Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức (Tự luận) có đáp án - Đề 3
6 câu hỏi
1.1. Tìm \(x,\)biết:
a) \(\frac{x}{3} = \frac{{ - 10}}{6};\) b) \(\frac{{2 - x}}{4} = \frac{{x - 3}}{{ - 5}}\).
1.2. Ba đội y tế tiêm ngừa vaccine Covid – 19 tại ba trường THCS trong quận có cùng số lượng học sinh đăng kí tiêm chủng như nhau. Đội thứ nhất tiêm xong trong 5 ngày, đội thứ hai tiêm xong trong 4 ngày và đội thứ ba tiêm xong trong 6 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu cán bộ y tế, biết cả ba đội có tất cả 37 cán bộ? (Năng suất làm việc của các cán bộ y tế là như nhau)
1.1.
a) \(\frac{x}{3} = \frac{{ - 10}}{6}\) \(6x = - 10.3\) \(6x = - 30\) \(x = - 30:6\) \(x = - 5\) Vậy \(x = - 5\). | b) \(\frac{{2 - x}}{4} = \frac{{x - 3}}{{ - 5}}\) \( - 5\left( {2 - x} \right) = 4\left( {x - 3} \right)\) \( - 10 + 5x = 4x - 12\) \(x = - 12 + 10\) \(x = - 2\) Vậy \(x = - 2\). |
1.2. Gọi số cán bộ y tế ở đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là \(x,y,z\) (người) với \(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}.\)
Vì cả ba đội y tế có tất cả 37 cán bộ y tế nên \(x + y + z = 37\).
Ta có: \(x\) tiêm xong trong 5 ngày, \(y\) tiêm xong trong 4 ngày, \(z\) tiêm xong trong 6 ngày.
Vì số cán bộ y tế và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có: \(5x = 4y = 6z\) hay \(\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{15}} = \frac{z}{{10}}.\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{x}{{12}} = \frac{y}{{15}} = \frac{z}{{10}} = \frac{{x + y + z}}{{12 + 15 + 10}} = \frac{{37}}{{37}} = 1\).
Do đó, ta có: \(\frac{x}{{12}} = 1\) nên \(x = 12,\) \(\frac{y}{{15}} = 1\) nên \(y = 15\); \(\frac{z}{{10}} = 1\) nên \(z = 10\).
Vậy số cán bộ y tế ở đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là 12, 15, 10 người.
2.1. Tính giá trị của biểu thức \(H = xy - xz + yz\) tại \(x = - 1;y = 1;z = - 1\).
2.2. Cho đa thức \(A\left( x \right) = \frac{5}{6}{x^3} - \frac{{12}}{7}{x^2} + 5x + \frac{5}{7}{x^2} + \frac{1}{6}{x^3} - 3x + 9\).
a) Thu gọn và sắp xếp đa thức \(A\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.
b) Xác định hệ số tự do của đa thức \(A\left( x \right)\) và tính \(A\left( 2 \right)\).
c) Tìm đa thức \(C\left( x \right)\) sao cho \(A\left( x \right) + C\left( x \right) = B\left( x \right)\), biết \(B\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 9x - 3\). Tìm nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\).
2.1. Thay \(x = - 1;y = 1;z = - 1\) vào biểu thức \(H = xy - xz + yz\), ta được:
\(H = \left( { - 1} \right).1 - \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 1.\left( { - 1} \right) = - 1 - 1 - 1 = - 3\).
Vậy giá trị của biểu thức \(H = - 3\).
2.2. a) \(A\left( x \right) = \frac{5}{6}{x^3} - \frac{{12}}{7}{x^2} + 5x + \frac{5}{7}{x^2} + \frac{1}{6}{x^3} - 3x + 9\)
\( = \left( {\frac{5}{6} + \frac{1}{6}} \right){x^3} + \left( { - \frac{{12}}{7} + \frac{5}{7}} \right){x^2} + \left( {5 - 3} \right)x + 9\)
\( = {x^3} - {x^2} + 2x + 9\).
b) Hệ số tự do của đa thức \(A\left( x \right)\) là 9.
