngôi sao từ bình. Xác suất để lấy được một ngôi sao màu xanh là
\(\frac{2}{9}\);
\(\frac{8}{9}\);
\(\frac{7}{9}\);
\(\frac{1}{9}\).
Đáp án đúng là: D
Trong bình thủy tinh có tất cả 9 ngôi sao, có 2 ngôi sao màu xanh.
Vậy xác suất để lấy được một ngôi sao màu xanh là \(\frac{2}{9}\).
Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat A \ge 90^\circ \). Khi đó cạnh nào sau đây là cạnh dài nhất?
\(BC\);
\(AB\);
\(AC\);
Không thể xác định được.
Đáp án đúng là: A
Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất.
Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.
Vậy với \(\Delta ABC\) có \(\widehat A \ge 90^\circ \) thì cạnh \(BC\) là cạnh lớn nhất.
Cho \(\Delta GHK\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(GH + HK < GK\);
\(GH + HK > GK\);
\(GH - HK > GK\);
\(GH + HK = GK\).
Đáp án đúng là: B
Xét \(\Delta GHK\), theo bất đẳng thức tam giác ta có: \(GH + HK > GK\).
Nếu điểm \(M\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(PQ\) thì:
\(PQ = PM\);
\(MP < MQ\);
\(MP = MQ\);
\(PQ = MQ\).
Đáp án đúng là: C
Nếu điểm \(M\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(PQ\) thì \(M\) cách đều hai đầu mút \(P\) và \(Q\), hay \(MP = MQ\).
Số đường chéo của hình lập phương là
\[12\];
\[8\];
\[6\];
\[4\].
Đáp án đúng là: D
Số đường chéo của hình lập phương là 4.
Một chiếc thùng carton dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài \(39\,\,{\rm{cm}}\), chiều rộng \[24\,\,{\rm{cm}}\], chiều cao \[15\,\,{\rm{cm}}\]. Coi như các mép thùng không đáng kể, khi đó diện tích bìa carton dùng để làm thùng carton là
\(1\,\,881\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\);
\({\rm{2}}\,\,{\rm{826}}\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\);
\[3\,\,762\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\];
\[14\,\,040\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\].
Đáp án đúng là: C
Diện tích xung quanh của thùng carton là: \(2.\left( {39 + 24} \right).15 = 1\,\,890\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
Diện tích đáy thùng và nắp thùng là: \(2.39.24 = 1\,\,872\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
Diện tích bìa carton dùng để làm thùng carton là: \(1\,\,890 + 1\,\,872 = 3\,\,762\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).
(1,0 điểm)
(a) Tìm \[x\], biết: \(\frac{{3 - 4x}}{{ - 3}} = \frac{{x - 2}}{5}\);
(b) Thực hiện phép nhân: \(\left( {\frac{1}{2}{x^2} - x} \right)2x\left( {{x^3} + 4} \right)\).
a) Tìm \[x\]:
\(\frac{{3 - 4x}}{{ - 3}} = \frac{{x - 2}}{5}\)
\(5\left( {3 - 4x} \right) = - 3\left( {x - 2} \right)\)
\(15 - 20x = - 3x + 6\)
\( - 17x = - 9\)
\(x = \frac{9}{{17}}\).
Vậy \(x = \frac{9}{{17}}\).
b) Thực hiện phép nhân:
\(\left( {\frac{1}{2}{x^2} - x} \right)2x\left( {{x^3} + 4} \right)\)
\( = \left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)\left( {{x^3} + 4} \right)\)
\[ = {x^3}\left( {{x^3} + 4} \right) - 2{x^2}\left( {{x^3} + 4} \right)\]
\[ = {x^6} + 4{x^3} - 2{x^5} - 8{x^2}\]
\[ = {x^6} - 2{x^5} + 4{x^3} - 8{x^2}\].