Ta có \(A\left( 2 \right) = {2^3} - {2^2} + 2.2 + 9 = 17\).
c) Ta có \(A\left( x \right) + C\left( x \right) = B\left( x \right)\).
Suy ra \(C\left( x \right) = B\left( x \right) - A\left( x \right)\)
\( = {x^3} - 2{x^2} + 9x - 3 - \left( {{x^3} - {x^2} + 2x + 9} \right)\)
\( = {x^3} - 2{x^2} + 9x - 3 - {x^3} + {x^2} - 2x - 9\)
\( = - {x^2} + 7x - 12\).
Để tìm nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\), ta cho \(C\left( x \right) = 0\)
Do đó \( - {x^2} + 7x - 12 = 0\)
\( - {x^2} + 4x + 3x - 12 = 0\)
\( - x\left( {x - 4} \right) + 3\left( {x - 4} \right) = 0\)
\(\left( { - x + 3} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\)
Suy ra \(x = 3\) hoặc \(x = 4\).
Vậy nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\) là \(x \in \left\{ {3;4} \right\}\).
Trong hộp gỗ gồm 6 thẻ gỗ cùng loại, được đánh số \(12;13;14;15;16;17\) rút ngẫu nhiên một thẻ.
a) Viết tập hợp \(A\) gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên quả bóng được rút ra.
b) Tính xác suất của biến cố \(B\): “Thẻ rút được là ước của 24”.
c) Tính xác suất của biến cố \(C\): “Thẻ rút được chia 3 dư 2”.
a) Tập hợp gồm các kết quả có thể xảy ra đối với số xuất hiện trên quả bóng được rút ra là:
\(A = \left\{ {12;13;14;15;16;17} \right\}\).
Do đó, có 6 kết quả có thể xảy ra.
b) Kết quả thuận lợi cho biến cố \(B\) là \(12\). Do đó có 1 kết quả thuận lợi cho biến cố này.
Xác suất của biến cố \(B\) là \(\frac{1}{6}\).
c) Kết quả thuận lợi cho biến cố \(C\) là \(14;17\). Do đó, có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố này.
Xác suất của biến cố \(C\) là \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).Một các bục hình lăng trụ đứng có kích thước như hình bên.
a) Tính thể tích của cái bục.
b) Người ta muốn sơn tất cả các mặt của cái bục. Biết rằng giá sơn là \(15{\rm{ 000}}\) đồng/m2. Tính số tiền cần trả để sơn các mặt của bục đó.
a) Đổi \(80{\rm{ dm}} = 8{\rm{ m}}\).
Thể tích của cái bục là: \(\frac{{\left( {9 + 15} \right).8}}{2}.20 = 1{\rm{ }}920{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^3}} \right)\).
b) Diện tích cần phải sơn chính là diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng.
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng là: \(20.\left( {8 + 9 + 10 + 15} \right) = 840{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích hai đáy của lăng trụ đứng là: \(\frac{{2.\left( {9 + 15} \right).8}}{2} = 192{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Diện tích cần sơn của bục hình lăng trụ đứng này là: \(840 + 192 = 1{\rm{ }}032{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Vậy số tiền cần trả để sơn được cái bục đó là: \(1{\rm{ }}032.15{\rm{ 000}} = 15{\rm{ }}480{\rm{ }}000\) (đồng).
Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) (\(\widehat A < 90^\circ \)). Kẻ \(BD \bot AC\) tại \(D\) và \(CE \bot AB\) tại \(E\).
a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta ACE\), từ đó suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\).
b) Gọi \(H\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\).
Chứng minh \(\Delta BHC\) là tam giác cân. So sánh \(HB\) và \(HD.\)
c) Trên tia đối của tia \(EH\), lấy điểm \(P\) sao cho \(PH < HC\). Trên tia đối của tia \(DH\), lấy điểm \(Q\) sao cho \(QH = HP\). Chứng minh các đường thẳng \(BP\), \(AH\), \(CQ\) đồng quy.
a) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\), có:
\(\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = 90^\circ \);
\[AB = AC\] (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\));
\(\widehat {BAC}\) là góc chung.
Do đó \(\Delta ABD = \Delta ACE\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (cặp góc tương ứng).
b) Ta có \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\) (câu a)
Lại có \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)).
Do đó \(\widehat {ABC} - \widehat {ABD} = \widehat {ACB} - \widehat {ACE}\) hay \(\widehat {HBC} = \widehat {HCB}\).
\(\Delta BHC\) có \(\widehat {HBC} = \widehat {HCB}\) nên là tam giác cân tại \(H\).
Suy ra \(HB = HC\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có \(\Delta HCD\) vuông tại \(D\) nên cạnh huyền \(HC\) là lớn nhất.
Do đó \(HC > HD\,\,\,\,\left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(HB > HD\).
c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BP\) và \(CQ\).
Xét \(\Delta BPH\) và \(\Delta CQH\), có:
\(HP = HQ\) (giả thiết);
\(\widehat {BHP} = \widehat {CHQ}\) (hai góc đối đỉnh);
\(HB = HC\) (câu b).
Do đó \(\Delta BPH = \Delta CQH\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\).
Suy ra \(\widehat {HBP} = \widehat {HCQ}\) (cặp góc tương ứng).
Mà \(\widehat {HBC} = \widehat {HCB}\) (câu b).
Suy ra \(\widehat {HBC} + \widehat {HBP} = \widehat {HCB} + \widehat {HCQ}\) hay \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\).
\(\Delta IBC\) có \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\) nên là tam giác cân tại \(I\).
Suy ra \(IB = IC\).
Mà \(AB = AC\) (câu a) và \(HB = HC\) (câu b).
Do đó ba điểm \(I\), \(A\), \(H\) cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\).
Hay \(I\), \(A\), \(H\) thẳng hàng.
Vậy ba đường thẳng \(BP\), \(CQ\), \(AH\) đồng quy.
Một cửa hàng có ba loại vải với tổng chiều dài là \(186{\rm{ m}}\). Giá tiền của mỗi mét vải của ba loại là như nhau. Sau khi bán được một ngày, cửa hàng còn lại \(\frac{2}{3}\) cuộn vải loại I, \(\frac{1}{3}\) cuộn vải loại II và \(\frac{3}{5}\) cuộn vải loại III. Số tiền bán được mỗi loại vải của cửa hàng lần lượt tỉ lệ với \(2;3;2\). Tính xem trong ngày đó cửa hàng đã bán được bao nhiều mét vải của mỗi loại?
Gọi chiều dài ban đầu của ba loại vải I, II, III lần lượt là \(a,b,c\).
Sau 1 ngày cửa hàng bán được số vải của từng loại là
Loại I: \(a - \frac{2}{3}a = \frac{1}{3}a{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\);
Loại II: \(b - \frac{1}{3}b = \frac{2}{3}b{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\);
Loại III: \(c - \frac{3}{5}c = \frac{2}{5}c{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).
Do giá tiền mỗi mét vải của ba loại là như nhau nên số mét vải baisn được của các loại tỉ lệ với số tiền bán được, mà số tiền bán được của các loại lần lượt tỉ lệ với \(2;3;2\).
Do đó, ta có: \(\frac{{\frac{1}{3}a}}{2} = \frac{{\frac{2}{3}b}}{3} = \frac{{\frac{2}{5}c}}{2}\) hay \(\frac{a}{6} = \frac{{2b}}{9} = \frac{{2c}}{{10}}\) hay \(\frac{a}{6} = \frac{b}{{4,5}} = \frac{c}{5}\).
Lại có, \(a + b + c = 186\).
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{a}{6} = \frac{b}{{4,5}} = \frac{c}{5} = \frac{{a + b + c}}{{6 + 4,5 + 5}} = \frac{{186}}{{15,5}} = 12\).
Suy ra \(\frac{a}{6} = 12\) nên \(a = 72;\) \(\frac{b}{{4,5}} = 12\) nên \(b = 54\); \(\frac{c}{5} = 12\) nên \(c = 60\).
Vậy số mét vải của mỗi loại I, II, III lần lượt là 72 m, 54 m và 60 m.