(2,0 điểm) Cho hai đa thức \(A\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^3} + \frac{{11}}{3}{x^2} - 6x - \frac{2}{3}{x^2} + \frac{7}{4}{x^3} + 2x + 3\);
\(B\left( x \right) = 2{x^3} + 2{x^2} - 3x + 9\).
(a) Thu gọn và sắp xếp đa thức \(A\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.
(b) Xác định bậc của đa thức \(A\left( x \right)\) và tính \(A\left( { - 1} \right)\).
(c) Tính \(C\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\). Tìm nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\).
a) \(A\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^3} + \frac{{11}}{3}{x^2} - 6x - \frac{2}{3}{x^2} + \frac{7}{4}{x^3} + 2x + 3\)
\( = \left( {\frac{1}{4} + \frac{7}{4}} \right){x^3} + \left( {\frac{{11}}{3} - \frac{2}{3}} \right){x^2} + \left( { - 6 + 2} \right)x + 3\)
\( = 2{x^3} + 3{x^2} - 4x + 3\).
b) Đa thức \(A\left( x \right)\) có bậc là 3.
Ta có \(A\left( { - 1} \right) = 2.{\left( { - 1} \right)^3} + 3.{\left( { - 1} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right) + 3 = 8\).
c) Ta có \(C\left( x \right) = A\left( x \right) - B\left( x \right)\)
\( = 2{x^3} + 3{x^2} - 4x + 3 - \left( {2{x^3} + 2{x^2} - 3x + 9} \right)\)
\( = 2{x^3} + 3{x^2} - 4x + 3 - 2{x^3} - 2{x^2} + 3x - 9\)
\( = {x^2} - x - 6\).
Để tìm nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\), ta cho \(C\left( x \right) = 0\)
Do đó \({x^2} - x - 6 = 0\)
\({x^2} - 3x + 2x - 6 = 0\)
\(x\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 3} \right) = 0\)
\(\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\)
Suy ra \(x = - 2\) hoặc \(x = 3\).
Vậy nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\) là \(x \in \left\{ { - 2;3} \right\}\).
(1,0 điểm) Ba chi nhánh của một công ty cần bán được tất cả \[121\] nồi cơm điện trong cùng một thời gian. Trung bình để bán được một nồi cơm điện, chi nhánh thứ nhất cần \(1\) ngày, chi nhánh thứ hai cần \(2\) ngày, chi nhánh thứ ba cần \(3\) ngày. Tính số nồi cơm điện mỗi chi nhánh bán được.
Gọi \(x\), \(y\), \(z\) lần lượt là số nồi cơm điện chi nhánh thứ nhất, thứ hai và thứ ba bán được.
Do ba chi nhánh cần bán được tất cả 121 chiếc nồi cơm điện nên ta có: \(x + y + z = 121\)
Do số nồi cơm điện bán được tỉ lệ nghịch với số ngày bán được một nồi cơm điện nên ta có: \(x = 2y = 3z\), suy ra \(\frac{x}{1} = \frac{y}{{\frac{1}{2}}} = \frac{z}{{\frac{1}{3}}}\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{1} = \frac{y}{{\frac{1}{2}}} = \frac{z}{{\frac{1}{3}}} = \frac{{x + y + z}}{{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}}} = \frac{{121}}{{\frac{{11}}{6}}} = 66\).
Suy ra \(x = 1.66 = 66\); \(y = \frac{1}{2}.66 = 33\); \(z = \frac{1}{3}.66 = 22\).
Vậy chi nhánh thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt bán được 66 nồi cơm điện; 33 nồi cơm điện; 22 nồi cơm điện.
(2,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) (\(\widehat A < 90^\circ \)). Kẻ \(BD \bot AC\) tại \(D\) và \(CE \bot AB\) tại \(E\).
(a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta ACE\), từ đó suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\).
(b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\). Chứng minh \(\Delta BHC\) là tam giác cân. So sánh \(HB\) và \(HD\);
(c) Trên tia đối của tia \(EH\), lấy điểm \(P\) sao cho \(PH < HC\). Trên tia đối của tia \(DH\), lấy điểm \(Q\) sao cho \(QH = HP\). Chứng minh các đường thẳng \(BP\), \(AH\), \(CQ\) đồng quy.
a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\), có:
\(\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ \);
\[AB = AC\] (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\));
\(\widehat {BAC}\) là góc chung.
Do đó \(\Delta ABD = \Delta ACE\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (cặp góc tương ứng).
b) Ta có \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (câu a)
Lại có \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)).
Do đó \(\widehat {ABC} - \widehat {ABD} = \widehat {ACB} - \widehat {ACE}\) hay \(\widehat {HBC} = \widehat {HCB}\).
\(\Delta BHC\) có \(\widehat {HBC} = \widehat {HCB}\) nên là tam giác cân tại \(H\).
Suy ra \(HB = HC\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có \(\Delta HCD\) vuông tại \(D\) nên cạnh huyền \(HC\) là lớn nhất.
Do đó \(HC > HD\,\,\,\,\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(HB > HD\).
c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BP\) và \(CQ\).
Xét \(\Delta BPH\) và \(\Delta CQH\), có:
\(HP = HQ\) (giả thiết);
\(\widehat {BHP} = \widehat {CHQ}\) (hai góc đối đỉnh);
\(HB = HC\) (câu b).
Do đó \(\Delta BPH = \Delta CQH\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\).
Suy ra \(\widehat {HBP} = \widehat {HCQ}\) (cặp góc tương ứng).
Mà \(\widehat {HBC} = \widehat {HCB}\) (câu b).
Suy ra \(\widehat {HBC} + \widehat {HBP} = \widehat {HCB} + \widehat {HCQ}\) hay \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\).
\(\Delta IBC\) có \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\) nên là tam giác cân tại \(I\).
Suy ra \(IB = IC\).
Mà \(AB = AC\) (câu a) và \(HB = HC\) (câu b).
Do đó ba điểm \(I\), \(A\), \(H\) cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).
Hay \(I\), \(A\), \(H\) thẳng hàng.
Vậy ba đường thẳng \(BP\), \(CQ\), \(AH\) đồng quy.
(0,5 điểm) Cho đa thức \(P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) có \(x = - 2\) là một nghiệm.
Xác định \(a\), \(b\), \(c\) biết số \(a\) lớn hơn số \(c\) năm đơn vị và đa thức \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 2\).
• Do số \(a\) lớn hơn số \(c\) năm đơn vị nên ta có \(a = c + 5\).
• Theo đề, ta có \(x = - 2\) là một nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\).
Suy ra \(P\left( { - 2} \right) = 0\).
Do đó \(4a - 2b + c = 0\).
Suy ra \(4a + c = 2b\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
• Ta có đa thức \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 2\) \(\left( * \right)\)
Nên \(P\left( x \right) = \left( {x - 2} \right).Q\left( x \right)\) với \(Q\left( x \right)\) là thương của phép chia đa thức \(P\left( x \right)\) cho đa thức \(x - 2\).
Khi đó \(P\left( 2 \right) = \left( {2 - 2} \right).Q\left( 2 \right) = 0\)
Do đó \(4a + 2b + c = 0\).
Suy ra \(4a + c = - 2b\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra \(2b = - 2b\).
Do đó \(4b = 0\), nên \(b = 0\).
Thế \(b = 0\) và \(a = c + 5\) vào \(\left( 1 \right)\), ta được \(4\left( {c + 5} \right) + c = 0\).
Hay \(4c + 20 + c = 0\).
Suy ra \(5c = - 20\), nên \(c = - 4\).
Với \(a = c + 5\), ta có \(a = - 4 + 5 = 1\).
Vậy \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = - 4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Khi đó, để \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 2\) thì \(c + 2b + 4a = 0\).
Suy ra \(4a + c = - 2b\,\,\,\,\left( 2 \right)\).
